题号猜押05 湖南中考数学19～20题（解答题）（湖南专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押05 湖南中考数学19~20题（解答题） 考点1 图形的性质 1．（2026·湖南张家界·一模）如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，说明四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：连接交于点，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：由（1）得：四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形． 2．（2026·湖南永州·一模）如图，在平行四边形中，，点O是的中点，过点O的直线分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，由中点的定义得，由对顶角相等得，即可由证明； （2）由勾股定理求出，由中点的定义得，再由勾股定理求出，由（1）中，得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，，， ∴在中，， ∵点O是的中点， ∴， 在中，，， ∴， 由（1）知， ∴． 3．（2026·湖南·模拟预测）已知平行四边形中，对角线相交于点． (1)如图1，若，求的长： (2)如图2，过点作于点，连接，过点作交于点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）先证明，，再证明，即可证明． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ，即， ． ， ∴， 或（舍去）． （2）证明：， ∴， ∴， ． 又， ∴， 又∵， ∴ ， 又∵， ， ． 4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，是的直径，是的切线，切点为C，，垂足为E，连接. （1）求证：平分； （2）若，，求的长. 【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】（1）利用切线的性质得OC⊥DE，再证明OC∥BE得到∠OCB＝∠CBE，加上∠OCB＝∠CBO，所以∠OBC＝∠CBE； （2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明△OAC等边三角形得到AC＝OA＝2，再利用勾股定理可计算出BC＝，然后在Rt△CBE中利用含30度的直角三角形三边的关系求CE的长． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴是等边三角形，. ∴， ∴ ∵，且， ∴. ∴ 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）数学课上，张老师用无刻度的直尺和圆规按照教材完成角平分线的作法，痕迹如图所示，在中： (1)连接，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是_____（填序号）． ①      ②      ③     ④ (2)若，的面积为，过点作于点，求的长． 【答案】(1)④ (2) 【分析】（）连接，根据全等三角形的判定定理“”即可求解； （）过点作于点，由角平分线的性质得，再利用的面积解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接， 由作图可知，，， ∵， ∴， ∴证明的依据是； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ， ∵的面积为， ∴， ． 6．（2026·湖南邵阳·二模）如图，在菱形中，点分别是边上的一点，且与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形四条边都相等得，根据得，在和中，利用证明； （2）由（1）知，再根据三角形内角和定理计算，最后利用三角形外角性质求得． 【详解】（1）证明：四边形为菱形，， ，即， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ， ． 7．（2026·湖南岳阳·一模）如图，已知为的直径，是弦，点D为半径的延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长度（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，即可求得； （2）根据，求得的长，利用弧长公式即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 为的直径， 是的切线； （2）解：， ， ， ． 8．（2026·湖南湘潭·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，勾股定理，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，根据等边对等角的性质，推出，进而得到，即可证明得到结论； （2）连接，由直径所对的圆周角为得出，，由勾股定理求出，再利用面积法求高即可求解． 【详解】（1）证明：连接 ， ， 又， ， ， ， 又， ， 又∵是半径， 是的切线. （2）解：连接， 是的直径， 又， 在中，，， 由勾股定理得， ， ． 9．（2026·湖南湘西·一模）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握平行四边形性质和全等三角形的判定定理是解题关键． （1）由平行四边形性质，，再结合中点条件，利用“”即可证明． （2）根据题意得出为等腰三角形，由F是的中点，可得，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，且，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴为等腰三角形， ∵点F是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：． 10．（2026·湖南衡阳·一模）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【详解】（1）证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2）∵，， ∴， ∵， ∴ 考点2 统计与概率 1．（2026·湖南衡阳·一模）我县某中学举行“宪法学习”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题． (1)参加竞赛的学生人数有______； (2)在扇形统计图中，表示“B等级”的扇形的圆心角度数为__________，图中的值为__________； (3)学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中间选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出刚好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)20 (2)，40 (3) 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用以及概率的计算，解题的关键是通过两种统计图获取相关数据并进行分析计算． （1）根据条形统计图中等级人数及扇形统计图中等级所占比例可求出总人数； （2）先求出等级人数占总人数的比例，进而求出其扇形圆心角度数，再求出C等级人数占比得到m的值； （3）先确定A等级中男女生人数，然后通过列表或画树状图法求出概率． 【详解】（1）解：由条形统计图知A等级有3人，由扇形统计图知A等级占，所以参加竞赛的学生人数为（人）； 故答案为：20； （2）解：由条形统计图知B等级有（人）， 则B等级人数占总人数的比例为， 所以B等级的扇形的圆心角度数为， C等级有8人，C等级人数占总人数的比例为， 所以， 故答案为：，40； （3）A等级有3人，其中1名女生，2名男生，设2名男生为男1，男2，女生为女．列表如下： 所有可能出现的结果如下表： 男1 男2 女 男1 （男1，男2） （男1，女） 男2 （男2，男1） （男2，女） 女 （女，男1） （女，男2） 共有6种可能出现的结果，其中刚好选中一名男生和一名女生的可能有4种， ∴． 2．（2026·湖南长沙·二模）为了培养学生的晨读习惯，某校在寒假期间开展了“我爱晨读”的活动，开学后随机抽取了90名学生，对他们平均每天的晨读时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行收集、整理和描述，下列是其中的部分信息： 信息一：90名学生平均每天的晨读时长（单位：min）的频数分布表： 分组 合计 频数 9 12 a 24 b 9 90 信息二：90名学生平均每天的晨读时长（单位：min）的频数分布直方图： 根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布表中的组距是____，b=_____； (2)求a的值； (3)补全频数分布直方图； (4)该校决定将平均每天的晨读时长达到40分钟及以上的学生评为“晨读之星”．若该校有1200名学生，估计获得该称号的学生有多少名？ 【答案】(1)， (2) (3)见详解 (4)获得该称号的学生约有400人． 【分析】（1）根据组中值的定义和频数分布直方图的数据求解即可； （2）用90减去其他组的频数即可求出的值； （3）根据（2）的数据，补全频数分布直方图即可； （4）利用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：依题意，频数分布表中的组距是， 结合频数分布表以及频数分布直方图，得出在的人数； （2）解：依题意，， 即在的人数为； （3）解：补全频数分布直方图，如图所示： ； （4）解：∵该校决定将平均每天的晨读时长达到40分钟及以上的学生评为“晨读之星”．且该校有1200名学生， ∴（人）， ∴获得该称号的学生约有400人． 3．（2026·湖南湘潭·一模）生命至上，安全第一，教育部要求各中小学校在春季开学后进行安全教育，并组织观看“春季开学安全第一课”的视频．某校春季开学后广泛开展安全教育，并组织七、八年级全体学生进行了一次安全知识竞赛初赛（百分制）．现分别从两个年级中各随机抽取15名学生的竞赛初赛成绩，并进行整理与分析： 【收集数据】七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70 八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89 【整理数据】 成绩年级 A B C D 七年级 2 5 4 4 八年级 1 6 【分析数据】 两组数据的平均数、位数、众数、方差统计表 统计量年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 87 92.13 八年级 86 87 79.73 【问题解决】根据以上信息解决下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)请计算八年级扇形统计图中B组所在扇形的圆心角的度数； (3)该校七年级共有420名学生参加此次知识竞赛初赛，如果初赛成绩不低于85分即可参加安全知识竞赛复赛，请估计七年级可参加复赛的学生人数． (4)根据以上数据信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛初赛成绩更优？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)80；90 (2)B组所在扇形的圆心角的度数为 (3)估计七年级可参加复赛的学生人数为196人 (4)该校八年级学生知识竞赛初赛成绩更优，见解析 【分析】（1）将七年级的数据进行整理，求出c，d的值，即可补全频数分布直方图；根据中位数和众数的定义求解即可； （2）将乘以八年级成绩在这一组的比例，即可求出相应扇形的圆心角度数； （3）将420乘以样本中七年级的成绩不低于85分的比例即可解答； （4）根据比较平均数和中位数即可得到本次竞赛成绩更优的年级． 【详解】（1）解：将七年级的数据进行排序为：68，69，70，74，76，77，77，80，87，87，87， 92，94， 94，98.   对于七年级的成绩排序后，处于中间位置（第8个）的数据是80，故中位数是80，所以． 对于八年级的成绩，出现次数最多的是90，故众数为90，所以． （2）解：八年级成绩在这一组的有2人，对应的扇形圆心角为． （3）（人） 答：估计七年级可参加复赛的学生人数为196人． （4）我认为该校八年级学生知识竞赛初赛成绩更优．因为八年级的平均分高于七年级的平均分；中位数八年级的高一些，也就是八年级的中等水平更好． 4．（2026·湖南·模拟预测）李老师为了了解班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对九（1）班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C；一般；D：较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，李老师一共调查了　 　名同学，其中女生共有　 　名． （2）将上面的条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请求所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 【答案】（1）20，11；（2）详见解析；（3） 【分析】（1）用特别好（A）的人数÷特别好的百分数，得出调查的学生数，根据扇形图得出“D”类别人数及女生数，再求女生总人数； （2）由女生数及总人数，得出男生数及“D”类别男生数，再求“C”类别女生数，补充条形统计图； （3）由计算可知，A类别1男2女，D类别1男1女，利用列表法求解． 【详解】解：（1）调查学生数为3÷15%＝20（人）， “D”类别学生数为20×（1﹣25%﹣15%﹣50%）＝2（人），其中男生为2﹣1＝1（人）， 调查女生数为20﹣1﹣4﹣3﹣1＝11（人）， 故答案为20，11； （2）补充条形统计图如图所示； （3）根据李老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习， 可以将A类与D类学生分为以下几种情况： 利用图表可知所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为． 5．（2026·湖南张家界·一模）某校为落实“双减”工作，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术：D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 　 根据图中信息，解答下列问题： (1)①此次调查一共随机抽取了______名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角______度： (2)若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数． 【答案】(1)①200；②见解析；③54 (2)1120 【分析】（1）①由B组的人数及其所占百分比可得样本容量； ②由总人数减去除C组的人数即可得到C组的人数，可补全图形 ③用乘以C组人数所占比例即可； （2）用样本中D组所占比例乘以总人数即可求解． 【详解】（1）解：①此次调查一共随机抽取的学生人数为（名）； 故答案为：200； ②C组人数为（名）， ③， 故答案为：54； （2）解：该校参加D组（阅读）的学生人数为（名）， 答：该校参加D组（阅读）的学生人数为1120人． 6．（2026·湖南永州·一模）为准备中考体育测试，某校九年级开展跳绳（A）、跑步（B）、排球（C）、立定跳远（D）、实心球（E）五种体育社团活动．为了解学生意向，随机抽取了部分九年级学生进行社团项目意向问卷调查，被抽取的学生每人只能从5种社团活动中选择其中一种，且每个学生都要选．现根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图： 意向项目与人数的条形统计图    意向项目与人数的扇形统计图 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次被抽取的九年级学生人数为______人，请直接补全条形统计图； (2)在扇形统计图中表示愿意参加“实心球（E）”社团的圆心角的度数为______； (3)若该校九年级人数为1500人，根据本次调查情况，请估计该校九年级有意参加“排球（C）”社团的人数． 【答案】(1)120，补全条形统计图见解析 (2) (3)人 【分析】（1）将有意参加跑步（B）社团的人数除以其所占百分比即可求出本次抽取的九年级学生人数；先求出有意参加排球（C）的学生人数，再补全条形统计图即可； （2）乘以愿意参加“实心球（E）”社团的学生人数的占比即可； （3）1500乘以本次调查中有意参加“排球（C）”社团的学生人数的占比即可． 【详解】（1）解：本次被抽取的九年级学生人数为：（人）； 有意参加排球（C）社团的学生人数为：（人）； 补全条形统计图如下： （2）解：表示愿意参加“实心球（E）”社团的圆心角的度数为： ； （3）解：（人）， 答：请估计该校九年级有意参加“排球（C）”社团的人数为人． 7．（2026·湖南·模拟预测）为了解长沙市九年级学生每周校外锻炼身体的时长（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分九年级学生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)这次抽样调查的总人数是_____，扇形统计图中_____，A组所在扇形的圆心角的大小是_____； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若长沙市共约有7万名九年级学生，请你估计全市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的九年级学生人数． 【答案】(1)500，32， (2)见解析 (3)2.66万 【分析】本题考查频数分布直方图与扇形统计图，样本估计总体． （1）由组人数及其所占百分比可得样本容量，用组人数除以样本容量即可得出m，用乘以组人数所占比例即可得到A组所在扇形的圆心角的大小； （2）根据各组人数之和等于样本容量求出组人数，从而补全图形； （3）用总人数乘以样本中、组人数和所占比例即可． 【详解】（1）解：这次抽样调查的样本容量是， ∴组的占比为：，即， ∴组所在扇形的圆心角的大小是， 故答案为：500，32，； （2）解：组人数为（人）， 补全图形如下： （3）解：（万）． 答：估计全市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的九年级学生人数为万． 8．（2026·湖南长沙·模拟预测）四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传诵．学校开展读书节，为了解学生对这四部名著的喜好进行了抽样调查（A．西游记，B．三国演义，C．水浒传，D．红楼梦）．某班随机抽取部分学生进行调查后，王老师将自己班调查数据进行整理并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共抽取学生_____人，补全条形统计图； (2)扇形统计图中类别D所对应的圆心角的度数为_____； (3)该校共有2000名学生，请你估计该校有多少名学生选择《水浒传》； (4)为了交流读书心得，王老师从被调查的类别B和类别D的学生中分别选取一名学生参与活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)20，见解析 (2) (3)500名 (4) 【分析】（1）根据类别A的人数和占比求解即可．然后分别求出类别C和类别D的人数，然后补全条形统计图即可． （2）用360度乘以类别D的占比求解即可． （3）用样本估计总体即可． （4）根据B组和D组的男女人数画出树状图，然后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：（人） 则类别C的人数有：（人）， 则类别D的人数有：（人）， 则补全条形统计图如下： （2）解：． （3）解：（名） （4）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果有3种， 恰好选中一名男生和一名女生的概率为． 9．（2026·湖南邵阳·二模）为推广邵阳市“书香宝庆·校长喊你来阅读”活动，某校开展“书香润校园，阅读伴成长”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：文学经典类，B：科普读物类，C：历史社科类，D：其他类）．该校某数学兴趣小组随机抽取部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图1，图2，如图所示． 根据以上信息，解答下列问题： (1)该校此次被调查的学生总人数为_______人，其中最喜欢阅读C“历史社科类”书籍的学生人数为_______人； (2)在图2中，A“文学经典类”所对应的圆心角度数是________度； (3)若该校有3000名学生，请你估计最喜欢阅读B“科普读物类”书籍的学生人数约为_______人； (4)该数学兴趣小组中，甲、乙两名同学从这四类书籍中任选一类进行阅读，请用列表法或者树状图法求此两人恰好选择同一类别书籍的概率． 【答案】(1)80，20 (2)108 (3)1050 (4) 【分析】（1）由D的人数除以占比求解被调查的学生总人数，再由总数减去A、B、D的学生数求解喜欢阅读C的学生数； （2）用乘以A类的占比即可求解圆心角； （3）用乘以喜欢B类的占比求解即可； （4）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：（人），（人）． （2）解：． （3）解：（人）． （4）解：用“树状图”表示所有可能结果： 所有可能结果有16个，它们出现的可能性相等，两人选择同一类别书籍的结果有4个，所以（两人选择同一类别书籍）． 10．（2026·湖南衡阳·模拟预测）根据以下调查报告解决问题． 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 频数 3 24 18 12 9 9 15 合计 90 建议：…… （说明：以上仅展示部分报告内容）． (1)视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.9，这组数据的中位数是______； (2)视力低于5.0属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为多少人？ (3)视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，求恰好抽到两位男生的概率； (4)请为做好近视防控提一条合理的建议 【答案】(1)4.8 (2)500人 (3) (4)减少电子产品的使用时长；坚持做眼保健操（答案不唯一） 【分析】（1）根据中位数的确定方法进行计算即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （3）利用列表法进行求解即可； （4）根据要求，给出合理建议即可． 【详解】（1）解：将数据排序后，第5个数据为4.8， 故中位数为4.8； （2）解：（人）； 答：估计该校八年级右眼视力不良的学生约为500人； （3）解：由题意，列表如下： 男1 男2 女 男1 男1，男2 男1，女 男2 男2，男1 男2，女 女 女，男1 女，男2 共6种等可能的结果，其中恰好抽到两位男生的结果有2种， ∴； （4）解：减少电子产品的使用时长；坚持做眼保健操（答案不唯一，合理即可）． 1．（2026·湖南岳阳·一模）为提高同学们学习数学的兴趣，某校开展了数学文化知识竞赛．该校九年级、两个班各有学生人，九年级组计划从两个班中挑选一个班代表年级组参加学校的比赛，为了解这两个班学生对数学文化的关注程度，现对这两个班的学生进行相关测试，并各随机抽取名学生的成绩(满分：分)进行统计分析． 【数据收集】 九年级班：，，，，，，，，，； 九年级班：，，，，，，，，，． 【数据整理】 九年级班 九年级班 【数据分析】 平均数 中位数 众数 九年级班 九年级班 【数据应用】 (1)表中 ， ， ， ； (2)学校规定测试成绩在分及以上的学生为优秀，请估计九年级班名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数； (3)若在九年级选取一个班参加学校组织的比赛，根据统计数据，你建议选择班还是班，请说明理由． 【答案】(1)3，2，75，70 (2)20 (3)B班，理由见解析 【分析】（1）根据已知数据，结合中位数、众数的定义，即可求解； （2）根据样本估计总体，即可求解； （3）根据中位数和众数分析，即可求解． 【详解】（1）解：九年级A班成绩从小到大排序为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的成绩为 ， 共 人，即；出现3次，次数最多，故众数为70，即； 九年级B班成绩从小到大排序为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的成绩为75出现3次，故， B班共10个数据，因此中位数是第5和第6个数的平均值，故； （2）解：A班10人中，成绩在80分及以上的学生有4人 ∴（人） 答：估计九年级A班50名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数为20人； （3）解：选B班，理由如下： 两班平均数相同，但B班的中位数和众数均高于A班，说明B班的成绩中等水平更好，因此选择B班． 2．（2026·湖南娄底·一模）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式：电动自行车、私家车、公共交通、其他（自行车、步行等）和时段：、、、其他时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“私家车”所在扇形的圆心角度数为_________； (2)本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图； (3)若该校共有名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； (4)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 【答案】(1)； (2)，图见解析； (3)估计用私家车接送孩子的家长人数为人； (4)原因和建议见解析（答案不唯一，合理即可）． 【详解】（1）解：由题意得，私家车接送孩子的方式占比为， 扇形统计图中“私家车”所在扇形的圆心角度数为； （2）解：由题意得，选取了名接送孩子的家长，其中用电动自行车接送孩子的占比为， 本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有， 结合条形统计图可知，、及其他时段用电动自行车接送的家长分别为人、人、人， 则时段内用电动自行车接送的家长为，补全条形统计图如下： （3）解：由题意得，用私家车接送孩子的家长人数约为， 即估计用私家车接送孩子的家长人数为人； （4）解：由扇形统计图可知，用电动自行车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥堵；由条形统计图可知，在时间段内，接送孩子的电动自行车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥堵． 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动自行车或私家车接送孩子时避开时间段． 3．（2026·湖南常德·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】(1)，， (2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 (3)图见解析， 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【详解】（1）解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． （2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． （3）解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 4．（2026·湖南怀化·一模）我市某中学举行“法治进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题： (1)成绩为“B等级”的学生人数有______名，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为______°，图中的值为______； (3)学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生2名男生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率． 【答案】(1)5；图见解析 (2)72；40 (3) 【分析】（1）先根据“A等级”的人数及占比求出调查总人数，再减去已知各组人数即可求出成绩为“B等级”的学生人数； （2）根据“D等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C等级”的人数即可求出m的值； （3）根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：调查总人数为（名） 成绩为“B等级”的学生人数有（名） （2） 解：“D等级”的扇形的圆心角度数为 ∵， ∴； （3）解：根据题意画树状图如下： ∴P（女生被选中）． 5．（2026·湖南株洲·一模）年月日是第个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为分，最高分为满分分，对样本数据分成组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第组 第组 第组 第组 第组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1)________，________；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第________组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【答案】(1)，，图见解析 (2) (3)全校获得“护眼知识达人”的同学约有人 【分析】（1）根据第组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）利用全校人数乘以成绩不低于分的学生占比，即可求解． 【详解】（1）解：调查人数为（人）， ，， ，， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：，； （2）抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数，由（1）可知，第组有人，第组有人，第组有人，第组有人，前三组人数为人，前四组人数为人， 则中位数处于第组的分数段内， 故答案为：； （3）（人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有人． 6．（2026·湖南株洲·一模）如图，AB为⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，连接AC交⊙O于点D． （1）求证：∠DBC＝∠DAB； （2）若点E为的中点，连接BE交AD于点F，若BC＝6，sin∠ABD，求AF的长． 【答案】(1)详见解析;(2)3 【分析】（1）由切线的性质及圆周角定理可得结论； （2）先根据条件求出BD、CD长，求出cosC=，得CF=BC=6，求出AC长，再可求AF的长． 【详解】（1）证明：∵CB与⊙O相切于点B，AB为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠DBC＝90°． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∴∠ABD+∠DAB＝90°． ∴∠DBC＝∠DAB． （2）解：如图， ∵∠ABC＝∠ADB， ∴∠ABD+∠DBC＝∠C+∠DBC． ∴∠ABD＝∠C． ∵， ∴ ∵BC＝6， ∴． ∴DC＝4． ∴cosC， ∵∠DFB＝∠ABF+∠DAB，∠FBC＝∠DBF+∠DBC， 又∵点E为的中点， ∴AE＝DE， ∴∠DBF＝∠ABF． 由（1）得：∠DAB＝∠DBC， ∴∠DFB＝∠FBC． ∴CF＝BC＝6． ∵cosC， ∴AC＝9． ∴AF＝AC﹣CF＝9﹣6＝3． 7．（2026·湖南株洲·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的半圆O与边BC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E． (1)求证：点D是BC的中点； (2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (3)若⊙O的直径为18，BC=12，求DE的长． 【答案】(1)见解析 (2)DE与⊙O相切，证明见解析 (3)DE=4． 【分析】（1）如图，作辅助线，证明AD⊥BC，借助等腰三角形的性质，即可解决问题． （2）如图，作辅助线，要证明DE与⊙O相切，只要证明OD⊥DE；为此，首先证明OD∥AB，借助DE⊥AB，即可解决问题． （3）观察图形，可以发现△BDE∽△CAD；因此，首先求出AD的长度，运用相似三角形的判定及其性质，列出关于DE的比例式，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，连接AD， ∵AC为半圆O的直径， ∴∠ADC=90°，即AD⊥BC；而AB=AC， ∴BD=CD，即点D是BC的中点； （2）解：DE与⊙O相切．证明如下： 如图，连接OD； ∵OA=OC，BD=CD， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AB，而OD⊥AB， ∴OD⊥DE， ∴DE为⊙O的切线； （3）解：由（1）知：BD=CD=6； 由勾股定理得：AD2=182-62， ∴AD=12；而AB=AC， ∴∠B=∠C，而∠BED=∠CDA， ∴△BDE∽△CAD， ∴， 解得：DE=4． 8．（2026·湖南株洲·一模）某校随机抽取20名同学进行了一次体育测试，成绩如下： 31，32，33，36，37，   38，39，40，40，40， 42，43，46，46，48，   49，50，50，50，50． 整理数据： 成绩x/分 人数 3 4 a 8 等级 不合格 合格 良好 优秀 分析数据： 平均数 中位数 众数 42 b c (1)直接写出上述图表中a，b，c的值； (2)若从等级为“良好”的同学中随机抽取2人，求这两名同学的成绩都为40分的概率． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可得到结论； 画出树状图，根据树状图即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：设成绩为分的人用，，表示，成绩为分的用表示，成绩为分的用表示， 画树状图如下： 由树状图可得，共有种等可能结果，其中两名同学的成绩都为分的结果有种， 两名同学的成绩都为分的概率为． 9．（2026·湖南邵阳·一模）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若点B是的中点，且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是解题的关键： （1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，等边对等角，得到，结合，推出，即可得证； （2）根据线段之间的数量关系求出，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ，即， ． 为的半径， 是的切线． （2）解：点B是的中点， ． ， ． ， ． 又， ． ． 在中． ． 即半径为． 10．（2026·湖南邵阳·一模）在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26． 乙基地水体的值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21． 【整理数据】 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)填空：______，______； (3)请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由； (4)已知两基地对水体值的日变化量（值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)甲基地水体的值更稳定，理由见详解； (4)甲符合要求，乙不符合要求． 【分析】本题考查了直方图与统计表，中位数及众数，方差等知识点． （1）先求得a的值，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数及众数的定义求解即可； （3）根据方差的意义求解即可； （4）计算值最大值与最小值的差即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 补全频数分布直方图如图； ； （2）解：甲基地水体的值数据中，7.67出现了4次，出现次数最多， 则； 乙基地水体的值数据中，由小到大排列中间两个数为7.77和7.81： 则； 故答案为：；； （3）解：∵甲的方差为0.10，乙的方差为0.13，， ∴甲基地水体的值更稳定； （4）解：甲基地对水体值的日变化量：， 乙基地对水体值的日变化量：， ∴该日两基地的值甲符合要求，乙不符合要求． 11．（2026·湖南·模拟预测）长沙市及其周边有着丰富的旅游资源，学校决定利用一天时间到长沙市进行秋季研学，学校随机对部分同学进行了“你最想去的研学景点”问卷调查．设置了如下5个选项：．岳麓山；．橘子洲头；．长沙世界之窗；．湖南省博物馆；．湖南第一师范大学．学校制定了如下游玩计划：上午从2个自然景点中随机选取一个参观，下午再从3个人文景点中随机选取一个去参观．通过调查得到下列不完整的统计图，请结合统计图，回答下列问题． (1)请求出本次调查总人数，并补全条形统计图； (2)所对应的圆心角度数为______； (3)用树状图或表格求学校恰好选“橘子洲头”和“湖南省博物馆”的概率． 【答案】(1)人，见解析 (2) (3) 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次调查总人数；求出选择景点的人数，补全条形统计图即可． （2）用乘以的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及学校恰好选“橘子洲头”和“湖南省博物馆”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：总人数：人， 项所占人数为：（人）， 如图补全， （2）解：， 故答案为：． （3）解：树状图如下： 故选中、的概率为． 12．（2026·湖南·模拟预测）如图，在矩形中，过矩形的对角线中点作，分别交，于，点． (1)连接，，求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，30度角的直角三角形，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据矩形的性质得，则，又因为点是对角线的中点，故，再证明，则，证明四边形为平行四边形，结合，得出平行四边形为菱形． （2）由（1）得平行四边形为菱形．在中，设，则，根据线段的和关系得，进而求出，根据菱形的四边相等求出菱形的周长，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴， ， 点是对角线的中点， ， 在与中， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又， 平行四边形为菱形． （2）解：由（1）得平行四边形为菱形． ∴， ， ，， 中，设， 则， ，， 得， ∴， 菱形的周长为． 13．（2026·湖南张家界·一模）如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形得到，再由互余关系得到，再由垂直得到，即可证明； （2）先由勾股定理求解．连接，，求出，再由全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ，， ． 又， ． 在中，， ． 在和中， ． （2）解：正方形的边长为6，，， ． 连接， ∴． ， ， 解得． 由（1）得， ． 14．（2026·湖南张家界·一模）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩 （1）本次调查一共随机抽取了_________名学生的成绩，频数分布直方图中__________； （2）补全学生成绩频数分布直方图； （3）所抽取学生成绩的中位数落在________等级； （4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人? 【答案】（1）200，16；（2）见解析；（3）；（4）940人 【分析】（1）B等级人数40人÷B等级的百分比为20%， 利用抽查人数-其它各组人数即可； （2） C等级200×25%=50人，m=16即可补全频率分布直方图： （3）根据中位数定义即可求即； （4）成绩80分以上的在D、E两等级中人数占抽样的百分比47%乘以学生总数即可． 【详解】解：（1）B等级人数40人，由扇形图可知B等级的百分比为20%， ∴本次调查一共随机抽取了40÷20%=200名学生的成绩，C等级200×25%=50人 ∴m=200-40-50-70-24=16 故答案为：200，16； （2） C等级200×25%=50人，m=16, 补全频率分布直方图如图所示： （3）频率分布直方图已将数据从小到大排序，一共抽查200个数据，根据中位数定义中位数位于第100，101两位置上成绩的平均数，16+40=56100，16+40+50=106101, ∴中位数在等级内； 故答案为：C （4）成绩80分以上的在D、E两等级中人数为：70+24=94人，占抽样的百分比为94÷200×100%=47%， 全校共有2000名学生，成绩优秀的学生有（人）． 答：全校2000名学生中，估计成绩优秀的学生有940人． 15．（2026·湖南长沙·一模）如图，是的一条弦，点是外一点，，交于点、交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据等边对等角得，根据垂直的定义得，即，则是的切线； （2）根据三角形的内角和定理得到，推出，从而求得，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 又是半径， 与相切； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押05 湖南中考数学19~20题（解答题） 考点1 图形的性质 1．（2026·湖南张家界·一模）如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，说明四边形为菱形． 2．（2026·湖南永州·一模）如图，在平行四边形中，，点O是的中点，过点O的直线分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．（2026·湖南·模拟预测）已知平行四边形中，对角线相交于点． (1)如图1，若，求的长： (2)如图2，过点作于点，连接，过点作交于点，求证：． 4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，是的直径，是的切线，切点为C，，垂足为E，连接. （1）求证：平分； （2）若，，求的长. 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）数学课上，张老师用无刻度的直尺和圆规按照教材完成角平分线的作法，痕迹如图所示，在中： (1)连接，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是_____（填序号）． ①      ②      ③     ④ (2)若，的面积为，过点作于点，求的长． 6．（2026·湖南邵阳·二模）如图，在菱形中，点分别是边上的一点，且与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 7．（2026·湖南岳阳·一模）如图，已知为的直径，是弦，点D为半径的延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长度（结果保留）． 8．（2026·湖南湘潭·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 9．（2026·湖南湘西·一模）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 10．（2026·湖南衡阳·一模）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 考点2 统计与概率 1．（2026·湖南衡阳·一模）我县某中学举行“宪法学习”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题． (1)参加竞赛的学生人数有______； (2)在扇形统计图中，表示“B等级”的扇形的圆心角度数为__________，图中的值为__________； (3)学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中间选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出刚好选中一名男生和一名女生的概率． 2．（2026·湖南长沙·二模）为了培养学生的晨读习惯，某校在寒假期间开展了“我爱晨读”的活动，开学后随机抽取了90名学生，对他们平均每天的晨读时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行收集、整理和描述，下列是其中的部分信息： 信息一：90名学生平均每天的晨读时长（单位：min）的频数分布表： 分组 合计 频数 9 12 a 24 b 9 90 信息二：90名学生平均每天的晨读时长（单位：min）的频数分布直方图： 根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布表中的组距是____，b=_____； (2)求a的值； (3)补全频数分布直方图； (4)该校决定将平均每天的晨读时长达到40分钟及以上的学生评为“晨读之星”．若该校有1200名学生，估计获得该称号的学生有多少名？ 3．（2026·湖南湘潭·一模）生命至上，安全第一，教育部要求各中小学校在春季开学后进行安全教育，并组织观看“春季开学安全第一课”的视频．某校春季开学后广泛开展安全教育，并组织七、八年级全体学生进行了一次安全知识竞赛初赛（百分制）．现分别从两个年级中各随机抽取15名学生的竞赛初赛成绩，并进行整理与分析： 【收集数据】七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70 八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89 【整理数据】 成绩年级 A B C D 七年级 2 5 4 4 八年级 1 6 【分析数据】 两组数据的平均数、位数、众数、方差统计表 统计量年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 87 92.13 八年级 86 87 79.73 【问题解决】根据以上信息解决下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)请计算八年级扇形统计图中B组所在扇形的圆心角的度数； (3)该校七年级共有420名学生参加此次知识竞赛初赛，如果初赛成绩不低于85分即可参加安全知识竞赛复赛，请估计七年级可参加复赛的学生人数． (4)根据以上数据信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛初赛成绩更优？请说明理由（写出一条理由即可）． 4．（2026·湖南·模拟预测）李老师为了了解班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对九（1）班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C；一般；D：较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，李老师一共调查了　 　名同学，其中女生共有　 　名． （2）将上面的条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请求所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 5．（2026·湖南张家界·一模）某校为落实“双减”工作，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术：D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 　 根据图中信息，解答下列问题： (1)①此次调查一共随机抽取了______名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角______度： (2)若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数． 6．（2026·湖南永州·一模）为准备中考体育测试，某校九年级开展跳绳（A）、跑步（B）、排球（C）、立定跳远（D）、实心球（E）五种体育社团活动．为了解学生意向，随机抽取了部分九年级学生进行社团项目意向问卷调查，被抽取的学生每人只能从5种社团活动中选择其中一种，且每个学生都要选．现根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图： 意向项目与人数的条形统计图    意向项目与人数的扇形统计图 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次被抽取的九年级学生人数为______人，请直接补全条形统计图； (2)在扇形统计图中表示愿意参加“实心球（E）”社团的圆心角的度数为______； (3)若该校九年级人数为1500人，根据本次调查情况，请估计该校九年级有意参加“排球（C）”社团的人数． 7．（2026·湖南·模拟预测）为了解长沙市九年级学生每周校外锻炼身体的时长（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分九年级学生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)这次抽样调查的总人数是_____，扇形统计图中_____，A组所在扇形的圆心角的大小是_____； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若长沙市共约有7万名九年级学生，请你估计全市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的九年级学生人数． 8．（2026·湖南长沙·模拟预测）四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传诵．学校开展读书节，为了解学生对这四部名著的喜好进行了抽样调查（A．西游记，B．三国演义，C．水浒传，D．红楼梦）．某班随机抽取部分学生进行调查后，王老师将自己班调查数据进行整理并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共抽取学生_____人，补全条形统计图； (2)扇形统计图中类别D所对应的圆心角的度数为_____； (3)该校共有2000名学生，请你估计该校有多少名学生选择《水浒传》； (4)为了交流读书心得，王老师从被调查的类别B和类别D的学生中分别选取一名学生参与活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 9．（2026·湖南邵阳·二模）为推广邵阳市“书香宝庆·校长喊你来阅读”活动，某校开展“书香润校园，阅读伴成长”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：文学经典类，B：科普读物类，C：历史社科类，D：其他类）．该校某数学兴趣小组随机抽取部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图1，图2，如图所示． 根据以上信息，解答下列问题： (1)该校此次被调查的学生总人数为_______人，其中最喜欢阅读C“历史社科类”书籍的学生人数为_______人； (2)在图2中，A“文学经典类”所对应的圆心角度数是________度； (3)若该校有3000名学生，请你估计最喜欢阅读B“科普读物类”书籍的学生人数约为_______人； (4)该数学兴趣小组中，甲、乙两名同学从这四类书籍中任选一类进行阅读，请用列表法或者树状图法求此两人恰好选择同一类别书籍的概率． 10．（2026·湖南衡阳·模拟预测）根据以下调查报告解决问题． 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 频数 3 24 18 12 9 9 15 合计 90 建议：…… （说明：以上仅展示部分报告内容）． (1)视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.9，这组数据的中位数是______； (2)视力低于5.0属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为多少人？ (3)视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，求恰好抽到两位男生的概率； (4)请为做好近视防控提一条合理的建议 1．（2026·湖南岳阳·一模）为提高同学们学习数学的兴趣，某校开展了数学文化知识竞赛．该校九年级、两个班各有学生人，九年级组计划从两个班中挑选一个班代表年级组参加学校的比赛，为了解这两个班学生对数学文化的关注程度，现对这两个班的学生进行相关测试，并各随机抽取名学生的成绩(满分：分)进行统计分析． 【数据收集】 九年级班：，，，，，，，，，； 九年级班：，，，，，，，，，． 【数据整理】 九年级班 九年级班 【数据分析】 平均数 中位数 众数 九年级班 九年级班 【数据应用】 (1)表中 ， ， ， ； (2)学校规定测试成绩在分及以上的学生为优秀，请估计九年级班名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数； (3)若在九年级选取一个班参加学校组织的比赛，根据统计数据，你建议选择班还是班，请说明理由． 2．（2026·湖南娄底·一模）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式：电动自行车、私家车、公共交通、其他（自行车、步行等）和时段：、、、其他时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“私家车”所在扇形的圆心角度数为_________； (2)本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图； (3)若该校共有名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； (4)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 3．（2026·湖南常德·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 4．（2026·湖南怀化·一模）我市某中学举行“法治进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题： (1)成绩为“B等级”的学生人数有______名，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为______°，图中的值为______； (3)学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生2名男生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率． 5．（2026·湖南株洲·一模）年月日是第个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为分，最高分为满分分，对样本数据分成组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第组 第组 第组 第组 第组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1)________，________；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第________组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 6．（2026·湖南株洲·一模）如图，AB为⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，连接AC交⊙O于点D． （1）求证：∠DBC＝∠DAB； （2）若点E为的中点，连接BE交AD于点F，若BC＝6，sin∠ABD，求AF的长． 7．（2026·湖南株洲·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的半圆O与边BC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E． (1)求证：点D是BC的中点； (2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (3)若⊙O的直径为18，BC=12，求DE的长． 8．（2026·湖南株洲·一模）某校随机抽取20名同学进行了一次体育测试，成绩如下： 31，32，33，36，37，   38，39，40，40，40， 42，43，46，46，48，   49，50，50，50，50． 整理数据： 成绩x/分 人数 3 4 a 8 等级 不合格 合格 良好 优秀 分析数据： 平均数 中位数 众数 42 b c (1)直接写出上述图表中a，b，c的值； (2)若从等级为“良好”的同学中随机抽取2人，求这两名同学的成绩都为40分的概率． 9．（2026·湖南邵阳·一模）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若点B是的中点，且，求的半径． 10．（2026·湖南邵阳·一模）在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26． 乙基地水体的值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21． 【整理数据】 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)填空：______，______； (3)请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由； (4)已知两基地对水体值的日变化量（值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求． 11．（2026·湖南·模拟预测）长沙市及其周边有着丰富的旅游资源，学校决定利用一天时间到长沙市进行秋季研学，学校随机对部分同学进行了“你最想去的研学景点”问卷调查．设置了如下5个选项：．岳麓山；．橘子洲头；．长沙世界之窗；．湖南省博物馆；．湖南第一师范大学．学校制定了如下游玩计划：上午从2个自然景点中随机选取一个参观，下午再从3个人文景点中随机选取一个去参观．通过调查得到下列不完整的统计图，请结合统计图，回答下列问题． (1)请求出本次调查总人数，并补全条形统计图； (2)所对应的圆心角度数为______； (3)用树状图或表格求学校恰好选“橘子洲头”和“湖南省博物馆”的概率． 12．（2026·湖南·模拟预测）如图，在矩形中，过矩形的对角线中点作，分别交，于，点． (1)连接，，求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的周长． 13．（2026·湖南张家界·一模）如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 14．（2026·湖南张家界·一模）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩 （1）本次调查一共随机抽取了_________名学生的成绩，频数分布直方图中__________； （2）补全学生成绩频数分布直方图； （3）所抽取学生成绩的中位数落在________等级； （4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人? 15．（2026·湖南长沙·一模）如图，是的一条弦，点是外一点，，交于点、交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $