专题08一次函数的图象和性质复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

专题08一次函数的图象和性质复习讲义 高效复习◆重点 核心：熟练掌握一次函数（含正比例函数）的概念、解析式标准形式，牢记图象特征与性质，能结合k、b分析增减性、象限及交点，会用待定系数法求解析式，规范解题。 概念辨析：理解一次函数及正比例函数的定义，明确解析式中k≠0的核心约束，能区分一次函数与非一次函数。 图象与性质：掌握一次函数图象特征，明确k、b与图象位置、象限、增减性的关联，能根据k、b快速判断相关特征。 应用与计算：熟练运用待定系数法求解析式，能结合图象求坐标轴交点，解决基础图象分析问题。 核心题型◆归纳 题型1正比例函数的定义 题型2根据一次函数的定义求参数 题型3求一次函数自变量或函数值 题型4列一次函数解析式并求值 题型5正比例函数的图象性质 题型6根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型7已知函数经过的象限求参数范围 题型8一次函数图像与坐标轴的交点问题 题型9画一次函数图象 题型10一次函数图象平移问题 题型11一次函数图象与对称问题 题型12一次函数图象与旋转问题 题型13判断一次函数增减性 题型14根据一次函数增减性求参数 题型15根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型16比较一次函数值的大小 题型17一次函数的规律探究问题 题型18求一次函数解析式 题型19提升测试 重点知识◆梳理 知识点01 一次函数的概念 1.定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。 2.自变量与因变量：x为自变量，y为因变量，y的值由x和k、b共同决定，且符合“x每一个确定值对应唯一y值”的函数特征。 3.正比例函数：当b=0时，一次函数变为y=kx（k≠0），即为正比例函数（一次函数的特殊形式）。 核心特征：必过原点（0，0）。 4.关键提醒：k≠0是一次函数的核心条件，若k=0，则y=b为常数函数，不属于一次函数； 知识点02 一次函数的图象与性质 1.图象形状：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，因此一次函数也叫做线性函数。 2.增减性（由k的符号决定，与b无关）： 当k>0时，y随x的增大而增大，直线从左到右呈上升趋势。 当k<0时，y随x的增大而减小，直线从左到右呈下降趋势。 3. 参数k、b的几何意义： k：决定直线的倾斜程度和增减性，|k|越大，直线越陡峭；|k|越小，直线越平缓。 b：决定直线与y轴的交点位置，b>0交正半轴，b<0交负半轴，b=0过原点。一次函数y=kx+b的图象特征和性质（如下图） 4.关于正比例函数的画法： 5.常见性质应用： （1）比较函数值大小：根据k的符号，判断x增大时y的变化趋势，进而比较不同x对应的y值。 （2）判断交点位置：根据b的符号，快速确定直线与y轴的交点；结合k、b，判断直线经过的象限。 知识点03一次函数的图象平移 1.平移规律：一次函数图象的平移仅改变直线与y轴的交点位置（即参数b的值），不改变直线的倾斜程度（即参数k的值）。 2.核心：遵循“上加下减、左加右减”原则。 3.平移法则： （1）上下平移：沿y轴方向平移，只改变b的值。 向上平移m个单位（m>0）：解析式变为y=kx+b+m； 向下平移m个单位（m>0）：解析式变为y=kx+b-m。 （2） 左右平移：沿x轴方向平移，需将解析式整理为“x单独在一侧”后，改变常数项（等价于调整b的值）。 向左平移n个单位（n>0）：解析式变为y=k(x+n)+b=kx+kn+b； 向右平移n个单位（n>0）：解析式变为y=k(x-n)+b=kx-kn+b。 4.关键提醒：平移后k值不变，因此直线的增减性、倾斜程度保持不变，仅位置发生改变 知识点04一次函数解析式的求解 1.核心方法：待定系数法，即根据已知条件（如两点坐标、与坐标轴交点等），求出解析式中k、b的值。 2.规范步骤： （1）设解析式：设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）； （2）代条件：将已知点的坐标（x，y）代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组（正比例函数只需一个非原点坐标，列一元一次方程）。 （3）解方程组：求解方程组，得出k、b的值。 （4）写解析式：将k、b的值代入所设解析式，得到完整的一次函数解析式。 易错提示：求解后需验证，确保解析式符合已知条件；正比例函数不可遗漏b=0的条件。 题型解析◆精准备考 题型1正比例函数的定义 1．下列说法中不成立的是（   ） A．在中，与成正比例 B．在中，与成正比例 C．在中，与成正比例 D．在中，与成正比例 【答案】D 【分析】对于两个变量x、y，若满足（k是常数，且），那么y与x成正比例，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴与成正比例，原说法正确，不符合题意； B、在中，与成正比例，原说法正确，不符合题意； C、在中，与成正比例，原说法正确，不符合题意； D、在中，与成正比例，与不成比例，原说法错误，符合题意； 2．若函数是正比例函数，则的值是_____________ . 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：，为常数且，自变量的次数为1，即；． 【详解】解：由题意得：， ,而， , 故答案为： ． 3．已知与成正比，当时，，求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，先理解与成正比，得，再代入数值，得，即可作答． 【详解】解：∵与成正比， ∴设， 当时，，可得 解得， ∴ ∴． 题型2根据一次函数的定义求参数 1．若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正比例函数要求自变量的次数为1，且比例系数不为0，据此列关系计算即可． 【详解】∵是关于的正比例函数， ∴根据正比例函数的定义可得， 解，得，即， 由，得， ∴． 2．若是一次函数，则的值是__________． 【答案】3 【详解】解：函数 是关于的一次函数， 且， 由得， 解得或， 由得， ， 3．（1）若函数是正比例函数，求m的值； （2）若函数是一次函数，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数和正比例函数的解析式分别为，． （1）根据正比例函数的解析式为得到，即可求解； （2）根据一次函数的解析式为得到且，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴； （2）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得． 题型3求一次函数自变量或函数值 1．已知点在一次函数的图象上，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的横坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入得：． 2．函数的图像经过点（1，______）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴函数的图像经过点． 3．已知函数， (1)当时，求函数的值； (2)当x取何值时，函数的值为0． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将代入，得； （2） 解：令，解得． 题型4列一次函数解析式并求值 1．子轩在用描点法画某个一次函数的图象时列得如下表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（    ） x … 0 1 … y … 14 11 8 5 3 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质可求出x的值每增加1，y的值就增加k，再结合表格中的数据可得答案． 【详解】解：设该一次函数的解析式为， 当时，， 当时，， ∵， ∴x的值每增加1，y的值就增加k， 由表格可知，当时，x的值每增加1，y的值就减少3， 而时的函数值相对于时的函数值减少2， ∴点不在该一次函数的图象上， 故这组错误的数据是． 故选：A． 2．已知点是直线上一点，则点的坐标可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为．（答案不唯一） 3．如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上． (1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______； (2)若点M在y轴上，求的最小值； (3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标． 【答案】(1)1，2 (2)的最小值为． (3) 【分析】（1）根据点到y轴的距离为即可得出答案； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时达到最小，且最小为，过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点，然后利用勾股定理求得答案即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为，然后用待定系数法求出直线的解析式，然后再求出直线与轴的交点即可． 【详解】（1）解：已知点，， 到y轴的距离为，到y轴的距离为2； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： 关于轴对称，， ，， ， 取得最小值，且最小值为， 过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点， ， ，， ，， ， 的最小值为． （3）解： 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为， 关于轴对称，， ， 设直线为，代入， ， ， 直线为， 当时，，解得， 故． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题型5正比例函数的图象性质 1．已知一次函数的图象和正比例函数的图象在同一个坐标系内，那么可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质． 根据一次函数和正比例函数的图象分别判断出每个选项中，的符号，即可判断． 【详解】解：A、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过二、三、四象限，则，，矛盾，不符合题意； B、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过一、二、三象限，则，，符合题意； C、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过一、三、四象限，则，，矛盾，不符合题意； D、由图象可得，正比例函数经过一、三象限，则，， 一次函数经过一、二、四象限，则，，矛盾，不符合题意； 2．已知点，，直线与线段有公共点，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】直线过坐标原点，分别求出直线经过端点和端点时的值，即可确定的取值范围． 【详解】解：将代入，得 ，解得，此时取最大值． 将代入，得 解得，此时取最小值． 直线与线段有公共点， ． 3．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况； (2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1)，y的值随x值的增大而减小 (2)见解析 (3)点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上 【分析】（1）直接把点代入正比例函数，求出k的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）把点、点横坐标代入正比例函数的解析式求出y的值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式， ∵， ∴y的值随x值的增大而减小； （2）解：当时，， 当时，， ∴经过点，，描点画出图象如下： （3）解：∵正比例函数的解析式为， ∴当时，，当时，， ∴点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上． 题型6根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象不经过第三象限，结合一次函数性质确定的取值范围，再将各选项点坐标代入函数求出，判断是否符合的范围即可． 【详解】解：令得，， 一次函数与轴交于， 一次函数（）的图象不经过第三象限， ， 选项A、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项B、 将代入函数得：，解得，符合条件； 选项C、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项D、 将代入函数得： ，解得，不满足，不符合条件； 则点的坐标不可能为． 2．已知直线: ，则直线一定经过点______． 【答案】 【分析】将直线方程变形整理为含参数的式子，根据等式恒成立的条件，令参数的系数为，即可求出直线恒过的定点坐标． 【详解】解： ∵该式对任意实数都成立， ∴需满足的系数为，即， 解得， 将代入 ，得， ∴直线一定经过点． 3．已知一次函数，试讨论其图象经过哪些象限？ 【答案】当时，图像经过第一、二、三象限； 当时，图像经过第一、三象限（过原点）； 当时，图像经过第一、三、四象限； 当时，图像经过第一、二、四象限． 【分析】本题考查一次函数图像的象限分布，关键在于理解一次函数中和对图像位置的影响． 函数表达式为，可以整理为，或者更直观地写成，即，其中．通过分析的不同取值范围，判断直线与轴交点的位置（的正负），从而确定图像经过的象限． 【详解】解：函数为，图像为一条直线，其经过的象限取决于的正负及的正负． 若，从左下向右上延伸． 令，解得． 此时，直线与y轴交于正半轴． 当时，，图像经过第一、二、三象限． 当时，，直线过原点，图像经过第一、三象限． 当时，，直线与y轴交于负半轴，图像经过第一、三、四象限． 若，直线从左上向右下延伸． 此时，由于，则， 故正数，所以无论为何负数，总是大于0． 即当时，，直线经过第一、第二、第四象限． 当时，图像经过第一、二、三象限； 当时，图像经过第一、三象限（过原点）； 当时，图像经过第一、三、四象限； 当时，图像经过第一、二、四象限． 题型7已知函数经过的象限求参数范围 1．直线向上平移个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先求出平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件得到的取值范围，结合选项即可得到答案． 【详解】解：由平移规则可知，直线向上平移个单位长度后，解析式为． ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，且一次项系数， ∴， 解得， 结合选项可知，只有D选项的7满足条件． 2．是关于的一次函数，图象过第一、二、三象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、三象限，可得一次项系数为正，常数项为正，列出不等式组解答即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴的取值范围是． 3．已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）一次函数中，，时，函数是正比例函数，据此列方程求解； （2）一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，据此列不等式组求解； （3）①一次函数中，时，随的增大而增大，则当时，最大值是，②函数中，时，随的增大而减小，则当时，最大值是，据此列方程求解． 【详解】（1）解：为正比例函数， ， ． （2）解：不经过第一象限， 可得， 解得． （3）解：分两种情况讨论， 当，即，随的增大而增大， 则当，， 可得， 解得； 当，即，随的增大而减小， 则当，， 可得， 解得； 综上或． 题型8一次函数图像与坐标轴的交点问题 1．关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数值y随着x的增大而减小 B．点在该函数图象上 C．图象不经过第二象限 D．图象与y轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的性质是解题关键，根据的符号判断增减性，根据和的符号判断图象经过的象限，代入点坐标验证点是否在图象上，求出与轴交点坐标，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，，随的增大而增大，故A错误． 选项B，当时，， 点不在该函数图象上，故B错误． 选项C，，，一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故C正确． 选项D，当时，， 图象与轴的交点坐标为，故D错误． 2．将正比例函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的函数图像与x轴的交点坐标为______． 【答案】 【分析】先根据平移规律得到平移后的函数解析式，再令求解横坐标即可得到交点坐标． 【详解】解：将正比例函数的图像向下平移2个单位长度，根据平移规律“上加下减”， 可得平移后的函数解析式为， 令，可得， 解得， ∴平移后的函数图像与轴的交点坐标为． 3．一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求该函数的图象与轴，轴的交点坐标： (3)画出该函数图象． 【答案】(1)这个一次函数的表达式为 (2)该函数的图象与轴，轴的交点坐标分别为， (3)见解析 【分析】（1）这个一次函数的表达式为，代入点和，得到，解得，即可求解； （2）当时，，解得，得到该函数的图象与轴的交点坐标为；当时，，得到该函数的图象与轴的交点坐标为； （3）利用两点法即可画出函数图象． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， ∵一次函数的图象经过点和， ∴将点和代入中，得 ，解得， ∴这个一次函数的表达式为； （2）解：由（1）知这个一次函数的表达式为， ∵当时，， 解得， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为； ∵当时，， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为； （3）解：一次函数的图象如图所示， 题型9画一次函数图象 1．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握利用描点法画一次函数图象是解题的关键． 在平面直角坐标系中，描点，发现点、、在同一直线上，点不在直线上，据此解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，表格中各点的位置为： 则表格中点、、在同一直线上，不在直线上， 故选：D． 2．若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过__________象限． 【答案】四 【分析】本题考查了一次函数的图象．在函数中运用数形结合的思想是解题的关键． 根据一次函数图象过、，在平面直角坐标系中作一次函数图象，然后作答即可． 【详解】解：如图， ∵一次函数的图象经过利点， ∴函数的图象不经过第四象限， 故答案为：四． 3．综合实践小组探究香燃烧时剩余长度与燃烧时间的关系．下面的表格是他们实验过程中的相关数据，请利用表格中的信息解答下列问题： 燃烧时间 0 5 10 15 剩余长度 25 20 15 10 (1)写出关于的函数关系式 ，自变量的取值范围是 ． (2)在图中画出函数图象． (3)当燃烧时间为18分钟时，求出香剩余的长度． 【答案】(1)，自变量的取值范围为； (2)见解析 (3) 【分析】（1）找到剩余长度随着燃烧时间的变化规律及自变量的取值范围即可； （2）根据（1）中的函数解析式和自变量取值范围画出函数图象即可； （3）把自变量的值代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，燃烧时间每增加分钟，则剩余长度就减少， ∴，即，其中自变量的取值范围为； （2）如图即为所求， （3）当燃烧时间为18分钟时，即时， 即剩余的长度为． 题型10一次函数图象平移问题 1．在平面直角坐标系中，将直线平移后，得到直线，则下列平移方法正确的是（    ） A．将直线b向左平移3个单位长度得到直线a B．将直线b向右平移6个单位长度得到直线a C．将直线b向上平移1个单位长度得到直线a D．将直线b向下平移6个单位长度得到直线a 【答案】D 【分析】用到一次函数平移规律“左加右减，上加下减”，计算不同平移方式得到的解析式，和目标直线对比即可得到正确结果 【详解】解：∵一次函数图象平移规律为“左加右减，上加下减”，原直线，目标直线， 若沿x轴平移， 设平移个单位，得平移后解析式为， 令， 解得，即直线向右平移3个单位得到直线，选项A、 B均不符合； 若沿y轴平移，设平移个单位，得平移后解析式为 令， 解得，即直线向下平移6个单位得到直线，符合选项D 2．若将直线向下平移3个单位长度后，经过点，则k的值为___________． 【答案】2 【分析】根据平移规律得到平移后的直线解析式，再将已知点的坐标代入即可求出的值． 【详解】解：直线向下平移个单位长度后的函数解析式为，即， 把代入，得， 解得． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围或． 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）根据题意求得，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 将点代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，，其中， ∴， 情况1：当即， 此时随的增大而增大， 在时取得最小值，最小值为， 由，得， 解得； 情况2：当即，此时， 不满足，舍去； 情况3：当即， 此时随的增大而减小， 在时取得最大值， 最大值为， 由，得，解得； 综上，的取值范围或． 题型11一次函数图象与对称问题 1．若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称点P（或点Q）的纵坐标为函数，与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】设，，根据题意，得， 求解即可． 【详解】解：函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，且，， 设，， 根据题意，得， ， 解得， ． 2．若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____ 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，轴对称性质，待定系数法求函数解析式；由直线，知与x轴交于，与y轴交于，根据轴对称性质，直线经过点，，待定系数法求的值，即可求解． 【详解】解：直线，时，；时，； ∴直线与x轴交于，与y轴交于． ∴直线经过点，． ∴，解得， ∴． 故答案为：． 3．已知是一次函数． (1)求m的值； (2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式． （1）根据一次函数的定义得到，，求解即可； （2）先确定函数解析式，再分别令，，求出该函数图象与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据直线l与一次函数的图象关于y轴对称，得到直线l过点，，运用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴，， 由得， 由得或， ∴． （2）解：∵， ∴一次函数的解析式为， ∵当时，， ∴该一次函数的图象与y轴的交点为， ∵当时，，解得， ∴该一次函数的图象与x轴的交点为， ∴该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为． （3）解：∵直线l与一次函数的图象关于y轴对称，且一次函数的图象过点，， ∴直线l过点，， 设直线l的解析式为， ∴，解得， ∴直线l的解析式为． 题型12一次函数图象与旋转问题 1．如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， 当时，， 点的坐标是， 由直线的图像可知随的增大而增大， 当时，， 的值可以是． 故选：D． 2．将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的旋转以及一次函数与坐标的交点问题，掌握一次函数图象的旋转是解题的关键．一次函数中，令，则，当一次函数绕原点顺时针旋转后，则的对应点为，得到，分别当和时讨论，即可解得． 【详解】解：在一次函数中，令，则， ∴直线经过点， 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转， 则的对应点为， 旋转后图象与轴交于点， ， ， ， 当时，，解得，即； 当时，，解得，与矛盾，无解； 的取值范围是， 故答案为：． 3．如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1）____________． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为__________________． 【答案】 1 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过证得三角形全等求得点的坐标． （1）根据待定系数法即可求得； （2）过点作轴于点，通过证得，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：（1）一次函数的图象经过点， ， 解得． 故答案为：1． （2）一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， 令，则；令，即，则， ，， ，． 如图，过点作轴于点． ，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将，代入， 得， 解得， 直线的函数解析式为． 故答案为：． 题型13判断一次函数增减性 1．已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用一次函数的增减性，结合和的符号，确定直线与轴交点的位置，再根据的乘积关系判断的符号，得到结论． 【详解】解：∵，∴随增大而增大， ∵，∴， 令，得直线与轴交点横坐标， ∵，，∴，即交点在轴正半轴， 若，可得，因此， ∵，，∴，，可得，故C正确． A中可为负，可为正，， A错误； B中为负，为正，，B错误； D中可正可负，不一定小于，D错误． 2．一次函数（m为常数且），若y随x的增大而增大，则它的图象经过第________象限． 【答案】一、二、三 【分析】根据一次函数的增减性确定，再结合一次函数图象与系数的关系，判断图象经过的象限． 【详解】解：一次函数（为常数且），随的增大而增大， ， 对于一次函数，一次项系数为，常数项为， ， 一次项系数大于零，图象经过第一、三象限，常数项大于零， 图象与轴交于正半轴，图象经过第二象限， 该一次函数的图象经过第一、二、三象限． 3．经过实验获得两个变量x，y的一组对应值如下表． x 1 2 3 4 5 6 ······ y 5 4 3 2 1 0 ······ (1)请画出相应函数的图象，并写出一个符合表中数据的函数解析式． (2)在（1）的结论下，观察可近似得到y随x的增大而 （填“增大”或者“减小”）． 【答案】(1)作图见详解， (2)减小 【分析】（1）根据题意将点坐标在函数图象中标注出，再用直线将各个点连接即可，由图象可知，该函数为一次函数，利用待定系数法即可求得函数解析式； （2）由函数图象可知，y随x的增大而减小． 【详解】（1）解：如图所示，函数图象即为所求： 由图象可知，该函数为一次函数，设一次函数的解析式为， 将点和点代入得： ， 解得， ∴一次函数的解析式为． （3） 解：由函数图象可知，在第一象限内，y随x的增大而减小． 题型14根据一次函数增减性求参数 1．已知和是一次函数图象上的两点，若，则该一次函数的图象还可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知，一次函数中随的增大而减小，把四个选项中的点分别代入解析式求出值验证即可． 【详解】解：和是一次函数的图象上的两点，且，， 一次函数中随的增大而减小， ， A选项：把点代入， 可得：， ， 故A选项不符合题意； B选项：把点代入， 可得：， ， 故B选项符合题意； C选项：把点代入， 可得：， 故C选项不符合题意； D选项：把点代入， 可得：， ， 故D选项不符合题意． 2．一次函数，当时，的最大值为5，则的值为__________． 【答案】2或/或2 【分析】本题考查一次函数的增减性，根据一次函数的性质，分和两种情况讨论，确定区间内最大值的位置，列方程求解即可. 【详解】解：函数 是一次函数，则， 当 时，一次函数 随 增大而增大， 当时，函数最大值取在 处， 则 ， 令 ， 解得 ，符合条件； 当 时，一次函数 随 增大而减小， 当时，函数最大值在 处， 则 ， 令 ， 解得 ，符合条件. 3．一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移规则求出新的函数解析式，待定系数法求出的值即可； （2）分和两种情况，结合一次函数的性质，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，平移后的解析式为， 把点代入，得， 解得； （2）解：当时，则随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 当时，则随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 综上：. 题型15根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 1．已知，是一次函数图象上的两个点，则，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数解析式中比例系数的符号判断函数的增减性，再结合两点y值的大小比较x值的大小即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵点，在该一次函数图象上，且，即， ∴． 2．若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则_____．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数增减性比较大小，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 根据一次函数图象经过第一、二、四象限，确定，且，从而确定一次函数的函数值随的增大而减小，再比较和的纵坐标大小，即可得到横坐标的大小． 【详解】解：一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限， ，且， 则一次函数的函数值随的增大而减小， 由点和在函数图象上，且，可得， 故答案为：． 3．已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据增减性和图象与轴的交点，得到且，再根据为整数即可求解； （2）结合（1）的结果，得到函数解析式，即可得到的范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小， ∴且，解得：， ∵为整数， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴当时，，则， 当时，，则， ∴． 题型16比较一次函数值的大小 1．若点都在直线（为常数）上，则的大小关系是（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数解析式的斜率判断y随x的增减性，再比较两点横坐标的大小即可得到y的大小关系． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 2．点和都在直线上，则与的关系是________（填或）． 【答案】 【分析】根据正比例函数的性质.，可通过代入横坐标计算函数值直接比较，也可根据一次函数的增减性结合横坐标大小关系判断与的大小． 【详解】解：方法一：代入求值比较 将代入，得， 将代入，得， ， . 方法二：利用一次函数增减性判断 在直线中，， ， ， ． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点． (1)求k的值； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入，即可求出k的值； （2）根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴． ∴； （2）解：由（1）得一次函数解析式为， ∵， ∴y随x的增大而减小． ∵当时，， ∴当时，． 题型17一次函数的规律探究问题 1．在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律． 首先，根据等腰直角三角形的性质求得点，的坐标；然后，将点，的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线的解析式为；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点，的横坐标为，即可求得点的坐标，进一步可得答案． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 是等腰直角三角形，， ， 点的坐标为， 同理，在等腰直角三角形中，，，则， 和均在一次函数的图象上， ， 解得， 该直线的解析式为， 和的横坐标相同，都是3， 当时，，即，则， ， …… 以此类推，，的横坐标为， 当时，， 点的坐标为． 点的坐标为． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据题意，先找到点，，横纵坐标的规律，然后由求解即可． 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 同理可得，，，… ∵，， ∴ ∵ ∴点的坐标为，即． 3．一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为5； (2)一次函数解析式为或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为5所对应的函数值即可； （2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式． 【详解】（1）解：①把代入得， 解得； ②当时，， ∴， ∵y随x的增大而增大， ∴当时，时，P的值最大， 当时，， 即P的最大值为5； （2）解：当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 题型18求一次函数解析式 1．已知点，点，将直线沿水平方向向右平移4个单位，得到直线，若点，在直线上，则的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先设直线的解析式为，将、两点坐标代入解析式联立方程组，两式相减消去含的项，求出；再依据直线向右平移的特点，得到平移后直线倾斜度保持不变，设出平移后的直线解析式；最后将、两点坐标代入平移后的函数关系式，把两个等式再次作差，消去参数与常数项，即可算出的值． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得：， 两式相减得，解得． ∵将直线沿水平方向向右平移4个单位，得到直线， ∴可设直线的解析式为． ∵点，在直线上， ∴， 两式相减，得． 2．已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到直线，则直线的解析式为_____． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，待定系数法求一次函数解析式；先求出原直线上两个点平移后的坐标，再利用待定系数法即可求解直线的解析式． 【详解】解：根据题意可得：平移后得到点，平移后得到点， 设直线的解析式为， 将两点坐标代入得， 解得， 因此直线的解析式为． 3．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于、两点． (1)求一次函数解析式； (2)点P是y轴上的点，若的面积为2，求此时P点的坐标． 【答案】(1) (2)P点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）设，根据三角形的面积为2建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将、代入， 得， 解得，， 故一次函数的解析式为． （2）设，、， 解得，或， 故点的坐标为或． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义（形如（其中为常数，且）的函数是的正比例函数）对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、符合正比例函数的定义，符合题意； B、是一次函数，常数项不为，不是正比例函数，不符合题意； C、是反比例函数，不符合正比例函数的形式，不符合题意； D、中未说明，当时不是正比例函数，不符合题意． 2．将直线沿轴向下平移个单位长度后得到的直线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】掌握“上加下减”的平移法则，按平移规律求解即可． 【详解】解：直线沿轴向下平移个单位长度， 平移后的直线表达式为． 3．已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数需满足两个条件：x的次数为1，且一次项系数不为0，据此列等式和不等式计算即可得到m的值． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解，得，即或， 又∵，即， ∴． 4．点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．9 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将点的横坐标代入解析式即可求出纵坐标的值． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ． 5．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（　　） A．第三、二、一象限 B．第二、三、四象限 C．第二、一、四象限 D．第三、四、一象限 【答案】B 【分析】由一次函数图象的平移规律和一次函数图象与系数的关系解题即可． 【详解】解：∵一次函数的图象由直线向下平移个单位长度得到， 根据平移规律“上加下减”可得平移后的解析式为， ∴， 又∵， ∴一次函数中，斜率为负，且与轴交于负半轴，因此图象经过第二、三、四象限． 6．一次函数的图象过点，，，则下列判断正确的为（  ） A． B．的值与有关 C． D．若，则点在轴的左侧 【答案】A 【分析】先将A，B两点坐标代入一次函数解析式求出的值，再结合各选项要求逐一计算判断即可. 【详解】∵ 点，在上， ∴ ， 两式相减得 ，因此选项C 错误； ∵ 点在上， ∴ ， 又， 因此，即为定值，与无关，选项B错误； 计算的长度，横坐标差为，纵坐标差为， 由勾股定理得，因此选项A正确； 对于选项D，若，则，得，的横坐标为，，无法推出， 例如时，，点在轴右侧，因此选项D错误. 二、填空题 7．写出一个函数表达式，使它的图像经过，且时，y随x的增大而减小，这个函数表达式可能是：___． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设所求函数为一次函数，根据函数的增减性确定一次项系数的取值范围，再利用函数图象经过已知点求解未知参数，即可得到符合要求的函数表达式． 【详解】解：设所求函数为一次函数，表达式为， 时，随的增大而减小， ， 令，可得函数为， 将点代入得，解得， 因此符合条件的函数表达式可以为． 8．已知点在函数的图象上，则的值为______． 【答案】 【分析】把点代入，然后解关于的方程即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴ ， ∴的值为． 9．直线被两坐标轴截得的线段长度为10，则________． 【答案】 【分析】先求直线与两坐标轴的交点，再利用两点间距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：当时，， 解得， 直线与轴交于点， 当时，， 直线与轴交于点， 两交点间的距离为， 解得：． 10．已知点都在函数图像上，则的大小关系是_____．（用“<”连接） 【答案】 【分析】先得到一次函数的增减性，然后根据确定函数值的大小解答即可． 【详解】在函数 中， ∵ ， ∴随的增大而减小， ， 即 ， ∴． 11．如图，直线过，两点，则解为______． 【答案】 【详解】解：∵直线过，两点， ∴， 解得：， ∴， ∴， 解得：， ∴解为． 12．如图，在平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的斜边长是______． 【答案】 【分析】利用一次函数的解析式求出直线与轴的交点坐标，进而可得第个等腰直角三角形直角边的长为，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：当时，， ∴直线与轴交于点， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ∴第个等腰直角三角形的斜边长是． 三、解答题 13．已知函数． (1)当时，求函数的值； (2)当函数值为时，求自变量的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先判断所在的区间，再代入对应的分段函数进行求值； （2）分和两种情况列方程求解，最后将解代回原区间进行检验，舍去不符合条件的值． 【详解】（1）解 ：∵， ∴． （2）解：当，，令，解得； 当，，令，解得或，由，则． 综上，自变量的值为或． 14．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数不过第二象限，y随着x的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出值即可； （2）根据互相平行的两条直线相等求出的值即可； （3）根据一次函数的性质求出的取值范围． 【详解】（1）函数图象经过原点， 令，， 代入得：， ； （2）函数的图象平行于直线， ， ； （3）这个函数不过第二象限，y随着x的增大而增大， 且， 且， ． 15．已知关于的正比例函数． (1)若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围； (2)若随的增大而减小，求的取值范围； (3)若点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象经过第一、三象限，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围； （2）根据正比例函数中随的增大而减小，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围； （3）根据点在该函数的图象上，把代入解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：函数图象经过第一、三象限， ， 解得：； （2）解：正比例函数中随的增大而减小， ， 解得：； （3）解：点在该函数的图象上， ， 解得：． 16．如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)请在图中作出关于y轴的轴对称图形，并直接写出点坐标； (2)请在图中作出向下平移2个单位长度，向右平移1个单位长度的图形，并直接写出点坐标 (3)y轴上一动点P，当有最小值时，画图确定点P的位置，直接写出P点坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3)图见解析， 【分析】本题考查轴对称图形的绘制、图形的平移以及最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称的性质、平移的规律和利用轴对称找最短路径的方法． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，求出、、的坐标，再描点作图； （2）根据平移的规律，求出、、的坐标，再描点作图； （3）利用轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点． 【详解】（1）解：如图：即为所作， 已知，所以点坐标为， ； （2）解：如图：即为所作， 已知， 则点坐标为，即， ； （3）解：如图：点P即为所作， 作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点， 设直线的解析式为，将和代入得： 解得，， 所以直线的解析式为， 令，则， 所以点坐标为． 17．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (2)已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）． 【答案】(1)见解析 (2)①②③ 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的平移和轴对称、点的旋转变换等知识，熟练掌握各种变换是解题的关键． （1）求出一次函数与y轴的交点和与x轴的交点，画直线即可得到答案； （2）把函数变换后验证是否过点即可． 【详解】（1）解：当时，，得到直线与y轴的交点为， 当时，，，得到直线与x轴的交点为， 在直角坐标系中描出点和，过这两点画直线，即为的图象，如图所示： ； （2）①向上平移4个单位，平移后解析式：， 代入得到， ∴函数图象经过变换后过点． ②沿x轴翻折 翻折后解析式：，即 代入得到， ∴函数图象经过变换后过点． ③绕原点按顺时针方向旋转， 设原函数上任意一点旋转后对应点为，旋转的坐标变换为，即， 代入原函数，得，整理得， 代入：， ∴函数图象经过变换后过点． 综上，能使函数图象经过变换后过点是①②③． 故答案为：①②③． 18．【阅读理解】 对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． 【初步探究】 (1)如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式； 【深入思考】 (2)在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为． 【分析】（1）利用待定系数法求得原函数为，根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，列式求解即可； （2）根据题意两个函数有交点，即方程在范围内有解，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵函数经过点， ∴将点代入函数：，即， ∴原函数为， 根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，设关联函数为， 则：， ∴， ∴函数的“关联函数”表达式为； （2）解：函数在上向上平移m个单位后， 解析式为：， 它的“关联函数”为， ∵两个函数有交点，即方程在范围内有解， 解方程：，得， ∴， 解不等式：，得， 解不等式：，得， ∴的取值范围是，则的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08一次函数的图象和性质复习讲义 高效复习◆重点 核心：熟练掌握一次函数（含正比例函数）的概念、解析式标准形式，牢记图象特征与性质，能结合k、b分析增减性、象限及交点，会用待定系数法求解析式，规范解题。 概念辨析：理解一次函数及正比例函数的定义，明确解析式中k≠0的核心约束，能区分一次函数与非一次函数。 图象与性质：掌握一次函数图象特征，明确k、b与图象位置、象限、增减性的关联，能根据k、b快速判断相关特征。 应用与计算：熟练运用待定系数法求解析式，能结合图象求坐标轴交点，解决基础图象分析问题。 核心题型◆归纳 题型1正比例函数的定义 题型2根据一次函数的定义求参数 题型3求一次函数自变量或函数值 题型4列一次函数解析式并求值 题型5正比例函数的图象性质 题型6根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型7已知函数经过的象限求参数范围 题型8一次函数图像与坐标轴的交点问题 题型9画一次函数图象 题型10一次函数图象平移问题 题型11一次函数图象与对称问题 题型12一次函数图象与旋转问题 题型13判断一次函数增减性 题型14根据一次函数增减性求参数 题型15根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型16比较一次函数值的大小 题型17一次函数的规律探究问题 题型18求一次函数解析式 题型19提升测试 重点知识◆梳理 知识点01一次函数的概念 1.定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。 2.自变量与因变量：x为自变量，y为因变量，y的值由x和k、b共同决定，且符合“x每一个确定值对应唯一y值”的函数特征。 3.正比例函数：当b=0时，一次函数变为y=kx（k≠0），即为正比例函数（一次函数的特殊形式）。 核心特征：必过原点（0，0）。 4.关键提醒：k≠0是一次函数的核心条件，若k=0，则y=b为常数函数，不属于一次函数； 知识点02一次函数的图象与性质 1.图象形状：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，因此一次函数也叫做线性函数。 2.增减性（由k的符号决定，与b无关）： 当k>0时，y随x的增大而增大，直线从左到右呈上升趋势。 当k<0时，y随x的增大而减小，直线从左到右呈下降趋势。 3. 参数k、b的几何意义： k：决定直线的倾斜程度和增减性，|k|越大，直线越陡峭；|k|越小，直线越平缓。 b：决定直线与y轴的交点位置，b>0交正半轴，b<0交负半轴，b=0过原点。一次函数y=kx+b的图象特征和性质（如下图） 4.关于正比例函数的画法： 5.常见性质应用： （1）比较函数值大小：根据k的符号，判断x增大时y的变化趋势，进而比较不同x对应的y值。 （2）判断交点位置：根据b的符号，快速确定直线与y轴的交点；结合k、b，判断直线经过的象限。 知识点03一次函数的图象平移 1.平移规律：一次函数图象的平移仅改变直线与y轴的交点位置（即参数b的值），不改变直线的倾斜程度（即参数k的值）。 2.核心：遵循“上加下减、左加右减”原则。 3.平移法则： （1）上下平移：沿y轴方向平移，只改变b的值。 向上平移m个单位（m>0）：解析式变为y=kx+b+m； 向下平移m个单位（m>0）：解析式变为y=kx+b-m。 （2） 左右平移：沿x轴方向平移，需将解析式整理为“x单独在一侧”后，改变常数项（等价于调整b的值）。 向左平移n个单位（n>0）：解析式变为y=k(x+n)+b=kx+kn+b； 向右平移n个单位（n>0）：解析式变为y=k(x-n)+b=kx-kn+b。 4.关键提醒：平移后k值不变，因此直线的增减性、倾斜程度保持不变，仅位置发生改变 知识点04一次函数解析式的求解 1.核心方法：待定系数法，即根据已知条件（如两点坐标、与坐标轴交点等），求出解析式中k、b的值。 2.规范步骤： （1）设解析式：设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）； （2）代条件：将已知点的坐标（x，y）代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组（正比例函数只需一个非原点坐标，列一元一次方程）。 （3）解方程组：求解方程组，得出k、b的值。 （4）写解析式：将k、b的值代入所设解析式，得到完整的一次函数解析式。 易错提示：求解后需验证，确保解析式符合已知条件；正比例函数不可遗漏b=0的条件。 题型解析◆精准备考 题型1正比例函数的定义 1．下列说法中不成立的是（   ） A．在中，与成正比例 B．在中，与成正比例 C．在中，与成正比例 D．在中，与成正比例 2．若函数是正比例函数，则的值是_____________ . 3．已知与成正比，当时，，求y与x之间的函数关系式． 题型2根据一次函数的定义求参数 1．若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 2．若是一次函数，则的值是__________． 3．（1）若函数是正比例函数，求m的值； （2）若函数是一次函数，求m的值． 题型3求一次函数自变量或函数值 1．已知点在一次函数的图象上，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数的图像经过点（1，______）． 3．已知函数， (1)当时，求函数的值； (2)当x取何值时，函数的值为0． 题型4列一次函数解析式并求值 1．子轩在用描点法画某个一次函数的图象时列得如下表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（    ） x … 0 1 … y … 14 11 8 5 3 … A． B． C． D． 2．已知点是直线上一点，则点的坐标可以是__________． 3．如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上． (1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______； (2)若点M在y轴上，求的最小值； (3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标． 题型5正比例函数的图象性质 1．已知一次函数的图象和正比例函数的图象在同一个坐标系内，那么可能是（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，直线与线段有公共点，则的取值范围是___________． 3．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况； (2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 题型6根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线: ，则直线一定经过点______． 3．已知一次函数，试讨论其图象经过哪些象限？ 题型7已知函数经过的象限求参数范围 1．直线向上平移个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．是关于的一次函数，图象过第一、二、三象限，则的取值范围是______． 3．已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 题型8一次函数图像与坐标轴的交点问题 1．关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数值y随着x的增大而减小 B．点在该函数图象上 C．图象不经过第二象限 D．图象与y轴的交点坐标为 2．将正比例函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的函数图像与x轴的交点坐标为______． 3．一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求该函数的图象与轴，轴的交点坐标： (3)画出该函数图象． 题型9画一次函数图象 1．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 2．若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过__________象限． 3．综合实践小组探究香燃烧时剩余长度与燃烧时间的关系．下面的表格是他们实验过程中的相关数据，请利用表格中的信息解答下列问题： 燃烧时间 0 5 10 15 剩余长度 25 20 15 10 (1)写出关于的函数关系式 ，自变量的取值范围是 ． (2)在图中画出函数图象． (3)当燃烧时间为18分钟时，求出香剩余的长度． 题型10一次函数图象平移问题 1．在平面直角坐标系中，将直线平移后，得到直线，则下列平移方法正确的是（    ） A．将直线b向左平移3个单位长度得到直线a B．将直线b向右平移6个单位长度得到直线a C．将直线b向上平移1个单位长度得到直线a D．将直线b向下平移6个单位长度得到直线a 2．若将直线向下平移3个单位长度后，经过点，则k的值为___________． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 题型11一次函数图象与对称问题 1．若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称点P（或点Q）的纵坐标为函数，与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 2．若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____ 3．已知是一次函数． (1)求m的值； (2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式． 题型12一次函数图象与旋转问题 1．如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 2．将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 3．如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1）____________． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为__________________． 题型13判断一次函数增减性 1．已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．一次函数（m为常数且），若y随x的增大而增大，则它的图象经过第________象限． 3．经过实验获得两个变量x，y的一组对应值如下表． x 1 2 3 4 5 6 ······ y 5 4 3 2 1 0 ······ (1)请画出相应函数的图象，并写出一个符合表中数据的函数解析式． (2)在（1）的结论下，观察可近似得到y随x的增大而 （填“增大”或者“减小”）． 题型14根据一次函数增减性求参数 1．已知和是一次函数图象上的两点，若，则该一次函数的图象还可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 2．一次函数，当时，的最大值为5，则的值为__________． 3．一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 题型15根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 1．已知，是一次函数图象上的两个点，则，的大小关系是（） A． B． C． D． 2．若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则_____．（填“”、“”或“”） 3．已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 题型16比较一次函数值的大小 1．若点都在直线（为常数）上，则的大小关系是（  ） A． B． C． D．不能确定 2．点和都在直线上，则与的关系是________（填或）． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点． (1)求k的值； (2)当时，直接写出y的取值范围． 题型17一次函数的规律探究问题 1．在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A．B．C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 3．一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 题型18求一次函数解析式 1．已知点，点，将直线沿水平方向向右平移4个单位，得到直线，若点，在直线上，则的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 2．已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到直线，则直线的解析式为_____． 3．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于、两点． (1)求一次函数解析式； (2)点P是y轴上的点，若的面积为2，求此时P点的坐标． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．将直线沿轴向下平移个单位长度后得到的直线的表达式是（     ） A． B． C． D． 3．已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 4．点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．9 B．1 C． D． 5．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（　　） A．第三、二、一象限 B．第二、三、四象限 C．第二、一、四象限 D．第三、四、一象限 6．一次函数的图象过点，，，则下列判断正确的为（  ） A． B．的值与有关 C． D．若，则点在轴的左侧 二、填空题 7．写出一个函数表达式，使它的图像经过，且时，y随x的增大而减小，这个函数表达式可能是：___． 8．已知点在函数的图象上，则的值为______． 9．直线被两坐标轴截得的线段长度为10，则________． 10．已知点都在函数图像上，则的大小关系是_____．（用“<”连接） 11．如图，直线过，两点，则解为______． 12．如图，在平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的斜边长是______． 三、解答题 13．已知函数． (1)当时，求函数的值； (2)当函数值为时，求自变量的值． 14．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数不过第二象限，y随着x的增大而增大，求m的取值范围． 15．已知关于的正比例函数． (1)若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围； (2)若随的增大而减小，求的取值范围； (3)若点在该函数的图象上，求的值． 16．如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)请在图中作出关于y轴的轴对称图形，并直接写出点坐标； (2)请在图中作出向下平移2个单位长度，向右平移1个单位长度的图形，并直接写出点坐标 (3)y轴上一动点P，当有最小值时，画图确定点P的位置，直接写出P点坐标． 17．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (2)已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）． 18．【阅读理解】 对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． 【初步探究】 (1)如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式； 【深入思考】 (2)在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $