精品解析：山东省烟台市招远市2026年初中学业水平适应性考试数学试题

招远市2026年初中学业水平适应性考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共120分；考试时间120分钟． 2．答题前、务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答、答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 6．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一．选择题（本题共有10个小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的） 1. 的相反数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵负数的绝对值等于它的相反数， ∴， ∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． 2. 下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直棱柱的展开图，解题关键是掌握常见的立体图形的展开图． 根据三棱柱，想像出侧面展开图，再作出选择． 【详解】解：三棱柱的侧面展开图是三个矩形拼成的矩形， 故选：D． 3. 《山东省乡村全面振兴规划（2025-2027年）》中提出，要优化滩涂和浅海贝藻类养殖，高水平建设海上牧场和渔港经济区，推进深远海养殖全产业链发展，到2027年，全省水产品产量稳定在900万吨以上，将数据900万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数． 【详解】解：900万 ． 4. 阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将多项式相乘的结果展开即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 根据选项得：或， 解得或， 则或． 只有选项A符合题意． 5. 如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点O为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得是等边三角形，进而根据弧长公式即可求解． 【详解】∵ ∴是等边三角形， , ∴的长度为：． 6. 在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. 只有① 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得， 可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 7. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】作，根据对称性可知，为的中点，三角形的中线平分面积，得到，三线合一结合三角形的中线平分面积，求出，根据值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两点关于原点对称， ∴为的中点， ∴， 作， ∵， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在二，四象限， ∴， ∴． 8. 若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为；③函数与函数具有“对偶关系”；④若1是函数与函数的“对偶值”，则．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据“对偶关系”的定义，若在，在，、关于轴对称，则横坐标为时，横坐标为，二者纵坐标相等，据此逐一验证每个结论即可，用到一次函数、反比例函数的点坐标特征和一元二次方程根的判别知识。 【详解】解：根据定义，设，则关于轴的对称点为，若两函数具有“对偶关系”，则在图象上，满足，纵坐标为“对偶值”， ①对于，，代入得，， 令，解得， 存在实数解，因此两函数具有“对偶关系”，故①错误； ②由①得，对偶值为，故②正确； ③对于，，代入得，， 令，整理得， ， 方程有实根，存在满足条件的点， 因此两函数具有“对偶关系”，故③正确； ④是“对偶值”， 纵坐标为， 在上，令，得，即， 与关于轴对称， ，将代入得，解得，故④正确； 综上，②③④正确. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边在x轴正半轴上，D为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点O落在点E处，于点F．若点F的坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出A坐标，再表示出D点坐标，根据列方程求解． 【详解】如图，过D作轴于G ， 由题意可知菱形边长为5，故 ，， ， 由勾股定理得，故， ， 设直线的解析式为， 把代入，解得, 直线解析式为， 设， 由折叠性质和知 ， 又轴， 是等腰直角三角形， ， ， 解得， ． 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数与x轴的交点以及对称轴可判断①，根据二次函数的顶点坐标可判断②，根据二次函数中b与a的关系以及c与a的关系可判断③，根据c的范围可求解a的范围，由此可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点， 且对称轴为直线． ∴可知该函数与x轴的另一个交点为点， ∴时，，故①正确； 根据图象可知，该函数图象开口向上，即， 又∵函数的顶点纵坐标， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，即． ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴，即， ∵， ∴，即，故③正确； 当时，， ∵该函数与y轴的交点在和之间， ∴，即， 解得，故④错误； 其中，正确结论有①②③ ． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查提取公因式公式法分解因式，掌握分解因式的方法是解题的关键． 12. 将四个小球分别标上，，，四种化学元素符号（除标记符号外，其余均相同），放入一个不透明的袋中，摇匀后从中任意摸出2个小球，能够组成“一氧化碳”化学式的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法求概率，根据列表法求概率，即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有12种等可能结果，其中能组成（一氧化碳）的有2种， ∴能够组成“一氧化碳”化学式的概率是， 故答案为：． 13. 已知过原点，，三点，则圆心M的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心的性质，圆心到圆上所有点的距离相等，设出圆心的坐标，利用两点间距离公式列出方程组，求解方程组即可得到圆心坐标. 【详解】解：设圆心的坐标为， 过原点，，， ， 由得： ， 两边平方得：， 整理得：， 由得： ， 两边平方得：， 整理得：， 联立①②得方程组， 解得， 圆心的坐标为. 14. 已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式组得到不等式组的解集，再根据不等式组有解列出关于的不等式式子求解即可． 【详解】解：由解得：， 由解得：， ∵关于x的不等式组有解， ∴， ∴． 15. 如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点（不包括A、B两点处），过点P作直线轴，交直线于点Q．设点P的横坐标为m，则线段的长度随m的增大而减小时m的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】可用m分别表示出P、Q的坐标，则可用m表示出的长，再利用二次函数的性质可求得答案． 【详解】解：联立直线和抛物线解析式可得， 解得或， ∴，， ∵点P在抛物线上，点Q在直线上，且点P的横坐标为m， ∴，， 当或时，可知点P在点Q上方， ∴， 此时抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，的长度随m的增大而减小， ∴当时，的长度随m的增大而减小； 当时，可知点Q在点P上方， ∴， 此时抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，的长度随m的增大而减小， ∴当时，的长度随m的增大而减小， 综上可知的取值范围为：或． 16. 如图，已知矩形，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，则，和均为等边三角形，推出可得，共线时最短；由于点也为动点，可得当时最短，即：的长度，此时易求得的值； 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，作，垂足为，交于， 由旋转性质得：，，且，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∵，在上， ∴共线时最短，由于点也为动点， ∴的最小值为点到的垂线段长度，即：的长度， ∴， ∵四边形是矩形， ∴, ∵，即 ∴ ∴ 即：的最小值为． 三．解答题（本大题共8个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 计算、化简求值 （1）计算：； （2）先化简再求值：，请选取一个你喜欢的a的值代入并求得该代数式的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数，二次根式运算法则等计算即可； （2）先对括号内分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解约分进行化简，然后把a的值代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ，，， ，，， 当时，原式 18. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配送速度和服务质量得分统计图 （1）表格中的___________，___________（填“”“”或“”）； （2）补全频数直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择___________公司； （4）如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法求两家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】（1）8.5， （2）图见解析， （3）甲 （4） 【解析】 【分析】（1）根据中位数与方差的定义即可求解； （2）计算甲快递公司在配送速度得9分的人数可补全频数直方图；用乘7分的占比，即可求解； （3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可； （4）用表格展示所有4种等可能的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：甲快递公司在配送速度得分为9的人数为：（人） 甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 故中位数为： 根据题意得： ，， ∴； 【小问2详解】 解：补全频数直方图如图， ； 【小问3详解】 解：配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 所以甲更加稳定； 【小问4详解】 解： A种植户 B种植户 甲 乙 甲 （甲，甲） （甲，乙） 乙 （乙，甲） （乙，乙） 由图中可知，共有4种等可能的结果，其中两家种植户选择同一快递公司的结果有2种， 所以． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=的图象在第二象限交于、D两点，，交x轴于点E．其中=． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积； （3）直接写出的x的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得D点坐标，再利用待定系数法求函数关系式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用的面积减去的面积求解； （3）根据图象，找到反比例函数的图象处于一次函数图象上方的自变量的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入中得：， ， 反比例函数的表达式为， 过点作轴，轴，垂足为点， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， 点的坐标为， 把点，代入中得：，解得：， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为：， 把点代入其中得：， ， ， ， 直线的表达式可以设为：， 把点代入其中得：， ， ， 当时，，解之得：， 点的坐标为， 当时，，解之得：， 点的坐标为， ， ； 【小问3详解】 解：∵，， ∴当或时，反比例函数的图象处于一次函数图象上方， ∴即的x的取值范围是或． 20. “垃圾入桶，保护环境，从我做起”．图是一种摇盖垃圾桶的实物图，图是其侧面示意图，其盖子可整体绕点所在的轴旋转．现测得，． （1）如图，将整体绕点逆时针旋转角，当时，求的度数． （2）求点到的距离．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）先根据等腰三角形性质算出，再利用平行线的内错角相等，推导出的度数为； （）通过作构造直角三角形，先算出，再用三角函数分别求出，两者相加得到点到的距离约为． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 的度数为； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 点到的距离约为． 21. 材料的疏水性 【情境引入】 “微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，不需要写作法） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而 （选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）变强；（3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接，；②分别作，的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；③连接，过点M作，则为圆O的切线，故即为所求； （2）根据题干可直接得解； （3）连接，等边对等角，得到，根据切线的性质，结合等角的余角相等，得到，进而得到即可； 【详解】解：（1）如图，即为所求： 作法提示：①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接，； ②分别作，的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心； ③连接，过点M作，则为圆O的切线，故即为所求； （2）根据题意可知材料的疏水性随着接触角的变大而变强， 故答案为：变强； （3）．理由如下： 如图，连接， 则：， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查尺规作图-复杂作图，切线的判定和性质，三角形的内角和，弧长，熟练掌握新定义，切线的判定和性质是解题的关键． 22. 蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示： 价格/品种 品种 品种 进价（元/盒） 标价（元/盒） （1）求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ （2）该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完毕（损耗忽略不计），因品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒 （2）当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，正确找出等量关系，列出相对应的方程组和不等式组是解决本题的关键． 【小问1详解】 解：设品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒， 由题意可得，，解之得：， 答：品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒． 【小问2详解】 设品种的蓝莓购进盒，则品种的蓝莓购进盒，利润为元， 水果店计划购进品种的盆数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒， ，解之得：， 由题意可得，， ， 随的减小而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 答：当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是2900元． 23. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）【问题发现】如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接，发现有一对全等三角形___________；可得：，的长为___________； （2）【问题提出】如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，请问与是否仍然相等？请说明理由； （3）【问题解决】如图③，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为8，，求正方形的边长． 【答案】（1），2 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据角度加减问题及相等边的问题得到直接证明即可得到答案； （2）根据等腰三角形及得到，先证明，在证明即可得到答案； （3）连接，证明即可得到答案. 【小问1详解】 解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：， 理由：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接 四边形是正方形， ，， ， ， 同理可得：，， ，，， ，， ， ， ，， ， 设，则，在中，根据勾股定理得：， 即， ，（舍去） 正方形的边长． 24. 如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）将沿翻折得到，直线交抛物线于点P，求点P的坐标； （3）如图2，点M为直线上一点（不与B、C重合），连；将绕O点旋转，得到线段，是否存在这样的点N，使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在符合条件的N点，坐标为或 【解析】 【分析】（1）首先求出对称轴，然后得到，，然后利用待定系数法求解； （2）延长交轴于点，设，证明，得到，代入表示出，，利用勾股定理求出，得到点的坐标为，然后求出直线的表达式，然后和抛物线联立求解即可； （3）求出直线的表达式，设点的坐标为，过点作轴，轴，垂足为点，证明，得到，，然后分三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由表达式可求得拋物线的对称轴为： ， ， ， ， 把点，代入中得：， 拋物线的解析式为； 【小问2详解】 解：延长交轴于点，设， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，，即， （舍去），， 点的坐标为， 设直线的表达式为：， 把点，代入得：， ∴直线的表达式为：， 由题意得：， （舍去），， ， 点坐标为； 【小问3详解】 解：设直线的表达式为：， 把点，代入其中得：， 直线的表达式为：， 设点的坐标为． 过点作轴，轴，垂足为点， 则，，， ，， ， 又， ， ，， 当时，即点在第一象限时，点应在第四象限，坐标为， 将其代入中得： 解之得：（舍去），， 点的坐标为； 当时，即点在第四象限时，点可以在第一或第三象限，坐标为或， 分别代入中得：或 解之得：（舍去），或（舍去），（舍去）， ， 点的坐标为， 当，即点在第三象限时，点应在第四象限，坐标为， 将其代入中得： 解之得：（舍去），（舍去）， ∴此种情况不成立； 综上所述，存在符合条件的N点，坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 招远市2026年初中学业水平适应性考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共120分；考试时间120分钟． 2．答题前、务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答、答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 6．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一．选择题（本题共有10个小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的） 1. 的相反数等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 3. 《山东省乡村全面振兴规划（2025-2027年）》中提出，要优化滩涂和浅海贝藻类养殖，高水平建设海上牧场和渔港经济区，推进深远海养殖全产业链发展，到2027年，全省水产品产量稳定在900万吨以上，将数据900万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点O为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. 只有① 7. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为（ ） A. B. C. D. 8 8. 若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为；③函数与函数具有“对偶关系”；④若1是函数与函数的“对偶值”，则．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边在x轴正半轴上，D为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点O落在点E处，于点F．若点F的坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 因式分解：______． 12. 将四个小球分别标上，，，四种化学元素符号（除标记符号外，其余均相同），放入一个不透明的袋中，摇匀后从中任意摸出2个小球，能够组成“一氧化碳”化学式的概率是__________． 13. 已知过原点，，三点，则圆心M的坐标为___________． 14. 已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是___________． 15. 如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点（不包括A、B两点处），过点P作直线轴，交直线于点Q．设点P的横坐标为m，则线段的长度随m的增大而减小时m的取值范围是___________． 16. 如图，已知矩形，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为___________． 三．解答题（本大题共8个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 计算、化简求值 （1）计算：； （2）先化简再求值：，请选取一个你喜欢的a的值代入并求得该代数式的值． 18. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配送速度和服务质量得分统计图 （1）表格中的___________，___________（填“”“”或“”）； （2）补全频数直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择___________公司； （4）如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法求两家种植户选择同一快递公司的概率． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=的图象在第二象限交于、D两点，，交x轴于点E．其中=． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积； （3）直接写出的x的取值范围． 20. “垃圾入桶，保护环境，从我做起”．图是一种摇盖垃圾桶的实物图，图是其侧面示意图，其盖子可整体绕点所在的轴旋转．现测得，． （1）如图，将整体绕点逆时针旋转角，当时，求的度数． （2）求点到的距离．（结果保留整数，参考数据：） 21. 材料的疏水性 【情境引入】 “微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，不需要写作法） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而 （选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 22. 蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示： 价格/品种 品种 品种 进价（元/盒） 标价（元/盒） （1）求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ （2）该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完毕（损耗忽略不计），因品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 23. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）【问题发现】如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接，发现有一对全等三角形___________；可得：，的长为___________； （2）【问题提出】如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，请问与是否仍然相等？请说明理由； （3）【问题解决】如图③，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为8，，求正方形的边长． 24. 如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）将沿翻折得到，直线交抛物线于点P，求点P的坐标； （3）如图2，点M为直线上一点（不与B、C重合），连；将绕O点旋转，得到线段，是否存在这样的点N，使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $