甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学2025-2026学年下学期期中模拟卷高二数学

临潭县第一中学2025-2026学年下学期期中模拟卷 高二 数学 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版2019选择性必修第二册第1~2章（导数及其应用+空间向量与 立体几何) 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.若定义域为R的函数f()的导函数为f(),则mf-4+△0-f4=（) △x A.'(-4) B.'(4) C.f'(-2) D.f'(2) 【答案】A 【详解】lim f4+△-f八4=f(-9 △x 2.已知f"(x)是函数f(x)的导函数，f(x)=e2x+cosx,则f'(0)=() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【详解】由f(w)=e2x+cosx,求导得'(x)=2e2-sinx,所以f'(0)=2 3.已知向量a=1,2,2),五=(-2,1,1)，则a在6上的投影向量为() 4(甜 C. 244、 24 9’9'91 D.(9 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可。 211 【详解】向量ā在向量6上的投影向量 a-b6=2(21, 6 333 故选：A 4.在平行六面体ABCD-ABC1D中，AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠BAA=∠DAA=60°， 则AC的长为() D A.5 B.√6 C.3 D.6 【答案】B 【分析】根据向量运算求得正确答案 【详解】依题意，AC=AB+AD+A4, 所以AC=(AB+AD+A4)'=AB+AD+A4+2(ABAD+AB.4+ADA4） =11+1+2x1x1x分1x分1x1x引6所以aC-6放选：B 5.已知函数(x)=2,则了田)的单调递减区间为() 1 B. c. U+)D. 【答案】D 【分析】对函数求导，结合单调性和定义域求解x取值范围 【详解】函数∫)= 有意义，则x>0且nx≠0，即定义域为0，DU4,+o). xInx 1 -2:(lnx+x.- 1 f'(x)= 2(nx+1),则-2(nx+1)<0→lnx>-1→x> (xnx)子 (xnx)月 e 所以∫(x)的单调递减区间是 二，1和(1，+0) e 6.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中 点，AB=AC=2,PA=1,则直线PE与平面DEF所成角的正弦值为() D A.3v0 B. 5 c.5 D. 10 15 10 【答案】C 【分析】分别以AB,AC,AP所在直线为x,yz轴，建立空间直角坐标系，用向量的方法直接 计算线面角的正弦值 【详解】因为PA⊥平面ABC,AB,ACC平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC 又因为∠BAC=90°，所以AB⊥AC, 故以A点为原点，分别以AB,AC,AP所在直线为x,y,2轴，建立空间直角坐标系，如图： ZA D BL 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,1), 又因为D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点，所以D1,0,0),E11,0),P(0,1 设平面DBF的法向量为n=(G,丽=0,1，丽=(1.0， DE=0 y=0 必 得 )2=0令2=2，则x=1,y=0,即n=(L0,2) 1 nEF=0 -x+ 因为PE=Q,1,-1),所以直线PE与平面DEF所成角的正弦值为 ka四40可下g 1×1+0x1+2×(-1)115 故选：C 7.函数∫(x)的导函数(x)的图像如图所示，则下列说法正确的是() X4 a xI A.∫(x)的极小值点为x,x B.f(x)的极大值点为x C.'(x)有唯一的极小值 D.函数f(x)在(a,b)上的极值点的个数为2 【答案】D 【分析】根据图象直接判断即可. 【详解】由图像可知，f(x)的极小值点为x,极大值点为x,故A,B选项错误： x,x,为"(x)的极小值点，故C错误： 由极值点的概念知函数f(x)在(a,b)上的极值点是x,x,个数为2，D正确：故选：D 8.在正四棱柱ABCD-ABGD中，A4=2,以A为球心，表面积为4π的球与平面ABD只 有1个公共点，若E为棱CC的中点，则点A到平面BDE的距离为() A. 37 B. V21 c.57 D. 6V7 7 2 3 7 【答案】D 【分析】根据题意可得球与平面ABD相切，结合三角形面积公式求得AB,进而建立空间 直角坐标系利用点到面的距离公式求解 【详解】设48=，则三棱锥4-A8D的林积为2x女-d, 2 3 由球的表面积为4π，得球的半径r=1, 又球与平面ABD只有1个公共点，则球与平面ABD相切， 所以点A到平面ABD的距离为1.在△ABD中，AB=AD=Va2+4,BD=√a, 所以a4BD的面积为分Vax,c+4)（专女 所u女-1只+4，解得心甲a3 3 3 29 3 以点D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐 标系，则D(0,0,0),B 所以DB= s。a-5m-25 26,26 i DB=0 -x+ 设平面BDB的一个法向量为二=（化，少，），则 3 3y0 nD远=0'即 2W6 3 y+z=0 取x=3,则i=(3,-3,2W6),所以A到平面BDE的距离为d= DA·m6W6_6万 √427 D A B D B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列求导正确的是（) A.y (Cosx)=-xsinx+cosx B.( x2 1 C.(4-sin )=4In4 D. (g= 2xln10 【答案】BC 【分析】利用导数运算则、求导公式逐项求导判断. 【详解】对于A,(化乐+y=,A错误 2 对于B,(eosy=二-*sinr-cosx=-xsinx+cos x2 2 ,B正确：对于C,(4-sim'=4n4,C 4 21=1。故选：BC 正确：对于D,ei0方10 10.关于空间向量a、五、。，下列说法正确的是() A.若a与5共线，B与c共线，则a与c共线 B.若存在实数、L,使得6=a+b,则a、b、c共面 c.若@050c是空间的个基底，1oD}aio亚}o元，则4acD四点 共面 D.若{ā，万，c}是空间的一个基底，则{a+b,万+c,c+a}也是空间的一个基底 【答案】BCD 【分析】利用任意向量都与0共线来判断A,利用共面定理来判断B,利用空间四点共面定 理来判断C,利用空间基底来判断D 【详解】当=0时，任意的d,都与6共线，但a与不一定共线，故A错误； 若存在实数2、u，,使得c=a+b，根据这个式子可判断d、、c共面，故B正确； 由而--号丽+沉，满无兮计计兮1，则48c0四点共面，放c正： 若{a,b,c}是空间的一个基底，则ā，i,c不共面，假设a+i,6+c,c+a共面， 则a+b=xb+c)+yE+a)户(1-yi+(1-xb+（x-y年=0， 1-y=0 因为ā，万，c不共面，所以1-x=0,此时方程组无解，故假设不成立， -x-y=0 所以ā+b,b+c,c+ā不共面，即{a+b,万+c,c+也是空间的一个基底，故D正确： 故选：BCD 11.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(w)=(x-3)e+2,则() A.f0)=2-3 B.f(-1)=0 C.当x<0时，f(x)=(c+3)e-2D.f(x)的极大值为e-2 【答案】BCD 【分析】本题可根据奇函数的性质以及函数极值的求法，对选项逐一进行分析即可判断， 【详解】函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(O)=0,故A错误： 当x>0时，f(x)=(x-3)e-1+2,则f0)=1-3)e+2=-2+2=0, 根据奇函数的性质f(-1)=-fI)=0=0,故B正确： 当x<0时，-x>0,则有f(-x)=(-x-3)e1+2, 又因为f(x)是奇函数，即f(x)=-f(-x), 所以f(x)=-[(-x-3)e+2]=(x+3)e-2,故C正确： 当x>0时，f"(x)=(x-3'e1+(x-3)(e-1）=e-1+(x-3)e1=(x-2)e, 令f'(x)=0,即(x-2)ex=0,解得x=2: 当0<x<2时，f(x)<0,f(x)单调递减：当x>2时，f(x)>0,f(x)单调递增. 所以x=2是f(x)在(0，+w)上的极小值点，f(2)=(2-3)e21+2=-e+2=2-e 当x<0时，可得：f'(x)=e1-(x+3)e1=(-x-2)e, 令f'(x)=0,解得x=-2. 当x<-2时，f(x)>0,f(x)单调递增：当-2<x<0时，f(x)<0,f(x)单调递减. 所以x=-2是f(x)在(-o,0)上的极大值点， f(-2)=e-2,即f(x)的极大值为e-2,故D正确 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.点P(1,2,-3)关于xOy平面对称的点的坐标是 【答案】(12,3) 【分析】在空间直角坐标系中，点关于xOy平面对称的规律为：横坐标、纵坐标保持不变， 竖坐标变为原坐标的相反数 【详解】已知点P1,2,-3),横纵坐标不变，竖坐标取反得-(-3)=3，因此所求对称点的坐 标为1,2,3). 13.己知函数f(x)=hx+ax+ 是增函数，则实数a的取值范 【答案】[-2，+0) 【详解】函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 由题可知f'(x)=二+a+x≥0恒成立，故a≥ 当x>0时， x+ ≤-2，当且仅当x=1时等号成立，故a≥-2 1 14.如图所示，点O是半圆柱底面的圆心，AA和BB,是圆柱的母线，点D为母线BB,的中 点，若AB=A4=4,BB和AC的弧长为则点E到平面OCD的距离为一 E A B C A B 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用点到平面距 离的向量求法求解即可。 【详解】如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，连接OC, ZA E A B 设AB,中点为O,AB中点为P,由题意得AB=AA=4,OB=OC=2, 因为风亚和C的弧长为钙，所以A亚与C驱长为 可得∠80C-号∠04-号所以o0.00D022.c610.-5,-1 iiOD=0 设平面OCD的法向量为n=(xy,),则 nOC=0 2令x5,则=3，取a53动 即 则E到平面OCD距离为 列上33118-91赦答案为：团 列 √21 v211 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)设函数f(x)=x3-6x2+9x-2 (1)求f(x)在x=2处的切线方程： (2)求f(x)在[-1,5]上的极大值点和极大值， 【答案】(1)3x+y-6=0 (2)极大值点为1；极大值为f(1)=2 【分析】(1)对f(x)求导，进而得到切线斜率，再利用直线的点斜式方程写出切线方程： (2)对f(x)求导，利用导数分析函数单调性和极值 【详解】(1)对fx)=x3-6x2+9x-2,代入x=2,f(2)=0,即切点为(2,0)： 求导，得：∫(x)=3x2-12x+9,f(2)=-3,即切线斜率k=-3:则切线方程：3x+y-6=0 (2)令f'(x)<0得1<x<3,f(x)>0得x<1或x>3: 故f(x)的减区间为(L,3),增区间为(-0,1)和(3，+o): 所以函数f(x)的极大值点为x=1,因为1∈[-1,5]，所以f(x)在[-1,5]上的极大值为f()=2. 16.(15分)己知向量ā=（-1,0,1)，b=(1,-2,0) (1)求a-: (2)求a与a-b的夹角： (3)若2a+b与a-xb垂直，求实数x的值. 【答案】(1)3 @呀 (3)1 【分析】(1)先求空间向量和的坐标，再求其模长： (2)代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角： (3)由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量 【详解】(1)因为=(-1,0,1)，b=(1,-2,0),所以a-b=(-1-1,0+2,1-0)=（-2,2,1), a-=√(2)}'+22+12-5=3. (2)a-(a-b)=(-1)×(-2)+0x2+1x1=3,ld=√-1)2+02+1=√2， a-(a-b)32 oaa-6网司2店号，所以与a-6的陕角为导 (3)2a+b=（2,0,2)+1,-2,0)=←1，-2,2)，a-xb=(-1,0,1)(x,-2x,0=（1-x,2x,1) 因为2a+b与a-b垂直，所以(2a+b(a-xb=0, 即-1×(-1-x)+(-2)×2x+2×1=3-3x=0,解得x=1,此时，2a+b与a-xb均为非零向量， 所以x=1. 17.(15分)己知f(x)=-1+alnx(x>0) (1)设函数g(x)=f(x)+x,讨论函数8(x)的单调性： 伦当0cs1时。1-≤荷，求实教a的取位范同 【答案】(1)当a≥0时，g(x)在(0，+o)单调递增： 当a<0时，g(x)在(0，-a)上单调递减，在(-a,+o)上单调递增. 【分析】(1)对8(x)=anx+x-1求导得g(x)=a+1,根据导数符号分a≥0，a<0两种情 况讨论g(x)的单调性，关键是通过导数的零点x=-a划分单调区间. (2)先根据0<x≤1时lnr≤0，分析分母f(x)=-1+x<0,将原不等式变形为 (1-x)(-1+ax)≥lnx,构造函数h(x)=(a(1-x)-1)nx+x-1,利用导数分析其单调性，结 合h)=0,通过二次求导对原函数的单调性，进而确定a的取值范国为02 【详解】(1)8()=anx+x-1,g(c)的定义域为(0，+w),g(x)=a+1, 当a≥0时，g'(x)>0,8(x)在(0，+o)单调递增： 当a<0时，令g'(x)>0,则x>-a:令g'(x)<0,则0<x<-a, 所以g(x)在(0，-a上单调递减，在(-a,+o)上单调递增. 2)原不等式等价于150c. ①当a<0时，当0<x<e时，-1+alhx>0,nx<0, 所以1-x>0> Inx ,不合题意： -1+alnx ②当a≥0时，原不等式等价于(1-x)(-1+alnx)≥lnx, 等价于x-1-(m-a+1)nx≥0 令h(x)=x-1-(ax-a+1)lnx(0<x≤1) 则(x)=1- m(x)=-aa-1-a+(a-1) x x2 x2 注意到：1-a-0=1上0,1-0-11-20 a aa a 当a≥1时，m(x)<0,m(x)='(x)在(0,1)单调递减， 所以m(x)=h(x)>N(I)=0, 所以h(x)在(0,1]单调递增，所以h(x)≤h()=0,不合题意： 当a=0时，h(x)=x-1-lnx,K(x)=1-1=-1, xx 所以h(x)在(0，]单调递减，所以h(x)≥h(I)=0,符合题意： 当0<a≤与时，m(⊙>0，所以m()=(x)在(0,1)单调递增， 所以m(x)=N(x)<N(1)=0, 所以h(x)在(0,1]单调递减，所以h(x)≥h(1)=0,符合题意： 2<a<时，令my)<0,则+(a-正 所以小二a<x<1,所以()在1-a,1单调递减。 a a 所以>@-0，所以()在广年词道猫： 所以h(c)≤h(1)=0,不合题意. 综上所述，a∈ 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PC,PB=PD. (I)求证：AC⊥平面PBD: (2)若AB=BD=2,PA=V6,点E在线段PC上，且PC⊥平面BDE,求平面ABE与平面BDE 夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 22V26 13 【分析】(I)先证明AC⊥BD,AC⊥PO,再根据线面垂直判定定理证明结论： (2)建立空间直角坐标系，由PC⊥平面BDE求出E点坐标，再求出平面ABE与平面BDE 的法向量，结合向量夹角公式求结论 【详解】(1)连接AC,AC交BD于O点，连接PO,则O为AC的中点， 因为四边形ABCD为菱形， 所以AC⊥BD, 因为PA=PC, 所以PO1AC, 又因为BD与PO相交于O点，BD,POC平面PBD, 所以AC⊥平面PBD (2)因为PB=PD,O为BD的中点， 所以PO⊥BD,所以PO、AC、BD两两相互垂直， 以O点为原点建立空间直角坐标系如图， 因为ABCD为菱形，AB=AD=BD=2, 所以△ABD为等边三角形， OB=OD=1,OA=OC=AB2-OB2=3, 在Rt△POA中，PO=√PA2-OA2=√6-3=√5 所以A3,0,0),B(01,0),C-√3,0,0,0，-1,0，A0,0W3 PC=（-3,0,-5),设P呕=PC, 则E(-3,0W5-√3力，BE=(-52,-1,5-32, 因为PC⊥平面BDE, 所以PC⊥BE,则PCBE=O, (-3)(52)+0×(1H（B)(B-82上0， 因为PC⊥平面BDE, 所以取平面BDB的法向量=PC=（(-V30,-5), 因为AB=（510）,A亚= 350.5 2 2 设平面ABE的法向量n,=（xy,), n4B=0 -V5x+y=0 则 即 h2·AE=0 35+5 =0 2 2 可设2=（1,5,3)， 设平面BDE与平面ABE的夹角为O, 则cos8= 14·212W26 42,13 Z小 P :以0 19.(17分)已知函数f(x)=m(1-x)-nx-1. (1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)若∫(x)≥-1恒成立，求实数m的取值： (3)当m>1时，证明：函数h(x)=f(x)+xe-m有2个零点. 【答案】(1)2x+y-1=0 (2)m=-1 (3)证明见详解 【分析】(1)利用导数几何意义，先求切点坐标，再求导得切线斜率，由点斜式写出切线方 程； (2)将恒成立问题转化为求函数最值，通过分类讨论参数符号确定单调性，构建新函数并 利用导数求最值解出参数： (3)通过代数变形将函数拆分为易分析的部分，利用同构思想换元简化，结合零点存在性 定理和函数单调性确定零点个数 【详解】(1)当m=1时，f(x)=(1-x)-lnx-1=-x-hx,定义域为{xx)0}, f)=-1-1=-1,切点为(1-1)，求导得f(x)=-1-1,切线斜率k=f”()=-2, 由点斜式得切线方程：y+1=-2(x-1),整理得2x+y-1=0 (2)求m的取值f(x)≥-1恒成立，即m(1-x)-lnx≥0对x>0恒成立， 设u(x)=m1-x)-lnx,求导得u()=-m-1=-mx+1(x>0), 若m≥0，则(x)<0，u(x)在(0，+o)单调递减， 当x→+n时(x)→-o,不满足(x)≥0，舍去； 若m<0,令=0得=六0，e)0送减，在〔道路。 最小值为： ( 令t=-(t>0),不等式化为-t+1-ln1=nt-t+1≥0， 设90=-+1,0)-}1=1,90在0.1)单调递增，在L+0)单调递减，90在 t=1处取最大值p(1)=0, 故nt-t+1≥0仅当t=1成立，得m=-1, 综上，m=-1. (3)整理h(x)得：h(x)=(1-x)-lnx-1+xe-m=xe-r-hhx-l(x>0), 求导得：()=c+1)c-m-1-+1)e-m-1, 1 因为x>0,所以'(x)的符号由分子x(x+1)e-x-1决定， 令g(x)=x(x+1)e-x-1,对g(x)求导：g'(x)=(x2+3x+1)e*-u, 当x>0时，y=x2+3x+1和y=e*都是严格单调递增的正函数，因此g'(x)在(0，+o)上严格 单调递增， 结合条件m>1,代入端点得：x→0*时，g(0)=1e°-m=1-m<0: x→+∞时，(x2+3x+1)e-→+0，因此g'(x)→+0， 根据零点存在性定理，存在唯一的x。∈(0，+0)使得g(xo)=0, 故g(x)的单调性为：x∈(0，x),g'(x)<0,g(x)严格递减： x∈（化，+o),g(x)>0,g(x)严格递增， g(x)的最小值为8(x。),且x→0时g(x)→-1<0，故8(x)<0: 又x→+∞时g(x)→+0，因此存在唯一的x1∈(x,+0),使得g(x)=0,即(x)在(0，+o)上 只有一个零点， 结合'(x)的符号，可得h(x)的单调性： xe(0,x),g(x)<0→h(x)<0,h(x)严格单调递减： x∈(，+o),g(x)>0→i'(x)>0,h(x)严格单调递增， 因此：h(x)在(0，+o)上只有1个极值点（极小值点x=x),由单调性可知h(x)最多存在2个 零点； 由8（化）=0，即x(3+1)e-x1=0,解得m=(6+1)e*-1 代入h(x)得h(x)=xe-x-lnx,-1 =e-与0*e-s-1-- x 已知m>1,则%+1)e-1>1→G+1e>+1c>15e>1. 对xe>1取对数得x+lnx>0,又因为x>0,所以2e=x1(e)>x1=x, 即x2e+nx>x,+lnx>0,故h(x)=-（x2e+hr1)0, 结合己证的零点存在性结论：x→0时h(x)→+o,与极小值h(s)<0, x→+时h(x)→+oo,因此(0，x)和(5，+∞)各存在且仅存在1个零点， 即h(x)恰好有2个零点，得证. 临潭县第一中学2025-2026学年下学期期中模拟卷 高二 数学 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版2019选择性必修第二册第1~2章（导数及其应用+空间向量与立体几何） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若定义域为的函数的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知是函数的导函数，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 6．在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 7．函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为， B．的极大值点为 C．有唯一的极小值 D．函数在上的极值点的个数为 8．在正四棱柱中，，以为球心，表面积为的球与平面只有1个公共点，若为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 10．关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．当时， D．的极大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．点关于平面对称的点的坐标是________． 13．已知函数是增函数，则实数a的取值范围是________． 14．如图所示，点是半圆柱底面的圆心，和是圆柱的母线，点D为母线的中点，若，和的弧长为.则点E到平面的距离为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设函数 (1)求在处的切线方程； (2)求在上的极大值点和极大值． 16．（15分）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 17．（15分）已知 (1)设函数，讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，． (1)求证：平面； (2)若，，点E在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 19．（17分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值； (3)当时，证明：函数 有个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $临潭县第一中学2025-2026学年下学期期中模拟卷 高二 数学 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版2019选择性必修第二册第1~2章（导数及其应用+空间向量与 立体几何) 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.若定义域为R的函数f()的导函数为f(),则imf4+A0-f(④.（) A.f'(-4) B.f'(4) C.f'(-2) D.f'(2) 2.已知f"(x)是函数f(x)的导函数，f(x)=e2x+cosx,则f"(0)=() A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知向量=1,2,2)，五=(-2,1,1)，则a在6上的投影向量为() A岁 B方月 c.( 244、 999 n.专争 4.在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠BAA=∠DAA=60°， 则AC的长为() D 4 B A.3 B.√6 C.3 D.6 5已知函数/(x 一，则∫(x)的单调递减区间为() B.传树 c.（e0+o)D.怎am) 6.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中 点，AB=AC=2,PA=1,则直线PE与平面DEF所成角的正弦值为() A.3v0 B.V5 c.5 D. 10 10 15 10 7.函数∫(x)的导函数∫'(x)的图像如图所示，则下列说法正确的是() X4 a x A.f(x)的极小值点为x,x B.f(x)的极大值点为x C.f'(x)有唯一的极小值 D.函数f(x)在(a,b)上的极值点的个数为2 8.在正四棱柱ABCD-ABCD中，AA=2,以A为球心，表面积为4π的球与平面ABD只 有1个公共点，若E为棱CC的中点，则点A到平面BDE的距离为() 4.37 B.V21 c.57 D. 67 7 2 3 > 二、多项选操题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列求导正确的是() A.(x+e'=3+3e B.Cosx)=-xsinx +cos 3 c.(4-sin)=4'1n4 D.(s)=zxinio 10.关于空间向量ā、6、。，下列说法正确的是() A.若a与共线，B与c共线，则a与c共线 B.若存在实数1、4，使得c=2ā+b,则a、6、c共面 C.若{O40B.0C}是空间的-个基底，且OD=OA+O8+0C,则4B,C,D四点 3 共面 D.若{a,b,是空间的一个基底，则{a+b,b+c,c+a}也是空间的一个基底 11.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x-3)e+2,则() A.f0)=2- B.f(-1)=0 C.当x<0时，f(x)=(x+3)e-1-2D.f(x)的极大值为e-2 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.点P(1,2,-3)关于xOy平面对称的点的坐标是 13.已知函数f(x)=hx+ax+二x2是增函数，则实数a的取值范围是 14.如图所示，点O是半圆柱底面的圆心，AA和BB,是圆柱的母线，点D为母线BB的中 点，若AB=4=4,BB和4C的五长为则点五到平面OCD的距离为】 E B C B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)设函数fx)=x2-6x2+9x-2 (1)求f(x)在x=2处的切线方程： (2)求f(x)在[-1,5]上的极大值点和极大值. 16.(15分)己知向量a=(-1,0,1),b=(1,-2,0) ()求|a-: (2)求a与a-b的夹角； (3)若2a+b与a-xb垂直，求实数x的值 17.(15分)已知f(x)=-1+alnx(x>0) (1)设函数g(x)=f(x)+x,讨论函数g(x)的单调性； 2)当0<x≤1时，1-x≤hx f(x)' 求实数a的取值范围. 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PC,PB=PD. E (1)求证：AC⊥平面PBD; (2)若AB=BD=2,PA=√6，点E在线段PC上，且PC⊥平面BDE,求平面ABE与平面BDE 夹角的余弦值. 19.(17分)已知函数f(x)=m(1-x)-nx-1. (1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)若f(x)≥-1恒成立，求实数m的取值： (3)当m>1时，证明：函数h(x)=f(x)+xe-有2个零点. 临潭县第一中学2025-2026学年下学期期中模拟卷 高二 数学 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版2019选择性必修第二册第1~2章（导数及其应用+空间向量与立体几何） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若定义域为的函数的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 2．已知是函数的导函数，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，求导得，所以. 3．已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为.故选：A 4．在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量运算求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以 .所以.故选：B 5．已知函数，则的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】对函数求导，结合单调性和定义域求解取值范围. 【详解】函数有意义，则且，即定义域为. ，则 所以的单调递减区间是和. 6．在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，用向量的方法直接计算线面角的正弦值. 【详解】因为平面，平面，所以. 又因为，所以， 故以A点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则， 又因为分别是棱的中点，所以. 设平面的法向量为，. 由，得，令，则，即. 因为，所以直线与平面所成角的正弦值为 .故选：C. 7．函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为， B．的极大值点为 C．有唯一的极小值 D．函数在上的极值点的个数为 【答案】D 【分析】根据图象直接判断即可. 【详解】由图像可知，的极小值点为，极大值点为，故A，B选项错误； ，为的极小值点，故C错误； 由极值点的概念知函数在上的极值点是，，个数为2，D正确；故选：D. 8．在正四棱柱中，，以为球心，表面积为的球与平面只有1个公共点，若为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得球与平面相切，结合三角形面积公式求得，进而建立空间直角坐标系利用点到面的距离公式求解. 【详解】设，则三棱锥的体积为， 由球的表面积为，得球的半径， 又球与平面只有1个公共点，则球与平面相切， 所以点到平面的距离为1.在中，，， 所以的面积为， 所以，解得，即． 以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则，即， 取，则，所以到平面的距离为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用导数运算则、求导公式逐项求导判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，.故选：BC 10．关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【分析】利用任意向量都与共线来判断A，利用共面定理来判断B，利用空间四点共面定理来判断C，利用空间基底来判断D. 【详解】当时，任意的，都与共线，但与不一定共线，故A错误； 若存在实数、，使得，根据这个式子可判断、、共面，故B正确； 由，满足，则四点共面，故C正确； 若是空间的一个基底，则不共面，假设共面， 则， 因为不共面，所以，此时方程组无解，故假设不成立， 所以不共面，即也是空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 11．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．当时， D．的极大值为 【答案】BCD 【分析】本题可根据奇函数的性质以及函数极值的求法，对选项逐一进行分析即可判断． 【详解】函数是定义在上的奇函数，则，故A错误； 当时，，则 ， 根据奇函数的性质 ，故B正确； 当时，，则有， 又因为是奇函数，即， 所以 ，故C正确； 当 时， ， 令，即 ，解得； 当时，单调递减；当 时， 单调递增. 所以是在上的极小值点，. 当 时，可得：， 令，解得. 当时，单调递增；当 时， 单调递减. 所以是在上的极大值点， ，即 的极大值为 ，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．点关于平面对称的点的坐标是________． 【答案】 【分析】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的规律为：横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为原坐标的相反数. 【详解】已知点，横纵坐标不变，竖坐标取反得，因此所求对称点的坐标为. 13．已知函数是增函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【详解】函数的定义域为， 由题可知恒成立，故， 当时，，当且仅当时等号成立，故． 14．如图所示，点是半圆柱底面的圆心，和是圆柱的母线，点D为母线的中点，若，和的弧长为.则点E到平面的距离为_______. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，连接， 设中点为，中点为，由题意得，， 因为和的弧长为，所以与弧长为， 可得，所以， 设平面的法向量为，则， 即，令，则，取， 则到平面距离为.故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设函数 (1)求在处的切线方程； (2)求在上的极大值点和极大值． 【答案】(1) (2)极大值点为1；极大值为 【分析】（1）对求导，进而得到切线斜率，再利用直线的点斜式方程写出切线方程； （2）对求导，利用导数分析函数单调性和极值. 【详解】（1）对，代入，即切点为 求导，得：，即切线斜率则切线方程：. （2）令得得或； 故的减区间为，增区间为和； 所以函数的极大值点为，因为，所以在上的极大值为. 16．（15分）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 【答案】(1)3 (2) (3)1 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【详解】（1）因为，，所以， . （2），， ，所以与的夹角为； （3），， 因为与垂直，所以， 即，解得，此时，与均为非零向量， 所以. 17．（15分）已知 (1)设函数，讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． (2) 【分析】（1）对 求导得，根据导数符号分两种情况讨论的单调性，关键是通过导数的零点划分单调区间． （2）先根据时，分析分母，将原不等式变形为，构造函数，利用导数分析其单调性，结合，通过二次求导对原函数的单调性，进而确定的取值范围为． 【详解】（1），的定义域为，， 当时，，在单调递增； 当时，令，则；令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）原不等式等价于， ①当时，当时，，， 所以，不合题意； ②当时，原不等式等价于， 等价于 令 则，令，， 注意到：，， 当时，，在单调递减， 所以， 所以在单调递增，所以，不合题意； 当时，，， 所以在单调递减，所以，符合题意； 当时，，所以在单调递增， 所以， 所以在单调递减，所以，符合题意； 当时，令，则， 所以，所以在单调递减， 所以，所以在单调递增， 所以，不合题意． 综上所述， 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，． (1)求证：平面； (2)若，，点E在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，由平面求出点坐标，再求出平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）连接，交于点，连接，则为的中点， 因为四边形为菱形， 所以， 因为， 所以， 又因为与相交于点，平面， 所以平面. （2）因为，为的中点， 所以，所以、、两两相互垂直， 以点为原点建立空间直角坐标系如图， 因为为菱形，， 所以为等边三角形， ，， 在中，. 所以 ，设， 则，， 因为平面， 所以，则， ， 解得，故， 因为平面， 所以取平面的法向量， 因为，设平面的法向量， 则，即， 可设， 设平面与平面的夹角为， 则. 19．（17分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值； (3)当时，证明：函数 有个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）利用导数几何意义，先求切点坐标，再求导得切线斜率，由点斜式写出切线方程； （2）将恒成立问题转化为求函数最值，通过分类讨论参数符号确定单调性，构建新函数并利用导数求最值解出参数； （3）通过代数变形将函数拆分为易分析的部分，利用同构思想换元简化，结合零点存在性定理和函数单调性确定零点个数. 【详解】（1）当时， ，定义域为， ，切点为，求导得，切线斜率， 由点斜式得切线方程：，整理得. （2）求的取值恒成立，即 对恒成立， 设 ，求导得， 若，则，在单调递减， 当时，不满足，舍去； 若，令得，在递减，在递增， 最小值为：， 令，不等式化为 ， 设 ，，在单调递增，在单调递减，在处取最大值， 故仅当成立，得， 综上，. （3）整理得：， 求导得：， 因为，所以的符号由分子 决定， 令 ，对求导： ， 当时，和都是严格单调递增的正函数，因此在上严格单调递增， 结合条件，代入端点得：时， ； 时， ，因此， 根据零点存在性定理，存在唯一的使得， 故的单调性为：，，严格递减； ，，严格递增， 的最小值为，且时 ，故； 又时，因此存在唯一的，使得，即在上只有一个零点， 结合的符号，可得的单调性： ， ，严格单调递减； ， ，严格单调递增， 因此：在上只有个极值点（极小值点），由单调性可知最多存在个零点； 由，即，解得， 代入得 已知，则， 对取对数得，又因为，所以 即，故， 结合已证的零点存在性结论：时，与极小值， 时，因此和各存在且仅存在个零点， 即恰好有个零点，得证. 学科网（北京）股份有限公司 $