宁夏银川景博学校2025-2026学年第二学期九年级第一次数学模拟试卷

银川景博学校2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟试卷 数学 （试卷满分120分，考试时间；120分钟） 一．选择题（每小题3分，共计24分） 1. 杏花是春天最早的信物，那抹粉白藏着千年的诗与惆怅．从杜牧的“牧童遥指杏花村”到叶绍翁的“一枝红杏出墙来”．其花粉直径约米，这里“”用科学记数法表示为（     ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（ ） A. B. C. D. 4. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果一个数等于它的所有因数（本身除外）的和，这种数叫做完全数．下列数中，是完全数的是（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 6. 如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，在平面直角坐标系中，，，以原点为位似中心，将放大，且点为对应点的黄金分割点，则点的对应点的坐标是（ ） A. ， B. C. D. ， 二．填空题（每小题3分，共计24分） 9. 在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有，，，，，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是_______． 10. 如图，与交于点，且．若，则__________． 11. 若点在x轴上，则点P的坐标是________． 12. 如图，点，，以线段为边在第四象限作矩形，，则点的坐标是_______． 13. 已知实数，满足，则的平方根_______． 14. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 15. 若分式的值为0，则的值为_______． 16. 如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为______米． 三．解答题（共计72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中 19. 在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下： 【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数据如下： 74，72，72，73，74，75，75，75，75， 75，75，76，76，76，77，77，78，80 【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示： 组别 50.5≤x＜60.5 60.5≤x＜70.5 70.5≤x＜80.5 80.5≤x＜90.5 90.5≤x＜100.5 A学校 5 15 x 8 4 B学校 7 10 12 17 4 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 特征数 平均数 众数 中位数 方差 A学校 74 75 y 127.36 B学校 74 85 73 144.12 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查是　 　调查（选填“抽样”或“全面”）； （2）统计表中，x＝　 　，y＝　 　； （3）补全频数分布直方图； （4）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是　 　学校（选填“A”或“B”）； （5）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有　 　人． 20. 如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）由以上作图可知，与的数量关系是_______ （2）求证： （3）若，，，求的面积． 21. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． （1）分别求出和的值； （2）结合图象直接写出中的取值范围； （3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 22. 如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，在的边上取一点，使得平分 （2）点在的边上，且满足．（保留作图痕迹，体现作图过程）． 23. 下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价=20 任务： （1）解法一所列方程中的x表示______，解法二所列方程中的x表示_______．（填序号） ①甲种商品每件进价x元； ②乙种商品每件进价x元； ③甲种商品购进x件； （2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为_______元/件，乙种商品的进价为_______元/件； （3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1420元的资金购进甲、乙两种商品共40件，若购进的甲、乙两种商品全部售出，请求出该商店获得最大的利润W．（利润=售价一进价） 24. 如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连接、、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，作的平分线交于，交于，连接、，求的值． 25. 在平面直角坐标系中，将二次函数y=a(a＞0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA=1，经过点A的一次函数()的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； 26. 综合与探究 问题情境： 如图1，在正方形中，，，分别是，，边上的点，连接，．若，判断与之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 尝试初探： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图2，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由， 通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题． 迁移应用： （2）如图3，在中，点，分别在，边上，且，，交于点，．判断与的大小关系，并说明理由． 拓展探究： （3）如图4，在正方形中，点，分别在，边上，过点作于点，交边于点，连接，．若，，请直接写出的最小值． 银川景博学校2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟试卷 数学 （试卷满分120分，考试时间；120分钟） 一．选择题（每小题3分，共计24分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二．填空题（每小题3分，共计24分） 【9题答案】 【答案】##0.4 【10题答案】 【答案】##0.5 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】> 【15题答案】 【答案】-2 【16题答案】 【答案】## 三．解答题（共计72分） 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】， 【19题答案】 【答案】（1）抽样 （2） （3） 补全频数分布直方图：     （4）A （5）920 【20题答案】 【答案】（1） （2）证明：四边形为平行四边形 （3） 【21题答案】 【答案】（1），；（2）或；（3）． 【22题答案】 【答案】（1） 解：如图所示，点D即为所求； 根据网格得： ， 根据网格找出点D，连接即可； （2） 解：点E的位置如图所示： 【23题答案】 【答案】（1）①，③ （2）50，30 （3）765元 【24题答案】 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ∴，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴直线是的切线； （2） 【25题答案】 【答案】(1)，；(2)最大值是，此时E点坐标为 【26题答案】 【答案】 （1），理由如下： 如图，沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接 根据平移的性质可得，， ， ∵四边形为菱形，且， ， 与都是等边三角形， ，， ， ， 在与中， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接， 根据平移的性质可得，， ， 又，即， 为等边三角形， ， 在中， ∴； （３） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $