精品解析：甘肃省临潭县第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

临潭县第二中学2024-2025学年度第二学期期中考试试卷 高二数学 一、单项选择题（共8题） 1. 设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的极大值点为求出参数的值，然后再根据函数的单调性求出函数的极小值即可． 【详解】∵， ∴， ∵是函数的极大值点， ∴，解得， ∴， ∴当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增； ∴当时，有极小值，且极小值为． 故选A． 【点睛】解答类似问题时常犯的错误是误认为导函数的零点即为函数的极值点，解题时，在求得导函数的零点后，还要判断出导函数在零点两侧的符号是否相反，若不相反则可得该零点不是函数的极值点． 2. 设是定义在R上的函数，其导函数为，满足，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题令,进而根据题意得在上是增函数，故,进而得答案. 【详解】因为满足，令， 则，所以在上是增函数， 所以，即， 所以. 故选:D 3. 设函数，是公差为的等差数列，，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵数列{an}是公差为的等差数列，且 ∴ ∴ 即 得 ∴ [点评]本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习. 另外，隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力. 4. 在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量，，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如下图所示：设，则，，，， 可得， 设直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 5. 如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论：①存在点E，使；②存在点E，使平面；③EF与所成的角不可能等于60°；④三棱锥的体积随动点E的变化而变化．其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间线面平行与垂直的判定及性质定理、向量的夹角判断异面直线所成角、三棱锥的体积计算公式即可得出． 【详解】解：设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，点， 则，而，， ，因此， ，，，， 对于①而言就是否存在实数，使，而，，，，此即，这样的不存在，①错误； 对于②而言就是否存在实数，使平面，首先我们在平面内任意找到两条相交直线的方向向量，不妨就找和， ，于是，即就是当为的中点的时候，②正确； 同理，对于③而言，还是判断这样的实数是否存在，， 设其夹角为，则， 令，此即，将上式平方解得，将回代原式结论成立，这样的存在；③错误； 对于④来说，点无论在上怎样移动，底面的高不变，故而底面面积不变，三棱锥的高为定值，所以其体积不会随着点的变化而变化，故④错误． 所以正确的个数为1个. 故选：D. 6. 如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，所以；因为点为的中点，所以， 易知，， 所以 ， 又，，， 所以 ． 故选：A 7. 如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，＝(a，a,0)，＝(0,2a,2a)，＝(a，－a，0)，＝(0,0,2a)， 设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1, )， 由⇒n1＝(1，－1,1)． sinθ＝＝＝. 8. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】D 【解析】 【分析】根据共线向量、单位向量、空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，由 ，，，所以与不共线，所以A错误； 对于B，的单位向量为，所以B错误； 对于C，，所以， 所以C错误； 对于D，设平面的法向量是， 则，将，，代入验证满足方程组，所以D正确． 故选：D 二、多项选择题（共3题） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是　　 A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设，，是空间中的一组基底，则，，也是空间的一组基底 D. 若，则，是钝角 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据共线向量的概念，可判定A是正确的；根据空间向量的基本定理，可判定B是正确的；根据空间基底的概念，可判定C正确；根据向量的夹角和数量积的意义，可判定D不正确. 【详解】对于A中，根据共线、共面向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的； 对于B中，若对空间中任意一点O，有，根据空间向量的共面定理的推论，可得P，A，B，C四点一定共面，所以是正确的； 对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，可得向量也不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的； 对于D中，若，又由，所以，所以不正确， 故选∶ ABC. 10. 已知函数，以下四个命题中真命题是（ ） A. ，有 B. ，且，有 C. ，，有 D. ， 【答案】ABCD 【解析】 【分析】求出可判断A；由得在区间上单调递增可判断B；在单调递增可判断C；设得在单调递增，；由奇函数性质可判断D． 【详解】，且其定义域为， ， ，有，故A是真命题； ，由， 可知在区间上单调递增， 即，且，有，故B是真命题； 在单调递增，，， 有，故C是真命题； 设，则当时，，所以在单调递增，所以当时，，即；由奇函数性质可知，，，故D是真命题． 故选：ABCD． 11. 已知函数，其导函数为，下列命题中真命题的为（ ） A. 的单调减区间是 B. 的极小值是 C. 当时，对任意的且，恒有（a）（a） D. 函数有且只有一个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由，知，令，得，，分别求出函数的极大值和极小值，知错误，正确；由，且，令利用导数说明其单调性，再根据切割线的定义即可判断，故正确； 【详解】解：，其导函数为． 令，解得，， 当时，即，或时，函数单调递增， 当时，即时，函数单调递减； 故当时，函数有极小值，极小值为，当时，函数有极大值，极大值为， 故函数只有一个零点， 错误，正确； 令，则故在上，即在上单调递增，根据切割线的定义可知，当时，对任意的，恒有，即 对任意的，恒有，即， 故正确； 故选：． 【点睛】本题考查函数的单调区间、极值的求法，以及不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和导数性质的灵活运用． 三、填空题（共3题） 12. 给定函数．下列说法正确的有____． ①函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； ②函数的图象与轴有两个交点； ③当时，方程 两个不同的解； ④若方程只有一个解，则． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用导数工具研究函数的单调性，再结合函数值情况、零点存在性定理、函数的图象即可依次求解判断各选项. 【详解】由题得函数定义域为R，且， 所以当 时，， 递减， 当 时，，递增，①正确； 所以，， 时，， 因此只在上有一个零点，它与只有一个交点，②错； 由上面讨论知时，递减，， 时， 递增，， 作出图象和直线，如图， 知当 时，方程有两个不同的解，③正确； 由图可知当时，方程只有一个解，④正确． 故答案为：①③④ 13. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点．若P与重合，则三棱锥E-PFG的体积是____；若直线BP与平面EFG无公共点，则BP的最小值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由体积公式可得三棱锥E-PFG的体积，分别取的中点，可得截面即为截面，线段即为点轨迹，的高即为的最小值． 【详解】若P与重合，则，； 若直线BP与平面EFG无公共点，则平面， 分别取的中点，连接， 则，，，而，所以，同理，，因此可得证共面，即截面即为截面， 平面，平面，则平面，同理平面， 而，平面，所以平面平面，只要，则有平面，线段即为点轨迹，，因此的最小值为， 故答案为：；． 14. 已知函数，若，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，，得，所以，然后构造函数，利用可求出其单调区间，从而可求出其范围 【详解】的图象如图， 因为， 所以， 因为， 所以，， 所以， 所以， 所以，所以， 所以，则， 所以， 令，则， 当时，， 所以在上递减， 所以， 所以， 所以的取值范围为， 故答案为： 四、解答题（共5题） 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）递减区间为，递增区间为和； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数大于0或小于0的x取值集合即可作答. （2）利用（1）的结论，借助单调性即可求解的最大值和最小值. 【小问1详解】 函数定义域为R，， 当或时，，当时，，即在，上递增，在上递减， 所以的递减区间为，递增区间为和. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减, 因此，在区间上的最大值为，而，，即有， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 16. 如图，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为，求： （1）三棱柱的侧面展开图的对角线长； （2）求该最短路线的长及的值； （3）三棱锥体积. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）由正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为的矩形求解. （2）将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点运动到点的位置，连接交于，则即为所求；然后由≌求解； （3）根据平面，利用等体积法，由求解. 【详解】（1）因为正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为的矩形， 所以其对角线长为； （2）将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上， 点运动到点的位置，连接交于， 则是由顶点沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线， 其长为， ∵≌，∴，故； （3）∵平面， ∴， . 17. 已知函数． （1）若，求函数的零点： （2）若，证明：函数是上的减函数； （3）若曲线在点处的切线与直线平行，求a的值． 【答案】（1）2 （2） 当时，定义域为. 所以. 令，则 当时，恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，都有. 所以在上恒成立，所以函数是上的减函数. （3）0. 【解析】 【分析】（1）直接解方程即可求出零点； （2）利用导数证明函数的单调性； （3）先由在点处的切线与直线平行，得到，用图像法求出a=0. 【小问1详解】 当时，. 令，解得：x=2. 即函数的零点是2. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 . 所以. 因为在点处的切线与直线平行， 所以. 即. 记，则. 当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增. 而，所以a=0是方程的唯一解. 故a=0. 18. 设函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时， 恒成立，求的取值范围； （3）求证：当时， . 【答案】（1）的单调递减区间为； 的单调递增区间为； （2）； （3）证明： 等价于 设， ∴，由（2）知时， 恒成立， 所以， ∴恒成立 ∴在上单调递增， ∴，因此时，有. 【解析】 【详解】试题分析：（1）直接对函数求导得，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；（2）先将不等式中参数分离分离出来可得： ，再构造函数， ，求导得，借助，推得，从而在上单调递减， ，进而求得；（3）先将不等式等价转化为，再构造函数，求导可得，由（2）知时， 恒成立，所以，即恒成立，故在上单调递增，所以，因此时，有： 试题解析：（1））当时，则，令得，所以有 即时， 的单调递减区间为； 的单调递增区间为. （2）由，分离参数可得： ， 设， ， ∴，又∵， ∴，则在上单调递减， ∴，∴ 即的取值范围为. （3）略 点睛：解答本题的第一问时，先对函数求导得，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；求解第二问时，先将不等式中参数分离出来可得，再构造函数， ，求导得，借助，推得，从而在上单调递减， ，进而求得；第三问的证明过程中，先将不等式等价转化为，再构造函数，求导可得，由（2）知时， 恒成立，所以，即恒成立，故在上单调递增，所以，因此证得当时，不等式成立． 19. 如图1，在直角梯形中，，，，.将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图所示2. （1）求几何体的体积； （2）求二面角的正切值； （3）求几何体的外接球的表面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得到，取中点，由面面垂直得到，进而可求证； （2）过作交与，连接，得到即为二面角的平面角，进而可求； （3）取中点的，连接，通过说明，确定为球心，即可求解. 【小问1详解】 在直角梯形中， ，得， 易知，在三角形中， 由余弦定理可得： 所以， 所以， 所以， 取中点，连接，则，又平面平面， 且相交于，平面， 从而平面，又在平面内，所以， 又，，都在平面内 所以平面， 因为， 所以三棱锥的体积为， 由等体积性知几何体的体积为. 【小问2详解】 过作交与，连接， 由（1）平面，易得， 又为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以，所以即为二面角的平面角， 因为，，， 所以到的距离为，为中点， 所以，又， 所以. 【小问3详解】 取中点的，连接， 由为等腰直角三角形，，易知， 因为分别是中点，可知，又， 由（1）可知，所以， 即， 所以几何体的外接球的球心为，半径为， 所以几何体的外接球的表面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭县第二中学2024-2025学年度第二学期期中考试试卷 高二数学 一、单项选择题（共8题） 1. 设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为 A. B. C. D. 2. 设是定义在R上的函数，其导函数为，满足，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设函数，是公差为的等差数列，，则 A. B. C. D. 4. 在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论：①存在点E，使；②存在点E，使平面；③EF与所成的角不可能等于60°；④三棱锥的体积随动点E的变化而变化．其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 8. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 二、多项选择题（共3题） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是　　 A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设，，是空间中的一组基底，则，，也是空间的一组基底 D. 若，则，是钝角 10. 已知函数，以下四个命题中真命题是（ ） A. ，有 B. ，且，有 C. ，，有 D. ， 11. 已知函数，其导函数为，下列命题中真命题的为（ ） A. 的单调减区间是 B. 的极小值是 C. 当时，对任意的且，恒有（a）（a） D. 函数有且只有一个零点 三、填空题（共3题） 12. 给定函数．下列说法正确的有____． ①函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； ②函数的图象与轴有两个交点； ③当时，方程 两个不同的解； ④若方程只有一个解，则． 13. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点．若P与重合，则三棱锥E-PFG的体积是____；若直线BP与平面EFG无公共点，则BP的最小值是__________． 14. 已知函数，若，且，则的取值范围是______． 四、解答题（共5题） 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 16. 如图，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为，求： （1）三棱柱的侧面展开图的对角线长； （2）求该最短路线的长及的值； （3）三棱锥体积. 17. 已知函数． （1）若，求函数的零点： （2）若，证明：函数是上的减函数； （3）若曲线在点处的切线与直线平行，求a的值． 18. 设函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时， 恒成立，求的取值范围； （3）求证：当时， . 19. 如图1，在直角梯形中，，，，.将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图所示2. （1）求几何体的体积； （2）求二面角的正切值； （3）求几何体的外接球的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $