精品解析：山东省济宁市邹城市2026年初中学业水平模拟检测（一）数学试题

2026年初中学业水平模拟检测（一）数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分，其中选择题30分，非选择题90分；考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡的相应位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案标号，答案不能答在试卷上． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答．答作图题时，要先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 一个点从数轴上的原点出发，向负半轴移动2025个单位长度，再向正方向移动2026个单位长度到达点P，则点P表示的数是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上点向负方向移动时数减小，向正方向移动时数增大，从原点出发逐步计算即可得到结果． 【详解】∵数轴上原点表示的数为0， 先向负半轴移动2025个单位长度，得到的数为， 再向正方向移动2026个单位长度，得到点P表示的数为， ∴ 点P表示的数是1． 2. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 3. 如图所示的几何体是由5个完全相同的棱长为1的小正方体搭成，其左视图和俯视图的面积和是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】画出它的左视图和俯视图，进而求出左视图和俯视图的面积和，即可得到答案． 【详解】解：这个几何体的左视图为： 俯视图为： ， 其左视图和俯视图的面积和是． 4. 2025年，邹城市实现地区生产总值（GDP）1129.3亿元，位列全国县域经济百强县第47位．将数据1129.3亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求，n为整数，正确确定a和n的值即可． 【详解】∵1亿， ∴1129.3亿， 将式子变形为符合科学记数法要求的形式，把1129.3的小数点左移3位，得到， 满足，同时指数为， ∴1129.3亿用科学记数法表示为． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用同底数幂的乘法，积的乘方，同类项的概念，单项式除以单项式的法则，逐一判断选项即可． 【详解】A项：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A错误； B项：∵积的乘方等于各因式分别乘方， ∴，故B错误； C项：∵与不是同类项，不能合并，故C错误； D项：∵单项式除以单项式，系数相除，同底数幂分别相除， ∴，故D正确． 6. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，问鸡和兔各有几只？设有x只兔子，y只鸡，则列得方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据1只鸡有1个头和2只脚、1只兔子有1个头4只脚、以及“上面数共有35个头，下面数共有94只脚”建立方程组即可． 【详解】解：由题意列方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，正确找出等量关系是解题关键． 7. 从0，1，2，3这四个数字中随机选取一个数作为k，则方程有两个不同的整数根的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先确定所有等可能结果总数，再找出满足条件的k的个数，最后根据概率公式计算． 【详解】∵从0，1，2，3四个数中任选一个数作为k， ∴共有4种等可能的结果， 分别代入k验证： 当时，方程为，解得，，是两个不同的整数根，符合条件； 当时，方程为，根为，不是整数，不符合条件； 当时，方程为，根为，不是整数，不符合条件； 当时，方程为，解得，，是两个不同的整数根，符合条件， ∴符合条件的结果共2种， ∴所求概率． 8. 如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 9. 在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数与一次函数的性质，分和两种情况讨论它们图象的位置，从而确定正确选项． 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，B选项符合； 当时，反比例函数的图象位于二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，没有符合的选项， 综上，符合题意的选项为B． 10. 如图，等边三角形的边长为1，点D从点B出发，沿等边三角形的边和运动，最终到达点C，过点D作边的垂线，垂足为点E，用x表示线段的长度，用y表示的面积，则下列结论错误的是（ ） A. 自变量x的取值范围为 B. 当时，y关于x的函数解析式为 C. 当时，y有最大值为 D. 在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据点D的运动轨迹，将运动过程分为两个阶段，分别求出y关于x的函数解析式，再结合函数性质判断选项即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵点D的运动路径为， 如图，当点D与点A重合时， ∴，即垂直平分， ∴， 当点D与点C重合时，则， ∴的取值范围，即自变量x的取值范围是，故A正确，不符合题意； 当时，点D在上， ∴， 在中，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 如图，当时，点D在上，，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 此时y随x的增大而增大， 当时，， 此时y随x的增大而减小，故D错误，符合题意； 当时，，此时y随x的增大而增大， 当时，， 当时，，此时y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，y有最大值为，故C正确，不符合题意． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，结合本题结构列出不等式求解，即可得到x的取值范围． 【详解】要使有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的要求， 可得， 解得：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 13. 写出不等式组的一个整数解为_____． 【答案】（或） 【解析】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再确定不等式组的解集.最后在解集中找出一个整数解即可． 【详解】解：， 由不等式①得：， 由不等式②得：，即， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为1和2，任取一个即可． 14. 如图，已知菱形的边长为2，，进行如下操作：第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第次操作后，得到四边形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，涉及矩形和菱形的判定与性质，三角形的中位线性质，通过推导计算得到面积的变化规律是解答的关键．根据矩形和菱形的判定与性质，结合三角形的中位线性质得到每一次得到的四边形的面积与菱形的关系，进而得到变化规律即可． 【详解】解：连接，，，， ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 依次可得，， 故答案为：． 15. 如图，点P和点Q分别是等边三角形的边和上的动点，且，若，则的最小值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】在上取一点D，使得，连接，，证明，，从而得出，再过点P作交于点H，设，，利用勾股定理和解30度直角三角形求得的表达式，结合二次函数的最值问题即可得出的最小值． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 如图，在上取一点D，使得，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，在上， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证得：， ∴， ∴，即是等边三角形， 过点P作交于点H， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴当时，有最小值为1， ∴的最小值也为1． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、解分式方程： （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ; 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 检验：把代入得：． 所以原方程的解为． 17. 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，以点C为圆心，以的长为半径作弧，交边于点E． （1）求的度数； （2）若，求由线段，和围成的图形的面积． 【答案】（1） （2）所求图形面积为 【解析】 【分析】（1）结合已知条件利用三角形内角和定理求出的度数，再由作图可得平分，得到，最后利用三角形外角的性质即可得解； （2）利用解含30度的直角三角形得到，结合已知条件利用勾股定理求得的长度，由可得出，最后利用三角形面积公式和扇形面积公式即可得解． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 由作图可得平分， ， ，， ． 【小问2详解】 解：在中，，， ， ， ， ， ， ， ∴所求图形面积． 18. 为研究一般家庭对智能家居设备的偏好，小明所在的数学兴趣小组调查了班级24名学生家庭中以下两类智能家居设备的数量和消费金额． A类：安全类智能家居设备（智能门锁等）； B类：便捷类智能家居设备（智能扫地机器人等）． 整理、描述、分析数据如下： 【整理数据】 ①设备数量 24户家庭A类设备数量（单位：台）： 0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4 24户家庭B类设备数量（单位：台）： 0，0，0，0，1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4 ②消费金额频数分布表（单位：元） 类别 不同消费金额（单位：元）范围内出现的频数（户数） A类 2 4 a 7 3 B类 10 b 5 1 0 【描述数据】 根据A类设备数量绘制不完整扇形统计图，根据B类消费金额频数分布表，绘制不完整频数分布直方图． A类设备数量绘制不完整扇形统计图 B类消费金额不完整频数分布直方图 【分析数据】 组别 关于智能家居设备数量的统计量 平均数 中位数 众数 方差 A类 2.5 c 3 1.67 B类 2 2 d 1.75 【解决问题】 根据以上信息解决下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）补全频数分布直方图； （3）计算扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数； （4）若该校共有学生家庭576户，估计： ①全校有2台及以上A类智能家居设备的家庭有多少户？ ②全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有多少户？ （5）结合设备数量、消费金额两项数据，判断该班学生家庭更偏好哪一类智能家居，并说明理由． 【答案】（1）8，3，2 （2） 补全频数分布直方图如下： （3）扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数为 （4）①全校有2台及以上A类智能家居设备的家庭有456户，②全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有144户 （5） 解：该班学生家庭更偏好A类智能家居， 理由：A类智能家居的平均数、中位数、众数均高于B类，方差低于B类，且24户家庭在A类智能家居产品消费金额多集中在高段，而B类智能家居产品消费金额多集中在低段． 【解析】 【分析】（1）利用总调查人数减去其余消费金额频数可得到a，再利用中位数和众数的定义可求得c和d的值； （2）先求出b的值，再补全频数分布直方图即可； （3）先用A类2台频数除以调查数量得到2台的频率，再用频率，即可得到扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角； （4）①先用A类2台以上频数除以调查数量得到频率，再利用总数576乘以该频率得到结果； ②先用B类智能家居设备消费金额2000元及以上的频数除以调查数量得到频率，再利用总数576乘以该频率得到结果； （5）根据中位数、方差、众数和平均数的定义即可进行判断． 【小问1详解】 解：， 在24户家庭A类设备数量中，第12个和13个数据均为3， ∴， 在24户家庭B类设备数量中，“2”一共出现6次，出现次数最多， ∴． 【小问2详解】 解：， 补全频数分布直方图略 【小问3详解】 解：在24户家庭A类设备数量中，2台共出现5次， ∴， ∴扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数为． 【小问4详解】 解：①（户）， ∴全校有2台及以上A类智能家居设备的家庭有456户； ②（户）， ∴全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有144户． 【小问5详解】 略 19. 小明家安装了一款智能恒温热水器，其工作时水箱内水温随加热/保温时间的变化规律如下： ①开机后热水器开启快速加热功能，水温会上升，此时水温是加热/保温时间的一次函数，水温升高到预设的最高温度后，热水器关闭快速加热功能，进入智能保温阶段； ②智能保温阶段，水温会先下降，此时水温是加热/保温时间的反比例函数，水温降到预设的最低温度后，热水器再次启动①中快速加热功能，使水温再次升至预设的最高温度，上升过程中水温是加热/保温时间的一次函数，加热效率与之前一致． （1）若起始水温为，水温第一次升至预设的最高温度用时，然后水温第一次降至预设的最低温度，求出在这个变化过程中水温关于时间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，小明计划洗澡，要求水温不低于，若他在当天时启动热水器快速加热功能，请判断他洗澡时水温是否符合要求，并说明理由． 【答案】（1）当时，解析式为；当时，解析式为 （2）解：他洗澡时水温符合要求，理由如下： 根据题意设第二次加热过程中的函数解析式为， 把代入得：， 把，代入得：， ∴第二次加热过程中的函数解析式为， ∵到经过38分钟， 把代入得：， ， ∴符合要求． 【解析】 【分析】（1）根据不同阶段水温的变化情况，分别确定一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据（1）中求出的函数表达式，计算出在给定时间内水温的变化情况，判断是否符合要求． 【小问1详解】 解：当时， ∵起始温度为，y是x的一次函数， ∴设． 把，代入得：， ∴此时解析式为， 当时， ∵y是x的反比例函数， ∴设， 把，代入得：， ∴此时解析式为， 当时，代入中，可得， 解得， ∴水温第一次下降阶段的函数关系式为， 综上所述，当时，解析式为；当时，解析式为． 【小问2详解】 略 20. 如图，是的半径，点B是外一点，连接，交于点C，连接，． （1）求证：是的切线； （2）过点C作的平行线，交于点D，交于点E，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，过点O作，垂足为F， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 是的半径，， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）过点O作，垂足为F，由等腰三角形三线合一结合已知条件得出，再利用直角三角形两锐角互余的性质即可证得结论； （2）利用勾股定理设未知数表示出，列方程求解x即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ，， ， ，， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：， ，， ， ， ． 21. 如图1，小明家在天花板上的点O处安装了一个智能监控摄像头（将摄像头视为一个点），某一时刻，竖直站立在地面上的小明位于图中所示的位置（将小明视为线段），摄像头的视角上限恰好经过小明的头顶M点，摄像头的视角下限交地面所在直线于点B，若摄像头吊装离地距离米（垂直于地面所在直线），其视角，摄像头的视角下限与形成的夹角，小明身高为1.8米． （1）求小明往摄像头的方向前进多少米后，将完全进入摄像头的视野盲区（参考数据：，） （2）如图2，为解决摄像头盲区问题，小明家打算在平行于地面所在直线的天花板上的点P处加装一个同款摄像头，使得新摄像头的视角完全覆盖（1）中的视野盲区（），则点P到点O的距离至少要为多少米？（参考数据：，） 【答案】（1）小明往摄像头的方向前进2.7米后，将完全进入摄像头的视野盲区 （2）点P到点O的距离至少要为3.36米 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质结合解直角三角形即可求解； （2）过点B作，垂足为F，利用矩形的性质结合解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：如图，记直线与交于点E， 由题意可得四边形和都是矩形． ，， ． 在中，，， , ，， ， 在中，，， ， 米，， ， ， 则小明往摄像头的方向前进米后，将完全进入摄像头的视野盲区． 【小问2详解】 解：如图，过点B作，垂足为F， 由题意可得，四边形为矩形． 且， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ，， ， ，， ， ∴点P到点O的距离至少要为米． 22. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线与x轴交于和两点（），且，求该抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，当（t为任意实数）时，二次函数有最大值为3，求t的值． 【答案】（1）对称轴为 （2）解析式为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数性质进行解答即可； （2）利用抛物线对称轴结合一元二次方程根与系数的关系可得到a的值，从而求得b的值，进而推导出二次函数解析式； （3）理解二次函数在特定区间上取得最大值的几何意义，即区间端点或顶点处的函数值情况． 【小问1详解】 解：把，代入， 得：， 整理得：， ∴对称轴为． 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ，， ， ， ， ∴解析式为． 【小问3详解】 解：由（2）可得：二次函数解析式为， ∴当时，y有最大值为6， ∵当时，y有最大值为3， ∴不成立， ∴或者： ①当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最大值为3， 把，代入得：， 解得或2， ， ， ②当，即时，y随x的增大而增大， 当时，y有最大值为3， 把，代入得：， 解得或， ， ， 综上所述，或． 23. 感知、应用、深化模型，利用已知条件进行拓展延伸求值． （1）【感知模型】如图1，已知．求证：； （2）【应用模型】如图2，四边形是正方形，点E和点F分别是边，上的动点，且，过点F作，交边于点G，垂足为O，连接．试判断的形状，并证明你的猜想（方法不唯一）； （3）【深化模型】如图3，在【应用模型】的条件下，过点F作，垂足为P，连接．求的度数； （4）【拓展延伸】如图4，在【深化模型】的条件下，延长交边于点Q，连接．若为等腰直角三角形，请直接写出的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． （2） 解：是等腰直角三角形， 证明：如图，过点F作交于点H，交于点K，连接，， 在正方形中，，， ∵， ∴且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）利用相似三角形的性质得出，，再利用角度和差关系推出，从而证得结论； （2）过点F作交于点H，交于点K，连接，，利用正方形的性质结合直角三角形两锐角互余证明，，，结合已知条件证明是等腰直角三角形，得到，从而证得结论； （3）利用圆内接四边形和圆周角定理即可求得结果； （4）根据已知条件，由定弦定角可知，点B，P，O，F四点共圆，此时分情况讨论：①当点Q在中点时；②当点Q与点D重合时；利用正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理设未知数，表示出相关线段的表达式，最终利用正切的定义即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴点A，B，O，F四点共圆， ∴为直径， ∵， ∴点P在圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：∵，， ∴， 由定弦定角可知，点B，P，O，F四点共圆， 由题意知，此时分情况讨论： ①如图，当点Q在中点时，过点Q作交于点M， 易证得：四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵点Q为的中点， ∴， ∴， 同理可证得：四边形是正方形， ∵为四边形是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 此时点F，P分别在，的中点， 设正方形的边长为， ∴， 过点O作交于点N， ∵， ∴点O为正方形对角线的中点， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴； ②如图，当点Q与点D重合时，则点E也与点D重合， 此时点F与点A重合，点P与点B重合，点G与点C重合， ∴点O为正方形对角线中点， ∴为等腰直角三角形，即为等腰直角三角形， ∴， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟检测（一）数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分，其中选择题30分，非选择题90分；考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡的相应位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案标号，答案不能答在试卷上． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答．答作图题时，要先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 一个点从数轴上的原点出发，向负半轴移动2025个单位长度，再向正方向移动2026个单位长度到达点P，则点P表示的数是（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体是由5个完全相同的棱长为1的小正方体搭成，其左视图和俯视图的面积和是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 2025年，邹城市实现地区生产总值（GDP）1129.3亿元，位列全国县域经济百强县第47位．将数据1129.3亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，问鸡和兔各有几只？设有x只兔子，y只鸡，则列得方程组的是（ ） A. B. C. D. 7. 从0，1，2，3这四个数字中随机选取一个数作为k，则方程有两个不同的整数根的概率是（ ） A. B. C. D. 1 8. 如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 9. 在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形的边长为1，点D从点B出发，沿等边三角形的边和运动，最终到达点C，过点D作边的垂线，垂足为点E，用x表示线段的长度，用y表示的面积，则下列结论错误的是（ ） A. 自变量x的取值范围为 B. 当时，y关于x的函数解析式为 C. 当时，y有最大值为 D. 在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则x的取值范围为_____． 12. 因式分解：________． 13. 写出不等式组的一个整数解为_____． 14. 如图，已知菱形的边长为2，，进行如下操作：第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第次操作后，得到四边形的面积是________． 15. 如图，点P和点Q分别是等边三角形的边和上的动点，且，若，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、解分式方程： （1）计算：； （2）解分式方程：． 17. 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，以点C为圆心，以的长为半径作弧，交边于点E． （1）求的度数； （2）若，求由线段，和围成的图形的面积． 18. 为研究一般家庭对智能家居设备的偏好，小明所在的数学兴趣小组调查了班级24名学生家庭中以下两类智能家居设备的数量和消费金额． A类：安全类智能家居设备（智能门锁等）； B类：便捷类智能家居设备（智能扫地机器人等）． 整理、描述、分析数据如下： 【整理数据】 ①设备数量 24户家庭A类设备数量（单位：台）： 0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4 24户家庭B类设备数量（单位：台）： 0，0，0，0，1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4 ②消费金额频数分布表（单位：元） 类别 不同消费金额（单位：元）范围内出现的频数（户数） A类 2 4 a 7 3 B类 10 b 5 1 0 【描述数据】 根据A类设备数量绘制不完整扇形统计图，根据B类消费金额频数分布表，绘制不完整频数分布直方图． A类设备数量绘制不完整扇形统计图 B类消费金额不完整频数分布直方图 【分析数据】 组别 关于智能家居设备数量的统计量 平均数 中位数 众数 方差 A类 2.5 c 3 1.67 B类 2 2 d 1.75 【解决问题】 根据以上信息解决下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）补全频数分布直方图； （3）计算扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数； （4）若该校共有学生家庭576户，估计： ①全校有2台及以上A类智能家居设备的家庭有多少户？ ②全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有多少户？ （5）结合设备数量、消费金额两项数据，判断该班学生家庭更偏好哪一类智能家居，并说明理由． 19. 小明家安装了一款智能恒温热水器，其工作时水箱内水温随加热/保温时间的变化规律如下： ①开机后热水器开启快速加热功能，水温会上升，此时水温是加热/保温时间的一次函数，水温升高到预设的最高温度后，热水器关闭快速加热功能，进入智能保温阶段； ②智能保温阶段，水温会先下降，此时水温是加热/保温时间的反比例函数，水温降到预设的最低温度后，热水器再次启动①中快速加热功能，使水温再次升至预设的最高温度，上升过程中水温是加热/保温时间的一次函数，加热效率与之前一致． （1）若起始水温为，水温第一次升至预设的最高温度用时，然后水温第一次降至预设的最低温度，求出在这个变化过程中水温关于时间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，小明计划洗澡，要求水温不低于，若他在当天时启动热水器快速加热功能，请判断他洗澡时水温是否符合要求，并说明理由． 20. 如图，是的半径，点B是外一点，连接，交于点C，连接，． （1）求证：是的切线； （2）过点C作的平行线，交于点D，交于点E，若，，求的长． 21. 如图1，小明家在天花板上的点O处安装了一个智能监控摄像头（将摄像头视为一个点），某一时刻，竖直站立在地面上的小明位于图中所示的位置（将小明视为线段），摄像头的视角上限恰好经过小明的头顶M点，摄像头的视角下限交地面所在直线于点B，若摄像头吊装离地距离米（垂直于地面所在直线），其视角，摄像头的视角下限与形成的夹角，小明身高为1.8米． （1）求小明往摄像头的方向前进多少米后，将完全进入摄像头的视野盲区（参考数据：，） （2）如图2，为解决摄像头盲区问题，小明家打算在平行于地面所在直线的天花板上的点P处加装一个同款摄像头，使得新摄像头的视角完全覆盖（1）中的视野盲区（），则点P到点O的距离至少要为多少米？（参考数据：，） 22. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线与x轴交于和两点（），且，求该抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，当（t为任意实数）时，二次函数有最大值为3，求t的值． 23. 感知、应用、深化模型，利用已知条件进行拓展延伸求值． （1）【感知模型】如图1，已知．求证：； （2）【应用模型】如图2，四边形是正方形，点E和点F分别是边，上的动点，且，过点F作，交边于点G，垂足为O，连接．试判断的形状，并证明你的猜想（方法不唯一）； （3）【深化模型】如图3，在【应用模型】的条件下，过点F作，垂足为P，连接．求的度数； （4）【拓展延伸】如图4，在【深化模型】的条件下，延长交边于点Q，连接．若为等腰直角三角形，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $