余弦定理、正弦定理课件——2027届高三数学一轮复习

第28讲 余弦定理、正弦定理 1 1.掌握余弦定理、正弦定理. 2.能利用余弦定理、正弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 课 标 要 求 2 1.正、余弦定理 在中，内角，，所对的边分别是，，，为 外 接圆的半径，则#1.1 正弦定理 余弦定理 公 式 ； ； ； ； ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 3 正弦定理 余弦定理 常 见 变 形 ， ， ； ， ， ； ； , , ； ； 续表 课 前 基 础 巩 固 4 2.在中，已知，和 时，解的情况 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 课 前 基 础 巩 固 5 3.面积公式 ； 是的内切圆半径，是 的外接圆半径，并可由此计算， ； . 课 前 基 础 巩 固 6 常用结论 1.正弦定理的应用 ①边化角，角化边： . ②大边对大角，大角对大边： . ③合分比： 是的外接圆半径 . 课 前 基 础 巩 固 7 2.内角和定理： . . 同理：， . ； . ③在中，内角，，成等差数列, . 课 前 基 础 巩 固 8 题组一 常识题 1.［教材改编］在中,已知, , ,则 _ ___. [解析] 由题意知 ,由正弦定理得 ,解得 . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 9 2.［教材改编］在中，已知，， ，则 ___. 7 [解析] 由余弦定理得，所以 . 课 前 基 础 巩 固 10 3.［教材改编］在中,内角,,的对边分别是,,,若 , ,,则______， 的面积为_ ____. [解析] 因为,, ,所以由余弦定理得 ， 又 ，所以 ，故, 所以 的面积 . 课 前 基 础 巩 固 11 题组二 常错题 ◆ 索引：将三角形中角与角的正弦的关系弄错致误;利用正弦定理 求角时将解的个数弄错致误;将余弦定理、面积公式中边与角的三角 函数的对应关系弄错致误. 4.在中,若,则, 的大小关系为_______;若 ,则, 的大小关系为_______. [解析] 根据正弦定理知,在 中， , . 课 前 基 础 巩 固 12 5.在中， ，，，则角 的大小为______ ______. 或 [解析] 由题意知 ，，，由 ，得 ， 因为，所以 ，则 或 ， 故的大小为 或 . 课 前 基 础 巩 固 13 6.在中,内角,,所对的边分别为,,,若, , ,则_ __, ___. 1 [解析] 由题意知 .由余弦定理 得,所以 . 课 前 基 础 巩 固 14 探究点一 正余弦定理的直接应用 例1（1）已知的内角,,所对的边分别为,, ，若 ,，则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］首先利用正弦定理将角的正弦关系转化为边的关系， 再通过余弦定理建立关于的等式，从而求解 的值； √ 课 堂 考 点 探 究 15 [解析] 因为，所以 .根据正弦定理可得 ，所以. 因为 ，所以根据余弦定理可得 ，化简可得 ，所以 . 因为,为的边长，所以，，所以 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 16 （2）[2024·全国甲卷]记的内角，，的对边分别为,, , 已知 ,,则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］利用正弦定理得 ，再利用余弦定理得 ，进而由正弦定理得到 的值，最后代入 计算即可. √ 课 堂 考 点 探 究 17 [解析] 因为 ,,所以 . 由余弦定理可得,即 ,所以 , 所以 ,则 ,故选C. 课 堂 考 点 探 究 18 [总结反思] （1）在解三角形中,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,那么考 虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,那么考虑用正 弦定理.当以上特征都不明显时,要考虑两个定理都有可能用到. （2）三角形解的个数的判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其 解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不确定性,通常根 据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 课 堂 考 点 探 究 19 变式题1 [2025·全国二卷］在中，， ， ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由余弦定理得 ，又 ，所以 . √ 课 堂 考 点 探 究 20 变式题2 已知三个内角,,所对的边分别为,, ，且 . （1）求 的值； 解：由及正弦定理可得， ， 即 ， 所以 . 又，且，所以 . 又，所以 . 课 堂 考 点 探 究 21 （2）若的面积，且，求 的周长. 解：因为，所以 .由余弦定理，得 . 又 ， 所以, ， 所以，故 的周长为 . 课 堂 考 点 探 究 22 探究点二 利用余弦定理、正弦定理判定三角形的形状 例2（1）在中，内角，,所对的边分别为，， ，若 ，则 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 ［思路点拨］根据给定条件，利用正弦定理边化角，利用同角三角 函数的基本关系切化弦，再结合二倍角公式求解即可； √ 课 堂 考 点 探 究 23 [解析] 在中，由及正弦定理得 ，又 ，，整理得 ，故 ， 因为 ， ，所以 ， ， 又 ，所以 或 ，即或， 所以 是等腰三角形或直角三角形.故选C. 课 堂 考 点 探 究 24 （2）在中，，则 的形状是 ( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 ［思路点拨］在中， ，由余弦定理 得 ，两式相加，利用基本不等式及正弦函数 的有界性即可判断出 的形状. √ 课 堂 考 点 探 究 25 [解析] 在中， ，又由余弦定理得 ， 两式相加得 ， （当且仅当时取“ ”）， 又， 为 的内角，，，又， 的形状为等边三角形.故选D. 课 堂 考 点 探 究 26 [总结反思] 判断三角形形状的两种思路： （1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三 角形的形状. （2）化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形 的形状，此时要注意应用 这个结论. 课 堂 考 点 探 究 27 变式题 在中，，，分别为内角，， 的对边，且 ，则 的形状为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 √ 课 堂 考 点 探 究 28 [解析] 方法一：由 及正弦定理，得 , 所以 ,即， 即 ，解得或. 当时，又 ， , ， 所以，所以 为等腰三角形; 当时，又 ，所以，所以 为直角三角形. 综上所述， 为等腰三角形或直角三角形.故选D. 课 堂 考 点 探 究 29 方法二：由 及余弦定理，得 ， 整理得 ，即 ， 所以，所以或，故 为 等腰三角形或直角三角形.故选D. 课 堂 考 点 探 究 30 探究点三 解三角形求最值范围问题 例3 [2025·湖北黄石6月保温练] 的内角,,的对边分别为 , ,，已知 . （1）求 ； 课 堂 考 点 探 究 31 解：方法一（最优解：利用三角形内角和为 ，结合正弦定理求角 度）：由三角形的内角和定理得，由 可 得 . 由诱导公式得，所以 . 在中，由正弦定理知,为 外接 圆的半径，所以，又 ，故， 由二倍角的正弦公式得 ， 又 ，所以，所以，故，解得 . 课 堂 考 点 探 究 32 方法二（利用正弦定理解方程求得的值，可得的值） 由题 意及正弦定理得，又 ，故 ，两边平方得，即 . 因为 ， 所以，所以 ，可得 ，解得或 （舍去），又 ，故 . 课 堂 考 点 探 究 33 方法三（利用正弦定理结合三角形内角和为 求得,, 的关系即可 求）：由及正弦定理得 ， 因为 ，所以，消去得 . 因为 ,，所以或 ， 又 ，故 不成立，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 （2）若为锐角三角形，且，求 面积的取值范围. 解：方法一（最优解：利用为锐角三角形求得 的取值范围， 然后由面积公式求面积的取值范围） 因为是锐角三角形，，所以, . . ，则， 故，故 面积的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 35 方法二（利用为锐角三角形及余弦定理求得边 的取值范围， 结合面积公式求面积的取值范围）由题设及（1）知 的面积 . 因为为锐角三角形，且, ，所以 即 又由余弦定理得，所以解得 ， 所以，故面积的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 36 [总结反思] 破解此类问题的关键:一是观察已知三角恒等式,判断是边往角化还是 角往边化,从而利用正弦定理或余弦定理进行转化;二是把所求的取值 范围或最值问题转化为三角函数问题,利用三角函数的单调性进行求 解,或利用基本不等式、三角函数的有界性进行求解. 课 堂 考 点 探 究 37 变式题 [2022·新高考全国Ⅰ卷] 记的内角，， 的对边分别 为，，，已知 . （1）若，求 ； 解：方法一（直接法） 由已知条件得 ，则 ， 课 堂 考 点 探 究 38 所以，所以 . 由题知，所以，所以 ,所以 ,又，所以 . 方法二（二倍角公式处理直接法） 因为 ，所以 ， 又，所以 . 课 堂 考 点 探 究 39 （2）求 的最小值. 解：由（1）知，，所以 ， ， 又，所以，故 ，故 ， 又，所以 ， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为 . 课 堂 考 点 探 究 40 【备选理由】例1考查辅助角公式、正弦定理、正弦定理边角互化的 应用、两角和的正弦公式等基础知识，考查学生的化归转化能力与 运算求解能力； 例1 ［配例1使用］[2024· 新课标Ⅱ卷］记的内角，， 的 对边分别为，，，已知 . （1）求 . 解：方法一（辅助角公式） 由可得，即 ， 由可得，故，解得 . 教 师 备 用 习 题 41 方法二（同角三角函数的基本关系） 由，，消去 得 ，即 ，解得 ，又，故 . 教 师 备 用 习 题 42 方法三（利用极值点求解） 设 ，则 ，显然当时， . 又，故 ， 因为在开区间上取到最大值，所以必定是 的极值 点，即( A )，故，又 ， 故 . 教 师 备 用 习 题 43 方法四（利用向量数量积公式） 设, ，由题意得 ， 根据向量的数量积公式得,,， 则,，故 , ，可得,，即, 同向共线， 根据向量共线条件，得，故， 又，故 . 教 师 备 用 习 题 44 方法五（利用万能公式求解）: 设，根据万能公式得 ， 整理可得 ，解得 ， 根据二倍角公式得，又 ，故 . 教 师 备 用 习 题 45 （2）若，，求 的周长. 解：由 及正弦定理得 ，又,，则 ， 故，则，故 ， 则 ， 由正弦定理可得，即 ，解得 ,，故的周长为 . 教 师 备 用 习 题 46 例2 ［配例2使用］已知的内角,,所对的边分别为,, ,且 ，，则 是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 [解析] 因为 ，，所以 . 因为，所以由正弦定理得 ，又由余弦定理得 ，所以 ，整理得 ，所以，所以 是等边三角形.故选B. √ 【备选理由】例2考查利用正、余弦定理判定三角形形状的问题; 教 师 备 用 习 题 47 【备选理由】例3考查用和角的正弦公式、二倍角公式等化简、求值， 考查正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、求含 （型）的二次式的最值问题. 教 师 备 用 习 题 48 例3 ［配例3使用］[2025·湖北高中名校联盟5月模拟] 在 中， 内角，，的对边分别是，，，已知 . （1）求 ； 解：因为，所以由余弦定理得 ， 即 ， 所以 ，即 ，所以 ， 因为 ，所以，故，又因为 ， 所以 . 教 师 备 用 习 题 49 （2）求 的取值范围. 解：由（1）知，可得 ，根据 正弦定理，得 , ,所以 , 教 师 备 用 习 题 50 ，所以. 因为，所以 ，所以 的取值范围是 . 教 师 备 用 习 题 作业手册 52 1.在中，, , ，则 ( ) A. B. C.1 D.2 [解析] 因为, , ，所以由正弦定理得 ，即，解得 .故选D. √ ◆ 基础热身 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 2.已知在中，，，分别为内角，，的对边， , ,，则 的值为( ) A. B. C. D. [解析] 在 中，由余弦定理得 ，又 ，所以 ，所 以 .故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 3.[2025·内蒙古赤峰三模]在中，内角，， 的对边分别是 ，，，且，，则 的形状是( ) A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定 [解析] 由余弦定理可得 ，则 . 又因为，所以，所以 是等腰三角形.故选A. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 4.[2025·河南濮阳质检]已知的内角，，的对边分别为 ， ，，若,,成等差数列，且，，则 ( ) A.5 B. C.4 D.3 [解析] 由题意可知， ，由余弦定理可得 ，即 ，可得 .故选B. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 5.[2025·福建福州四检]已知,,分别为的三个内角,, 的对 边，若，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由及正弦定理，得 ，即 ，由余弦定理得 ,又 ，故 .故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 6.（多选题）在中，内角,,的对边分别为,, ，则下列结 论中正确的是( ) A. B. C.若，则 D.若，则 √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 [解析] 取,则 ，可得 ，A选项不正确； 因为 ，所以由正弦定理 得，B选项正确； 若，则可取 , ，则，C选项不正确； 若 ，则，又因为, ，所以，D选项正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 7.[2025·北京东城区二模] 在中，内角，， 所对的边分别 为,,，，，，则 __. [解析] 由正弦定理得，则，由 ， 得，故 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 8.[2025·广西柳州二模] 记的内角,,的对边分别为,, ， 若,,，则 的面积为_ __. [解析] 由余弦定理得，解得 ，所 以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 9.[2024·全国新课标Ⅰ卷] 记的内角，，的对边分别为 ， ，，已知， . （1）求 ； 解：由余弦定理得 ，又 ，故 ， 因为，所以 ，故 ， 又 ，所以 ，又，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 （2）若的面积为，求 . 解：由（1）可得，因为，，所以 ， 故 ，故 . 由正弦定理得，故, . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 由三角形的面积公式可知 的面积为 ， 又的面积为 ，所以，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 10.[2025·浙江金华三模]在中，内角，， 所对的边分别为 ，，，已知,, ，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 [解析] 由正弦定理可得，可得 ， 又,故或，故A，B不满足题意. ,此时 ； 若，则,此时 为三角形中最 小的内角，故 .故C不满足题意，D满足题意，故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 11.[2025·聊城二模]在中，, ，则 的 最大值为( ) A.6 B. C.12 D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 [解析] 由正弦定理可得 ，其 中为的外接圆的半径， 设 的外接圆圆心为，连接， ，如图，则 ． 由向量数量积的几何意义及垂径定理可知 ，当与同向时，取到最大值，最大值为 ，所以的最大值为 .故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 12.（多选题）已知在中，内角,,的对边分别为,, ，若 , ，则( ) A.的周长为12 B.角的最大值为 C.的面积的最小值为 D.的面积的最大值为 [解析] 对于A，由, 及正弦定理得 ,故的周长为 ，选项A正确； 对于B，因为，当且仅当 时等号成立，所以由余 弦定理得 ， √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 时等号成立，因为,，所以 ， 选项B正确； 对于C，，当角接近0时， 的面积也 接近0，所以选项C错误； 对于D， ，由 ,得，且当 时,取得最大值，又 ，当且仅当时等号成立， 所以当,时， 的面积取得最大值，选项D正确. 故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.记的内角,,的对边分别为,,，已知 ，且 ，则 ____. [解析] 由及 ，得 ，整理可得 ， 因为，所以 ，代入 中，得，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 14.[2025·福州一中模拟] 记的内角，，的对边分别为 ， ，，若,，则 的面积为___. 4 [解析] 因为,，所以 ， 化简得,由正弦定理可知 ,可得 由基本不等式可知 ，当且仅 当时等号成立，所以，解得 ， 根据正弦函数的值域可知，则， ，可得 ，解得，所以的面积为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 15.[2025·湖北武昌实验中学适应性考试] 已知,, 分别为锐角三角 形的三个内角,,的对边，且 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 （1）求 ； 解：， 由正弦定理得 ， 在 中， , ，代入上式化简得 ， ，，即 . 为锐角， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 （2）若，求 周长的取值范围. 解：由正弦定理得 , 又 ， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 是锐角三角形，,， , ，可得 , 故,，故 周长的取 值范围为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知的内角,,的对边分别为,, ， . ◆ 能力拓展 ◆ （1）求角 的大小； 解：因为 ，所以 ， 由正弦定理及 ，可得 ， 因为，所以，故 ， 即，又，所以，解得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 （2）设，求的最大值及取得最大值时 的面积. 解：由题意及（1）知，, ， 由正弦定理可得 ， 则, ， 故 ， 其中, ，且 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 78 因为，所以， 又 ，所以当，即 时， 取得最大值1，故的最大值为， 此时 , ， 所以 ， 又 ， 故 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【对点演练】 1.<m></m> 2.7 3.<m></m> <m></m> 4.<m></m> <m></m> 5.<m></m> 或<m></m> 6.<m></m> 1 课堂考点探究 例1（1）D （2）C 变式题1 A 变式题2（1）</m>. （2）<m></m>的周长为</m>. 例2（1）C （2）D 变式题 D 例3（1）</m>. （2）</m>面积的取值范围是<m></m>. 变式题（1） </m>.（2）</m>的最小值为<m></m>. 答 案 核 查 80 基础热身 1.D 2.C 3.A 4.B 5.C 6.BD 7.<m></m> 8.<m></m> 9.（1）</m>.（2）<m></m>. 综合提升 10.D 11.D 12.ABD 13.<m></m> 14.4 15.（1）</m>.（2） </m>周长的取值范围为<m></m>. 能力拓展 16.（1） <m></m>.（2）<m></m>的最大值为<m></m>，此时<m><m></m>. 答 案 核 查 81 $