山东省烟台市招远市2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题

数学试题参考答案及评分意见 （仅供参考） 一．选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1.A 2.C 3.B 4.B 5.D 6.D 7.B 8.A 9.A 10.C 二．填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11.− 1 3 12.3 × 10−7 13.1 2 14.� < 3且� ≠−3 15. 215° 16.2 13 − 2 三．解答题（本大题共 8 个小题，共 72 分.请在答题卡指定区域内作答.） 17.（6分）解：（2+3�−4 �+2 ） ÷ � �2−4 ＝ 2�+4+3�−4 �+2 × �+2 �−2 � = 5� �+2 × �+2 �−2 � = 5 � − 2 = 5� − 10 ……………………………………………………2 分 不等式组 � + 1 > 0 1 − � > −�−1 2 ，解之得：﹣1＜x＜3， ∴不等式组的整数解是 x＝0或 1或 2， ……………………………………………………4 分 要使分式有意义，就要满足 x ≠ 0，x + 2 ≠ 0，x − 2 ≠ 0 ∴x ≠ 0，且 x ≠− 2，且 x ≠ 2 ……………………………………………………5 分 当 x＝1时，原式＝5× 1 − 10＝-5． ……………………………………………………6 分 18.（7分）解：（1）∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC ∵DB＝DE，∴∠DEB＝∠DBE，∴∠DEB＝∠EBC， ∴DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝42°， ……………………………………………………3 分 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣68°﹣42°＝70°． ………………………………5 分 ∵BE是△ABC的角平分线，∴∠EBC＝1 2 ∠��� = 1 2 × 70° = 35°．........................…7 分 19.（8分）解：（1）100，条形统计图补充完整如图所示；……………2 分 （2）3，3； …………………………………………………4 分 （3）由树状图可知：共有 12种等可能的结果数，其中恰好是一男一女的结 果数为 6， ∴� 恰好是一男一女 = 6 12 = 1 2 ……………………………………………………8 分 20.（9分）解：（1）同弧所对的圆周角相等； ……………………………………………………1 分 （2）①正确．理由： ……………………………………2 分 由作法可知，BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90° 即∠BAC+∠CAD＝90° ∴∠CAD与∠BAC互余，∠CAD即为所要求作的角．…4 分 ②能，所作图如图所示, ∠BCD即为所要求作的角． ………………6 分 （3）作法：如图所示，连接 CO 并延长，交⊙O于点 D， 连接 BO 并延长，交⊙O于点 E，连接 BD，则∠DBE即为所要求作的角．………9 分 21.（9分）解：过点 A作 AF⊥EC，垂足为点 F， 过点M作MN⊥AF，垂足为点 N，…………………………………………1 分 由题意可得：∠AMN=36°，四边形MEFN是矩形， ∴EF＝MN，FN=MD+DE=6+18=24，…………………………………………2 分 在 Rt△AMN 中， cos∠AMN = �� �� ，∴cos36° = �� 10 ，∴MN≈ 10 × 0.81 = 8.1， s��∠AMN = �� �� ,∴s��36° = �� 10 ，∴AN≈ 10 × 0.59 = 5.9，∴AF=AN+NF=5.9+24=29.9， ……………………………………5 分 在 Rt△ACF 中， tan∠ACF = �� �� ，∴tan60° = 29.9 �� ，∴CF= 29.9 3 ≈ 29.9 1.73 ≈ 17.3，…………7 分 ∴EC=CF+EF= CF+MN=17.3+8.1≈25 …………………………………………8 分 答：落水点 C到洗手盆边的宽度 EC约为 25cm. ………………………………9 分 22.（10分）解：（1）把点（1，4）代入 y=� � 中得，4=� 1 ，∴� = 4， ∴反比例函数的表达式为 y=4 � ……………………………………………………1 分 ∵点 B（�，1）在反比例函数图象上，∴1=4 � ，∴a=4，∴点 B的坐标为（4，1） 把点（1，4）、（4，1）代入 y=�� + �中得， 4 = � + �1 = 4� + �，解之得 � =− 1 � = 5 ∴一次函数的表达式为 y=−� + 5 ……………………………………………………3 分 （2）1 < � < 4； ……………………………………………………5 分 （3）能；理由： ……………………………………6 分 过点 P作 PQ⊥x轴，垂足为点 Q，………………7分 设点 P的坐标为（a，−� + 5），∴PQ＝−� + 5， 当 y = 0时，−� + 5 = 0，∴� = 5， ∴直线 AB 与�轴的交点 M 的坐标为（5，0），∴OM=5， ∴由题意得： 1 2 × 5 × 4 − 1 2 × 5 × ( − � + 5) = 3， 解之得：a = 11 5 ……………………………9 分 ∵1 < 11 5 < 4，∴当� = 11 5 时，−� + 5 =− 11 5 + 5 = 14 5 ， ∴当△AOP的面积为 3时，点 P坐标为（11 5 ， 14 5 ） ………………………………………10 分 23.（10分）解：（1）①由题意可得：顶点 A的坐标（2，2），点 H的坐标（0，1.6） 设要求的上边缘抛物线�1的函数表达式为�1 = �(� − 2)2 + 2 把点 H（0，1.6）代入得：1.6 = � × (0 − 2)2 + 2，所以� =− 0.1 所以要求的上边缘抛物线�1的函数表达式为�1 = −0.1(� − 2)2 + 2，…………………2 分 当� = 0时，0 = −0.1(� − 2)2 + 2， 解之得：�1 = 2 5 + 2，�2 =− 2 5 + 2(不合题意，舍去) 所以喷出水的最大射程 OC为（2 5 + 2）m ……………………………………………………4 分 ②当� = 1.6时，1.6 = −0.1(� − 2)2 + 2，解之得：�1 = 4，�2 = 0 由于下边缘线上的点 H（0，1.6）是由上边缘线上的点（4，1.6）向左平移 4个单位 得到的， ∴点 B也是由上边缘线上的点 C（2 5 + 2，0）向左平移 4个单位得到的， ∴点 B的坐标为（2 5 − 2，0） ………………………………………………7 分 （2）2 5 − 2 ≤ �� ≤ 10 ………………………………………10 分 24.（13分）解：（1）169 25 ； ………………………………………2 分 （2）由题意可得：BP=DQ=t， ∵四边形 ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°， 在 Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB2 + AD2 = BD2 即，122 + 52 = BD2 ∴BD＝13， ∴BE=BA+EA=12+5=17，BQ=BD-DQ=13-t， ∵QM//BE，∴∠DQM＝∠DBE，∠DMQ＝∠DEB，∴ △DQM∽△DBE， ∴ �� �� = �� �� = �� �� ，∴ �� 17 = � 13 = �� 5 ，∴QM=17 13 �，DH= 5 13 �， 同理可求：NQ= 5 13 �，DN=12 13 �， ∴S五边形 PMDNQ = S△��� + S△��� + S△��� = 1 2 × �� × �� + 1 2 × �� × �� + 1 2 × �� × �� = 1 2 × �� × (�� + ��) + 1 2 × �� × �� . = 1 2 × 17 13 � × 5 + 1 2 × 12 13 � × 5 13 � = 30 169 �2 + 85 26 � ∴S与 t之间的函数关系式为 S = 30 169 �2 + 85 26 �（0 < t < 12）………………………………………6 分 （3）过点 P作 PF⊥QM，垂足为点 F，延长 NQ交 AB于点 K， 当 PQ=PM 时，QF=MF=1 2 QM， 由（2）知：四边形 CNKB、四边形 QHAK为矩形，QM=17 13 �，DN=12 13 �， ∴QF= 1 2 QM=1 2 × 17 13 � = 17 26 �，BK=CN=CD-DN=12− 12 13 �， ∴PK=BP-BK=t−(12− 12 13 �)=25 13 � − 12， ∵四边形 QFPK为矩形，∴QF＝PK，∴17 26 � = 25 13 � − 12，解之得：t = 104 11 ………10 分 （4）存在，t的值为 119 12 ………………………………………13 分 绝密★启用前 2025 年初中学业水平适应性考试 数学试题 注意事项: 1.本试卷共 120 分；考试时间 120 分钟。 2.答题前，务必用 0.5 毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡 规定的位置上。 3.选择题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。 4.非选择题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答、答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需 改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。 5.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验。 6.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效。 一. 选择题（本题共有 10个小题，每小题 3分，满分 30分.每小题都给出标号为 A,B,C,D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的） 1．﹣2025的倒数是（ ） A．− 1 2025 B． 1 2025 C．﹣2025 D．2025 2．博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和 美学价值，下列博物馆标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3. 面积为 4的正方形的边长是（ ） A．4的平方根 B．4的算术平方根 C．4开平方的结果 D．4的立方根 4.不等式�+1 3 < � − 1的解集在数轴上表示正确的是（ ） 5．猕猴桃营养丰富，是一种维 C含量很高的水果。种植户小王新摘 了一批猕猴桃，这些猕猴桃质量的平均数和方差分别是�，s2，小 王从中选出质量大且均匀的猕猴桃作为一等品销售，一等品猕猴 桃质量的平均数和方差分别为�1，s12，则下列结论一定成立的是（ ） A．�＝�1 B．�＞�1 C．s2＜s12 D．s2＞s12 6. 如图，正八边形的两条对角线相交形成∠1，则∠1的度数为（ ） A．72° B．64° C．60° D．45° 7．设 9﹣ 13的整数部分为 a，小数部分为 b，则（a+ 13）（b+1）的值是（ ） A．7- 13 B．12 C．-3 D．﹣8 8.如图，在矩形 ABCD中，点 P在 BC边上，连接 PA，将 PA绕点 P 顺时针旋转 90°得到 PA'，连接 CA'.若 AD=11，AB=7，CA'=2 2， 则 BP的长为（ ）. A．2 B．5 2 C．3 D． 2 9.在直角坐标系中，点�1从原点出发，沿如图所示的方向运动， 到达位置的坐标依次为：�2 1，0 ，�3 1，1 ，�4 −1，1 ， �5 −1， − 1 ，�6 2， − 1 ，�7 2，2 ，…，若到达终点 ��（ − 505， − 505），则 n的值为（ ） A．2021 B．2023 C．2025 D．2027 10. 在直角坐标系中，若三点 A（2，-2），B（3，-2），C（3，0）中恰有两点在抛物 线 y = ��2 + �� − 2（� > 0，且�，�均为常数）的图象上，则下列结论正确是（ ） A.抛物线的对称轴是直线� = 3 2 B.抛物线与 x 轴的交点坐标是（−2，0）和（3，0） C.当 t>− 8 3 时，关于 x 的一元二次方程��2 + �� − 2 = �有两个不相等的实数根 D.若 P（m，n）和 Q（m+5，h）都是抛物线上的点，且 n<0，则 h<0 二．填空题（本大题共 6个小题，每小题 3分，满分 18分.不需要写出解答过程，请把 答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算： 3 26 27 − 1＝ ． 12. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为355 113 ，它与π的误差小于 0.0000003，将 0.0000003用科学计数法可以表示为 . 13.小明为了探究线段的比，先画出△ ABC，再运用尺规作图完成图 1、图 2 的 步骤，那么 �� �� 的值为 . 14. 若关于�的方程 � 3−� − 1 = � �−3 有正数解，则�的取值范围为 . 15. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点 C、D在⊙O上， 连接 AD、BC、CD．若∠P＝110°，则∠PAD+∠C的结果为 ． 16. 如图，已知正方形 ABCD的边长为 4，点 E是正方形内部一 点，连接 EA，EB，满足∠EAB=∠EBC，点 P是 BC边上一动 点，连接 PD，PE.则 PD+PE的最小值为 ． 三．解答题（本大题共 8 个小题，共 72 分.请在答题卡指定区域内作答.） 17．先化简，再求值：（2+3�−4 �+2 ） ÷ � �2−4 ，其中 x是不等式组 � + 1 > 0 1 − � > −�−1 2 的整数解． 18．如图，BE是△ABC的角平分线，在 AB上取点 D，使 DB＝DE． 若∠A＝68°，∠AED＝42°，求∠EBC的度数． 19．为了解九年级学生“自主学习”的学习能力，某校 随机抽取该年级部分学生，对他们的学习能力进行了 统计，（其中学习能力指数级别“1”级，代表学习能 力很强；“2”级，代表学习能力较强；“3”级，代表 学习能力一般；“4”级，代表学习能力较弱）请结合 图中相关数据回答问题. （1）本次抽查的学生人数 人，并将条形统计图补充完整； （2）本次抽查学生“自主学习”能力指数级别的众数为 级，中位数为 级． （3）现从学习能力很强的学生中选出 4名同学，其中只有 1名女生，从中随机抽取两人 写有关“自主学习”的报告，请用列表或画树状图的方法求所抽查的两位学生中恰好是 一男一女的概率． 20.【问题情境】在一次数学实践课上，数学兴趣小组研究“在圆中只用无刻度的直尺作出 满足某条件的圆周角”的方法问题，请仔细阅读相关内容，与小组成员一起完成相应任务。 问题一：如图 1，∠BAC是⊙O的圆周角，我们可以在⊙O中只用无刻度的直尺作一个圆 周角等于∠BAC． 作法：如图 2所示，在⊙O上取一点 D，连接 BD和 CD，则∠D=∠BAC（依据*）． 问题二：如图 1，要在⊙O中只用无刻度的直尺作一个圆周角与∠A互余，应该如何完成呢？ 作法：如图 3 所示，连接 BO 并延长，交⊙O于点 D，连接 AD，则∠CAD即为所要求 作的角． 问题三：在图 1的基础上，要在⊙O中只用无刻度的直尺以 B 为顶点作与∠A相等的圆 周角，应该如何完成呢？ …… 阅读完成之后，请完成以下具体任务： （1）【阅读理解】“问题一”中的“依据*”是指 ； （2）【深入学习】①请说明“问题二”中的作法是否正确，并说明理由； ②对于问题二，你还能找到其他完成任务的作法吗？如果能，请在备用图 1中画出 图形，保留作图痕迹，不写作法； （3）【尝试应用】完成“问题三”：请在备用图 2中只用无刻度的直尺作出满足条件的圆周 角，并仿照“问题二”写出具体作法． 21.洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图 ②，把手与水平线的夹角为 36°，此时把手端点 A、出水口点 B和落水点 C在同一直线 上，并且与 EC的夹角为 60°.其相关数据：AM=10cm，MD=6cm，DE=18cm，求落水点 C到洗手盆边的宽度 EC.（结果保留整数，参考数据： 3 ≈ 1.73，其他如下表） 22.如图，一次函数 y=�� + �（� ≠0）的图象与反比例函数 y=� � （x> 0） 的图象交于 A（1，4），B（�，1）两点. （1）求这两个函数的解析式； （2）直接写出当 x>0时，关于 x的不等式�� + � − � � >0的取值范围； （3）点 P在线段 AB上，且不与点 A，B重合，连接 OA、OP，请问△AOP的面积能否为 3？若能，请求出点 P坐标，若不能，请说明理由. 23.综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行. 如图 1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水。数学小组成员想 了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿 化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下: （1）【建立模型】 数据收集：如图 2，选取合适的原点 0，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口 H 点在 y 轴 上，根据现场测量结果，喷水口 H 离地面竖直高度为 0H=1.6m，把绿化带截面抽象为矩形 DEFG，其中 D，E 点在 x轴上，测得其水平宽度 DE=2m，竖直高度 EF=1m，那么，洒水车与 绿化带之间的距离就可以用线段 OD的长来表示. ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线 的部分图象，分别为�1，�2，上边缘抛物线�1的最高点 A 离喷水口的水平距离为 2m，高出 喷水口 0.4m，求上边缘抛物线�1的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程 OC； ②下边缘抛物线�2可以看作由上边缘抛物线�1向左平移得到，其开口方向与大小不变.请求 出下边缘抛物线�2与 x 轴的正半轴交点 B 的坐标； （2）【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形 DEFG位于上边缘抛物线和下边 缘抛线所夹区域内），利用上述信息直接写出 OD 的取值范围. 24.已知：如图，在矩形 ABCD和等腰 Rt△ADE中， AB=12cm，AD=AE=5cm，∠DAE=90°，点 P从点 B 出发，沿 BA方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q从点 D出发，沿 DB方向匀速运动，速度为 1cm/s.过 点 Q作 QM//BE交 AD于点 H，交 DE于点M，过点 Q作 QN//BC，交 CD于点 N，分 别连接 PQ、PM，设运动时间为 t（s）（0 < t < 12）.解答下列问题： （1）当 PQ⊥BD时，t的值为 秒； （2）设五边形 PMDNQ的面积为 S（��2），求 S与 t之间的函数关系式； （3）当 PQ=PM时，求 t的值； （4）若 PM与 AD相交于点W，分别连接 QW和 EW.在点 P、Q运动过程中，是否存 在某一时刻 t，使∠AWE=∠QWD？若存在，直接写出 t的值；若不存在，请说明理 由.