-4.3 探索三角形全等的条件 同步练习 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

2026年北师大新课标七年级下册数学第四章三角形-探索三角形全等 的条件 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.如图，点B,F,C,E共线，∠B=∠E,BF=EC,添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是() A.AB=DE B.∠A=∠D C.AC=DF D.AC//FD D 第1题图 第3题图 第4题图 2.根据下列已知条件，能作出唯一的△ABC的是() A.AB=3,BC=4,CA=8 B.AB=4,BC=3,∠A=60° C.∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D.∠C=90°，∠B=30°，∠A=60° 3.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边0A、OB上分别取 OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC,由此作法便 可得△NOC≌△MOC,其依据是() A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 4.如图，∠MAB为锐角，AB=a,点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d,BC=x.若△ABC的形状、 大小是唯一确定的，则x的取值范围是() A.x=d或x≥a B.x≥a C.x=d D.x=d或x>a 5.如图，在△ABC中，点F在边AB上，EC=AC,且CF,EA的延长线交于点D, 若LBCD=∠ACE=LDAB,则DE=() A.DC B.BC C.AB D.AE+AC 第1页，共7页 6.如图，在△ABC与△AEF中，A,C,E三点在一条直线上，∠AEF+∠BAF=180°，∠BCE=LBAF, AB=AF.若BC=24,EF=14,则CE的长为() A.10 B.14 C.24 D.8 B 第5题图 第6题图 第7题图 7.如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等，从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合 条件的点P,则点P有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图，AB=12m,CA1AB于点A,DB1AB于点B,且AC=4m,点P从B向A运动，每分钟走1m,点 Q从B向D运动，每分钟走2m,P、Q两点同时出发，运动()分钟后，△CAP与△PQB全等. A.2 B.3 C.4 D.8 D E Q A D C B P 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在△ABC中，AB=AC=24,BC=16,点D为AB的中点.点P在线段BC上以每秒4个单位长度的 速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A以每秒a个单位长度的速度运动.设运动时间为t 秒，若以点C,P,Q为顶点的三角形和以点B,D,P为顶点的三角形全等，且LB和∠C是对应角，则a的值 为() A.4 B.4或2 C.6 D.4或6 10.如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB,点D是AC的中点.将一块锐角为45°的直角三 角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A,D重合，连接BE,EC.下列判断：①aABE兰△DCE; ②BE=EC;③BE⊥EC;④S.AEc=S。AEB其中，正确的有() 第2页，共7页 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图所示的是由6个边长相等的正方形组合而成的图形，则∠1+∠2+∠3=一· A E B 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，在△ABC中，CD1AB于点D,BE⊥BC交CD延长线于点E.若EC=AB,△ABC的面积是8，则 BC=_ 13.如图所示，已知四边形ABCD中，AB=12cm,BC=8cm,CD=14cm,∠B=∠C,E为线段AB的中 点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动.当点Q的运 动速度为时，能够使△BPE与△CPQ全等， 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,过点B作BD1AB,且BD=AB,延长BC至点E,使CE= BC,连接DE并延长交AC边于点F,若DE=EF,则AC=一 15.如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C,△ABC的边上有两个动点D,E,点D以1cm/s的速度从点A 出发，沿AC→CB方向移动到点B;点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA方向移动到点A。两动点中 有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点。过点D,E分别作DM1PQ,EN L PQ,垂足分别为点M, N。若AC=6cm,BC=8cm,运动时间为ts,则当t的值为时，以点D,M,C为顶点的三角形与以 点E,N,C为顶点的三角形全等。 B M E D EB 第14题图 第15题图 第3页，共7页 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题9分)如图，己知∠，∠B和线段a.求作△ABC,使∠A=L,∠B=∠B,BC=a. 17.(本小题9分)如图，Rt△ABC的直角顶点C在直线l上，AC=BC,过A,B两点分别作直线的垂线，垂 足分别为D,E. (1)请你在图中找出一对全等三角形，并加以说明： (2)若BE=3,DE=5,求AD的长. C D 18.(本小题9分)如下图，BE,CF是△ABC的高，它们相交于点O,点P在BE上，点Q在CF的延长线上，且 BP=CA,QC=AB. (1)求证：△ABP≌△QCA; Q (2)PA和AQ的位置关系如何？请写出证明过程. 第4页，共7页 19.(本小题9分)1)己知：如图，点A,D,C,B在同一条直线上，AD=BC,AE=BF,CE=DF求证： AE /BF. D (2)如图，己知B,C,E三点在同一直线上，且AB=AD,AC=AE,BC=DE若∠1+∠2+∠3=94°，求 ∠3的度数. 20.(本小题9分)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE=BA,∠E=LC,若 DE-BD,AD=8,BD=10,求△BDE的面积. 0 E B C 21.(本小题10分)如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AE=AC,AF1CB,垂足为点F. (1)求证：△ABC≌△ADE: (2)求LFAE的度数； B (3)求证：CD=2BF+DE. D A E 第5页，共7页 22.(本小题10分)△ABE和△AFC均为等腰直角三角形，∠EAB=∠FAC=90°， (1)如图1，连接EC,BF,EC与BF交于点D,请问EC,BF有怎样的数量和位置关系？为什么？ (2)如图2，连接EF,N是EF的中点，连接NA并延长交BC于点M,AM与BC有怎样的位置关系？为什么？ A B BM 图1 图2 23.(本小题10分)【阅读理解】 如图1，△ABC中，若AB=10,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得 到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,请根据小明的方法思考： 图1 图2 图3 图4 (I)由己知和作图能得到△ADC兰△EDB的理由是 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA (2)利用三角形的三边关系可以确定AE的取值范围，从而可以得到AD的取值范围是 A.2<AD<18 B.2<AD<9 C.1<AD<18D.1<AD<9 (3)【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和 所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 第6页，共7页 如图2，AD是△ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠BAE+∠CAF=180°，小明类比图1的方法，延长 AD到点M,使DM=AD,连接BM,得到aADC≌·MDB,如图3，试判断线段AD与EF的数量关系，并说 明理由， (4)如图4，在(3)的条件下，若LBAE=LCAF=90°，延长DA交EF于点G,AD=2,AG=3,则△ABC的 面积为· 第7页，共7页 2026年北师大新课标七年级下册数学第四章三角形---探索三角形全等的条件 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，点，，，共线，，，添加一个条件，不能判断≌的是(    ) A. B. C. D. 第4题图 第3题图 第1题图 2.根据下列已知条件，能作出唯一的的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，过角尺顶点作射线，由此作法便可得，其依据是(    ) A. B. C. D. 4.如图，为锐角，，点在射线上，点到射线的距离为，若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是  (    ) A. 或 B. C. D. 或 5.如图，在中，点在边上，，且，的延长线交于点，若，则(    ) A. B. C. D. 6.如图，在与中，，，三点在一条直线上，，，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 第7题图 第6题图 第5题图 7.如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8.如图，，于点，于点，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，、两点同时出发，运动分钟后，与全等． A. B. C. D. 第10题图 第8题图 第9题图 9.如图，在中，，，点为的中点点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动设运动时间为秒，若以点，，为顶点的三角形和以点，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，则的值为(    ) A. B. 或 C. D. 或 10.如图，在直角三角形中，，，点是的中点．将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与，重合，连接，下列判断：；；；其中，正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图所示的是由个边长相等的正方形组合而成的图形，则          ． 第13题图 第12题图 第11题图 12.如图，在中，于点，交延长线于点若，的面积是，则          ． 13.如图所示，已知四边形中，，，，，为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动当点的运动速度为          时，能够使与全等． 14.如图，在中，，，过点作，且，延长至点，使，连接并延长交边于点，若，则           ． 15.如图，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点，，点以的速度从点出发，沿方向移动到点点以的速度从点出发，沿方向移动到点。两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点。过点，分别作，，垂足分别为点，。若，，运动时间为，则当的值为          时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等。 第14题图 第15题图 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分如图，已知，和线段求作，使，，． 17.本小题分如图，的直角顶点在直线上，，过，两点分别作直线的垂线，垂足分别为，． 请你在图中找出一对全等三角形，并加以说明； 若，，求的长． 18.本小题分如下图，，是的高，它们相交于点，点在上，点在的延长线上，且，． 求证：≌； 和的位置关系如何？请写出证明过程． 19.本小题分已知：如图，点，，，在同一条直线上，，，求证：． 如图，已知，，三点在同一直线上，且，，若，求的度数． 20.本小题分如图，在中，，是高，是外一点，，C.若，，，求的面积． 21.本小题分如图，，，，，垂足为点． 求证：≌； 求的度数； 求证：． 22.本小题分和均为等腰直角三角形，． 如图，连接，，与交于点，请问，有怎样的数量和位置关系为什么 如图，连接，是的中点，连接并延长交于点，与有怎样的位置关系为什么 23.本小题分【阅读理解】 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到的理由是__________； A. B. C. D. 利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______； A. B. C. D. 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 如图，是的中线，，，，小明类比图的方法，延长到点，使，连接，得到，如图，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 如图，在的条件下，若，延长交于点，，，则的面积为          ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】A 5.【答案】C 6.【答案】A 7.【答案】C 8.【答案】C 9.【答案】D 10.【答案】C 11.【答案】135° 12.【答案】4 13.【答案】3cm/s或号cms 14.【答案】1或或12 15.【答案】12 16.【答案】解：作法：①画一条直线EF,在EF上取一点C ②以C为顶点，CF为边作∠FCM=B. ③以C为顶点，CM为边在∠FCM外侧作∠MCN=a· ④在射线CE上截取CB=a: ⑤以B为顶点，BC为边作∠ABC=B,BA交CN于点A,则△ABC就是所求作的三角形， 第1页，共1页 如图所示： N A M B F B E 17.【答案】【小题1】 △ACD≌△CBE:∠ACB=90°，·∠ACD+∠ECB=90°. :AD⊥CE,BE⊥CE,·∠ADC=∠CEB=90°.·∠ACD+∠DAC=90°.÷∠ECB=∠DAC I∠ADC=∠CEB, 在△ACD和△CBE中， ∠DAC=∠ECB,·△ACD≌△CBE AC=CB, 【小题2】 :△ACD≌△CBE,·CD=BE=3,AD=CE 又：CE=CD+DE=3+5=8,AD=8 18.【答案】【小题1】 证明：：BE、CF是△ABC的高，即∠AEB=90°，∠AFC=90°， ·∠ABP+∠BAE=90°，∠ACQ+∠BAE=90°， ·∠ABE=∠ACQ, 在△ABP与△QCA中， BP=CA ∠ABP=∠ACQ BA=CQ ·△ABP≌△QCA(SAS) 【小题2】 解：PA⊥AQ, 证明如下：由△ABP≌△QCA,得∠BAP=∠Q 第1页，共1页 由题意，得∠Q+∠BAQ=90°， ·∠BAP+∠BAQ=90°，即∠PAQ=90°， ·PA⊥AQ 19.【答案】【小题1】 【证明】：AD=BC, ·AD十CD=BC十CD,即AC=BD. (AC=BD, AE-BF, 在△ACE和△BDF中， CE=DE ·△ACE≌△BDF(SSS)),∠A=∠B,·AE//BF. 【小题2】 (AB=AD, 【解】在△ABC和△ADE中， AC-AE, BC=DE ·△ABC≌△ADE(SSS),·∠ABC=∠1，∠BAC=∠2. :∠3=∠ABC+∠BAC,·∠3=∠1+∠2 :∠1十∠2+∠3=94°，2∠3=94°，÷∠3=47. 20.【答案】【解】如图，在BD上截取BF=DE.在Rt△ABC中，：∠ABC=90°， ·∠BAC+∠C=90 :BD是△ABC的高，·∠ADB=90°，÷∠BAD+∠ABD=90°，÷∠ABD=∠C 又：∠E=∠C,·∠ABD=∠E AB=BE, 在△ABF和△BED中， ∠ABD=LE·△ABF≌△BED SAS BF=DE, 第1页，共1页 DE=BD'AD=8 BD=10,:BF=DE=4, S△BDE=S△ABR=BF,AD=号X4X8=161 21.【答案】【小题1】 :∠BAD=∠CAE=90°，÷∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，÷∠BAC=∠DAE AB=AD, 在△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAEH△ABC≌△ADE(SAS): AC-AE, 【小题2】 :∠CAE=90°，AC=AE,÷∠E=45°.(1)知△ABC≌△ADE, ·∠BCA=∠E=45o.:AF⊥CB,·∠CFA=90o,÷∠CAF=45°， ·∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°； 【小题3】 如图，延长BF到点G,使得FG=FB.:AF⊥BG,·∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中， (BF=GE ∠AFB=∠AFG,·△AFB≌△AFC(SAS,AAB=AG,∠ABF=∠G.:△ABC≌△ADB AF=AF ·AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,·AG=AD,∠ABF=∠CDA,·∠G=∠CDA在 1∠GCA=∠DCA △CGA和△CDA中， ∠CGA=∠CDA·△CGA≌△CDA, AG=AD, CG=CD.CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,:CD=2BF+DE. R 22.【答案】【小题1】 第1页，共1页 【解】BF=EC且BF⊥EC理由如下：如图1，设AB与CE交于点H, :△ABE和△AFC均为等腰直角三角形，∠EAB=∠FAC=90°， ·AB=AE,AC=AF,∠FAC+∠CAB=∠EAB+∠CAB,·∠FAB=∠CAE AB=AE 在△AFB和△ACE中， ∠FAB=∠CAE,·△AFB≌△ACE SAS AF-AC ÷BF=EC,∠ABF=∠AEC :∠AEC+∠AHE=90°，∠AHE=∠BHD,·∠ABF+∠BHD=90°，÷∠BDH=90°， :BF⊥EC. B 图1 【小题2】 BC⊥AM,理由如下：如图2，过点F作GF/AE,交MN延长线于点G, :∠G=∠NAE,∠GFN=∠AEN,∠GFA+∠FAE=180°.：N是EF中点，÷FN=EN. t ∠G=∠NAE, ∠GFN=∠AEN,÷△GNF≌△ANE AAS,·( GF-AE 在△GNF和△ANE中， FN=EN, :∠EAB=∠FAC=90°，÷∠BAC十∠FAE=180°，·∠GFA=∠BAC. :△ABE和△AFC均为等腰直角三角形，∠EAB=∠FAC=90°，·AB=AE,AF=AC, :GF=AB GF=AB :∠FAG=∠ACB 在△AFG和△CAB中， ∠GRA=∠BAC,&△APG≌△CA SAS} AF-AC, 第1页，共1页 :∠FAC=90°，·∠FAG+∠CAM=90°，·∠ACB+∠CAM=90°，·∠AMC=90°，AM⊥BC G F E A BM C 图2 23.【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 EF=2AD, 延长AD到M,使得DM=AD,连接BM,如图， E -·M ·AM=AD+DM=2AD, :AD是·ABC的中线， ·BD=CD, 在&ADC和&MDB中， (BD=CD ∠BDM=∠CDA, DM=DA 第1页，共1页 ·△ADC≌△MDB(SAS), ·BM=AC, AC=AF, ÷BM=AF, :·ADC≌aMDB, ÷∠MBD=∠ACD, :BM/AC, ·∠ABM+∠BAC=180。, :∠BAE+∠CAF=180, :∠BAC+∠FAE=360。-(∠BAE+∠CAF)=360。-180。=180。, ·∠ABM=∠FAE, 在△ABM和△EAF中， (AB=AE ∠ABM=∠EAF, ABM=AF :△ABM≌△EAF(SAS), :AM=EF, AM=2AD, ·EF=2AD; 【小题4】 6 第1页，共1页