多三角形背景下解三角形课件——2027届高三数学一轮复习

第29讲 多三角形背景下解三角形 1 【热点解读】 解三角形是高考数学的必考内容，其中在三角形中增 加高线、中线、角平分线以及其他等分点条件在最近几年的高考题 中出现的频率很高，这类问题一般需要综合使用正弦定理和余弦定 理解决. 2 探究点一 解含分点的三角形 例1 [2025·山东省实验中学二模] 如图，在 中，， ， ，点在边 的延长线上. （1）求 的面积； ［思路点拨］在中利用正弦定理求出 ，再利用两角和的正 弦公式求出 ，然后利用三角形的面积公式可求得结果. 课 堂 考 点 探 究 3 解：在中，由正弦定理得 ， 即，可得 . 因为 ， ，所以 . 因为 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 4 （2）若，为线段上靠近 的三 等分点，求 的长. ［思路点拨］思路一：由题意可得 ，所以 ，代值计算 即可； 思路二：在中利用余弦定理求出，则可求得 ，再在 中利用正弦定理求出，从而可求出，然后在 中 利用余弦定理可求得 . 课 堂 考 点 探 究 5 解：方法一：因为为线段上靠近 的三等 分点，所以 ,所以 , 所以 ， 则 . 课 堂 考 点 探 究 6 方法二：在 中，由余弦定理得 ，可得 ， 因为为线段上靠近 的三等分点，所以 . 因为，所以 ，所以， 又 为锐角，所以 . 在 中，由余弦定理得，所以 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 解含分点的三角形的策略：如图，在中， 为边上一点，且，若已知 ， 及，求 . （1）向量法： 两边平方即可； （2）余弦定理，互补的两个角的余弦值互为相反数，即 . 课 堂 考 点 探 究 8 变式题 在中，内角,,的对边分别为,, .已知 . （1）求 ； 解：由已知及正弦定理得 ， 因为，所以，即 ， 又因为，所以，故 . 课 堂 考 点 探 究 9 （2）若，点在边上，,，求 的面积. 解：由知， ，则 ， 即，化简得 . 在中，由余弦定理得，在 中，由余弦 定理得 ， 课 堂 考 点 探 究 10 由，得 ，则 ，化简得 ， 则，即，可得 ，则 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 探究点二 解含角平分线的三角形 例2 [2026·聊城模拟] 在中，内角，， 所对的边分别为 ，，，且 . （1）求 ； ［思路点拨］由已知条件结合余弦定理，求出，可得 ； 解：因为 ，所以 ，所以， 所以， 又 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 12 （2）若的平分线交于点，且，求 . ［思路点拨］根据角平分线的性质得，结合余弦定理解出, 的值，由列出等式，即可求解 的长度. 课 堂 考 点 探 究 13 解：因为，所以. 因为平分 ，所以，即， 又由（1）知 ，所以， . 因为 ， 所以 ， 整理得 . 课 堂 考 点 探 究 14 [总结反思] 在中，平分，则涉及角平分线 的问题可用以下方 法处理： （1）角平分线定理： ； （2）利用两个小三角形的面积和等于大三角形的面积来处理，即可 由，得到 ，即 （角平分线长公式）求解． 课 堂 考 点 探 究 15 变式题 [2025·武汉武昌区5月质检] 记的内角,, 的对边分 别为,,，已知，，内角的平分线交于点 ，且 . （1）求 的长； 解：由，得，因为 ， 所以 ，所以，则. 因为平分内角，所以在 中，由余弦定理得 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 16 （2）求 的面积. 解：由（1）知，则，由 ， 得 . 因为平分内角，且 ，所以 ， 则，解得 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 17 探究点三 解平面几何多三角形问题 例3 如图，在平面四边形中， ， ，平分 ， . （1）求 ； ［思路点拨］思路一：将原式变形，再利用余弦定理并结合角的范 围即可求出； 思路二：将原式变形，再利用正弦定理与余弦定理并结合角的范围 化简求解. 课 堂 考 点 探 究 18 解：方法一：因为 ，所以 ，则 . 在 中，由余弦定理得 , 因为，所以 . 课 堂 考 点 探 究 19 方法二：因为 ，所以， 在 中，由正弦定理和余弦定理得 ， 所以 ， 将 代入上式， 整理得 ， 由题意可得 ，所以 . 因为，所以 . 课 堂 考 点 探 究 （2）当取得最大值时，求 . ［思路点拨］利用余弦定理将用 表示出来，再利用均值不等 式确定取得最大值时的长度，从而得到取得最大值时 的 长度. 课 堂 考 点 探 究 21 解：由（1）可得，因为平分 ，所 以 . 因为,，所以在 中，由余弦定理 得 ， 在 中，由余弦定理得 ， 课 堂 考 点 探 究 22 所以 ， 当且仅当时，等号成立，此时 取得最大值， 即 取得最大值， 故当取得最大值时， . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 多三角形背景解三角形问题的求解思路:（1）把提供的平面图形拆 分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解; （2）寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.解题 时,有时要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、 三角形角平分线的性质,把这些性质与正弦、余弦定理相结合,才能顺 利解决问题. 课 堂 考 点 探 究 24 变式题 [2025·福建泉州四校模拟] 在中，内角，， 的对 边分别为，，，且 . （1）求 ； 课 堂 考 点 探 究 25 解：， 在 中，由正弦定理得 ， 即 ， ， ， 即，又 ， ,即 . ， ， 课 堂 考 点 探 究 26 （2）如图所示，为外一点，，,四点共面 ， ，，，求 . 课 堂 考 点 探 究 27 解：， 设 ， 则 . 在 中，由正弦定理得， ， . 在中，由正弦定理得 ， ， ， ,， 解得 ，即 . 课 堂 考 点 探 究 28 例1 ［配例1使用］[2025·江苏南京二模] 记的内角，， 的对边分别为，，.已知 . （1）求 ； 解：由及正弦定理得 ，得 ，所以 ， 又 ，所以 . 【备选理由】例1是含分点的三角形问题,考查正弦定理边角互化的应 用、余弦定理解三角形等基础知识,考查运算求解能力与化归转化思想; 教 师 备 用 习 题 29 （2）若，，求 . 解：如图，因为， ，所以 ，， 在 中，由余弦定理得 ，即 . 在中，由余弦定理得 ， 即 ，所以 ，得 ， 教 师 备 用 习 题 30 由可得 ，代入①得 ，由 可得. 在 中，由余弦定理得 . 教 师 备 用 习 题 例2 ［配例2使用］[2025·湖北宜昌一中宜荆荆恩四校联考] 如图所 示，在中，，平分，且 . （1）若，求 的长度； 【备选理由】例2是含角平分线的三角形问题,考查了正弦定理解三角形、 三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周 长的最值或范围等知识,考查运算求解能力与化归转化思想; 教 师 备 用 习 题 32 解：因为 ，所以由正弦定理得 . 在中，由正弦定理得 ， 在中，由正弦定理得 ， 因为平分，所以 ， 又 ，所以，所以 . 因为,，所以，得，所以 . 教 师 备 用 习 题 33 （2）求 的取值范围； 解：因为 ，设 ， 又， ，所以 ， 所以，所以 . 所以 ， 因为，所以 ，所以 . 教 师 备 用 习 题 34 （3）若，求为何值时， 最短. 解：由余弦定理得 . 因为，所以，又 ，所以 ， 所以 . 教 师 备 用 习 题 35 方法一：令，则 ， 所以 ， 所以当时， 取得最小值4， 即当时，取得最小值4，此时 ， 所以 . 因为，所以，所以 ， 由（2）知 ，所以，即当时， 最短. 教 师 备 用 习 题 方法二： ， 当且仅当，即时取等号，此时 ，即 ，故当时， 最短. 教 师 备 用 习 题 例3 ［配例3使用］[2025·湖北高中名校联盟联考] 如图，在平面四 边形中，，，， ． （1）若与交于点，且，求 的长； 【备选理由】例3是平面几何多边形问题，考查余弦定理、求三角形的 边长、求四边形周长的最值、几何图形中的计算等知识. 教 师 备 用 习 题 38 解：在 中,由余弦定理得 , 所以. 因为， ，所以 . 由可知, , 所以 . 教 师 备 用 习 题 39 （2）求四边形 周长的最大值． 解：因为 ,所以 , 所以 , 故，当且仅当 时等号成立，故 四边形周长的最大值为 . 教 师 备 用 习 题 40 作业手册 41 1.[2025·吉林长春二模] 在中，,,分别为内角,, 所对的 边，且，内角的平分线交于点， . ◆ 基础热身 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 42 （1）求角 的大小； 解：由 和正弦定理，可得 ， 因为 ， 所以 ，即 ， 又，所以 .因为 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 43 （2）若，求 的长. 解：因为平分，所以，所以 . 因为 ， 所以 ，即 ，解得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 44 2.如图，平面四边形中，， ， ，且 为锐角. （1）求 的长； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 45 解： ， , ， ， 又为锐角， . 在 中，由余弦定理可得 ， . ，是四边形外接圆的直径， 是 外接圆的直径，利用正弦定理得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 46 （2）求 的面积. 解：由， ， ，，可得, , ，，因此 ，即的面积为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 47 3.[2026·浙江名校协作体联考] 在中，,,分别是内角,, 所对的边，且满足 . （1）求角 的大小； 解：因为,所以由正弦定理可得 ，所 以, 又 ,所以, 化简得 , 又，即，所以.因为，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 48 （2）点是边上一点，且满足,，求 的值. 解：因为,所以. 在 中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得 ，所以 , 又，所以， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 49 又 ,所以, 即 ，所以 ， 所以. 因为，所以 ， 所以或,解得或. 当时， ，所以； 当时，,所以 .综上，的值为 或2. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 4.[2025·湖南怀化二模] 在中，内角,,的对边分别为,, ， 且 . （1）求 ； ◆ 综合提升 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 51 解：由，得 . 方法一：由正弦定理得 ，因为 ，所以 ，所以 ，于是 ， 又，所以，又 ，所以 . 方法二：由余弦定理得 ，化简得 ，由余弦定理得 ， 又，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 52 （2）若,，点在边上，且平分，求 的 面积. 解：由平分，得 . 方法一： ， 又 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 53 方法二：由 ，得 ， 即，解得 ， 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 54 5.[2026·武汉9月调研] 已知在中， , , . （1）求角 的大小； 解：因为，所以 , 即 ,即 , 又 ,所以 ， 又,所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 55 （2）求 ； 解：因为, ， 所以由余弦定理可得 , 再由余弦定理可得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 56 （3）若点在线段上，且满足，求 的长. 解：由（2）可得 ,所以 . 在中，因为 , 所以 , 由正弦定理可得,即,解得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 57 6.[2026·青岛调研] 如图，在平面四边形 中， ，，.的内角，， 的对边分别为，，，且满足 . （1）求 ； 解：由，结合正弦定理得 ， 整理得，所以由余弦定理得 ， 又 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 58 （2）求的内切圆半径 的取值范围. 解：在中，，， ，由 余弦定理得， 所以， 所以结合（1）得 ，即 ，得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 59 在中，由 ， 得 . 由正弦定理得 ，所以 ，， 又 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 因为，所以 ，则 ， 所以 ， 所以，即的取值范围是 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 课堂考点探究 例1（1）</m>.（2）<m></m>. 变式题（1） </m>.（2）</m>. 例2（1）<m></m>.（2）</m>. 变式题（1）<m></m>.（2）</m>. 例3（1）<m></m>. （2）m></m>. 变式题（1）</m> .（2 ） </m> . 答 案 核 查 62 基础热身 1.（1）<m></m>.（2）<m></m>. 2.（1）<m></m>.（2）<m></m>的面积为<m></m>. 3.（1）<m></m>. （2）</m>的值为<m></m>或2. 综合提升 4.（1）<m></m>.（2）<m></m>. 5.（1）</m>.（2）<m></m>.（3）</m>. 6.（1）<m></m>.（2） </m>的取值范围是<m></m>. 答 案 核 查 63 $