江苏省海安高级中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期高一年级练习（三) 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合P={xx∈N,x<4,9={0,1,2},则P∩2= A.1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3} 2.已知sin0=3 则cos20= A日 B日 C.-16 D. 3.已知一个扇形的圆心角为交，弧长为交，则该扇形面积为 A晋 B受 c D.10 4.已知非零向量a=(m,m),i=(m,l),则“m=1"是“a∥i"成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知a=(-2,1)b=(-2,-3),则6在ā上的投影向量是 A. _2W13.313 13 13 B.（》 c（2,) D.及》 6.在△MBC中，B=牙，BC边上的高等于}BC,则cosA= A.3v10 B.10 C._v10 D.-310 10 10 10 10 7.将函数f=cosx-号北w<0)的图象向左平移受个单位长度后得到函数g)的图象，且函数 g(x)是奇函数，则w的最大值是 A.-立 5 B.名 c.- D.方 高一数学 (共2页) 第 8.已知平面向量ā，方，e,且同=1.已知向量万与e所成的角为60°，且5-@≥6-e对任意 实数t恒成立，则a+2+a-的最小值为 A.5+1 B.2V5 C.5 D.4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.下列关于平面向量的说法中正确的是 A.已知a、6均为非零向量，若a/i,则存在唯一的实数元，使得a=乃 B.已知a=(L,2),b=(（L,1),且a与a+25的夹角为锐角，则实数2的取值范围是 C.若ac=b.c且c≠0，则a= D.向量(a.b)c-(a.c)b与向量ā垂直 10.已知f(x)=asin2x+cos2x,下列说法正确的是 A.若a=l,f(x)在区间 上单调 B.若f()关于直线x=元轴对称，则a=V5 6 4 C.若a=2,且(m,0)为f(x)的一个对称中心，则sin4m=- 5 D.若a=2,f(x)在区间t,t+ 上的最大值与最小值的差的最大值是√1可 4 11.正方形ABCD的边长为2，E在BC上，且BE=BC,如图，点P是以AB为直径的半圆上任 D 意一点，AP=1AD+uAE,则 A,1最大值为0-1 B.u最大值为1 6 c而+0的最大值为3+25 D.AP.正最大值是2 x 页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在平面直角坐标系x0y中，角α的顶点为原点0，始边为x轴的非负半轴，终边过点A(2,23), 则sina-cosa+tana= 13.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他 所倡导的“0.618优选法在生产和科研实践中得到了广泛的应用.0.618就是黄金分割比m=5-1 2 的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则，m4-m2 1-2sin227° 14.已知△ABC中，点G,O分别是知△ABC的重心和外心，且AG.AO=5,AG=2,则边BC 的长为 四、解答题（本大题共5小题，共77分解答题应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(13分) 已知a=(2,1), 同=25 (1)若a/1乃，求b的坐标： (2)若(5a-2b)1(a+),求a与6的夹角. 16.(15分) 已知函数f)=4sin(oax+p4>0,o>0m<号》 的部分图象如图所示 (1)求函数f(x)的解析式，并求出该函数的单调递增区间； 11元 12 ②诺ae0引且（位+引-？求/侣+君的值 π 12 -2 高一数学 (共2页) 第 17.(15分) 已知ae0,),且sina+cosa=_ 5 (I)求tana的值； (2)求sinacosa+cos2a的值； ③诺B∈0受，tm(e+月=，求2a+B的值 18.(17分) 如图，已知矩形ABCD中，AB=8,BC=4V5,M、N分别是边AD、BC上的一动点（不含 端点)，2为边AB的中点，且∠MQW=l20°，设∠AQM=a. D C (I)求MN,AB的值； M (2)求△MQN面积S(a)的取值范围（提示： a Sa)-Mg-QNsn∠MQN)； (3)求AM.BN的最大值. 19.(17分) 定义：若非零向量OM=(a,b),函数f(x)的解析式满足f(x)=asinx+bcosx,则称f(x)的“积 向量"为OM=(a,b),向量OM=(a,b)的“积函数"为f(x)=asinx+bcosx. (@诺向量O丽为函数f()=2nx+写到}4c:-引的积向量，求o, (②若函数f因为向量oM=(5,-)的积函数，在△M8C中，f(C)=1,且sim(4-B)=5 求证：tanA=3tanB; (3)当向量OM 1V3 22 时，积函数为f),函数闭=了2)，求（在区间+上最 大值与最小值之差的取值范围. 页 2025-2026学年度第一学期高一年级练习（三)） 数学学科答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.B2.A3.A4.C 5.A 6.C7.D 8.B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.AD 10.BCD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1-3 13.2 14.2√6 2 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(13分)(1)因为a11,设6=ā=(2元，)，则|=《(2)2+2=V5|=25,解得 元=±2.因此6=(4,2)或6=(-4，-2). (2)由(1)知，a=5.因为(5a-2)1(a+), 则(5a-25)(a+6)=5-2万2+3a.6=5x(W5-2×25°+3a-6=3ā.6-15=0， 所a5-5,所5-骨骨-x0565m,6-56的大为 3 16（15分》由图象可知，4=2，且7=2侣音月 2元=元=2 12 ，解得0=2， 0 所以fx)=2sin(2x+p),因为f -2m+小2. 所以5π+p=2π+(k∈Z), 6 2 则=2必-背化Z),则仅当片=0时，p=号符合题意， 3 高一数学学科（共2页） 第 1 所以/)-22引令2加吾s2x-骨s2版+经e0, 3 解得红吾5xs红+铅cc刀， 综上，f的解折式为f)=2n2x-到》 单调风间为红 k∈Z) 12 2)由a得/因-22引所以/径-2a+-}2a）- 则（因为引则a+》所以ma}手 2π4 斯侣+引-a+号引ma=2ma+到剖 ma+mgma}m]-传卦9- 5 17.(15分)(1)由sinu+cosa= 5 2,得1+2 sinacosa= 4 JN 亏解得2 s= <0, 而a∈(0，π)，则sina>0,cosu<0,sina-cosa=V1-2 sina cosa= 3V5 5 因此sa三，cosa=-,所以tana -ing/ 5 cosa 2' 2cos2a-1=-7+8 2 (2)由(1)得sinacosa+cos2a=- 7.81 555 11 (3)由(1)知，tand=- -2,tan(2a+B)=tana+tan(a+B) 23 1-tana tan(g +B)1-( -=-1, ae网，Be0,则2a+Be(x,所以2a+B=7 18.(17分)(1)根据题意，可得M=MA+AB+B,MA⊥AB,BN⊥AB, 所以B=(M+B+B丽B=MB+B.B+BN.AB-(a=A=64: (2)因为AB=8,2为边AB的中点，且∠MQW=120°，∠AQM=x, 所以AQ=BQ=4,∠BON=60°-a, 页 所以在直角△AQM中，MQ=4坦_ 4 cosa cosa BO 同理，在直角△BON中，ON= 4 cos(60°-a)cos(60°-a)' 所以S(a）=)MgQw-sin∠Mew= 4v5 8v5 cosacos(60°-a) a∈(0°，60) 2+cos(2a-60) 因为-60°≤2a-60≤60，所以号c0s(2u-60)s1, 16W5 8V5 所以3 2+c0s(2a-60)】 (3)在直角△AQM中，AM=AQ·tan&=4tana, 同理，在直角△BQW中，BN=BO.tan(60°-a)=4tan(60°-a), 所以AM.B=l6tana,tan(60°-a)=16tana. 3-tana ,a∈(0°，60）， 1+3tana 令x=tama∈0,5)，则ama,5-ama-V5x-￥ 1+√3tana1+√3x e1+i则后-号+时 4、 1+V5x 3t33 所以孤丽鸟 所以.丽m-16当且仅当1=2，即a=30°时取到 3 19.(17分)【详解】(1)由函数 f-2+到}+4- =2sin xcos+2cosxsin+4sin x=5sinx+3cosx, 3 根据“积函数"的定义，可得OM=(5,V3), 所以OM=V52+(5)2=2√万 (2)证明：由函数f(x)为向量OM=(W5,-1)的积函数，可得f(x)=V3six-cosx, 因为f(C)=l,可得V5sinC-cosC=2sin(C-乃)=1，即sin(C-马=} 62 66,所以C-2= 又因为Ce@,所以-君<C-名。， 66 ，解得C= 3 高一数学学科（共2页） 因为sin(4-B)=sinc-cos sn=5， 4 又因为A+B=π-C,所以sin(A+B)=sin Acos B+cosAsin B=sinC= 2 两式相加，可得sin Acos B= 3V 8 ,两式相减可得cos Asin B= 8 所以sin4cosB=am4=3,所以tanM=3tanB. cos Asin B tan B (3)由向量OM 时， 可得积器致为创-nx:当=+孕， 2 则h(=f2=n2x+孕， 设h()在区间5t+买 上的最大值与最小值之差为F(), 6 因头xet,t+5可得2x+a21+,21+ 2π 3 3 3 2r+≥-元+2m ①当 3 2 ,keZ时， 2t 2m≤L+2km 32 即各虹s1s音+teZ2,可得以-0+月-+孕-=如a+ 5 cos 2t, 6 2 2 -0=m2+争-h2+5。 cos2t, 2 2 所以h(x)nx-h(x)nn=-sin2t, 因为te[ +km,12 12 臣+eZ,所以2e-g+2音2akeZ 6 所以sn2eL,所以P0e,: 21+匹≥元+2a ②当{ 32 ,k∈Z时， 2+2π≤3π+2m 3-2 即合+红s音+红kez时可得-k0-n0+骨-2a 12 -cos 21, 2 =+7=m+3=血2+ cos21, 第2页 所以h(x)r-h()n=sin2t, 因为te哈+径+创keZ,所以21e哈2 6 5π+2m,keZ, 所以sin21e,所以F)e,: 2f+7+2r+2 3 ③当 2 号2加，且teZ时，甲-音+<15eZ时 2 21+<5+2m<21+2外 32 3 可得h(=1,A(e以=0=m2+孕，所以F0=1-sin2+孕， 因为1e(-晋+hate2,所以2+号爱+2a号42ate2乙， 3 6 所以n2+学e宁：分 3 G9.所以P0e-9: 21++21+2 3 ④当 2 >经+2，且te7时，即a<1+品eZ时， 2 12 2r+<号+2m<21+ 2π 32 可得=1，Ae以=+爱=snu+3.所以F)=1-sQ+孕。 因为re(aa+合eZ,所以21+晋e停+2 ,5π+2km,keZ, 6 所以sin(2t+ 21++21+2 3 ⑤当 2 32m且keZ附，即梁标<4S低+keZ 2 12 +<3亚+2m<21+2 2+322 可得h()=0=sin21+孕=)sin2r+5 cos2t,h(x)min=-1, 3 所以F(0)=sin(2t++l, 3 因为1e音+点k+ez,所以2+骨e径+2a智+2keZ, 3 6 高一数学学科（共2页) 所拟2e5白所以F0en ⑥当 2x++2+5,3+2k ,2π 3 2 且keZ时，即受+低t< ,keZ时， 21+<3+2m<2r+2 12 32 可特=A引-2a+》=-1, 所以F0=2u+学1， 因为1e+a1<a+合kez,所以2u-号e停+2+2ateZ, 6 越e+3c(兽3所似r0en-9 3 2’2 综上可得：F0en-5 , 所以问在区间u哥 上的最大值与最小值之差的取值范围为一，小 第3页