重庆市西南大学附属中学2025-2026学年度高一下学期期中考试数学复习卷

**基本信息** 聚焦高一下学期核心知识，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，融合数学抽象与逻辑推理，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题48分|函数性质、三角函数定义|以生活实例为情境，考查抽象能力与符号意识| |填空题|4题20分|数列通项、立体几何表面积|设置开放型问题，培养空间观念与创新意识| |解答题|6题82分|三角函数图像变换、数列求和、立体几何体积计算|综合题结合科技数据，通过多步推理考查运算能力与模型意识，贴合高考命题趋势|

2028届高一下期期中复习卷 姓名： 一、单选题 1.已知向量a=(山，x),=(2,3),若a与共线，则x=（) A B C. D.月 2.如图；矩形ABCD是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中AB=2, B'C=4,则原四边形ABCD中最长边的长度为( O B A.2 B.2W2 C.4 D.6 3.△ABC为锐角三角形是sinA>cosB的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4若复数：使得轻为纯虚数，则以（). A.√2 B.2 C.22 D.4 5.己知函数f(x)=asin(+a)+bcos(x+)+4,xeR,且f(2025)=3,则f(2026)=() A.3 B.4 C.5 D.6 6.将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分 别为1和2，则它的高为（). A努 B.16r 7 C.32x 7 D. 7.某深度学习框架提供了一种自然指数衰减的学习率调整模型L()=L,e氵（凸，∈(0，），r∈(O,), S∈N，keN),其中L为初始学习率，r为衰减率，s为衰减步长，k为训练步数，L(k)为第k步时 的学习率现有两种学习率衰减策略A和B,初始学习率L相同，策略A的参数为r4=0.9，S4=100, 策略B的参数为B=0.95,S。=50.已知当训练步数为k时，策略A的学习率首次大于策略B的学习率 的2倍，当训练步数为k2时，策略A的学习率首次大于策略B的学习率的8倍，则()（参考数据： 0.6931<n2<0.6932) A.k=3k-2B.k2=3k-1 C.=3k D.k2=3k+1 8.球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段 长叫做球缺的高（如图）.若球缺的底面半径为r,高为h,则球缺的体积了=二h3r2+k).已知棱长 6 为2的正方体ABCD-AB,CD,的各个顶点都在球O上，平面 h ABCD将球O截成两部分，那么较小部分的体积为() A. 65-8元 B.8-4V5 c.2(5-1π D.45-4x 3 3 3■ 二、多选题 9.已知复数，w均不为0，则( A.22zP B.= zP C.z-w-z-w 12l-H D.园问 10.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c下列说法中正确的有() A.若sinA>sinB,则A>B B.若cos2A>cos2B,则A<B C.若cosA<sinB,则△ABC为锐角三角形 D.当△ABC为锐角三角形，且A>B时，sinA-sinB<sin(A-B) 11.如图，AB,CD是半径为1的圆O的两条不同的直径，M=2M石，则() AAM=M远 Bc而=号 B M C.满足MB=MC+uMD的实数2与μ的和为定值4 D D.sn∠CMD的最大值为】 三、填空题 12.已知复数z满足z-1=1,则z+2+4(i是虚数单位)的最小值为 13.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器假定某玉踪中间内空，形状对称；如图 所示，圆筒内径长2cm,外径长3cm,筒高4cm,中部是棱长为3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面 内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为 cm3. 14.已知a为实数， 函数f((a-}e,若f4)=e,则a=一 四、解答题 15.若函数f闪i2x+2n(r+君引}m-君》+a的最大值为3. (1)求a的值及函数f(x)的单调递减区间； (2)求不等式f(x)≥1的解集， 16.为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台ABCD-AB,C,D建 筑。 D A (1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米求该正四棱台ABCD-AB,C,D的侧面 积和体积； (2)若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设 ∠BBC=a,求sina的最小值. 1.在△C，中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且空=-fwewC+-cos4小sn(4+引 2 (1)求B; (2)若AB=BC,在△ABC外一点D满足AD=3CD=3,如图，求四边形ABCD面积的最大值. 18.在梯形ABCD中，AB=2CD=12,∠DAB=60°，AD=CB,AB∥CD.AE=2EB,CF=2FD. (1)用AB,AD表示AF. (2)设M是线段EF上一点，且应=5花+mAD. 12 ()求AM: (i)若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求A豆.M匠的最小值. 19.某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由 RtAABF,直角梯形BCEF和以C为圆心的四分之一圆弧ED构成，其中AB⊥BF,BC⊥CE,BF∥CE, 且C3=2,MB子BC三BP=,将平面图形ADF以AD所在直线为轴，旋转一周形成的几何体型 为烟花 D (1)求该烟花的体积； (2)工厂准备将矩形PMNO(该矩形内接于图形BDEF,M在弧DE上，N在线段EF 上，PO在AD上)旋转所形成的几何体用来安放燃料，设∠MCE=日(0<日<匹) B ①请用0表示燃料的体积， ②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系t (9-7cos0)cos2日， 请计算这个烟花 燃烧的最长时间。《2028届高一下期期中复习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B A A BCD ABD BCD 7.【详解】根据题意，策略A的学习率L)=,e瑞，策略B的学习率L=L,e警； 当k=片时，由题可知：1e0>2,e”,即。0警>2也即高>2 两边取对数可得：点高>h2,故5>10血2，又06931<h2<06932,放631<100h2<6932, 又k∈N,且为策略A的学习率首次大于策略B的学习率的2倍，故k=70; 当k=6时，由题可知：Le0>8,e,即。品警>8：也即6备>8， 两边取对数可得：左>1n8=3h2,故>300n2,又0.6931<h2<0.6932,故 100 207.93<300血2<207.96，又k2∈N,且为策略A的学习率首次大于策略B的学习率的8倍，故 k2=208:故k2=208=3×70-2=3k-2,也即k=3k-2. 8.【详解】设外接球圆心为O,平面ABCD截外接球所得圆圆心为O. 由题意正方体外接球的半径R=√5，平面ABCD截外接球所得圆的半径为r=√2. 0到O的距离d=√3-2=1，则球缺的高h=5-1. 所以7g5-0e(+5-月-5-8。 9.【详解】设z=a+bi(a,b∈R)、w=c+di(c,d∈R): 对A:设z=a+bi(a,b∈R),则z2=(a+bi)2=a2+2abi-b2=a2-b2+2abi, IzP=(Na+6=a2+b,放A错误； 对B手又=，即省d z2求，故B正确： C:z-w=a+bi-c-di=a-c+(b-d)i,z-w=a-c-(b-d)i, z=a-bi,w=c-五，则z-w=a-bi-c+di=a-c-(b-d)i,即有z-w=z-w,故C正确： 对D: z a+bil l(a+bi)(c-di)_lac+bd-(ad-bc)i c+dil (c+di)(c-di) c2+d2 ac+bd ad-bc a"c2+2abcd+b2d2+a'd2-2abcd +b2c2 c2+d2 c2+d2 (c2+a2 a'c2+bd2+a'd2+bc2 Ya'c2+b'd2+a'd2+b'c2 (c2+d2 c2+d2 a+8 a2+bx√c+d a2+6)c2+a) w√c2+d2 c2+d2 c2+d2 Va'c2+bc2+ad2+b'd2 故D正确.故选：BCD. c2+d2 10.【详解】对选项A,根据正弦定理，a=b =2R, sinA sinB 因此sinA>sinB一a>b,即三角形中大边对大角，故A>B,A正确； 对选项B,由cos2A>cos2B,得1-2sinA>1-2sin2B→sim2A<sim2B, 因为A,B∈(O,π)，所以siA,sinB>O,故sinA<sinB,结合A的结论得B正确： 对选项C,举反例：取A=120°，B=10°，cosA=0.5<siml0°=sinB,满足条件， 但此时A=120°，△ABC是钝角三角形，C错误； 对选项D,原不等式等价于：sinA-sinB<sin Acos B-cos Asin B, 整理得：sinA1-cosB)<simB(1-cosA), 利用三角恒等变换得2 2sim 4cos2sim:号<2si如9cos22sin4, cos 2 2 2 2 因为△MBC是锐角三角形，4，Be0引cms号>0os号>0如号>0，s如号>0， B 、2月 2 2 2 B 所以原不等式等价于：tan号<tan 2 又因为受>4>8>0，所以经分号30， A 因为函数y=mx在0引单调递增，因此如分>伽号，原不等式成立，D正确 B 2 1.【详解】由题意知4A0=OB,AM=2M0,÷AM=240= 3 子极-B,M=MB, 32 3 :AM=MB,故A错误 以O为原点，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则M(0 根据对称性，不妨取C在x轴上方，设C(cosa,sina)0<a<,则 D(-casa,-s血a,则c-(osa+号maM而-（-cosa+-si血a hc历-写coa-sina-写-1=号故B正确： 砺=o=C+而，∴而-c+片而， M 0,C,D三点共线，心子+片1，即+以=4，放C正确， 网-a+ma=a,网-a+ 102 +sin'a=93 8 ÷lG网-amsa,CMD=osc而- M元.M而 9 MG·MD 100_4 cos'a V819 0<a<,0scos as1.geos as1<cosCMDs 9 or∠CD<l0<l-os∠CND≤号，即0<sm2∠CD≤号，又0<∠CMD<x, 16 :0<sin∠CMD≤号，血LCMD的最大值为，故D正确 12.4 【详解】复数z满足z-=1,则复数z对应的点Z(x,)在以C1,0)为圆心，半径r=1的圆上， 而2+2+4=2-(-2-4训表示圆上的点Z(x,)到定点4(-2,4)的距离d,圆心C到定点A距离为： d,=√+2}+0+42-5，所以z+2+4(i是虚数单位)的最小值为：dm=5-1=4. 13.27.7π 4 ,【详解】因为圆筒内径长为2cm,所以内圆半径r=lcm.外径长为3cm,所以外圆半径R= 上下两段圆筒总高为4-3=lcm,加上中部正方体挖去外圆柱后剩余部分： ”卖心外=上下外圆柱体积+中部正方体体积=πR2.1+3=π +27=-27+ 空心是贯通整个玉琮的内圆柱，总高为4cm,空心=πr2,4=π12.4=4r 所以玉琼的体积为V=k0外-。-27+4=27.7红 4 4 14. 2h2+1 4 【详解】f问-a-血e=(ax-ne,令8()=e,由于当xs0时，g)50,当x>0 x 时，g(x)>0,且g(x)在(0，+)上单调递增，则存在唯一，使得g()=e,且x=1, 若f(4=c,则f(④=(4a-血4)xe-4=1xc,得4a-n4=1,可得a=2h2+1 4 15.0a-分[后+，g+]e2:®r+号sxs+径球=名+ke☑ 12 【详解】0f创=5a2x+2(+号}m(-君引a=m2x-o2ra+2m(2a-周 a+分，因为fd的最大值为3，所以a-分子+2近52x名≤经+2keZ,解得 6 2 号+红sxs誓+txke工，f儿的单调远减区间为[酯+点，音+]ke冈 (2)f倒-22x-君+1，/(21可得)21或(s-1即m2x-》20或 m2x-}-l,所以2≤2x-若≤2r+x或2x-管=-+2，keZ,解得+晋≤≤kr+设 12 破=一看+eZ,所以解集为红+合5红s+沿或君标ke. 12 6 16064.)a5 【详解】(1)因为正四棱台的上、下底面的边长分别为6和10，高为8， 故正四俊台0CD-44CA体积为y-写+10+VFx10)8-1(). 记O,O分别为棱台上、下底面的中心，分别取B,C,BC的中点M,N, 连接OO,OM,ON,MN,在梯形OMNO中，过M作MH⊥ON于H, 由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形，且O,O=MH=8,OM=3,ON=5,所以HN=2, 所以MN=√MH2+N2=√⑧2+22=27，故该正四棱台的侧面积 S=4×2×6+10x27=64i7(m2） 又m4>0,所以v5s6-co8=2(8-}-1, 又0<8<，所以-君<B-君<名，所以B-君-君 6 66 即B= 3 (2)因为4B=BC,且B=骨 所以△ABC为等边三角形. 设∠ADC=a,0<a<π， 在△ACD中，由余弦定理得， AC2=AD2+CD2-2AD.CD·coS∠ADC=32+12-2×3×1×cosa=10-6cosa, 所以S四边形BCD=S△Bc+S&ACD CAD-CD.sinLADC 4 (0-6cma) 9+na引 因为0<a<,所以-号<a-晋径 所以当a否-受即a=∠A0C-警时，四边形A8CD的面积取得最大值，最大值为 +3 18亚=名+而：回7：) 【详解】0因为G-而，B0,B=0=2,所以F-c-分亚-君还 3 所以正-而+际-名西+而， (2)()以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A作与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系. 因为AE=2EB,CF=2FD,所以点E,F分别是AB,CD上靠近点B,D的三等分点， 又AB=2CD=12,∠DAB=60°，AD=CB,AB∥CD, 所以A(0,0),B(12,0),C9,35),D3,35),G(6,0),E(8,0),F5,3, 则B=(12,0),D=(（3,3,正=(8,0)，F=(5,35)， 因为孤-是孤+m而，所以=品2.0+m,3何)-6+3孤35m列， D (2)设正四棱台上、下底边长分别为2x,2y. 由条件可知，x+y=6,0<y-x≤2. 此时在等腰梯形B,BCC中， MN=√2+0-x，B,B=√MW2+0-x}=V20-x}+4, 所以sina MN y-x2+4 BB V2-x+4 令t=0y-x)2e(0,4], 则sina= t+4 t+2+2 +工≥6 2(t+2)V2t+2) -V2t+23 当且仅当t=4时取等号： 1.肾：a55+3 2 【弹解】((0由2生-((aowC+6eou4m[4+君引， 由余弦定理得： a+c_ a.g2+62-c2 2 2ab “）+引 即a+c=(5sinA+cos4), 2 由正弦定理得： sin A+sinCsinB(sin4+cos4, 2 2 即sinA+sinC=√3 sinAsinB+cosAsinB, 又A+B+C=元， 所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 故sinA=√3 sinAsinB-sinAcosB, 又E,F,M三点共线，所以存在元∈R使得AM=A正+(1-2)AF, 即5+3m35m)=ag,o)+-A53,即5m=350-A) [5+3m=8入+5(1-) 架-所似亚侣9所网-9=7， (i)因为H为线段GD上一个动点，设G丽=uGi=(-34,354,4∈[0，， 则=AG+G丽=(6,0)+(-34,35=(6-34,35， 又=孤-孤-6-awm侣9分%5-9） 所以孤@6-a5宁a3m-9 =6-n分测35r5m-}-s6r-30-3, 由二次函数性质可知，当“=立时伍M取得最小值- 4 VA D E GE B 19.)52；2@8xcos01+sin0-cos9)②2m 6 【详解】(1)该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成， 又a=方成-1s,么e-忙+n+)-5,as=石 6 所以该烟花的体积V=16+7严+7红-53严】 3366 (2)①由图可知：PM=Ng=2cos8,PC=2sin0, 在梯形BCE中，由CE=2,BF=BC=1,易知∠CEF=至故cQ=2-2as0, 则P2=CP+C0=2+2sin0-2cos0,所以V=πMr·Pg=8mcos20(1+sin0-cos0): ②由①可知：1=9-7os9)cos0 8π(1+sin0-cos0) 9-7cos0 2如92 8n2sin +2sim只。 2 即t= cos 2 2+7(1-cos0) 2+14sin2 8msin2只 2 8 tan20 8in2 +cos2日 8tan:+1 2 2 令m=m号，则0<m< ,上式即为t= 6@--+ 8m2+1.8m2+1 又令n=8m-1,， 当n=0时，t=π，当-1<n<0时，t<π， 当n>0时， 点小 当且仅当n=9,即n=3,即m=)时，等号成立，满足题意。 n 该烟花燃烧的最长时间为2π.