精品解析：宁夏银川景博学校2025-2026学年第二学期九年级第一次数学模拟试卷

银川景博学校2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟试卷 数学 （试卷满分120分，考试时间；120分钟） 一．选择题（每小题3分，共计24分） 1. 杏花是春天最早的信物，那抹粉白藏着千年的诗与惆怅．从杜牧的“牧童遥指杏花村”到叶绍翁的“一枝红杏出墙来”．其花粉直径约米，这里“”用科学记数法表示为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将数据“”表示形式为，其中 ，为整数，对于小于1的正小数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】解：∵左起第一个非零数字为 ， 前面共有个零，且满足 ∴ ，故选项A符合题意． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 同底数幂相乘，底数不变指数相加， ∴ A选项错误； ∵ 与不是同类二次根式，无法合并， ∴ B选项错误； ∵ 根据完全平方公式， ∴ C选项错误； ∵ 幂的乘方，底数不变指数相乘， ∴ D选项正确. 3. 将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若 ，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键．根据平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵ ， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 4. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数轴比较数的大小逐个判断即可． 【详解】解：由图可知：， ∴，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查利用数轴比较数的大小．熟练掌握数轴上左边点表示的数总大于右边点表示的数是解题的关键． 5. 如果一个数等于它的所有因数（本身除外）的和，这种数叫做完全数．下列数中，是完全数的是（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全数的定义，只需找出各选项除本身外的所有因数，计算因数和，判断是否等于原数即可得到结果． 【详解】解：完全数的定义为：一个数等于它的所有因数（本身除外）的和， A、除本身外的因数为，和为，不是完全数； B、 除本身外的因数为，和为，不是完全数； C、 除本身外的因数为，和为，符合完全数定义； D、除本身外的因数为，和为，不是完全数． 6. 如图所示，在矩形 中， ，点 ， 分别在边 ， 上．连接，将四边形沿翻折，点， 分别落在点 ， 处．则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接 交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分 ，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接 交于点F， 设，则， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分 ， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 7. 如图，在菱形 中，，点O是对角线 的中点，以点O为圆心， 长为半径作圆心角为的扇形 ，点D在扇形 内，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】连接 ，将 绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接 ，将 绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形 中，点O是对角线 的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，，，以原点 为位似中心，将 放大，且点 为对应点的黄金分割点，则点 的对应点的坐标是（ ） A. ， B. C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据位似变换是以原点为位似中心，将 放大，且点 为对应点的黄金分割点，可得出相似比为，然后分别计算即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，将 放大，且点 为对应点的黄金分割点， ∴相似比为， ∵点， ∴点的坐标为． 即点的坐标为． 二．填空题（每小题3分，共计24分） 9. 在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有，，，，，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是_______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】此题考查了简单概率的计算．熟练掌握概率的意义和计算方法是解题的关键．概率是随机事件发生可能性大小的数值，计算方法是在n次等可能结果的一次试验中事件A包含其中的m种结果，A事件发生的概率为． 在5个二次根式中，，是最简二次根式，再由概率公式求解即可． 【详解】解：在，，，，这5个二次根式中，，是最简二次根式，有2个， ∴随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是， 故答案为：． 10. 如图， 与交于点 ，且 ．若，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 11. 若点在x轴上，则点P的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据在x轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算得出 的值，再代入点P的横坐标，即可作答． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴ 解得 把代入，得 ∴ 故答案为： 12. 如图，点，，以线段 为边在第四象限作矩形， ，则点 的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点 作轴于点 ，根据矩形的性质可得，，结合已知 可得，利用同角的余角相等证明，进而证明，利用相似三角形的性质求出和的长，即可得解． 【详解】解：如图，过点 作轴于点 ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 点 在第四象限， 点 的坐标为． 13. 已知实数，满足，则的平方根_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质，求一个数的平方根；几个非负数的和为，那么这几个非负数都是，据此可求出，然后即可求出的平方根． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 14. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 15. 若分式的值为0，则 的值为_______． 【答案】-2 【解析】 【分析】已知分式的值为0，可得分子为0，分母不为0，即可求解． 【详解】∵分式的值为0 ∴=0 ∴ 解得x=-2 故答案为：-2 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为零需要满足两个条件，分母的值不为零，分子的值为零． 16. 如图，斜坡的坡度 ，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树 ，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树 的高为______米． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形． 如图，过点 作水平地面的平行线，交 的延长线于点，设 米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点 作水平地面的平行线，交 的延长线于点， 则， 在 中，， 设 米，米， ， ， 米，米， ， （米）， （米）， 答：大树 的高度为米． 故答案为：． 三．解答题（共计72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解：原式， ， ． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据分式的混合运算法则进行化简，再代数求值． 【详解】解：原式 ， 将代入， 原式． 19. 在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下： 【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数据如下： 74，72，72，73，74，75，75，75，75， 75，75，76，76，76，77，77，78，80 【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示： 组别 50.5≤x＜60.5 60.5≤x＜70.5 70.5≤x＜80.5 80.5≤x＜90.5 90.5≤x＜100.5 A学校 5 15 x 8 4 B学校 7 10 12 17 4 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 特征数 平均数 众数 中位数 方差 A学校 74 75 y 127.36 B学校 74 85 73 144.12 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查是　 　调查（选填“抽样”或“全面”）； （2）统计表中，x＝　 　，y＝　 　； （3）补全频数分布直方图； （4）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是　 　学校（选填“A”或“B”）； （5）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有　 　人． 【答案】（1）抽样 （2） （3） 补全频数分布直方图：     （4）A （5）920 【解析】 【分析】（1）根据题意知本次调查是抽样调查； （2）用总数减去其它组的频数求x，利用求中位数的方法求y； （3）根据A学校的频数分布表补全频数分布直方图； （4）根据方差即可判断； （5）分别求出在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生即可． 【小问1详解】 根据题意知本次调查是抽样调查； 故答案为：抽样． 【小问2详解】 x=50-5-15-8-4=18， 中位数为第25个和第26个平均数 故答案为：18，74.5． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 因为A学校的方差为127.36，B学校的方差为144.12， 127.36＜144.12， ∴课后书面作业时长波动较小的是A学校， 故答案为：A． 【小问5详解】 （人） 故答案为：920． 【点睛】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 20. 如图，以 的顶点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线 ，交 于点，交的延长线于点． （1）由以上作图可知，与的数量关系是_______ （2）求证： （3）若 ， ，，求的面积． 【答案】（1） （2）证明：四边形 为平行四边形 （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据作图可知， 为 的角平分线，即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明； （3）过点作 的垂线交 的延长线于点 ，根据平行四边形的性质，，，结合 ，推出，从而得到， ，，最后由计算即可． 【小问1详解】 解：由作图可知， 为 的角平分线 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作 的垂线交 的延长线于点 四边形 为平行四边形， ， ， 又 ． 21. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过 点作 轴的垂线，垂足为点，的面积为4． （1）分别求出和的值； （2）结合图象直接写出中 的取值范围； （3）在 轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】（1）， ；（2）或；（3）． 【解析】 【分析】（1）由△AOC的面积为4，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入可求b的值． （2）根据图象观察当自变量x取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方即可，注意由两部分． （3）由对称点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交点就是所求的点P，求出直线与y轴的交点坐标即可． 【详解】（1）由题意得： ∴， 又∵反比例函数图象经过第二、四象限 ∴ ， 当时，；当时，，解得 （2）由图象可以看出的解集为或 （3）如图，作点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交于P，此时PA-PB最大（PB-PA=PB-PA′≤A′B，共线时差最大） ∵关于 轴的对称点为， 又，则直线 与 轴的交点即为所求点． 设直线 的解析式为 则解得 ∴直线 的解析式为 ∴直线 与 轴的交点为． 即点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，涉及了轴对称以及待定系数法求函数的关系式、线段的最值等知识，理解作点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交于P，此时PA-PB最大． 22. 如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，在的边 上取一点 ，使得 平分 （2）点 在的边 上，且满足．（保留作图痕迹，体现作图过程）． 【答案】（1） 解：如图所示，点D即为所求； 根据网格得： ， 根据网格找出点D，连接 即可； （2） 解：点E的位置如图所示： 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出 ， ，再根据网格即可确定点D； （2）根据构建 ，即 ， 即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价=20 任务： （1）解法一所列方程中的x表示______，解法二所列方程中的x表示_______．（填序号） ①甲种商品每件进价x元； ②乙种商品每件进价x元； ③甲种商品购进x件； （2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为_______元/件，乙种商品的进价为_______元/件； （3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1420元的资金购进甲、乙两种商品共40件，若购进的甲、乙两种商品全部售出，请求出该商店获得最大的利润W．（利润=售价一进价） 【答案】（1）①，③ （2）50，30 （3）765元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，分式方程的应用； （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择第一个方程，再解方程即可得到答案； （3）设购进甲种商品m件，则购买乙种商品件，根据题意列出W与m的关系式，根据所给条件得出m的取值范围，利用一次函数的性质可得出结论． 【小问1详解】 解：由甲商品数量=乙商品数量， 可得中的x表示甲种商品每件进价x元， 由甲商品进价 乙商品进价 ，可得中的x表示甲种商品购进 x件； 故答案为：①，③； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 故答案为：50，30； 【小问3详解】 解：设购进甲种商品m件，则购买乙种商品件，商品所获总利润为W元， 根据题意可知，． ∵， ∴． ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，W可取得最大值，此时W的最大值为：． ∴最大利润W为765元． 24. 如图是 直径， 是 上异于， 的一点，点 是 延长线上一点，连接 、 、 ，且 ． （1）求证：直线 是 的切线； （2）若 ，作 的平分线交 于，交于 ，连接 、，求的值． 【答案】（1） 证明：连接 ， ∵是 的直径， ∴ ，则 ， ∵， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵ 是 半径， ∴直线 是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，先利用圆周角定理得到 ，再根据等腰三角形的性质结合已知证得 ，然后根据切线的判定可证得结论； （2）先证明 ，由相似三角形的性质得出，由角平分线的性质定理得出点P到直线 和点P到直线 的距离相等进而可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴，， ， ∴ ， ∴， ∴， ∵为 的平分线， 故设点P到直线 和点P到直线 的距离相等都为h， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理，等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 25. 在平面直角坐标系中，将二次函数y=a(a＞0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA=1，经过点A的一次函数()的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； 【答案】(1)，；(2)最大值是，此时E点坐标为 【解析】 【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，经过点A(-1，0)，可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式； (2)作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； 【详解】(1)将二次函数)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， ∵OA=1， ∴点A的坐标为(﹣1，0)，代入抛物线的解析式得，， ∴， ∴抛物线的解析式为，即． 令y=0，解得， ∴点B的坐标为(3，0)， ∴AB=OA+OB=4， ∵△ABD的面积为5， ∴， ∴， 代入抛物线解析式得，， 解得， ∴点D的坐标为(4，)， 设直线AD的解析式为， ∴，解得：， ∴直线AD的解析式为； (2)过点E作EM∥y轴交AD于M，交x轴于N，如图， 设点E的坐标为(，)，则点M的坐标为(，) ∴， ∴ ， ∴当 时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为( ，) 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了选定系数法，二次函数的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 26. 综合与探究 问题情境： 如图1，在正方形 中， ，，分别是 ， ， 边上的点，连接 ，．若，判断 与之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将沿 方向平移到 ，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到 ，继而得到 ． 尝试初探： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形 改为菱形 ，，如图2， ，，分别是 ， ， 边上的点，连接与 交于点 ．若，猜想 与之间的数量关系，并说明理由， 通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题． 迁移应用： （2）如图3，在中，点 ， 分别在 ， 边上，且， ，交于点 ， ．判断与 的大小关系，并说明理由． 拓展探究： （3）如图4，在正方形 中，点 ，分别在 ， 边上，过点作于点，交边于点，连接，．若 ， ，请直接写出的最小值． 【答案】 （1） ，理由如下： 如图，沿 平移线段，使点与点 重合，点与点重合，连接 根据平移的性质可得，， ， ∵四边形 为菱形，且， ， 与都是等边三角形， ，， ， ， 在 与中， ∴， ∴ ； （2），理由如下： 如图，沿 平移线段 ，使点 与点 重合，点 与点重合，连接， 根据平移的性质可得，， ， 又，即， 为等边三角形， ， 在中， ∴； （３） 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并善于运用给出的思路． （1）沿 平移线段，使点与点 重合，点与点重合，连接 ，根据平移的性质和菱形的性质，得到边角相等，证出，即可得到结论； （2）如图，沿 平移线段 ，使点 与点 重合，点 与点重合，连接，利用平移的性质和平行线的性质得出为等边三角形，进而得到，最后利用三角形的三边关系即可得出结论； （3）沿平移线段 ，使点 与点重合，点 与点重合，连接， 根据平移的性质和正方形的性质得出，然后利用三点共线线段的和最小，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3） 如图，沿平移线段 ，使点 与点重合，点 与点重合，连接， 根据平移的性质可得，， 又∵， ∴ ∴, ∵四边形 为正方形， ， ， ， 在 中，由勾股定理得, 由图1结论可得， ∴， ∵ ∴当点共线时，最小，即最小，最小值为的长度， ∴在中，由勾股定理得， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川景博学校2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟试卷 数学 （试卷满分120分，考试时间；120分钟） 一．选择题（每小题3分，共计24分） 1. 杏花是春天最早的信物，那抹粉白藏着千年的诗与惆怅．从杜牧的“牧童遥指杏花村”到叶绍翁的“一枝红杏出墙来”．其花粉直径约米，这里“”用科学记数法表示为（     ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若 ，则为（ ） A. B. C. D. 4. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果一个数等于它的所有因数（本身除外）的和，这种数叫做完全数．下列数中，是完全数的是（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 6. 如图所示，在矩形中， ，点， 分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点， 分别落在点， 处．则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形 ，点D在扇形 内，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，在平面直角坐标系中，，，以原点 为位似中心，将 放大，且点 为对应点的黄金分割点，则点 的对应点的坐标是（ ） A. ， B. C. D. ， 二．填空题（每小题3分，共计24分） 9. 在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有，，，，，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是_______． 10. 如图，与交于点 ，且 ．若，则__________． 11. 若点在x轴上，则点P的坐标是________． 12. 如图，点，，以线段为边在第四象限作矩形， ，则点 的坐标是_______． 13. 已知实数，满足，则的平方根_______． 14. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 15. 若分式的值为0，则 的值为_______． 16. 如图，斜坡的坡度 ，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为______米． 三．解答题（共计72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中 19. 在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下： 【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数据如下： 74，72，72，73，74，75，75，75，75， 75，75，76，76，76，77，77，78，80 【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示： 组别 50.5≤x＜60.5 60.5≤x＜70.5 70.5≤x＜80.5 80.5≤x＜90.5 90.5≤x＜100.5 A学校 5 15 x 8 4 B学校 7 10 12 17 4 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 特征数 平均数 众数 中位数 方差 A学校 74 75 y 127.36 B学校 74 85 73 144.12 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查是　 　调查（选填“抽样”或“全面”）； （2）统计表中，x＝　 　，y＝　 　； （3）补全频数分布直方图； （4）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是　 　学校（选填“A”或“B”）； （5）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有　 　人． 20. 如图，以 的顶点 为圆心，长为半径画弧，交于点 ，再分别以点， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线 ，交于点，交的延长线于点． （1）由以上作图可知，与的数量关系是_______ （2）求证： （3）若 ， ，，求的面积． 21. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作 轴的垂线，垂足为点，的面积为4． （1）分别求出和的值； （2）结合图象直接写出中 的取值范围； （3）在 轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 22. 如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点， 的三个顶点均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，在 的边上取一点 ，使得平分 （2）点 在 的边上，且满足．（保留作图痕迹，体现作图过程）． 23. 下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价=20 任务： （1）解法一所列方程中的x表示______，解法二所列方程中的x表示_______．（填序号） ①甲种商品每件进价x元； ②乙种商品每件进价x元； ③甲种商品购进x件； （2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为_______元/件，乙种商品的进价为_______元/件； （3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1420元的资金购进甲、乙两种商品共40件，若购进的甲、乙两种商品全部售出，请求出该商店获得最大的利润W．（利润=售价一进价） 24. 如图是 直径，是 上异于， 的一点，点 是 延长线上一点，连接、、，且 ． （1）求证：直线是 的切线； （2）若 ，作 的平分线交 于，交于 ，连接 、，求的值． 25. 在平面直角坐标系中，将二次函数y=a(a＞0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA=1，经过点A的一次函数()的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； 26. 综合与探究 问题情境： 如图1，在正方形中， ，，分别是，，边上的点，连接，．若，判断与之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将沿方向平移到 ，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到 ，继而得到 ． 尝试初探： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图2， ，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由， 通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题． 迁移应用： （2）如图3，在 中，点 ， 分别在，边上，且，，交于点 ， ．判断与的大小关系，并说明理由． 拓展探究： （3）如图4，在正方形中，点 ，分别在，边上，过点作于点，交边于点，连接，．若 ， ，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $