第二章 相交线与平行线单元测试2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

第二章 《相交线与平行线》 (说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分120分) 题号 一 二 三 总分 16 17 18 19 20 21 22 23 得分 第Ⅰ卷 选择题(共30分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 1.如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是 (A) A.∠1与∠2是同旁内角 B.∠1与∠3是同旁内角 C.∠2与∠3是同位角 D.∠3 与∠4是内错角 2.过直线l外一点 P 画l的垂线CD，下列各图中，三角板操作正确的是 (D) 3.下列命题中正确的是 (C) A.如果两个角相等，那么这两个角一定是对顶角 B.如果两个角互为补角，那么这两个角一定是邻补角 C.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D.如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角相等 4.如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是 (B) A.∠2=∠1 B.∠1=∠5 C.∠3=∠5 D.∠2+∠5=180° 【解析】由∠2=∠1不能判定AB∥CD，故选项A不符合题意；由∠1=∠5可以用同位角相等，两直线平行判定 AB∥CD，故选项 B符合题意;由∠3=∠5不能判定AB∥CD,故选项C不符合题意;由∠2+∠5=180°不能判定AB∥CD,故选项D不符合题意.故选 B. 5.如图,直线AB,CD相交于点O.若∠AOC=52°,∠BOE=36°,则∠DOE的度数为 (B) A.10° B.16° C.36° D.52° 【解析】因为∠AOC=52°,所以∠BOD=∠AOC=52°.因为∠BOE=36°,所以∠ 6°.故选 B. 6.已知直线m∥n，将一块直角三角尺按如图所示方式放置，其中三角尺的两个顶点分别落在直线m，n上.若∠2=35°,则∠1的度数是 (C) A.35° B.45° C.55° D.65° 【解析】如解图,因为∠2=35°,所以 .因为直线m∥n,所以∠1=∠3=55°.故选C. 7.如图,已知D,E,F分别是三角形ABC 的边BC,CA,AB上的点,DE∥BA,DF∥CA,则下列各角中与∠A不一定相等的是 (C) A.∠BFD B.∠CED C.∠AED D.∠EDF 【解析】因为DF∥CA,所以∠BFD=∠A,故选项A不符合题意;因为DE∥BA,所以∠CED=∠A,故选项B不符合题意;因为DF∥CA,所以∠EDF=∠CED,所以∠EDF=∠A,故选项D不符合题意;因为DE∥BA,所以∠A+∠AED=180°,因为∠A不一定等于90°,所以∠AED与∠A不一定相等，故选项C符合题意.故选C. 8.如图,将一长方形纸片MCDN沿AB 折叠,已知∠ABC=36°,则∠D₁AD= (C) A.48° B.66° C.72° D.78° 【解析】由题意,得DE∥BC,∠ABC=36°,所以 由折叠的性质，得 ,所以∠D₁AD= 故选 C. 9.仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉.小美同学正在做仰卧起坐运动,其示意图如图所示.若AB∥CD,AC∥DE,∠FAB=95°,∠E=41°,则∠DCE的度数为 (D) A.41° B.44° C.51° D.54° 【解析】因为AB∥CD,∠FAB=95°,所以∠DCF=∠FAB=95°.因为AC∥DE,∠E=41°,所以∠FCE=∠E=41°.所以∠DCE=∠DCF 故选 D. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10.如图,直线AB,CD相交于点O,OD平分∠BOF,OE⊥CD于点O.若∠EOF=α,下列说法:①∠AOC=α-90°;②∠EOB=180°—α;③∠AOF=360°—2α,其中正确的有 (D) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【解析】因为OE⊥CD,∠EOF=α,所以∠EOD=90°,所以∠FOD=α-90°.因为OD 平分∠BOF,所以∠BOD=∠FOD=α-90°.又因为∠AOC=∠BOD,所以 故①正确；所以 ,故②正确;所以∠AOF= ,故③正确.故选 D. 二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11.如图，某村庄要在河岸l上建一个水泵房引水到C处.他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处.这样做最节省水管长度，其数学道理是 垂线段最短 . 12.“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，如图1是自行车放在水平地面的实物图，如图2是其几何示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°,要使AM与CB 平行,则∠MAC的度数是 66° . 【解析】因为AB,CD都与地面l平行,所以 AB∥CD,所以∠BAC+∠ACD=180°,所以∠BAC+∠ACB+∠BCD=180°.因为∠BCD=60°,∠BAC=54°,所以 ,所以当∠MAC=∠ACB=66°时,AM∥CB.故答案为66°. 13.如图,点B在点A 北偏东40°方向,点C在点B北偏西50°方向,BC=10m,则点C到直线AB 的距离为 10 m. 【解析】因为点B在点A 北偏东40°方向，点C在点B北偏西50°方向，所以4 所以 故点C到直线AB 的距离就是BC的长度.又因为BC=10m.故答案为10. 14.如图,已知E,A,B三点在同一条直线上,AD是∠EAC的平分线,AD∥BC,∠B=50°,则∠BAC的度数为 80° 【解析】因为AD平分∠EAC,所以∠EAD=∠CAD.因为AD∥BC,所以∠EAD=∠B=50°,所以∠CAD=∠EAD=50°.所以∠BAC= 故答案为80°. 15.高速公路上安装如图1所示的激光灯可以预防司机疲劳驾驶，图2是激光位于初始位置时的平面几何示意图，其中C，D是直线AB上的两个发射点， 现激光CE绕点C以2°/s的速度顺时针转动，同时激光DF绕点 D 以3°/s的速度逆时针转动，若转动 ts后，激光CE与DF 首次平行,则t的值为 18 . 【解析】由题意，知转动 ts时， 当激光CE与DF平行时， 即 解得t=18.故答案为18. 三、解答题(本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(本题6分)如图,在∠AOB的内部有一点P. (1)过点 P画直线PC∥OA交OB 于点C; (2)过点 P 画直线PD 垂直于OA,垂足为 D. 解：(1)如解图，直线PC 即为所求. (2)如解图，直线PD即为所求. 17.(本题12分)如图,已知∠B+∠BCD=180°,∠B=∠D. 试说明:∠E=∠DFE. 请把说明过程补充完整. 解:因为∠B+∠BCD=180°(已知), 所以AB∥CD( 同旁内角互补，两直线平行 )， 所以∠B= ∠DCE ( 两直线平行,同位角相等 ). 又因为∠B=∠D(已知), 所以 ∠DCE =∠D(等量代换), 所以AD∥BE( 内错角相等，两直线平行 )， 所以∠E=∠DFE( 两直线平行,内错角相等 ). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18.(本题7分)光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由. 解：光线a与光线b平行.理由如下： 因为∠3=∠4,∠3+∠5=∠4+∠6=180°, 所以∠5=∠6. 又因为∠1=∠2, 所以∠1+∠5=∠2+∠6, 所以a∥b. 19.(本题8分)如图,直线AB,CD相交于点O.已知∠BOD=75°,OE把∠AOC分成∠AOE与∠EOC两个角,且∠AOE:∠EOC=2:3. (1)求∠AOE的度数; (2)若OF 平分∠BOE,问:OB是∠DOF 的平分线吗? 试说明理由. 解:(1)因为∠AOE:∠EOC=2:3, 所以设∠AOE=2x°,则∠EOC=3x°,∠AOC=5x°. 因为∠BOD=75°, 所以∠AOC=∠BOD=75°,所以5x=75.解得x=15, 则2x=30,即∠AOE=30°. (2)OB 是∠DOF 的平分线.理由如下: 由(1),知∠AOE=30°, 所以∠BOE=180°-∠AOE=150°. 因为OF平分∠BOE, 所以 因为∠BOD=75°, 所以∠BOD=∠BOF,所以OB 是∠DOF的平分线. 20.(本题8分)如图，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯后，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即AE∥CD).若∠A=120°,∠B=150°,求∠C的度数. 解:如解图,过点B作BF∥AE. 因为AE∥CD,BF∥AE,所以BF∥AE∥CD. 因为∠A=120°,所以∠ABF=∠A=120°. 因为∠ABC=150°,所以∠FBC=∠ABC—∠ABF=150°—120°=30°. 又因为BF∥CD, 所以 21.(本题9分)如图,已知AM∥BN,∠A=64°,点 P 是射线AM上一动点(与点A 不重合),BC,BD分别平分∠ABP 和∠PBN,分别交射线AM于点C,D. (1)∠ABN的度数是 116° ; (2)求∠CBD的度数; (3)当点 P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化?若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律. 解:(2)因为AM∥BN, 所以∠ABN+∠A=180°, 所以∠ABN=180°—64°=116°, 所以∠ABP+∠PBN=116°. 因为 BC平分∠ABP,BD 平分∠PBN, 所以∠ABP=2∠CBP,∠PBN=2∠DBP, 所以2∠CBP+2∠DBP=116°, 所以∠CBD=∠CBP+∠DBP=58°. (3)不变.∠APB:∠ADB=2:1.理由如下: 因为AM∥BN, 所以∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN. 因为BD平分∠PBN, 所以∠PBD=∠DBN, 所以∠PBD=∠ADB, 所以∠PBN=2∠ADB, 所以∠APB:∠ADB=2:1. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 22.(12分)综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图1，直线l₁∥l₂，直线l₃分别交l₁，l₂于点C，D，点A在直线l₁上，且在点C的左侧，点B在直线l₂上，且在点D 的左侧，P是直线l₃上的一个动点(点P 不与点C，D重合).当点P在点C，D之间运动时，试猜想∠PAC，∠APB与∠PBD之间的数量关系，并说明理由. 独立思考： 请解答老师提出的问题. 实践探究： 勤学小组对此问题进行了更深一步的思考：当点 P在C，D两点的外侧运动时，∠PAC，∠APB与 之间的数量关系又是如何? (1)如图2，当点 P运动到点C 上方时，试猜想∠PAC，∠APB与∠PBD之间的数量关系，并说明理由. (2)如图3,当点 P 运动到点D 下方时,请直接写出∠PAC,∠APB与∠PBD之间的数量关系. 解:独立思考:∠APB=∠PAC+∠PBD. 理由如下:如解图1,过点P作PE∥l₁.则∠APE=∠PAC. 因为 ,所以PE∥l₂, 所以∠BPE=∠PBD, 所以∠APB=∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD. 实践探究:(1)∠APB=∠PBD-∠PAC. 理由如下:如解图2,过点P作PF∥l₁.则∠APF=∠PAC. 因为l₁∥l₂,l₁∥PE,所以PF∥l₂,所以∠BPF=∠PBD, 所以∠APB=∠BPF—∠APF=∠PBD—∠PAC. (2)∠APB=∠PAC—∠PBD. 23.(本题13分)综合与探究 问题情境：数学课上，老师出了这样一道题： 如图1,AB∥CD,点E在直线AB,CD之间. 试说明:∠AEC=∠A+∠C. 探究证明： 同学们把这种图形戏称“猪脚型”，勤奋小组和快乐小组给出了两种不同的说明过程： 勤奋小组 解:如图2,过点E作EF∥AB,快乐小组 则∠A=∠AEF. 因为AB∥CD,EF∥AB,所以EF∥CD.解：如图3，延长 所以∠C=∠CEF.AE交CD于点G. 所以∠AEF+∠CEF=∠A+∠C,…… 即∠AEC=∠A+∠C. (1)补全快乐小组的证明过程； 问题解决： (2)图4为七年级天文小组在观察北斗星时所拍摄.他们在绘制北斗七星的位置图时，将北斗七星：摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为A,B,C,D,E,F,G,并连接AB,BC,CD,DE,EF,FG(如图5).他们在绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线AH与天机、天璇所在的直线EF 几乎平行(因为距离地球很远,看作平行).若∠HBC=36°,∠BCD=168°,∠DEF=103°,求∠CDE的度数. 解:(1)如图3,延长AE交CD 于点 G. 在三角形CEG中,∠CEG+∠EGC+∠C=180°. 因为∠CEG+∠AEC=180°,所以∠AEC=∠EGC+∠C. 又因为AB∥CD,所以∠A=∠EGC.所以∠AEC=∠A+∠C. (2)如解图,过点C作CM∥AH,则∠BCM+∠HBC=180°. 因为∠HBC=36°,所以∠BCM=144°.所以∠BCD=168°, 所以∠DCM=∠BCD—∠BCM=168°—144°=24°. 因为AH∥EF,CM∥AH,所以CM∥EF. 由(1)的结论,知∠CDE=∠DCM+∠DEF=24°+103°=127°. 学科网（北京）股份有限公司 $