精品解析：2025年山东省济宁市邹城市初中数学学业水平模拟检测试卷（一）

2025年初中学业水平模拟检测（一） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共7页，共120分，其中选择题30分，非选择题90分；考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡的相应位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案标号，答案不能答在试卷上． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答．答作图题时，要先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正七边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念．熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．轴对称图形是沿一条直线对折后两部分完全重合的图形；中心对称图形是图形绕某一点旋转后与原来的图形重合． 【详解】解：选项A：等边三角形沿一条高对折后两部分完全重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，该选项错误； 选项B：正方形沿对边中点的连线或对角线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，绕其对角线的交点旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形，该选项正确； 选项C：正五边形沿过顶点与对边中点的直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，该选项错误； 选项D：正七边形沿过顶点与对边中点的直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，该选项错误； 故选B． 2. 下列实数的绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数绝对值的计算，实数大小的比较，掌握：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，是解题的关键；分别计算出各数的绝对值，再比较绝对值的大小即可作出判断． 【详解】解：由于，， 而， 故的绝对值最大； 故选：A． 3. 截至2025年3月31日，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破154亿元人民币，154亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：154亿． 故选：C． 4. 如图，这是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. E. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是熟练掌握从上面看得到的图形是俯视图． 根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上往下看，有两行，上面一行有3个小正方形，下面一行有2个小正方形，且从左往右数有3列，依次为2个，2个，1个， 如图：， 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，根据合并同类项的法则，完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 6. 在如图所示的电路中，随机闭合三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；因此此题可根据列举法进行求解概率即可． 【详解】解：由题意可知：随机闭合三个开关中的两个，可能性有共3种情况，其中能让灯泡发光的情况只有一种情况；故概率为； 故选B． 7. 如图，点，，在上，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，由圆周角定理可得出，再根据三角形内角和定理，等边对等角即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C 8. 智能机器人技术迅猛发展，大大提升了生产效率．某工厂用，两种机器人来搬运货物，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等．，两种机器人每小时分别搬运货物的重量为（单位：千克） A. 60，30 B. 60，90 C. 90，60 D. 90，120 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克． 故选：C． 9. 如图，若正五边形和等边三角形按如图的方式叠放在一起，边在边上，点和点分别落在边和上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，正多边形的性质以及三角形内角和定理，由正多边形的性质得，，由三角形内角和定理得，，可得出，从而可求出的度数． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， 故选：B．． 10. 如图，在平面直角坐标系中，第一象限的角平分线分别与反比例函数，，⋯的图象交于点，过分别作坐标轴的平行线，依次得到矩形，，…，其面积依次记作，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及第一象限角平分线的特点．在第一象限角平分线上的点，其横，纵坐标相等．先求出各交点的坐标，再根据坐标求出矩形的边长，进而得出矩形面积的规律． 【详解】解：第一象限的角平分线的解析式为：， 联立，将代入，得到，即， 解得，则， ； 联立，将代入，得到，即， 解得，则， ； 联立，将代入，得到，即， 解得，则， ． 对于矩形，，，则的横坐标为，的横坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为， ； 对于矩形，，，则的横坐标为，的横坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为， ； 通过前面的计算，我们发现规律： 的坐标为：，的坐标为：， 则． 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式法，平方差公式．熟练掌握提取公因式法，平方差公式是解题的关键． 首先对原式提取公因式，然后观察剩下式子的形式，发现符合平方差公式，利用平方差公式进行进一步分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若关于的方程的一个解是，则另一个解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解．已知一元二次方程的一个解，利用根与系数的关系（韦达定理）可直接求出另一个解． 【详解】解：对于方程，设两根分别为和， 根据韦达定理，两根的和为， 代入已知根，得，解得另一个根为． 故答案为：． 13. 写出不等式组的一个整数解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据解集写出整数解即可． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， 故不等式组的解为：， ∴不等式组的一个整数解为， 故答案为：． 14. 某款手机支架的左视图如图所示，已知，，，，则________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，直角三角形两锐角性质，是解题的关键． 延长交于点H，射线与射线于点I，射线 与射线交于点G，，根据垂直定义可得，根据三角形内角和定理得，得，从而可求出． 【详解】解：延长交于点H，射线与射线于点I，射线 与射线交于点G， ∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知点，，若线段与抛物线恰有一个交点，则的取值范围是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查的是线段与抛物线的位置关系，坐标轴上点的特征，分情况讨论是解题的关键． 根据的取值范围分情况画图进行分析即可． 【详解】解：抛物线与x轴的交点可以通过解方程得到． 分解因式：． 解得或． 当时， ∴抛物线与y轴的交点为，抛物线与轴的交点为和． ∵点，， ∴若，则， 此时线段与抛物线恰有一个交点， 若，则， 此时线段与抛物线没有交点， ∴若，则， 此时线段与抛物线恰有一个交点， 若，则， 此时线段与抛物线没有交点， 若，则， 此时线段与抛物线恰有一个交点， 综上可知，或或． 综上故答案为： 或或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，请从，，中选一个适当的数作为的值代入计算． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解决本题的关键是根据运算法则进行计算． 首先根据特殊角的三角函数值、绝对值的定义、立方根的定义把算式中各部分转化为一般形式的实数，再根据加法法则进行计算即可； 根据分式有意义的条件，可得：：且，根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，再把代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】 ； 有意义， ， 解得：且， ， 当时， 原式 ． 17. 如图，在中，，，． （1）尺规作图：作的角平分线，交边于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求线段的长度． 【答案】（1） 的角平分线如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了作角的平分线（尺规作图），勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于两点，再以点为圆心，大于的长为半径画弧，交于一点，连接该点与点C，此时与的交点即为点D，即可作答． （2）过点作，垂足为．先运用勾股定理得，设，则，结合角平分线的定义证明，把数值代入进行计算，则，即可作答． 【小问1详解】 解：的角平分线如图所示： 【小问2详解】 解：过点作，垂足为． ∵在中，，， ∴． 设，则， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 18. 某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项体能测试，以下是某次九年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用表示引体向上个数，分成四组： 组，组，组，组． 其中组24名男生的引体向上成绩如下： 6，7，6，9，8，6，6，9，6，6，6，7，6，8，10，6，8，6，6，10，6，6，7，6 【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求组人数，并补全条形统计图； （2）若九年级一共有学生800人，估计全年级引体向上每分钟不低于11个的有多少人？ （3）试确定样本数据的众数、中位数，根据这两种数据分析该年级男生的成绩，并对下一步的体育训练提出建议（规定6个及以上为及格，11个及以上为良好，15个及以上为满分）． 【答案】（1）12人， 补全统计图： （2）人 （3） 由于抽取的人数50人，那么中位数为第25，26人的平均数，从条形统计图可知第25，26人在B组， ∴样本数据的中位数为6， ∵从条形统计图可知众数也为6， ∴有了这两种数据可知参与调查的男生中有半数刚刚及格，并且其中大部分人处于及格边缘，整体成绩不够理想，因此下一步需要加强男生引体向上的训练． 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，中位数、众数，理解中位数、众数、的意义是解决问题的关键． （1）先根据B组人数及占比求出总人数，再由总人数减去其余各组人数即可，即可补全统计图； （2）用800乘以占比即可； （3）根据中位数以及众数的定义求解，再分析即可． 【小问1详解】 解：， （人） ∴组人数12人， 补全统计图： 【小问2详解】 解：（人） 答：估计全年级引体向上每分钟不低于11个的有224人； 【小问3详解】 略 19. 如图，点是的直径的延长线上一点，点是上一点，连接，，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴是的切线． （2）6 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角为，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，由得到，因此，由为直径，得到，从而有，即可得证； （2）由，，得到，根据相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的半径为6． 20. 按照国际标准，打印用的A系列纸为矩形．如图1，将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸……并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似图形． 图1 图2 图3 （1）请直接写出A系列纸的长宽比为________； （2）将纸按如图2所示的方式折叠，求证：； （3）在图2的最后一幅图中，记与的交点为点，连接和，得到图3，求证：四边形为菱形． 【答案】（1） （2） 证明：设，由（1）可得：， ∵矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． （3） 证明：由题意可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，相似多边形的性质，菱形的判定和勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）设A系列纸的长为宽为，则对折后形成的矩形的长为，宽为，根据对折得到的矩形纸都是相似图形，列出比例式进行求解即可； （2）由（1）可知：，折叠推出四边形为正方形，进而求得，即可得证； （3）易得，得到，折叠得到，，，进而推出，即可得证． 【小问1详解】 解：设A系列纸的长为宽为，则对折后形成的矩形的长为，宽为， ∵通过对折得到的矩形纸都是相似图形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，一次函数（，是常数，且）的图象分别与轴和轴交于点和点，与反比例函数的图象交于点，且点是线段的中点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）过点作直线的垂线，分别与轴和轴交于点和点，记线段的中点为点，求证：点在反比例函数的图象上． 【答案】（1）， （2） 证明：过点作轴，垂足为． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，将代入可得点在反比例函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）过点作轴，垂足为，把代入得，可得，再证，则，得点，利用待定系数法即可一次函数的解析式； （2）过点作轴，垂足为，结合全等三角形可知，再证得，可得，由平行线分线段成比例可知，由，得，，，得，即可得证结论． 【小问1详解】 解：过点作轴，垂足为． 把代入得，． ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∴点， 把，代入得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 22. 【实践课题】通过计算车辆转弯的内轮差和内轮差区域的面积，提高学生交通安全意识． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】图1是车辆转弯的简易示意图（俯视图），线段，，，表示车轮（其中和是转向轮），线段，，，中点，，，表示车轮轴心，四边形为矩形．线段和分别在直线和上．已知车辆在转弯（矩形绕点旋转）时，四个车轮的行驶轨迹为同心圆，且每个车轮的指向与对应圆相切，切点即为车轮轴心． （1）内轮差是车辆转弯时，内前轮转弯半径与内后轮转弯半径之差．如果测得并排两轮轮距，两个转向轮的偏转角和分别为和，请求出车辆的内前轮和内后轮的内轮差（结果精确到0.1，参考数据：，，）； （2）连接内前轮和内后轮的轴心，．车辆转弯时线段扫过的区域叫做内轮差区域．如图2，在（1）的条件下，若车辆绕点逆时针旋转到达对应的位置，请直接求出内轮差区域的面积（不必证明，计算结果保留）； （3）内轮差区域内的人和物会因车辆转弯而发生碰撞事故，所以这一区域有极大的安全隐患、如果你旁边的车辆转弯，为确保人身安全，你认为应该怎样做？ 【答案】（1） （2） （3）身旁的车辆转弯时，不要站在车辆的内轮差区域． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，扇形的面积公式，读懂题意是解题的关键． （1）先得出，同理，设，通过解直角三角形分别计算出，，然后相减即可得出答案． （2）通过内轮差区域的面积计算即可． （3）根据题意提出合适的建议即可，（答案不唯一） 【小问1详解】 解：∵与相切于点， ∴，同理，，， ∴，， ∴，同理，设， ∵， ∴． 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴ 【小问2详解】 解：内轮差区域的面积 ． 【小问3详解】 略 23. 已知二次函数解析式为． （1）若该二次函数的图象经过点，且开口向下，求该二次函数的解析式； （2）若将该二次函数的图象向上平移两个单位，平移后的函数图象与轴仅有一个交点，试确定平移前的二次函数图象的顶点坐标； （3）该二次函数图象上有两点，，若对于，，都有，求的取值范围； 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的解析式、图像平移、顶点坐标以及函数值的比较．需要掌握二次函数的开口方向、顶点坐标公式、图像平移规律及函数增减性的应用． （1）直接利用待定系数法代入点坐标求参数即可写出函数解析式； （2）先确定平移后的函数表达式，根据平移后的函数图像与轴仅有一个交点即可求原函数顶点坐标； （3）由题意分当时，抛物线开口向上以及当时，抛物线开口向下两种情况进行思考． 【小问1详解】 解：把代入得：， 即，解得：或者， 抛物线开口向下， ， 二次函数解析式为； 【小问2详解】 将该二次函数的图象向上平移两个单位后得到的函数解析式为， 平移后的函数图像与轴仅有一个交点， ， ， ， ， ∴解析式为， ， 顶点坐标为； 【小问3详解】 ①当时，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小， 则比更加远离对称轴， ，， 离对称轴最近的距离为1， 应离对称轴更近即对称轴在与之间， 离对称轴最远的距离为或， 由题意可得：， ； ②当时，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 对于，，始终都有； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平模拟检测（一） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共7页，共120分，其中选择题30分，非选择题90分；考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡的相应位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案标号，答案不能答在试卷上． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答．答作图题时，要先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正七边形 2. 下列实数的绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年3月31日，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破154亿元人民币，154亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，这是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. E. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在如图所示的电路中，随机闭合三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点，，在上，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 智能机器人技术迅猛发展，大大提升了生产效率．某工厂用，两种机器人来搬运货物，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等．，两种机器人每小时分别搬运货物的重量为（单位：千克） A. 60，30 B. 60，90 C. 90，60 D. 90，120 9. 如图，若正五边形和等边三角形按如图的方式叠放在一起，边在边上，点和点分别落在边和上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，第一象限的角平分线分别与反比例函数，，⋯的图象交于点，过分别作坐标轴的平行线，依次得到矩形，，…，其面积依次记作，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在实数范围内分解因式：________． 12. 若关于的方程的一个解是，则另一个解是________． 13. 写出不等式组的一个整数解为________． 14. 某款手机支架的左视图如图所示，已知，，，，则________°． 15. 已知点，，若线段与抛物线恰有一个交点，则的取值范围是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，请从，，中选一个适当的数作为的值代入计算． 17. 如图，在中，，，． （1）尺规作图：作的角平分线，交边于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求线段的长度． 18. 某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项体能测试，以下是某次九年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用表示引体向上个数，分成四组： 组，组，组，组． 其中组24名男生的引体向上成绩如下： 6，7，6，9，8，6，6，9，6，6，6，7，6，8，10，6，8，6，6，10，6，6，7，6 【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求组人数，并补全条形统计图； （2）若九年级一共有学生800人，估计全年级引体向上每分钟不低于11个的有多少人？ （3）试确定样本数据的众数、中位数，根据这两种数据分析该年级男生的成绩，并对下一步的体育训练提出建议（规定6个及以上为及格，11个及以上为良好，15个及以上为满分）． 19. 如图，点是的直径的延长线上一点，点是上一点，连接，，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 20. 按照国际标准，打印用的A系列纸为矩形．如图1，将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸……并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似图形． 图1 图2 图3 （1）请直接写出A系列纸的长宽比为________； （2）将纸按如图2所示的方式折叠，求证：； （3）在图2的最后一幅图中，记与的交点为点，连接和，得到图3，求证：四边形为菱形． 21. 如图，一次函数（，是常数，且）的图象分别与轴和轴交于点和点，与反比例函数的图象交于点，且点是线段的中点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）过点作直线的垂线，分别与轴和轴交于点和点，记线段的中点为点，求证：点在反比例函数的图象上． 22. 【实践课题】通过计算车辆转弯的内轮差和内轮差区域的面积，提高学生交通安全意识． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】图1是车辆转弯的简易示意图（俯视图），线段，，，表示车轮（其中和是转向轮），线段，，，中点，，，表示车轮轴心，四边形为矩形．线段和分别在直线和上．已知车辆在转弯（矩形绕点旋转）时，四个车轮的行驶轨迹为同心圆，且每个车轮的指向与对应圆相切，切点即为车轮轴心． （1）内轮差是车辆转弯时，内前轮转弯半径与内后轮转弯半径之差．如果测得并排两轮轮距，两个转向轮的偏转角和分别为和，请求出车辆的内前轮和内后轮的内轮差（结果精确到0.1，参考数据：，，）； （2）连接内前轮和内后轮的轴心，．车辆转弯时线段扫过的区域叫做内轮差区域．如图2，在（1）的条件下，若车辆绕点逆时针旋转到达对应的位置，请直接求出内轮差区域的面积（不必证明，计算结果保留）； （3）内轮差区域内的人和物会因车辆转弯而发生碰撞事故，所以这一区域有极大的安全隐患、如果你旁边的车辆转弯，为确保人身安全，你认为应该怎样做？ 23. 已知二次函数解析式为． （1）若该二次函数的图象经过点，且开口向下，求该二次函数的解析式； （2）若将该二次函数的图象向上平移两个单位，平移后的函数图象与轴仅有一个交点，试确定平移前的二次函数图象的顶点坐标； （3）该二次函数图象上有两点，，若对于，，都有，求的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $