24.4 数据的分组（课件）-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级人教版数学下册 第二十四章 数据的分析 24. 4 数据的分组 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.经历数据分组的活动，了解组内离差平方和与组间离差平方和的概念． 2.能够按照组内离差平方和最小的分组原则对数据进行分组． 3.借助数据的分组原则解决实际问题． 在社会生活中，分类现象普遍存在.例如，超市里各种商品按用途不同分类摆放，宾馆根据硬件设施、服务水平等分成不同的星级，等等.在实际问题中，当面临的对象复杂多样时，分类往往可以为我们处理问题带来方便.对于一组取值多样的数据，对其进行合理分组，也会有助于我们解决问题. 在之前的学习中，我们已经学会了收集数据、整理数据，还会用平均数、中位数等统计量分析数据整体水平。但在生活与统计实际里，我们常常会遇到数据数量多、数值范围广、大小杂乱的情况。 比如班级全体同学的身高、一周内每日的气温、同学们的体育测试成绩等，直接罗列所有数据杂乱无章，很难快速看出数据集中在哪个范围、哪些数值段人数最多、整体分布有什么特点。 单纯计算平均数无法直观反映数据的分布规律，这时候，就需要用到数据分组的方法。把杂乱分散的数据按照一定的范围划分组别，将所有数据归类整理，就能清晰呈现数据的分布情况，帮助我们快速分析问题、做出判断。 今天这节课，我们就一起来学习数据的分组，掌握分组、划记、制作分组统计表的方法，学会用分组的方式高效整理海量数据。 问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下： 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 你认为哪一部分应聘者应当进入面试? 自然，应当选择笔试成绩好的应聘者进人面试．那么笔试成绩怎样才算好呢？可以有不同的标准．例如，前三名或85分及以上等，不管哪种标准，目的都是把笔试成绩分成好和差两组. 对笔试成绩进行分组，上面提到的标准各有其合理性，在实际中也经常被采用．但这些标准都没有考虑数据自身的特点，这可能导致两个很接近的笔试成绩被分到不同的组. 例如，83分与85分的差距很小，若以“85分及以上”为好成绩的标准，则85分属于好成绩，而83分属于差成绩．而从公司确定面试应聘者的角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较合理的做法.因此，笔试成绩可以根据组内差异最小的原则进行分组. 将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩都挨在了一起. 因此，要使分组后的组内差异最小，只需在已排序数据的基础上寻找分组方法. 可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成9个间隔，如图24.4-1所示. 每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，共有9种分法. 思考 怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？ 在前面的学习中，我们知道，离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组. 一般地，设有n个数据x1，x2，，xn，其平均数记为，则离差平方和为d2=(x1-)2+(x2-)2++(xn-)2.如果把这组数据分为两组，前m(m<n)个数据为一组，后(n-m)个数据为一组，它们的平均数分别记为1和2，离差平方和分别为 d12=(x1-1)2+(x2-1)2++(xm-1)2, d22=(xm+1-2)2+(xm+2-2)2++(xn-2)2, 那么d2=(x1-)2+(x2-)2++(xn-)2 =(x1-1+1-)2+(x2-1+1-)2++(xm-1+1-)2+ (xm+1-2+2-)2 + (xm+2-2+2-)2++(xn-2+2-)2 =(x1-1)2+(x2-1)2++(xm-1)2+(xm+1-2)2+(xm+2-2)2++(xn-2)2+ m(1-)2+(n-m)(2-)2 =d12+d22+m(1-)2+(n-m)(2-)2. 其中d12+d22称为组内离差平方和. 表示两个组内数据的离散程度；记 d122=m(1-)2+(n-m)(2-)2, d122是m个第一组数据平均数、(n-m)个第二组数据平均数关于总体数据平均数的离差平方和，称为组间离差平方和，表示两个组间的差异．根据组内离差平方和最小的原则进行分组时，由于d²不变，既可以按d12+d22最小来分组，也可以按d122最大来分组. 这样，根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较小的应聘者分在同一组．利用计算器或信息技术工具，可以计算出图中的9种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表所示. 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为 {58，64，68，75，76}和{83，85，89，99，92}. 10 教材P184-185 例题 例 10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表24.4-2所示. 解：将表中的数据按从小到大排列，可得 -11 -3 3 3 9 10 12 17 21 22 将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表24.4-3所示. 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为 {北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}和{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}. 结合地理课所学知识，说一说这样分组合理吗? 合理．因为第一组中的城市位于我国北方地区，普遍气温偏低，第二组中的城市位于我国南方，温度较高． 结合地理课所学知识，说一说这样分组合理吗? 方法技巧 特别解读 1. 为减轻计算量，本节只讨论分为两组的情况. 2. 由小到大进行数据排序才能保证分组方案有效. 3. 若有n个数据，则有(n－1)种分组方法. 4. 其他的分组方法还有等距分组、等频分组等. 5. 建议用excel 等电脑软件进行复杂计算. 下表中记录了我国10个省份2020年人均地区生产总值(人均GDP)的数据，数据表明，这10个省份的人均GDP是有区别的.如果要把这10 个省份依据人均 GDP的多少分为两个组，你认为应当如何划分，并说出划分的道理. 省份 序号人均GDP/万元 1 15.68 2 6.24 3 10.11 4 7.18 5 16.42 省份 序号人均GDP/万元 6 12.13 7 7.37 8 10.07 9 8.85 10 7.16 变式训练 分组情况 组内离差平方和 第一组1个，第二组9个 99.546 第一组2个，第二组8个 87.023 第一组3个，第二组7个 70.706 第一组4个，第二组6个 50.822 第一组5个，第二组5个 40.050 第一组6个，第二组4个 36.286 第一组7个，第二组3个 24.713 第一组8个，第二组2个 28.399 第一组9个，第二组1个 72.195 当第一组7 个，第二组3 个时，组内离差平方和最小， 因此分组方法为{省份2，省份3，省份4，省份7，省份8，省份9，省份10} 和{ 省份1，省份5，省份6}. 教材P185 练习 课内练习 1.把表24.4-2中10个城市的平均高温按组间离差平方和最大进行分组，应该如何分?结果和按组内离差平方和最小分组一致吗? 解：∵ =998.1 ∴ 9种分组情况的组间离差平方和如下: 分组 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 第6个间隔 第7个间隔 第8个间隔 第9个间隔 组间离差平方和 376.3 547.6 576.1 669.7 618.5 589.7 549.1 398 170.9 观察组间离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组间离差平方和最大. 因此，按组间离差平方和最大的分法为{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨》和({上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明). 2.某年 5 个城市的人均生活用电量如下表所示. 根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则，把这 5 个城市分为两组. 城市 A B C D E 人均生活用电量/（kW·h） 910 886 847 812 788 解：将表中的数据按从小到大排列，可得788，812，847，886，910. 将它们分成两组共有 4 种情况： 分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第1个间隔 0 5592.75 5592.75 第2个间隔 288 2022 2310 第3个间隔 1760.67 288 2048.67 第4个间隔 5470.75 0 5470.75 所以按照第3个间隔分组时，组内离差平方和最小.分组情况为｛C，D，E｝和｛A，B｝. 基础巩固题 知识点 数据的分组 1.甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩（单位：分）如下：15,18,15,24，按照“组内离差平方和最小” 的方法，将竞赛成绩分成两组． 【解】将4个数据从小到大排序：15,15,18,24.把4个数据分成两组，共有3种情况：第一种情况， 第一组1个数据，离差平方和为0;第二组3个数据 ，平均数是19，离差平方和为 ，故第一种情况的组内离差平方和为.第二 种情况，第一组2个数据 ，平均数是15，离差平方和为0;第二组2个数据 ，平均数是 21，离差平方和为，故第二种情况的组内离差平方和为 .第 三种情况，第一组3个数据 ，平均数是16，离差平方和为 ；第二组1个数据 ，离差平方和为0，故第三种情况的组内离差平方和为 .因为 ,所以第三种情况的组内离差平方和最小，所以将竞赛成绩分成的两组 是,15，， . 关键点拨 按要求分组，分别计算出组内离差平方和并比较大小是解题的关键. 2.【2025广东深圳二模】艺术测评的目的是了解学生艺术素养发展状况，改进美 育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽 取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽取的10位同学的测评 分值的分析过程. 【收集与整理】10位同学的测评分值分组统计如下： 分组方式 组别 测评分值/分 方式一（按平均分相同 分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100 Ⅱ组 80，85，90，90，95 方式二（按分数段分 组） Ⅰ组 80，80，85，85，85 Ⅱ组 90，90，90，95，100 21 【描述与分析】 10位同学测评分值统计量分析表 分组方式 组别 中位数/分 众数/分 方差 组内离差平方和 方式一 Ⅰ组 85 46 360 Ⅱ组 90 90 26 方式二 Ⅰ组 85 85 6 110 Ⅱ组 90 16 说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度．它的值越小，说明这种 分组方式中同组成员之间的水平越接近 22 根据以上信息，解答下面问题： （1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为____ . 36 【解析】扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为 ，故答案为36. （2）____， ____． 85 90 【解析】方式一中Ⅰ组数据从小到大排列，中间数为85，则中位数 ，方式 二中Ⅱ组数据中出现次数最多的是90，则众数 ，故答案为85，90. 【判断与决策】 （3）为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信 息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由． 【解】方式二利于开展小组学习.理由：由题表知，方式二的组内离差平方和小于 方式一，说明方式二中同组成员之间的水平比较接近，更利于开展同级别水平的 训练，促进同学间的互帮互助、共同进步． 23 能力提升题 C 3.某校开展了以“书香校园”为主题的读书活动．八(1)班班长统计了该班其中一个小组的5名学生一学期课外图书的阅读量(单位：本)，分别为5，6，10，14，20．现要依据阅读量把这5名学生分成两组，班长给出了四种分组方式(如下表)，并计算出了不同分组方式的组内离差平方和(保留两位小数)，你认为其中分组最合理的方式是(　　) A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．第四种   分组情况 组内离差平方和 第一种 第一组1个{5}，第二组4个{6，10，14，20}  107.00 第二种 第一组2个{5，6}，第二组3个{10，14，20}  51.17 第三种 第一组3个{5，6，10}，第二组2个{14，20}  32.00 第四种 第一组4个{5，6，10，14}，第二组1个{20}  50.75 4.某环保组织开发了一个AI模型，用于识别不同树种的年龄(单位：年)．现已收集6种树木的年龄数据，并由小到大排序：5，7，12，15，19，35．按照年龄的组内离差平方和最小的原则，将树木分成幼树组和成树组两组． (1)共有________种分组方式； 5 (2)补全下表(保留整数)： (3)第______个间隔得到 的组内离差平方和最小， 因此幼树组为________ __________，成树组为 ______． 分组 第一组离差平方和  第二组离差平方和  组内离差平方和 第1个间隔   455   第2个间隔   315   第3个间隔 26 224 250 第4个间隔       第5个间隔 131     0 455 2 317 63 128 191 0 131 5 {5，7，12， 15，19} {35} 5.如图记录了某地连续5天的日最低气温，若把这5天的最低气温按组间离差平方和最大的原则分成两组，则这两组是__________________和_________________________． {星期一，星期二} {星期三，星期四，星期五} 解：将这5个数据从小到大排序：65，69，70，80，81.计算组内离差平方和(保留一位小数)： 6.5个苹果的直径(单位：mm)分别为65，69，81，80，70，按照“组内离差平方和最小”的原则，把这5个苹果按直径大小分成三组． 分组情况 组内离差平方和 第一组1个，第二组1个，第三组3个  74.0 第一组1个，第二组2个，第三组2个  1.0 第一组1个，第二组3个，第三组1个 74.0 第一组2个，第二组1个，第三组2个 8.5 第一组2个，第二组2个，第三组1个 58.0 第一组3个，第二组1个，第三组1个 14.0 第2种情况的组内离差平方和最小，因此把这5个苹果按直径大小分成三组是{65}，{69，70}和{80，81}． 数据的分组 按组内离差平方和最小分组 按组间离差平方和最大分组 课堂小结 教科书第185页练习 第1，2题 布置作业 $