题号猜押06 湖南中考数学21～22题（解答题）（湖南专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦湖南中考21~22题解答题，以方程与不等式应用、解直角三角形应用为核心，通过20道模拟题构建实际问题数学化的解题逻辑 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方程与不等式的应用|10题（含销售利润、采购费用等）|实际场景中的量关系问题，涉及二元方程组求解与不等式最值|从实际问题抽象等量关系→建立方程模型→用不等式解决优化问题，体现模型意识| |解直角三角形的应用|10题（含测量高度、距离等）|结合仰角俯角、坡角的几何测量问题|构建直角三角形模型→运用三角函数关系→求解未知量，发展几何直观与应用意识|

题号猜押06 湖南中考数学21~22题（解答题） 考点1 方程与不等式的应用 1．（2026·湖南张家界·一模）2025年贺岁片《哪吒2・魔童闹海》通过一个热血激昂的神话故事，向观众传递出积极向上、永不言败的价值观，是中国动画电影走向世界的标杆．某商店销售，两款哪吒变脸摆件，每件款摆件的利润比每件款摆件的利润多2元，销售20件款摆件和销售30件款摆件的利润是440元． (1)求，两款摆件每个的利润分别是多少？ (2)若该商店计划购进，两款摆件共200个进行销售，且款摆件的数量不超过款摆件数量的，商店购进，两款摆件各多少个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润？最大利润是多少？ 2．（2026·湖南永州·一模）“湘超”及“”群众足球赛期间，江苏和黄石的企业主动助力永州特色农产品销售．其中甲企业购买了200箱道县脐橙和100袋江永香柚共花费16000元；乙企业购买100箱脐橙和300袋香柚共花费23000元． (1)每箱脐橙和每袋香柚分别需要多少钱？ (2)丙企业准备购买脐橙和香柚共500箱（袋），总费用不超过26000元，最多可购买香柚多少袋？ 3．（2026·湖南·模拟预测）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩． (1)块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ (2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？ 4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）交警部门提醒市民：出门戴头盔，放心平安归！某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出320个，六月份售出500个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔的销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为550个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个，现在既要使月销售利润达到7500元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）受到“湘超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，学校决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． (1)篮球、足球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半，为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 6．（2026·湖南邵阳·二模）某商场计划在五一期间采购A，B两款礼盒回馈顾客，已知购买1盒款礼盒和1盒款礼盒共需150元；购买2盒款礼盒与1盒款礼盒共需230元． (1)求款礼盒和款礼盒的单价； (2)若该商场计划采购A，B两款礼盒共25盒，且总费用不超过1900元，则最多可以采购款礼盒多少盒？ 7．（2026·湖南衡阳·模拟预测）某中学为改善教学条件，计划采购一批智慧教学设备，有A、B两种型号的智能交互一体机可供选择．已知购买2台A型一体机和1台B型一体机共需20000元，购买3台A型一体机和2台B型一体机共需34000元 (1)求A型一体机和B型一体机的单价各是多少元； (2)根据教学需求，该校计划采购A型和B型一体机共20台，且总预算不超过144000元，问最多可购买B型一体机多少台？ 8．（2026·湖南岳阳·一模）为办好2026跨年音乐节无人机表演，计划租赁一批A型、B型无人机．已知单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元，且用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同． (1)设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则用4800元租赁B型无人机的数量为 架（用含x的式子表示）； (2)求一架A型无人机和一架B型无人机的单场租赁费用分别是多少元？ 9．（2026·湖南娄底·一模）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知1只甲型玩偶和2只乙型玩偶的价格为160元，2只甲型玩偶和3只乙型玩偶价格为260元． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 10．（2026·湖南常德·一模）根据如下素材，完成探索任务． 背景 快递公司为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材1 买1台A型机器人，3台B型机器人，共需260万元； 买3台A型机器人，2台B型机器人，共需360万元．    素材2 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件 素材3 用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台． 解决问题 任务1 求A、B两种型号智能机器人的单价； 任务2 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 考点2 解直角三角形的应用 1．（2026·湖南张家界·一模）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．打开后备厢如图，车后盖落在处，与水平面的夹角．     (1)求汽车底盘的高度，即点C到的距离； (2)求打开后备厢后，车后盖最高点到地面的高度． 2．（2026·湖南永州·一模）永州迴龙塔位于潇水东岸，是一座明代楼阁式砖塔．为了测量塔高，某数学兴趣小组按如下步骤进行实践测量活动，如图： 步骤一：在C处用测角仪测得塔尖点A的仰角为； 步骤二：再向前走到达D处，此时测得塔尖点A的仰角为． 已知C，D，B三点在同一水平直线上，测角仪的高度为，根据测量数据计算迴龙塔的高度．（结果保留整数） （参考数据：，，，，，） 3．（2026·湖南·模拟预测）为推进“数字乡村”建设，某村计划在山坡上修建灌溉水库，需测算山坡高度以确定水库容量．在技术人员指导下，利用无人机、测角仪等设备开展测量活动． 活动主题 测算山坡的高度（助力灌溉水库建设） 测量工具 无人机、秒表、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点，其示意图如下：    测绘过程与数据信息 ①在山脚A处测出山顶B的仰角，山坡的坡角；②用无人机测得从点沿着山坡前进到达处；③在处测出山顶的仰角．注：图中所有点均在同一平面内．（参考数据：， ） 请根据上面提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求坡面的水平距离和垂直距离； (2)求山的高． 4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，某景区内，游客在山脚平地C处测得悬崖观光电梯顶端A的仰角为，沿登山步道向上走到D处测得电梯顶端A的仰角为．已知山脚到电梯底部的水平距离等于50米，山坡坡度为． (1)求悬崖观光电梯的高度； (2)求此人所在位置点的垂直高度（结果保留一位小数，参考数据：）． 5．（2026·湖南岳阳·一模）为防治白蚁，保护古树，如图所示，园艺技术人员在古树两侧的水平地面上，于B，D两处使用专业检测工具，精准定位古树根部区域的白蚁窝P，检测线与相交于白蚁窝P．已知，检测线，与水平地面的夹角分别为，． (1)两次检测定位时，两条检测线形成的夹角的度数是多少？ (2)为了制定科学的除害方案，最大限度避免伤及古树根系，求白蚁窝P距离地面的深度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 6．（2026·湖南娄底·一模）综合实践小组的同学在老师的指导下，利用课余时间围绕塔高的测量与计算开展项目学习活动． 活动主题 塔高的测量与计算 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型 抽象 塔前有一座观景台，其纵侧面示意图如下：    测绘过程与数据信息 ①点，，在同一条直线上； ②测得； ③在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． ④用计算器计算得：． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求线段的长（结果保留根号）； (2)求塔的高度结果取整数)． 7．（2026·湖南常德·一模）一台笔记本电脑放置在水平的桌面上，其示意图如图1所示，，；使用时，为了加强笔记本散热，底板下面需垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，其示意图如图2所示．已知、、C三点在同一直线上，且，． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部的竖直高度比原来升高了多少？ （参考数据：取，取，取，取） 8．（2026·湖南湘潭·一模）幸福小区为加强安全管理，在地下停车场出入口处安装了汽车出入道闸．如图1，、为垂直于地面的道闸两边立柱，道闸关闭时，四边形为矩形，长3米，长米，点距地面的距离为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，连杆上一点到地面的距离为米，求此时点到立柱的距离的长． (2)若某小轿车安全通过该道闸时，需宽度不能小于米，同时高度不能低于米．当道闸打开至时，该小轿车能否安全通过该道闸？请说明理由．（参考数据：，，） 9．（2026·湖南湘西·一模）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶处的仰角为30°，在平地上处观测到楼顶处的仰角为，并测得A、两处相距，求“一心阁”的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，） 10．（2026·湖南长沙·二模）材料阅读： 光从空气斜射入某种玻璃中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入某种玻璃时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为某种玻璃、一束光线从点P射向玻璃上的点O，折射后照到玻璃底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的大小； (2)求的长． 1．（2026·湖南长沙·二模）年春节期间，电影《飞驰人生》的热播带动了一批汽车模型的销售．某商家推出，两种赛车模型，已知每个种赛车模型的进价比种赛车模型贵元，用元购进种赛车模型和用元购进种赛车模型的数量相同． (1)，两种赛车模型每个的进价分别是多少？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进，两种赛车模型共个，那么最多能购进种赛车模型多少个？ 2．（2026·湖南衡阳·一模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元． (1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元： (2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 3．（2026·湖南衡阳·一模）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 4．（2026·湖南郴州·一模）马年春晚一系列机器人表演，展示了中国的科技实力．已知购买1台入门级人形机器人和2台商用级人形机器人共需18万元，购买3台入门级人形机器人和4台商用级人形机器人共需38万元． (1)求入门级人形机器人和商用级人形机器人的单价分别是多少万元； (2)某公司计划购买入门级人形机器人和商用级人形机器人共30台，总费用不超过120万元，问最多可以购买商用级人形机器人多少台？ 5．（2026·湖南郴州·一模）某数学学习小组测量某块巨型显示屏，设计如下测量方案： 活动主题 测算巨型显示屏的高度与长度 测量工具 皮尺、测角仪、无人机、计算器等 活动过程 模型抽象 矩形显示屏的边与地面垂直，其示意图如下：    测绘过程 ①测得支柱米，找到垂直于地面的垂足点P； ②在显示屏外取一点E，使得点E，P，M在同一条直线上，测米； ③无人机在点E处，以2米/秒的速度竖直向上飞行14秒至点F停止； ④在点F处测得显示屏顶点C的俯角，测得显示屏顶点D的俯角． 参考数据 ，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求显示屏的高度； (2)求显示屏的长度（结果精确到）． 6．（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 7．（2026·湖南娄底·一模）如图1，某仓库有一传送带运输货柜，为水平地面，为斜坡上的传送带，．在距离（长为4米）的正上方米处，有一限高装置．棱长为2米的正方体货柜（其侧面是正方形）的底面在传送带上，从起点A出发，传送到地面点B处． (1)判断正方体货柜能否通过限高装置，并说明理由． (2)如图2，因特殊要求，需在货物底端放置一块如图3所示的直三棱柱式楔子，使得正方体货柜在传送带的运输过程中与水平地面保持平行．已知直三棱柱式楔子的一个底面为，且．楔子的侧面与正方体货物的底面全等重合，侧面与传送带重合．判断此时正方体货柜能否通过限高装置，并求直三棱柱式楔子的侧面积（不包含前、后两个底面，结果保留两小数）． （参考数据：，，） 8．（2026·湖南岳阳·一模）学校计划在科技节举办模型展示活动，准备采购两种科技模型：“智能小车”模型和“简易飞机”模型．“智能小车”模型每套99元，“简易飞机”模型每套29元，这两种模型均需购买，用于学生分组实践与展示． (1)若学校计划购买这两种模型共200套，采购总费用恰好为9300元．请问“智能小车”模型和“简易飞机”模型各购买了多少套？ (2)若学校采购这两种模型的总预算资金只有8000元，且仍需购买200套模型．那么，在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型多少套？ 9．（2026·湖南岳阳·一模）跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”．如图，拉皮筋的两人位置为、，跳皮筋孩子脚踩位置为点，点、、在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度米．（，垂直地面）若，．，最后结果保留到）    (1)求拉皮筋的两个孩子之间的距离； (2)当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了多少米． 10．（2026·湖南株洲·一模）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购型和型机器人共15台，且总费用不超过1000万元．最多能买型机器人多少台？ 11．（2026·湖南株洲·一模）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） (1)求直吊臂的长； (2)如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 12．（2026·湖南株洲·一模）交警通常通过限速来降低交通事故发生的概率，而测速摄像头主要通过读取汽车的车牌来识别车辆身份．如图，某条笔直的公路限速，在公路上方高的位置A处有一个摄像头，第一次识别到B处一辆汽车，俯角为，后在C处再次识别到这辆车，俯角为，已知此车辆车牌位于地面高的位置，请判断这辆汽车是否超速，并说明理由．（参考数据：，，，，，） 13．（2026·湖南株洲·一模）为深入贯彻落实党中央、国务院决策部署，大力提振消费，国家颁布了《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》（简称“国补”），对空调在内的多种家电产品给予补贴，对空调的补贴的具体标准为一级能效产品补贴售价的，二级能效产品补贴售价的．据了解，某品牌每台一级能效的空调售价比每台二级能效的空调贵1000元，在领取“国补”后，一台一级能效的空调比一台二级能效的空调只贵600元． (1)该品牌一级、二级能效的空调每台的售价分别为多少元？ (2)售货员介绍，同等条件下，该品牌的一级能效空调每天比二级能效空调少耗电度．电价大约为元/度，按每年使用空调180天算，算上空调本身的价格（国补后的），请问最少几年后使用一级能效的空调会更划算？（结果取整数） 14．（2026·湖南怀化·一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际操作中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离；（结果保留根号） (2)在一次操作中，上臂与中臂的夹角为，如图③，此时点A与点C到地面的距离相等，求两点之间的距离．（结果保留根号） 15．（2026·湖南怀化·一模）阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架，其中甲型无人机万元／架，乙型无人机万元／架． 问题解决： (1)甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ (2)若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押06 湖南中考数学21~22题（解答题） 考点1 方程与不等式的应用 1．（2026·湖南张家界·一模）2025年贺岁片《哪吒2・魔童闹海》通过一个热血激昂的神话故事，向观众传递出积极向上、永不言败的价值观，是中国动画电影走向世界的标杆．某商店销售，两款哪吒变脸摆件，每件款摆件的利润比每件款摆件的利润多2元，销售20件款摆件和销售30件款摆件的利润是440元． (1)求，两款摆件每个的利润分别是多少？ (2)若该商店计划购进，两款摆件共200个进行销售，且款摆件的数量不超过款摆件数量的，商店购进，两款摆件各多少个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)每件款摆件的利润为8元，每件款摆件的利润10元 (2)商店购进款摆件80个，购进款摆件120个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润，最大利润是1760元 【分析】本题考查了一次函数，一元一次方程，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每件款摆件的利润为元，则每件款摆件的利润元，根据“销售20件款摆件和销售30件款摆件的利润是440元”建立一元一次方程求解； （2）设商店购进款摆件个，则购进款摆件个，由“款摆件的数量不超过款摆件数量的”建立不等式求出的取值范围，再设利润为元，求出关于的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件款摆件的利润为元，则每件款摆件的利润元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：每件款摆件的利润为8元，每件款摆件的利润10元； （2）解：设商店购进款摆件个，则购进款摆件个， 由题意得：， 解得：， 设利润为元，则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，利润最大为：（元）， 此时（个）， 答：商店购进款摆件80个，购进款摆件120个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润，最大利润是1760元． 2．（2026·湖南永州·一模）“湘超”及“”群众足球赛期间，江苏和黄石的企业主动助力永州特色农产品销售．其中甲企业购买了200箱道县脐橙和100袋江永香柚共花费16000元；乙企业购买100箱脐橙和300袋香柚共花费23000元． (1)每箱脐橙和每袋香柚分别需要多少钱？ (2)丙企业准备购买脐橙和香柚共500箱（袋），总费用不超过26000元，最多可购买香柚多少袋？ 【答案】(1)每箱脐橙50元，每袋香柚60元 (2)最多可购买香柚100袋 【分析】（1）根据两个企业的购买总花费，设出单价未知数后列出二元一次方程组求解即可得到单价； （2）根据总费用不超过26000元的限制，设出香柚购买量后列出一元一次不等式求解，取符合条件的最大整数得到结果． 【详解】（1）解：设每箱脐橙需要元，每袋香柚需要元， 根据题意得， 化简得， 解得， 答：每箱脐橙50元，每袋香柚60元； （2）解：设可购买香柚袋，则购买脐橙箱， 根据题意得， 解得， 即最多可购买香柚100袋． 3．（2026·湖南·模拟预测）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩． (1)块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ (2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？ 【答案】(1)普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克． (2)至少把B块试验田改亩种植杂交水稻． 【分析】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数=总产量÷亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量； （2）设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，利用总产量=亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设普通水稻亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克， 依题意得：， 解得：； 经检验，x=600是原方程的解，且符合题意， ∴2x=2×600=1200． 答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克． （2）解：设把B块试验田改y亩种植杂交水稻， 依题意得：9600+600（）+1200y≥17700， 解得：． 答：至少把B块试验田改亩种植杂交水稻． 4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）交警部门提醒市民：出门戴头盔，放心平安归！某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出320个，六月份售出500个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔的销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为550个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个，现在既要使月销售利润达到7500元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔的销售量的月增长率为，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到7500元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔的销售量的月增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔的销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个应涨价元， 根据题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）受到“湘超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，学校决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． (1)篮球、足球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半，为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 【答案】(1)篮球的单价是110元，足球的单价是80元 (2)应购买34个篮球、66个足球 【分析】（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组并求解即可得出的答案． （2）买个篮球，则购买个足球，根据购买篮球的数量不少于足球数量的一半得出m的取值范围，设购买篮球和足球的总费用为元，则，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价是元，足球的单价是元， 根据题意得 解得 答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元． （2）解：买个篮球，则购买个足球， 根据题意得， 解得． 设购买篮球和足球的总费用为元，则， 即， ， 随着的增大而增大， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时． 答：为使购买的总费用最小，那么应购买34个篮球、66个足球． 6．（2026·湖南邵阳·二模）某商场计划在五一期间采购A，B两款礼盒回馈顾客，已知购买1盒款礼盒和1盒款礼盒共需150元；购买2盒款礼盒与1盒款礼盒共需230元． (1)求款礼盒和款礼盒的单价； (2)若该商场计划采购A，B两款礼盒共25盒，且总费用不超过1900元，则最多可以采购款礼盒多少盒？ 【答案】(1)款礼盒单价为80元／盒，款礼盒的单价为70元／盒 (2)最多可以采购款礼盒15盒 【分析】（1）设款礼盒单价为元／盒，款礼盒的单价为元／盒，根据题意列出方程即可解决问题； （2）设采购款礼盒盒，则款礼盒盒，根据题意列不等式即可解决问题． 【详解】（1）解：设款礼盒单价为元／盒，款礼盒的单价为元／盒，根据题意得： ， 解得， 答：款礼盒单价为80元／盒，款礼盒的单价为70元／盒． （2）解：设采购款礼盒盒，则款礼盒盒，根据题意得： ， 解得：， 答：最多可以采购款礼盒15盒． 7．（2026·湖南衡阳·模拟预测）某中学为改善教学条件，计划采购一批智慧教学设备，有A、B两种型号的智能交互一体机可供选择．已知购买2台A型一体机和1台B型一体机共需20000元，购买3台A型一体机和2台B型一体机共需34000元 (1)求A型一体机和B型一体机的单价各是多少元； (2)根据教学需求，该校计划采购A型和B型一体机共20台，且总预算不超过144000元，问最多可购买B型一体机多少台？ 【答案】(1)A型一体机单价为6000元，B型一体机单价为8000元； (2)最多可购买B型一体机12台． 【分析】（1）设A型一体机的单价是元，B型一体机的单价是元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购进B型一体机台，则购进A型一体机台，根据题意列出不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A型一体机的单价是元，B型一体机的单价是元， 依题意，得：， 解得：． 答：A型一体机单价为6000元，B型一体机单价为8000元； （2）解：设购进B型一体机台，则购进A型一体机台， 依题意，得：， 解得：． 为整数， 的最大值为12． 答：最多可购买B型一体机12台． 8．（2026·湖南岳阳·一模）为办好2026跨年音乐节无人机表演，计划租赁一批A型、B型无人机．已知单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元，且用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同． (1)设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则用4800元租赁B型无人机的数量为 架（用含x的式子表示）； (2)求一架A型无人机和一架B型无人机的单场租赁费用分别是多少元？ 【答案】(1) (2)一架A型无人机单场租赁费用为240元，一架B型无人机单场租赁费用为160元 【分析】（1）先表示出一架B型无人机的单价，再用总金额除以单价等于数量表示即可； （2）根据题意列出分式方程，求出解，并检验得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知租赁一架B型无人机元， ∴用4800元租赁B型无人机的数量为架； （2）解：根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴， 所以一架A型无人机单场租赁费用为240元，一架B型无人机单场租赁费用为160元． 9．（2026·湖南娄底·一模）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知1只甲型玩偶和2只乙型玩偶的价格为160元，2只甲型玩偶和3只乙型玩偶价格为260元． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】(1)甲型号玩偶单价为40元，乙型号玩偶单价为60元 (2)最多可以采购30个乙型玩偶 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用等知识，理解题意正确列方程组和不等式是解题关键． （1）设甲型号玩偶单价为元，乙型号玩偶单价为元，根据“1只甲型玩偶和2只乙型玩偶的价格为160元，2只甲型玩偶和3只乙型玩偶价格为260元”，列方程组求解即可； （2）设采购个乙型玩偶，根据“总费用不超过3000元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解∶设甲型号玩偶单价为元，乙型号玩偶单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：甲型号玩偶单价为40元，乙型号玩偶单价为60元； （2）解：设采购个乙型玩偶， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以采购30个乙型玩偶． 10．（2026·湖南常德·一模）根据如下素材，完成探索任务． 背景 快递公司为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材1 买1台A型机器人，3台B型机器人，共需260万元； 买3台A型机器人，2台B型机器人，共需360万元．    素材2 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件 素材3 用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台． 解决问题 任务1 求A、B两种型号智能机器人的单价； 任务2 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】任务1：A型80万元，B型60万元；任务2：买5台A型，5台B型 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，不等式的实际应用，熟练根据题意正确列出等式、式子、不等式是解题的关键． 任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，利用“买台型机器人，台型机器人，共需万元”和“买台型机器人，台型机器人，共需万元”列式求解即可； 任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台，列出关于的一次函数，再利用“用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台”列出不等式，求出的范围，最后利用一次函数的性质即可求解． 【详解】解：任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元； 任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台， 根据题意得：， ∵， 解得：， ∴， ∵，， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值（万件）， （台）, 即购买型号智能机器人台，购买型号智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多 考点2 解直角三角形的应用 1．（2026·湖南张家界·一模）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．打开后备厢如图，车后盖落在处，与水平面的夹角．     (1)求汽车底盘的高度，即点C到的距离； (2)求打开后备厢后，车后盖最高点到地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、平行线的性质、矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，首先证明，利用三角函数解得的长度，再确定的值，即可获得答案； （2）过点作于点，由旋转的性质可知，利用三角函数解得的长度，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，过点作于点， 根据题意，可知，，，，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴车底盘的高度，即点C到的距离为； （2）如下图，过点作于点， 由旋转的性质可知， 又∵， ∴， ∴打开后备厢后，车后盖最高点到地面的高度． 2．（2026·湖南永州·一模）永州迴龙塔位于潇水东岸，是一座明代楼阁式砖塔．为了测量塔高，某数学兴趣小组按如下步骤进行实践测量活动，如图： 步骤一：在C处用测角仪测得塔尖点A的仰角为； 步骤二：再向前走到达D处，此时测得塔尖点A的仰角为． 已知C，D，B三点在同一水平直线上，测角仪的高度为，根据测量数据计算迴龙塔的高度．（结果保留整数） （参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】分别解和得到，，再根据，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得，，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：迴龙塔的高度为． 3．（2026·湖南·模拟预测）为推进“数字乡村”建设，某村计划在山坡上修建灌溉水库，需测算山坡高度以确定水库容量．在技术人员指导下，利用无人机、测角仪等设备开展测量活动． 活动主题 测算山坡的高度（助力灌溉水库建设） 测量工具 无人机、秒表、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点，其示意图如下：    测绘过程与数据信息 ①在山脚A处测出山顶B的仰角，山坡的坡角；②用无人机测得从点沿着山坡前进到达处；③在处测出山顶的仰角．注：图中所有点均在同一平面内．（参考数据：， ） 请根据上面提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求坡面的水平距离和垂直距离； (2)求山的高． 【答案】(1)坡面的水平距离约为，垂直距离约为 (2)山的高为 【分析】（1）如图，在中，先根据余弦的定义可求出，然后根据正弦的定义可求出； （2）交于点，如图，先由四边形为矩形得到，，再根据正切的定义，在中表示出，则；在中表示出，所以，然后求出，从而得到的长． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， 答：坡面的水平距离约为，垂直距离约为； （2）解：如图，交于点， 可得四边形为矩形， ，， 在中，， ， ， ， ， 即， ， 解得， ． 答：山的高为． 4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，某景区内，游客在山脚平地C处测得悬崖观光电梯顶端A的仰角为，沿登山步道向上走到D处测得电梯顶端A的仰角为．已知山脚到电梯底部的水平距离等于50米，山坡坡度为． (1)求悬崖观光电梯的高度； (2)求此人所在位置点的垂直高度（结果保留一位小数，参考数据：）． 【答案】(1)； (2)此人所在位置点的垂直高度为米． 【分析】（1）在中，解直角三角形即可求解； （2）作交延长线于点，作于点，设，则，在和中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）解：作交延长线于点，作于点， 则四边形是矩形， 在中，， 设，则， ∴，， 在中，， ∴，即， 解得， 答：此人所在位置点的垂直高度为米． 5．（2026·湖南岳阳·一模）为防治白蚁，保护古树，如图所示，园艺技术人员在古树两侧的水平地面上，于B，D两处使用专业检测工具，精准定位古树根部区域的白蚁窝P，检测线与相交于白蚁窝P．已知，检测线，与水平地面的夹角分别为，． (1)两次检测定位时，两条检测线形成的夹角的度数是多少？ (2)为了制定科学的除害方案，最大限度避免伤及古树根系，求白蚁窝P距离地面的深度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)白蚁窝P距离地面的深度约为米 【分析】（1）根据对顶角相等可得，，根据三角形内角和即可解答； （2）设，解直角三角形表示出，，列方程即可解答． 【详解】（1）解：根据对顶角相等可得，， ； （2）解：如图，过点作， 设， 在中，可得， 在中，可得， 根据，可得， 解得， 答：白蚁窝P距离地面的深度约为米． 6．（2026·湖南娄底·一模）综合实践小组的同学在老师的指导下，利用课余时间围绕塔高的测量与计算开展项目学习活动． 活动主题 塔高的测量与计算 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型 抽象 塔前有一座观景台，其纵侧面示意图如下：    测绘过程与数据信息 ①点，，在同一条直线上； ②测得； ③在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． ④用计算器计算得：． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求线段的长（结果保留根号）； (2)求塔的高度结果取整数)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，已知斜边、，利用含角的直角三角形性质求出，再用勾股定理计算的长度． （2）过点作于点，设，由得，结合矩形的性质表示出、，再在中利用≈列方程求解，得到塔高． 【详解】（1）解：在中， ∵，，， ∴， 由勾股定理得： ， 答：线段的长为． （2）解：由（1）得， 过点作于点， 由题意可得，， ∴ ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， 解： ∵， ， 答：塔的高度约为． 7．（2026·湖南常德·一模）一台笔记本电脑放置在水平的桌面上，其示意图如图1所示，，；使用时，为了加强笔记本散热，底板下面需垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，其示意图如图2所示．已知、、C三点在同一直线上，且，． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部的竖直高度比原来升高了多少？ （参考数据：取，取，取，取） 【答案】(1)24 (2) 【分析】（1）由，即可求出的长； （2）如图1，过B作交的延长线于H，由得到，求出，据此解答即可． 【详解】（1）解：如图2，在中， ， ； （2）解：如图1，过B作交的延长线于H， ， ， ， ， 如图2，， 垫入散热架后，显示屏顶部的竖直高度比原来升高了． 8．（2026·湖南湘潭·一模）幸福小区为加强安全管理，在地下停车场出入口处安装了汽车出入道闸．如图1，、为垂直于地面的道闸两边立柱，道闸关闭时，四边形为矩形，长3米，长米，点距地面的距离为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，连杆上一点到地面的距离为米，求此时点到立柱的距离的长． (2)若某小轿车安全通过该道闸时，需宽度不能小于米，同时高度不能低于米．当道闸打开至时，该小轿车能否安全通过该道闸？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)到立柱的距离的长为2米 (2)该小轿车能安全通过该道闸，见解析 【分析】过作于并延长交于点G，得出（米），根据，得出，即可得（米），从而求出（米）； （2）当米时，（米），根据，得出，在中，解直角三角形求出，再求出，与米比较大小即可解答． 【详解】（1）解：过作于并延长交于点G， 则四边形是矩形， ∴（米），（米）， ， ， 在中，（米）， （米）， 答：到立柱的距离的长为2米； （2）解：该小轿车能安全通过该道闸． 当米时，（米）， ， ， 在中，（米）， 米， 答：该小轿车能安全通过该道闸． 9．（2026·湖南湘西·一模）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶处的仰角为30°，在平地上处观测到楼顶处的仰角为，并测得A、两处相距，求“一心阁”的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，） 【答案】m 【分析】由题意易得CH=BH，设CH=BH=xm，则有m，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴CH=BH， 设CH=BH=xm，则有m， ∴，即， 解得：， ∴m． 10．（2026·湖南长沙·二模）材料阅读： 光从空气斜射入某种玻璃中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入某种玻璃时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为某种玻璃、一束光线从点P射向玻璃上的点O，折射后照到玻璃底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的大小； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）首先求出，，求出，即可得到． 【详解】（1）解：在中，， ∵ ∴，即 ∴ ∴； （2）解：∵在中，，， ∴，， ， ∴ ∴ ∴． 1．（2026·湖南长沙·二模）年春节期间，电影《飞驰人生》的热播带动了一批汽车模型的销售．某商家推出，两种赛车模型，已知每个种赛车模型的进价比种赛车模型贵元，用元购进种赛车模型和用元购进种赛车模型的数量相同． (1)，两种赛车模型每个的进价分别是多少？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进，两种赛车模型共个，那么最多能购进种赛车模型多少个？ 【答案】(1) 种赛车模型每个的进价为元，种赛车模型每个的进价为元； (2) 最多能购进种赛车模型个． 【分析】（1）设种赛车模型每个的进价为元，则种赛车模型每个的进价为元，根据题意列方程求解即可； （2）设购进种赛车模型个，则购进种赛车模型个，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种赛车模型每个的进价为元，则种赛车模型每个的进价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴种赛车模型每个的进价为元，种赛车模型每个的进价为元． （2）解：设购进种赛车模型个，则购进种赛车模型个， 根据题意可得， 解得， ∴最多能购进种赛车模型个． 2．（2026·湖南衡阳·一模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元． (1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元： (2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【答案】(1)甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元 (2)该校最多可以购买甲种书40本 【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，利用2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列方程解答即可； （2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列不等式解答即可． 【详解】（1）解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元， 可得方程， 解得， 原方程的解为， 答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元． （2）解：设购买甲种书本，则购买乙种书本， 根据题意可得， 解得， 故该校最多可以购买甲种书40本， 答：该校最多可以购买甲种书40本． 3．（2026·湖南衡阳·一模）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 【答案】无人机从A点到B点的上升高度为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解，求出的长，解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可．熟练掌握三角函数，是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，． 在中，，， ，， 在中，， ， 答：无人机从A点到B点的上升高度为． 4．（2026·湖南郴州·一模）马年春晚一系列机器人表演，展示了中国的科技实力．已知购买1台入门级人形机器人和2台商用级人形机器人共需18万元，购买3台入门级人形机器人和4台商用级人形机器人共需38万元． (1)求入门级人形机器人和商用级人形机器人的单价分别是多少万元； (2)某公司计划购买入门级人形机器人和商用级人形机器人共30台，总费用不超过120万元，问最多可以购买商用级人形机器人多少台？ 【答案】(1)入门级人形机器人单价为2万元，商用级人形机器人单价为8万元 (2)最多可以购买商用级人形机器人10台 【分析】（1）设入门级人形机器人单价为万元，商用级人形机器人单价万元，根据购买1台入门级人形机器人和2台商用级人形机器人共需18万元，购买3台入门级人形机器人和4台商用级人形机器人共需38万元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）该公司可购买商用级人形机器人台，则购买入门级人形机器人台，根据总费用不超过120万元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设入门级人形机器人单价为万元，商用级人形机器人单价万元， 由题意得：， 解得：， 答：入门级人形机器人单价为2万元，商用级人形机器人单价为8万元； （2）解：该公司可购买商用级人形机器人台，则购买入门级人形机器人台， 由题意得：， 解得：， 为非负整数， 的最大值为10， 答：该公司最多可以购买商用级人形机器人10台． 5．（2026·湖南郴州·一模）某数学学习小组测量某块巨型显示屏，设计如下测量方案： 活动主题 测算巨型显示屏的高度与长度 测量工具 皮尺、测角仪、无人机、计算器等 活动过程 模型抽象 矩形显示屏的边与地面垂直，其示意图如下：    测绘过程 ①测得支柱米，找到垂直于地面的垂足点P； ②在显示屏外取一点E，使得点E，P，M在同一条直线上，测米； ③无人机在点E处，以2米/秒的速度竖直向上飞行14秒至点F停止； ④在点F处测得显示屏顶点C的俯角，测得显示屏顶点D的俯角． 参考数据 ，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求显示屏的高度； (2)求显示屏的长度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作于点H，利用平行线的性质，等腰直角三角形的性质得出，从而通过线段和差关系即可求得结果； （2）利用解直角三角形求得的长度，从而通过矩形的性质结合线段和差关系即可求得结果． 【详解】（1）解：如图，作于点H， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：, ，， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 【答案】(1)这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； (2)不能实现目标． 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可； （2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2026年机器人产业总产值，比较即可解答． 【详解】（1）解：设年平均增长率为x，根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； （2）解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元， 答：不能实现目标． 7．（2026·湖南娄底·一模）如图1，某仓库有一传送带运输货柜，为水平地面，为斜坡上的传送带，．在距离（长为4米）的正上方米处，有一限高装置．棱长为2米的正方体货柜（其侧面是正方形）的底面在传送带上，从起点A出发，传送到地面点B处． (1)判断正方体货柜能否通过限高装置，并说明理由． (2)如图2，因特殊要求，需在货物底端放置一块如图3所示的直三棱柱式楔子，使得正方体货柜在传送带的运输过程中与水平地面保持平行．已知直三棱柱式楔子的一个底面为，且．楔子的侧面与正方体货物的底面全等重合，侧面与传送带重合．判断此时正方体货柜能否通过限高装置，并求直三棱柱式楔子的侧面积（不包含前、后两个底面，结果保留两小数）． （参考数据：，，） 【答案】(1)可以通过限高装置，理由见解析 (2)正方体货柜不能通过限高装置；平方米 【分析】（1）如图，过点P作，垂足为点G，设与相交于点K，解直角三角形求出，得到米，然后解直角三角形求出判断即可； （2）解直角三角形求出，，然后求出判断即可；然后根据直三棱柱式楔子的侧面积公式求解即可． 【详解】（1）解：可以通过限高装置，理由如下： 如图，过点P作，垂足为点G，设与相交于点K． 在中，米，， （米）． 米， （米）． 在中，， ， ， （米）米， 正方体货柜能通过限高装置； （2）解：楔子的侧面与正方体货物的底面全等重合， 米． ， ∴在中，（米）， （米）， （米）． 由（1）得米， （米）米， 此时正方体货柜不能通过限高装置． 直三棱柱式楔子的侧面展开图是三个矩形， 且米，米，米，米， 直三棱柱式楔子的侧面积（平方米）． 8．（2026·湖南岳阳·一模）学校计划在科技节举办模型展示活动，准备采购两种科技模型：“智能小车”模型和“简易飞机”模型．“智能小车”模型每套99元，“简易飞机”模型每套29元，这两种模型均需购买，用于学生分组实践与展示． (1)若学校计划购买这两种模型共200套，采购总费用恰好为9300元．请问“智能小车”模型和“简易飞机”模型各购买了多少套？ (2)若学校采购这两种模型的总预算资金只有8000元，且仍需购买200套模型．那么，在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型多少套？ 【答案】(1)“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套 (2)31套 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的实际应用，审清题意找到等量关系是解题的关键． （1）根据等量关系“两种模型共200套，总费用恰好为9300元”，列出方程组求解即可； （2）根据不等量关系“总预算资金只有8000元”，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买“智能小车”模型x套，“简易飞机”模型y套， 由题意可得，，解得， 答：购买“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套； （2）解：设在预算范围内，可以购买“智能小车”模型m套，则购买“简易飞机”模型套， 由题意可得，，解得， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为31， 答：在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型31套． 9．（2026·湖南岳阳·一模）跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”．如图，拉皮筋的两人位置为、，跳皮筋孩子脚踩位置为点，点、、在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度米．（，垂直地面）若，．，最后结果保留到）    (1)求拉皮筋的两个孩子之间的距离； (2)当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了多少米． 【答案】(1)拉皮筋的两个孩子之间的距离为米 (2)当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）根据正切的定义，分别求得的长，进而根据，即可求解； （2）解，求得    的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 答：拉皮筋的两个孩子之间的距离为米； （2）解：在中，， 在中， ∴， 答：当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了米 10．（2026·湖南株洲·一模）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购型和型机器人共15台，且总费用不超过1000万元．最多能买型机器人多少台？ 【答案】(1)种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为万元 (2)最多能买型机器人台 【分析】（1）设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，根据题意列出方程组即可得到答案； （2）设最多能买型机器人台，则最多能买型机器人台，根据题意列出不等式，即可得到答案． 【详解】（1）解：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 由题意得，， 解得， 答：种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为万元； （2）解：设最多能买型机器人台，则最多能买型机器人台， 由题意得，， 解得，， 答：最多能买型机器人台． 11．（2026·湖南株洲·一模）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） (1)求直吊臂的长； (2)如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 【答案】(1)直吊臂的长为10米 (2)上升了5米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据，即可解，即可求解； （2）记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，可得四边形为矩形，则米，在中，由求出，再由，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，米， ∴在中，（米）， 答：直吊臂的长为10米； （2）解：记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，则， 由题意得：米，米， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， 在中，米， ∴（米）， ∴货物上升了5米． 12．（2026·湖南株洲·一模）交警通常通过限速来降低交通事故发生的概率，而测速摄像头主要通过读取汽车的车牌来识别车辆身份．如图，某条笔直的公路限速，在公路上方高的位置A处有一个摄像头，第一次识别到B处一辆汽车，俯角为，后在C处再次识别到这辆车，俯角为，已知此车辆车牌位于地面高的位置，请判断这辆汽车是否超速，并说明理由．（参考数据：，，，，，） 【答案】这辆汽车没有超速，理由见解析 【分析】如图，过点A作交延长线于点D，首先求出，解直角三角形求出，，然后求出速度比较即可． 【详解】解：这辆汽车没有超速，理由如下： 如图，过点A作交延长线于点D， 根据题意得，，， ∴， ∴ ∴这辆汽车的速度为 ∴这辆汽车没有超速． 13．（2026·湖南株洲·一模）为深入贯彻落实党中央、国务院决策部署，大力提振消费，国家颁布了《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》（简称“国补”），对空调在内的多种家电产品给予补贴，对空调的补贴的具体标准为一级能效产品补贴售价的，二级能效产品补贴售价的．据了解，某品牌每台一级能效的空调售价比每台二级能效的空调贵1000元，在领取“国补”后，一台一级能效的空调比一台二级能效的空调只贵600元． (1)该品牌一级、二级能效的空调每台的售价分别为多少元？ (2)售货员介绍，同等条件下，该品牌的一级能效空调每天比二级能效空调少耗电度．电价大约为元/度，按每年使用空调180天算，算上空调本身的价格（国补后的），请问最少几年后使用一级能效的空调会更划算？（结果取整数） 【答案】(1)该品牌一级能效空调每台售价5000元；二级能效空调每台售价4000元 (2)最少4年后使用一级能效的空调会更划算 【分析】（1）设未知数后，根据原售价差和补贴后售价差两个等量关系列二元一次方程组．求解得到两种空调的售价． （2）设使用年数，计算每年节省的电费，根据一级能效总花费小于二级能效总花费列一元一次不等式，求解后取满足条件的最小整数即可． 【详解】（1）解：设该品牌一级能效空调每台售价为元，二级能效空调每台售价为元 根据题意列方程组得 解得 答：该品牌一级能效空调每台售价5000元．二级能效空调每台售价4000元； （2）解：设年后使用一级能效空调更划算． 国补后，一级能效空调价格为（元）． 二级能效空调价格为（元）． 一级能效每年比二级节省电费：（元）． 要使一级能效空调更划算，则累计节省的电费需要超过初始购买时多付的差价，故可列不等式 解得． 因为为整数， 所以的最小值为4． 答：最少4年后使用一级能效的空调会更划算． 14．（2026·湖南怀化·一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际操作中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离；（结果保留根号） (2)在一次操作中，上臂与中臂的夹角为，如图③，此时点A与点C到地面的距离相等，求两点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)点到地面的距离为 (2) 【分析】（1）如图②，过点C作，垂足为M，则，求可得结论； （2）如图③，过点作垂直于，垂足为，则，求出，，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图②，过点作，垂足为，则， ， ∴ ∴ ． 即点到地面的距离为； （2）解：如图③，过点作垂直于，垂足为， ， ， ∴， ∴ ∴ ， 点到点的距离为． 15．（2026·湖南怀化·一模）阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架，其中甲型无人机万元／架，乙型无人机万元／架． 问题解决： (1)甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ (2)若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】(1)甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷 (2)采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元 【分析】（）设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷，根据题意列出方程解答即可求解； （）设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元，根据题意求出的取值范围和与的函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷， 由题意得， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷； （2）解：设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元， 由题意得，， 解得， 又由题意得，， ∵， 的值随的增大而减小， 当时，（万元）， 此时乙型无人机（台）， 答：采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $