限时预测02（A+B+C三组解答题）（大题专练）（全国一卷通用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

限时预测02（A组+B组+C组） （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 【解】（1）第一步：确定定义域，函数求导 由题意可知：函数的定义域为， 且， …………………………………………2分 第二步：讨论的取值，确定单调性 若，则，可知函数在内单调递增；………………………………………4分 若，令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增；……………………………………6分 第三步：总结 综上所述：若，函数在内单调递增； 若，函数在内单调递减，在内单调递增.…………………………………7分 （2）第一步：分析时，零点的情况 因为函数有两个零点， 若，函数在内单调递增，可知函数至多有一个零点，不合题意；…………9分 第二步：分析时，零点的情况 若，函数在内单调递减，在内单调递增， 且当趋近于0或时，函数趋近于， 可得，解得； …………………………………………12分 第三步：结论 综上所述：实数的取值范围为. …………………………………………13分 16．(本小题满分15分）如图，已知四棱锥中，平面，四边形中，，，，，，点在平面内的投影恰好是△的重心． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解】（1）第一步：证明， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， ………………………………………3分 第二步：证明线面垂直 因为，平面，平面， 所以平面， ……………………………………6分 第三步：证明面面垂直 又因为平面，所以平面平面，所以平面平面．…………………8分 （2）第一步：证明， 取中点，连接， 因为，，，， 所以四边形是矩形，所以， 因为平面，所以，， ………………………………………9分 第二步：建立空间直角坐标系 所以、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系： 第三步：设点的坐标及 ，，，，， 设，则， ，，， …………………………………………11分 第四步：求平面的法向量 因为点在平面内的投影恰好是△的重心，所以， 所以，所以，，又，， 令， 因为，， 所以是平面的法向量， 的方向向量是， …………………………………………13分 第五步：直线与平面所成角的正弦值 所以直线与平面所成角的正弦值为 . 故直线与平面所成角的正弦值为. ………………………………………15分 【规律方法】利用空间向量求线面角的解题步骤 17．(本小题满分15分）已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点. (1)若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求； (2)设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0. 【解】（1）第一步：设点的坐标，并表示出两直线的斜率 当直线经过坐标原点时，，两点关于原点对称. 设，，， 于是，. …………………………………………2分 第二步：将点的坐标代入双曲线方程，并作差 因为，，三点都在双曲线， 所以，两式作差，， …………………………………………4分 第三步：求出 所以. …………………………………………6分 （2）第一步：设直线的方程及点的坐标，表示出和 已知，由题意可知均有斜率， 可设直线，直线，，，，. ，. …………………………………………8分 第二步：联立方程，消去，写出根与系数的关系 联立直线方程与双曲线的方程：. 整理得，， 当时，. ，. …………………………………………10分 第三步：用，分别表示出， 于是， 同理可得，. …………………………………………13分 第四步：利用证明结论 因为，所以 整理得，，而，所以. …………………………………………15分 【规律方法】圆锥曲线中的范围或最值或定值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的数量积坐标运算. 18．(本小题满分17分）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布. 附：若，取，. (1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差； (2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.  系统正常工作的概率称为系统的可靠性. ①若控制系统原有个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？ ②假设该系统配置有个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明. 【解题指导】（1）确定件，→利用正态分布三原则求解 （2）①二项分布→求→求→作差比较大小；②比较不同的取值下可靠性的大小关系即可. 【解】（1）第一步：求出技术改造前的优品率 技术改造前，易知，，则其优品率为； …………………………2分 第二步：求出技术改造后的优品率 技术改造后，，，则其优品率为. ………………………4分 第三步：求出优品率之差 所以优品率之差为. …………………………………………5分 （2）①第一步：设随机变量和，写出和服从的分布 记为原系统中正常工作元件个数，为增加一个元件后正常工作元件个数. 由条件知，，. …………………………………………6分 第二步：求 ， …………………………………………7分 第三步：求 . …………………………………………8分 第四步：作差法比较与的大小，得出结论 因为，所以可靠性提高. …………………………………………9分 ②第一步：分别写出随机变量和服从的分布 根据上一问的假设，易知，. …………………………………………10分 第二步：分析为奇数时的情况 当为奇数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知， . 所以，，这说明可靠性降低. …………13分 第三步：分析为偶数时的情况 当为偶数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知， . 所以，，这说明可靠性提高.………………16分 第四步：总结 综上，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. …………………………………………17分 【一题多解】设两两独立且均服从二项分布，记，则该系统配置有个元件时，系统的可靠性为. 则 ， …………………………………………10分 且 . …………………………………………12分 这就得到，. 这表明，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. 注意到服从二项分布，故. ………………………………………14分 进行完以上准备工作后，我们回到原题. ①若控制系统原有个元件，则系统的可靠性为. 而是偶数，所以增加一个元件后系统的可靠性会提高； …………………………………………16分 ②根据上面的结论，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. …………………………………………17分 【规律方法】解决正态分布问题有三个关键点 （1）对称轴x＝μ； （2）标准差σ； （3）分布区间. 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率. 19．(本小题满分17分）混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中. (1)当时，若满足对，有，求的通项公式； (2)证明：当时，中不存在连续的三项构成等比数列； (3)若，，记，证明：. 【解题指导】（1）把代入→两个递推关系→建立方程组求解. （2）反证法→结合已知定义导出矛盾即可得证. （3）确定数列的范围→数列的单调性→利用结合放缩法推理可得. 【解】（1）第一步：写出与的关系式 当时，，依题意，①，②， ……………………2分 第二步：求出 两式作差，，则或， 若，代入①式解得，或，而，于是； 若，将代入②式解得，. 因此必有. …………………………………………4分 第三步：求出的通项公式 注意到，，从而由归纳即知是常数列. 所以的通项公式为. …………………………………………5分 （2）第一步：假设连续三项构成等比数列，得 假设，，构成等比数列，则. 那么由，可知. ……………………7分 第二步：得到矛盾，从而得结论 又，则，解得，与矛盾. 所以中不存在连续的三项构成等比数列. …………………………………………9分 （3）第二步：证明 由于当时，有，，即. 而，，故归纳即知对任意正整数都有. …………………………12分 第二步：判断数列的单调性 又由及可知，故数列单调递减. …………………………14分 第三步：利用放缩法证明不等式 又由于，故 . …………………………17分 【规律方法】涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题. （建议用时：60分钟 满分：77分） 15．（本小题满分13分）某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行： (1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和； (2)据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率. 【解】（1）第一步：记“一位参加活动的游客低碳出行”为事件，根据题中的表格求出 记“低碳出行”为事件，估计. …………………………………………2分 第二步：确定随机变量X服从二项分布,根据公式求出及 则 …………………………………………3分 ， …………………………………………5分 ； …………………………………………7分 （2）第一步：记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件B，并求出，，. 由（1）知，则有， 记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件， 由题意，， …………………………………………9分 第二步：根据全概率公式求出 所以.…………………………………………13分 16．（本小题满分15分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：. 【解】（1）第一步：求， ， …………………………………………1分 ，则， …………………………………………3分 第二步：根据直线的点斜式方程求出切线方程 曲线在点处的切线方程为. …………………………………………5分 （2）解法1： 第一步：求的定义域 定义域为. …………………………………………6分 第二步：证明当时恒成立 ①当时，，，则，即；…………………………7分 第三步：当时，对函数求导 ②当时，. ……………………………………8分 第四步：令，对求导，确定的单调性，证明 设，， 由于均在上单调递增，故在上单调递增，， 所以， ………………………………………10分 第五步：确定函数在上单调递增，从而证明 所以在上单调递增，，，即， ……………………………12分 所以在上单调递增，，则，……………………………………14分 第六步：下结论 综上所述，. …………………………………………15分 解法2：第一步：求的定义域 定义域为. …………………………………………7分 第二步：将变形为 要证，只需证，只需证， …………………………………………10分 第三步：对函数求导，并确定其单调性和最值 令，，， 当，，单调递减； 当，，单调递增， ， …………………………………………12分 第四步：对函数求导，并确定其单调性和最值 ， 当，，单调递增； 当，，单调递减， ， …………………………………………14分 第五步：问题得证 综上所述，，也就是，即……………………………………15分 【方法规律】利用导数比较大小或者证明的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 17．（本小题满分15分）如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点. (1)求证；平面； (2)若，，，求平面与平面所成角的余弦值. 【解】（1）第一步：作辅助线,证明四边形为平行四边形 取的中点为，连接，. 点，分别是，的中点， 是的中位线，即，， 在菱形中，，. ，，即四边形为平行四边形， …………………………………………2分 第二步：列举与平面平行的条件，证出结论 则， …………………………………………3分 又平面，平面，平面.…………………………………………5分 （2）第一步：连接，，证明平面 连接，， ，，，平面，平面， 平面， …………………………………………6分 第二步：证明，从而得到两两垂直的三条直线 又平面，， …………………………………………7分 ， 又，则，所以. 即直线，，两两垂直. …………………………………………8分 第三步：建立空间直角坐标系，并写出相关点和向量的坐标 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，………………………………………9分 ，，，.………………………10分 第四步：求平面和平面的法向量 设平面的法向量为，平面的法向量为， 由得取. …………………………………………11分 由得取. …………………………………………12分 第五步：求平面与平面夹角的余弦值 设平面与平面所成角为， 则， …………………………………………14分 即平面与平面所成角的余弦值为. …………………………………………15分 18．（本小题满分17分）在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为. (1)求，，，； (2)求数列的通项公式； (3)是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解题指导】（1），，公差为2的等差数列→，，公差为4的等差数列→求，，， （2），，成等差数列→→分与两种情况求解； （3）等比中项的性质→结合通项公式求解即可. 【解】（1）由题意，，，成等差数列， 公差为2；，，成等差数列，公差为4. …………………………………………1分 则，，，.………………………………5分 （2）第一步：根据，，成公差为的等差数列，得 由题意，. …………………………………………6分 第二步：求出当为奇数时的通项公式 当，时， ，……………………………………8分 且满足上式，所以当为奇数时，. ………………………………9分 第三步：求出当为偶数时的通项公式 当时，.…………………………11分 第四步：总结 所以 …………………………………………12分 （3）第一步：写出结论 存在时，使得，，，成等比数列 证明如下： …………………………………………13分 第二步：表示出 由（2）可得，，…………………14分 第三步：根据，求出 假设，，成等比数列， 则， …………………………………………15分 化简得，所以，即， …………………………………………16分 第四步：验证并总结 此时，所以当时，，，，成等比数列.……………17分 19．（本小题满分17分）已知集合，，设函数. (1)当和时，分别判断函数是否是常数函数？说明理由； (2)已知，求函数是常数函数的概率； (3)写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由. 【解题指导】（1）分情况讨论→诱导公式→同角三角函数关系式→二倍角公式化简函数→常数函数 （2） 常数函数→和差角公式→三角函数方程→古典概型概率； （3）常数函数→三角恒等变换→分情况讨论→找充分条件. 【解】（1）当时，， 此时是常数函数； 当时， ，此时不是常数函数. …………………………………………2分 （2）第一步：设，，对函数降幂 设，不妨令. ………………4分 第二步：确定函数是常数函数时集合中的元素满足的条件 若函数是常数函数，则………………………………………5分 则， 得，所以， 得或，， 所以或，， …………………………………………6分 同理或，，或，，…………7分 则① …………………8分 第三步：求出从集合中任取3个元素的所有可能情况种数 集合共有13个元素，从中任取3个元素组成集合， 共个， …………………………………………9分 第四步：求符合条件的集合的可能情况种数 而满足①的集合有，，，，，共5个， 第五步：求函数是常数函数的概率 则使得函数是常数函数的概率为. …………………………………………10分 （3）第一步：求函数是常数函数的条件 不妨令， 因为 ， 若函数是常数函数，则 得，所以， 得，，所以，，………………………………………12分 第二步：根据是常数函数的条件，确定为偶数时，是常数函数的一个充分条件 ①当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值， …………………………………………13分 所以函数是常数函数的一个充分条件可以是……14分 第三步：由和是常数函数的条件，确定为奇数时，是常数函数的一个充分条件 ②当为奇数时，可以拆分成1组三项的和 与组两项（，）的和， 每一组为定值时，也为定值， …………………………………………15分 所以函数是常数函数的一个充分条件可以是 . …………………………………………16分 第四步：总结 综上所述，当为偶数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是 ； 当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是 . ……………………………………………………17分 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分）如图所示的空间几何体是以为轴的圆柱与以为轴截面的半圆柱拼接而成，其中为半圆柱的母线，点为弧的中点. (1)求证：平面平面； (2)当，平面与平面夹角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【解】（1）过作交弧上一点，连结，如图所示： 则为弧的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，所以. …………………………………………2分 由题意可知，，为等腰直角三角形，则； 因为为弧的中点，所以, 则为等腰直角三角形，则， …………………………………………4分 所以，则, 因为，则，又， 又因为、面， 所以平面，因为面， 所以平面平面. …………………………………………6分 （2） 第一步：建系，，写出相关点和向量的坐标 由题意知，两两垂直，所以为坐标原点， 以分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示： 设，又， 则，，，，， ，，，，，……………7分 第二步：表示出平面和平面的法向量 设平面的一个法向量为， 则，即，令，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，，……………………………10分 第三步：用表示出平面与平面夹角的余弦值，并求出 设平面与平面的夹角为 ，解得（负舍），……………………11分 第四步：求点到直线的距离 所以，，， 则， 所以点到直线的距离为. …………………………………………13分 16．(本小题满分15分）阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.某年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了解学生每个学期的阅读时长，采用分层抽样的方法抽取样本，收集统计了他们的阅读时长（单位：小时），计算得男生样本的均值为100，标准差为16，女生样本的均值为90，标准差为19. (1)如果男、女的样本量都是25，请估计总样本的均值.以该结果估计总体均值合适吗？为什么？ (2)已知总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本的均值为，样本方差为. （ⅰ）证明：； （ⅱ）如果已知男、女样本量按比例分配，请直接写出总样本的均值和标准差（精确到1）： (3)假设全年级学生的阅读时长服从正态分布，以（ⅱ）总样本的均值和标准差分别作为和的估计值.如果按照的比例将阅读时长从高到低依次划分为，，，四个等级，试确定各等级时长（精确到1）. 附：，，，. 【解】（1）第一步：求出均值 总样本的均值为. …………………………………………2分 第二步：判断是否合适 用该结果作为总体均值的估计不合适，因为男生和女生的阅读习惯差异比较大， 这个样本的分布与的分布相差可能比较大，所以总样本均值作为总体均值的估计有偏差.…………4分 （2）（ⅰ）第一步：写出方差的式子，并对式子进行拆分 证明：根据方差的定义，总样本方差为 . ………………………………………6分 第二步：证明， ∵， 同理. …………………………………………7分 第三步：证明方差公式 因此， . …………………………………………8分 （ⅱ）因为是按比例分配分层随机抽样，所以，得 男生样本的均值为，方差为， 女生样本的均值为，方差为， …………………………………………9分 记总样本的均值为，方差为， 则， 所以 又，所以. 总样本的均值为96，标准差约为18. …………………………………………11分 （3）第一步：写出μ和σ的值 由（2）知，，所以服从正态分布，………………………………………12分 第二步：写出各分数段对应的概率 所以，. ， ………………………………………14分 第三步：划分等级 故可将定为等级，定为等级， 定为等级，定为等级. …………………………………………15分 17．(本小题满分15分）已知函数（）. (1)求在区间上的最大值与最小值； (2)当时，求证：. 【解】（1）第一步：求导，判断导函数的单调性，求出导函数的零点 （）（）， 令，则， …………………………………………1分 第二步：求时函数的最值 当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以， …………………………………………3分 第三步：求时函数的最值 当时，，则当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， 所以， 而，.所以………………………………………6分 第四步：总结 综上所述，当时，，； 当时，所以，. ………………………………………7分 （3） 第一步：放缩，将问题转化为证明 因为，，所以，欲证，只需证明，…………8分 第二步：构造函数，求导 设，（），，……………………………………9分 第三步：构造函数，确定的零点 令，易知在上单调递增， 而，， 所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得， 即， …………………………………………11分 第四步：判断函数的单调性，求出的最值 因此，， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增；……………………13分 所以 第五步：得出结论 所以，因此. …………………………………………15分 【一题多解】因为，，所以， 欲证，只需证明， …………………………………………8分 只需证明， …………………………………………9分 因此构造函数（），，…………………………………………11分 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增：…………………………………………13分 所以，所以， 所以，因此. …………………………………………15分 【规律方法】作差构造法证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形：将不等式f（x）＞g（x）（或f（x）＜g（x））变形为f（x）－g（x）＞0（或f（x）－g（x）＜0）； （2）构造新的函数：h（x）＝f（x）－g（x）； （3）利用导数研究函数h（x）的性质，得到所证不等式. 18．(本小题满分17分）已知抛物线：，直线与抛物线交于，两点，为坐标原点. (1)若直线过的焦点. (i)当的面积最小时，求直线的方程； (ii)当，记的外接圆与的另一个交点为，求； (2)设圆（，）与交于四点，，，，记弦，的中点分别为，，求证：线段被定点平分，并求定点坐标. 【解题指导】（1）(i)设出直线为→抛物线的方程联立→韦达定理→弦长公式和三角形面积公式→求面积的最小值. (ii) 设，，→讨论直线斜率得存在性→根据抛物线得定义及、、、四点共圆→记、、、的倾斜角分别为、、、→斜率分别对应、、、，→求点坐标→求. （2）设，，→求中点→类比小问1中的第二问解法二→，→点坐标→线段被定点平分. 【解】（1）由题意可知直线不会与抛物线对称轴平行，设，. 因为过，设直线为，与方差联立可得：， 所以有，. …………………………………………2分 （ⅰ）点到直线的距离为， 又因为：， 所以. 当，的面积取得最小值2，此时直线方程为.……………………………4分 （ⅱ）设，，，若垂直于轴， 此时，所以由可知斜率存在， 因为弦过抛物线的焦点，所以， 由抛物线定义可知，，所以，即， 因为，，所以， 解得. …………………………………………6分 因为、、、四点共圆,所以和相等或互补， 记、、、的倾斜角分别为、、、， 斜率分别为、、、，所以，所以， 即，又因为， 同理有：、、代入可得： ，解得：，即， 所以，结合可知，所以.…………………………………9分 【一题多解】圆经过点，所以可设圆为，与抛物线联立可得： ，此方程有4个不同的解0、、、， 所以联立方程可化简为，又因为， ，所以，后面同解法一.…………9分 （2）如图所示，设，，，所以，， 中点为，类比第二问解法二，可知， .……………………………13分 由第二问解法二可知，所以： ，所以， ，…………………16分 所以，即线段被定点平分. 故定点坐标为. …………………………………………17分 【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.或以曲线上的点为参数，设点P（x1，y1），利用点在曲线f（x，y）＝0上，即f（x1，y1）＝0消参； （2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊（或极端）位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k＝0或k不存在. 19．(本小题满分17分）若无穷项数列满足（，，为常数，且），则称数列为“数列”. (1)设，，若首项为1的数列为“数列”，求； (2)若首项为1的等比数列为“数列”，求数列的通项公式及前项和； (3)设，，若首项为1的数列为“数列”，记数列的前项和为，求所有满足的值. 【解题指导】（1），→周期数列→求的值. （2）是等比数列→数列→求，，→求数列的通项公式→前项和. （3）找的通项→设→→.→的值 【解】（1）第一步：代入数据，列出数列的前10项 由题意有，，，，则 ，，，，，，，，，，… 第二步：表示出 一般有，，, ………………………………………2分 第三步：求出 所以. …………………………………………3分 （2）第一步：设数列的公比，讨论时的情况 数列是首项为1的等比数列，设其公比为，又为数列，，， 当时，，，.有， 又，，， 于是得，解得，有或，………………………………………5分 当时，，，为数列， 当时，，，为数列，…………………………7分 第二步：讨论时的情况 当时，则，，构成以为公差的等差数列，即，有，解得， 于是得，，，为数列，…………………………9分 第三步：总结 所以①当，，是大于1的任意正整数，则，； ②当，，，则，.………………………………………10分 （3）第一步：列出数列的前11项 依题意，，，，数列为“数列”， 则，，，，，， ，，，，，……………………………………………11分 第二步：将数列每5项为一组，求出的通项公式 ，，，，是公差为1的等差数列，且, 所以且, 所以数列是以首项为9，公比为2的等比数列，所以, 即, …………………………………………12分 第三步：求出每组的和，进而求出 即, 所以 …………………………………………14分 第四步：代入所给关系式,得到一个关于n的方程，解方程并得出结论 所以，即， 化简得，代入，等式成立. 因为当时，，所以当，方程无解，……………………………………16分 综上所述，满足成立的值为1. …………………………………………17分 【规律方法】1.遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 2.类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时预测02（A组+B组+C组） （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分） 【解】（1）第一步：确定定义域，函数求导 由题意可知：函数的定义域为， 且， …………………………………………2分 第二步：讨论的取值，确定单调性 若，则，可知函数在内单调递增；………………………………………4分 若，令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增；……………………………………6分 第三步：总结 综上所述：若，函数在内单调递增； 若，函数在内单调递减，在内单调递增.…………………………………7分 （2）第一步：分析时，零点的情况 因为函数有两个零点， 若，函数在内单调递增，可知函数至多有一个零点，不合题意；…………9分 第二步：分析时，零点的情况 若，函数在内单调递减，在内单调递增， 且当趋近于0或时，函数趋近于， 可得，解得； …………………………………………12分 第三步：结论 综上所述：实数的取值范围为. …………………………………………13分 16．(本小题满分15分） 【解】（1）第一步：证明， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， ………………………………………3分 第二步：证明线面垂直 因为，平面，平面， 所以平面， ……………………………………6分 第三步：证明面面垂直 又因为平面，所以平面平面，所以平面平面．…………………8分 （2）第一步：证明， 取中点，连接， 因为，，，， 所以四边形是矩形，所以， 因为平面，所以，， ………………………………………9分 第二步：建立空间直角坐标系 所以、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系： 第三步：设点的坐标及 ，，，，， 设，则， ，，， …………………………………………11分 第四步：求平面的法向量 因为点在平面内的投影恰好是△的重心，所以， 所以，所以，，又，， 令， 因为，， 所以是平面的法向量， 的方向向量是， …………………………………………13分 第五步：直线与平面所成角的正弦值 所以直线与平面所成角的正弦值为 . 故直线与平面所成角的正弦值为. ………………………………………15分 【规律方法】利用空间向量求线面角的解题步骤 17．(本小题满分15分） 【解】（1）第一步：设点的坐标，并表示出两直线的斜率 当直线经过坐标原点时，，两点关于原点对称. 设，，， 于是，. …………………………………………2分 第二步：将点的坐标代入双曲线方程，并作差 因为，，三点都在双曲线， 所以，两式作差，， …………………………………………4分 第三步：求出 所以. …………………………………………6分 （2）第一步：设直线的方程及点的坐标，表示出和 已知，由题意可知均有斜率， 可设直线，直线，，，，. ，. …………………………………………8分 第二步：联立方程，消去，写出根与系数的关系 联立直线方程与双曲线的方程：. 整理得，， 当时，. ，. …………………………………………10分 第三步：用，分别表示出， 于是， 同理可得，. …………………………………………13分 第四步：利用证明结论 因为，所以 整理得，，而，所以. …………………………………………15分 【规律方法】圆锥曲线中的范围或最值或定值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的数量积坐标运算. 18．(本小题满分17分） 【解题指导】（1）确定件，→利用正态分布三原则求解 （2）①二项分布→求→求→作差比较大小；②比较不同的取值下可靠性的大小关系即可. 【解】（1）第一步：求出技术改造前的优品率 技术改造前，易知，，则其优品率为； …………………………2分 第二步：求出技术改造后的优品率 技术改造后，，，则其优品率为. ………………………4分 第三步：求出优品率之差 所以优品率之差为. …………………………………………5分 （2）①第一步：设随机变量和，写出和服从的分布 记为原系统中正常工作元件个数，为增加一个元件后正常工作元件个数. 由条件知，，. …………………………………………6分 第二步：求 ， …………………………………………7分 第三步：求 . …………………………………………8分 第四步：作差法比较与的大小，得出结论 因为，所以可靠性提高. …………………………………………9分 ②第一步：分别写出随机变量和服从的分布 根据上一问的假设，易知，. …………………………………………10分 第二步：分析为奇数时的情况 当为奇数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知， . 所以，，这说明可靠性降低. …………13分 第三步：分析为偶数时的情况 当为偶数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知， . 所以，，这说明可靠性提高.………………16分 第四步：总结 综上，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. …………………………………………17分 【一题多解】设两两独立且均服从二项分布，记，则该系统配置有个元件时，系统的可靠性为. 则 ， …………………………………………10分 且 . …………………………………………12分 这就得到，. 这表明，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. 注意到服从二项分布，故. ………………………………………14分 进行完以上准备工作后，我们回到原题. ①若控制系统原有个元件，则系统的可靠性为. 而是偶数，所以增加一个元件后系统的可靠性会提高； …………………………………………16分 ②根据上面的结论，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. …………………………………………17分 【规律方法】解决正态分布问题有三个关键点 （1）对称轴x＝μ； （2）标准差σ； （3）分布区间. 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率. 19．(本小题满分17分） 【解题指导】（1）把代入→两个递推关系→建立方程组求解. （2）反证法→结合已知定义导出矛盾即可得证. （3）确定数列的范围→数列的单调性→利用结合放缩法推理可得. 【解】（1）第一步：写出与的关系式 当时，，依题意，①，②， ……………………2分 第二步：求出 两式作差，，则或， 若，代入①式解得，或，而，于是； 若，将代入②式解得，. 因此必有. …………………………………………4分 第三步：求出的通项公式 注意到，，从而由归纳即知是常数列. 所以的通项公式为. …………………………………………5分 （2）第一步：假设连续三项构成等比数列，得 假设，，构成等比数列，则. 那么由，可知. ……………………7分 第二步：得到矛盾，从而得结论 又，则，解得，与矛盾. 所以中不存在连续的三项构成等比数列. …………………………………………9分 （3）第二步：证明 由于当时，有，，即. 而，，故归纳即知对任意正整数都有. …………………………12分 第二步：判断数列的单调性 又由及可知，故数列单调递减. …………………………14分 第三步：利用放缩法证明不等式 又由于，故 . …………………………17分 【规律方法】涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题. （建议用时：60分钟 满分：77分） 15．（本小题满分13分） 【解】（1）第一步：记“一位参加活动的游客低碳出行”为事件，根据题中的表格求出 记“低碳出行”为事件，估计. …………………………………………2分 第二步：确定随机变量X服从二项分布,根据公式求出及 则 …………………………………………3分 ， …………………………………………5分 ； …………………………………………7分 （2）第一步：记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件B，并求出，，. 由（1）知，则有， 记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件， 由题意，， …………………………………………9分 第二步：根据全概率公式求出 所以.…………………………………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）第一步：求， ， …………………………………………1分 ，则， …………………………………………3分 第二步：根据直线的点斜式方程求出切线方程 曲线在点处的切线方程为. …………………………………………5分 （2）解法1： 第一步：求的定义域 定义域为. …………………………………………6分 第二步：证明当时恒成立 ①当时，，，则，即；…………………………7分 第三步：当时，对函数求导 ②当时，. ……………………………………8分 第四步：令，对求导，确定的单调性，证明 设，， 由于均在上单调递增，故在上单调递增，， 所以， ………………………………………10分 第五步：确定函数在上单调递增，从而证明 所以在上单调递增，，，即， ……………………………12分 所以在上单调递增，，则，……………………………………14分 第六步：下结论 综上所述，. …………………………………………15分 解法2：第一步：求的定义域 定义域为. …………………………………………7分 第二步：将变形为 要证，只需证，只需证， …………………………………………10分 第三步：对函数求导，并确定其单调性和最值 令，，， 当，，单调递减； 当，，单调递增， ， …………………………………………12分 第四步：对函数求导，并确定其单调性和最值 ， 当，，单调递增； 当，，单调递减， ， …………………………………………14分 第五步：问题得证 综上所述，，也就是，即……………………………………15分 【方法规律】利用导数比较大小或者证明的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 17．（本小题满分15分） 【解】（1）第一步：作辅助线,证明四边形为平行四边形 取的中点为，连接，. 点，分别是，的中点， 是的中位线，即，， 在菱形中，，. ，，即四边形为平行四边形， …………………………………………2分 第二步：列举与平面平行的条件，证出结论 则， …………………………………………3分 又平面，平面，平面.…………………………………………5分 （2）第一步：连接，，证明平面 连接，， ，，，平面，平面， 平面， …………………………………………6分 第二步：证明，从而得到两两垂直的三条直线 又平面，， …………………………………………7分 ， 又，则，所以. 即直线，，两两垂直. …………………………………………8分 第三步：建立空间直角坐标系，并写出相关点和向量的坐标 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，………………………………………9分 ，，，.………………………10分 第四步：求平面和平面的法向量 设平面的法向量为，平面的法向量为， 由得取. …………………………………………11分 由得取. …………………………………………12分 第五步：求平面与平面夹角的余弦值 设平面与平面所成角为， 则， …………………………………………14分 即平面与平面所成角的余弦值为. …………………………………………15分 18．（本小题满分17分） 【解题指导】（1），，公差为2的等差数列→，，公差为4的等差数列→求，，， （2），，成等差数列→→分与两种情况求解； （3）等比中项的性质→结合通项公式求解即可. 【解】（1）由题意，，，成等差数列， 公差为2；，，成等差数列，公差为4. …………………………………………1分 则，，，.………………………………5分 （2）第一步：根据，，成公差为的等差数列，得 由题意，. …………………………………………6分 第二步：求出当为奇数时的通项公式 当，时， ，……………………………………8分 且满足上式，所以当为奇数时，. ………………………………9分 第三步：求出当为偶数时的通项公式 当时，.…………………………11分 第四步：总结 所以 …………………………………………12分 （3）第一步：写出结论 存在时，使得，，，成等比数列 证明如下： …………………………………………13分 第二步：表示出 由（2）可得，，…………………14分 第三步：根据，求出 假设，，成等比数列， 则， …………………………………………15分 化简得，所以，即， …………………………………………16分 第四步：验证并总结 此时，所以当时，，，，成等比数列.……………17分 19．（本小题满分17分） 【解题指导】（1）分情况讨论→诱导公式→同角三角函数关系式→二倍角公式化简函数→常数函数 （2） 常数函数→和差角公式→三角函数方程→古典概型概率； （3）常数函数→三角恒等变换→分情况讨论→找充分条件. 【解】（1）当时，， 此时是常数函数； 当时， ，此时不是常数函数. …………………………………………2分 （2）第一步：设，，对函数降幂 设，不妨令. ………………4分 第二步：确定函数是常数函数时集合中的元素满足的条件 若函数是常数函数，则………………………………………5分 则， 得，所以， 得或，， 所以或，， …………………………………………6分 同理或，，或，，…………7分 则① …………………8分 第三步：求出从集合中任取3个元素的所有可能情况种数 集合共有13个元素，从中任取3个元素组成集合， 共个， …………………………………………9分 第四步：求符合条件的集合的可能情况种数 而满足①的集合有，，，，，共5个， 第五步：求函数是常数函数的概率 则使得函数是常数函数的概率为. …………………………………………10分 （3）第一步：求函数是常数函数的条件 不妨令， 因为 ， 若函数是常数函数，则 得，所以， 得，，所以，，………………………………………12分 第二步：根据是常数函数的条件，确定为偶数时，是常数函数的一个充分条件 ①当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值， …………………………………………13分 所以函数是常数函数的一个充分条件可以是……14分 第三步：由和是常数函数的条件，确定为奇数时，是常数函数的一个充分条件 ②当为奇数时，可以拆分成1组三项的和 与组两项（，）的和， 每一组为定值时，也为定值， …………………………………………15分 所以函数是常数函数的一个充分条件可以是 . …………………………………………16分 第四步：总结 综上所述，当为偶数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是 ； 当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是 . ……………………………………………………17分 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分） 【解】（1）过作交弧上一点，连结，如图所示： 则为弧的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，所以. …………………………………………2分 由题意可知，，为等腰直角三角形，则； 因为为弧的中点，所以, 则为等腰直角三角形，则， …………………………………………4分 所以，则, 因为，则，又， 又因为、面， 所以平面，因为面， 所以平面平面. …………………………………………6分 （2） 第一步：建系，，写出相关点和向量的坐标 由题意知，两两垂直，所以为坐标原点， 以分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示： 设，又， 则，，，，， ，，，，，……………7分 第二步：表示出平面和平面的法向量 设平面的一个法向量为， 则，即，令，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，，……………………………10分 第三步：用表示出平面与平面夹角的余弦值，并求出 设平面与平面的夹角为 ，解得（负舍），……………………11分 第四步：求点到直线的距离 所以，，， 则， 所以点到直线的距离为. …………………………………………13分 16．(本小题满分15分） 【解】（1）第一步：求出均值 总样本的均值为. …………………………………………2分 第二步：判断是否合适 用该结果作为总体均值的估计不合适，因为男生和女生的阅读习惯差异比较大， 这个样本的分布与的分布相差可能比较大，所以总样本均值作为总体均值的估计有偏差.…………4分 （2）（ⅰ）第一步：写出方差的式子，并对式子进行拆分 证明：根据方差的定义，总样本方差为 . ………………………………………6分 第二步：证明， ∵， 同理. …………………………………………7分 第三步：证明方差公式 因此， . …………………………………………8分 （ⅱ）因为是按比例分配分层随机抽样，所以，得 男生样本的均值为，方差为， 女生样本的均值为，方差为， …………………………………………9分 记总样本的均值为，方差为， 则， 所以 又，所以. 总样本的均值为96，标准差约为18. …………………………………………11分 （3）第一步：写出μ和σ的值 由（2）知，，所以服从正态分布，………………………………………12分 第二步：写出各分数段对应的概率 所以，. ， ………………………………………14分 第三步：划分等级 故可将定为等级，定为等级， 定为等级，定为等级. …………………………………………15分 17．(本小题满分15分） 【解】（1）第一步：求导，判断导函数的单调性，求出导函数的零点 （）（）， 令，则， …………………………………………1分 第二步：求时函数的最值 当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以， …………………………………………3分 第三步：求时函数的最值 当时，，则当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， 所以， 而，.所以………………………………………6分 第四步：总结 综上所述，当时，，； 当时，所以，. ………………………………………7分 （3） 第一步：放缩，将问题转化为证明 因为，，所以，欲证，只需证明，…………8分 第二步：构造函数，求导 设，（），，……………………………………9分 第三步：构造函数，确定的零点 令，易知在上单调递增， 而，， 所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得， 即， …………………………………………11分 第四步：判断函数的单调性，求出的最值 因此，， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增；……………………13分 所以 第五步：得出结论 所以，因此. …………………………………………15分 【一题多解】因为，，所以， 欲证，只需证明， …………………………………………8分 只需证明， …………………………………………9分 因此构造函数（），，…………………………………………11分 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增：…………………………………………13分 所以，所以， 所以，因此. …………………………………………15分 【规律方法】作差构造法证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形：将不等式f（x）＞g（x）（或f（x）＜g（x））变形为f（x）－g（x）＞0（或f（x）－g（x）＜0）； （2）构造新的函数：h（x）＝f（x）－g（x）； （3）利用导数研究函数h（x）的性质，得到所证不等式. 18．(本小题满分17分） 【解题指导】（1）(i)设出直线为→抛物线的方程联立→韦达定理→弦长公式和三角形面积公式→求面积的最小值. (ii) 设，，→讨论直线斜率得存在性→根据抛物线得定义及、、、四点共圆→记、、、的倾斜角分别为、、、→斜率分别对应、、、，→求点坐标→求. （2）设，，→求中点→类比小问1中的第二问解法二→，→点坐标→线段被定点平分. 【解】（1）由题意可知直线不会与抛物线对称轴平行，设，. 因为过，设直线为，与方差联立可得：， 所以有，. …………………………………………2分 （ⅰ）点到直线的距离为， 又因为：， 所以. 当，的面积取得最小值2，此时直线方程为.……………………………4分 （ⅱ）设，，，若垂直于轴， 此时，所以由可知斜率存在， 因为弦过抛物线的焦点，所以， 由抛物线定义可知，，所以，即， 因为，，所以， 解得. …………………………………………6分 因为、、、四点共圆,所以和相等或互补， 记、、、的倾斜角分别为、、、， 斜率分别为、、、，所以，所以， 即，又因为， 同理有：、、代入可得： ，解得：，即， 所以，结合可知，所以.…………………………………9分 【一题多解】圆经过点，所以可设圆为，与抛物线联立可得： ，此方程有4个不同的解0、、、， 所以联立方程可化简为，又因为， ，所以，后面同解法一.…………9分 （2）如图所示，设，，，所以，， 中点为，类比第二问解法二，可知， .……………………………13分 由第二问解法二可知，所以： ，所以， ，…………………16分 所以，即线段被定点平分. 故定点坐标为. …………………………………………17分 【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.或以曲线上的点为参数，设点P（x1，y1），利用点在曲线f（x，y）＝0上，即f（x1，y1）＝0消参； （2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊（或极端）位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k＝0或k不存在. 19．(本小题满分17分） 【解题指导】（1），→周期数列→求的值. （2）是等比数列→数列→求，，→求数列的通项公式→前项和. （3）找的通项→设→→.→的值 【解】（1）第一步：代入数据，列出数列的前10项 由题意有，，，，则 ，，，，，，，，，，… 第二步：表示出 一般有，，, ………………………………………2分 第三步：求出 所以. …………………………………………3分 （2）第一步：设数列的公比，讨论时的情况 数列是首项为1的等比数列，设其公比为，又为数列，，， 当时，，，.有， 又，，， 于是得，解得，有或，………………………………………5分 当时，，，为数列， 当时，，，为数列，…………………………7分 第二步：讨论时的情况 当时，则，，构成以为公差的等差数列，即，有，解得， 于是得，，，为数列，…………………………9分 第三步：总结 所以①当，，是大于1的任意正整数，则，； ②当，，，则，.………………………………………10分 （3）第一步：列出数列的前11项 依题意，，，，数列为“数列”， 则，，，，，， ，，，，，……………………………………………11分 第二步：将数列每5项为一组，求出的通项公式 ，，，，是公差为1的等差数列，且, 所以且, 所以数列是以首项为9，公比为2的等比数列，所以, 即, …………………………………………12分 第三步：求出每组的和，进而求出 即, 所以 …………………………………………14分 第四步：代入所给关系式,得到一个关于n的方程，解方程并得出结论 所以，即， 化简得，代入，等式成立. 因为当时，，所以当，方程无解，……………………………………16分 综上所述，满足成立的值为1. …………………………………………17分 【规律方法】1.遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 2.类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时预测02（A组+B组+C组） （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 16．(本小题满分15分）如图，已知四棱锥中，平面，四边形中，，，，，，点在平面内的投影恰好是△的重心． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．(本小题满分15分）已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点. (1)若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求； (2)设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0. 18．(本小题满分17分）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布. 附：若，取，. (1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差； (2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.  系统正常工作的概率称为系统的可靠性. ①若控制系统原有个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？ ②假设该系统配置有个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明. 19．(本小题满分17分）混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中. (1)当时，若满足对，有，求的通项公式； (2)证明：当时，中不存在连续的三项构成等比数列； (3)若，，记，证明：. （建议用时：60分钟 满分：77分） 15．（本小题满分13分）某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行： (1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和； (2)据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率. 16．（本小题满分15分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：. 17．（本小题满分15分）如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点. (1)求证；平面； (2)若，，，求平面与平面所成角的余弦值. 18．（本小题满分17分）在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为. (1)求，，，； (2)求数列的通项公式； (3)是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分17分）已知集合，，设函数. (1)当和时，分别判断函数是否是常数函数？说明理由； (2)已知，求函数是常数函数的概率； (3)写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由. （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分）如图所示的空间几何体是以为轴的圆柱与以为轴截面的半圆柱拼接而成，其中为半圆柱的母线，点为弧的中点. (1)求证：平面平面； (2)当，平面与平面夹角的余弦值为时，求点到直线的距离. 16．(本小题满分15分）阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.某年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了解学生每个学期的阅读时长，采用分层抽样的方法抽取样本，收集统计了他们的阅读时长（单位：小时），计算得男生样本的均值为100，标准差为16，女生样本的均值为90，标准差为19. (1)如果男、女的样本量都是25，请估计总样本的均值.以该结果估计总体均值合适吗？为什么？ (2)已知总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本的均值为，样本方差为. （ⅰ）证明：； （ⅱ）如果已知男、女样本量按比例分配，请直接写出总样本的均值和标准差（精确到1）： (3)假设全年级学生的阅读时长服从正态分布，以（ⅱ）总样本的均值和标准差分别作为和的估计值.如果按照的比例将阅读时长从高到低依次划分为，，，四个等级，试确定各等级时长（精确到1）. 附：，，，. 17．(本小题满分15分）已知函数（）. (1)求在区间上的最大值与最小值； (2)当时，求证：. 18．(本小题满分17分）已知抛物线：，直线与抛物线交于，两点，为坐标原点. (1)若直线过的焦点. (i)当的面积最小时，求直线的方程； (ii)当，记的外接圆与的另一个交点为，求； (2)设圆（，）与交于四点，，，，记弦，的中点分别为，，求证：线段被定点平分，并求定点坐标. 19．(本小题满分17分）若无穷项数列满足（，，为常数，且），则称数列为“数列”. (1)设，，若首项为1的数列为“数列”，求； (2)若首项为1的等比数列为“数列”，求数列的通项公式及前项和； (3)设，，若首项为1的数列为“数列”，记数列的前项和为，求所有满足的值. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $