解三角形中多变量消元策略课件——2027届高三数学一轮复习

解三角形中多变量消元方法 1 解三角形中，经常面临三变量齐上阵的情形，处理此类问题， 通常还是绕不开消元策略，把多变量问题转化为单变量函数求最值， 或利用常见的不等式求最值.在此过程中，三角形内角和定理是一个 隐藏的消元条件.此类问题的消元，需要观察条件的结构，与所掌握 的知识结构产生联系，从代数或几何等角度产生联想与转化，达到 消元的目的. 2 例1 [2025·江苏南通押题卷] 在中，内角，， 所对的边分 别为，，，且 . （1）求 ； 策略一 角度消元 3 解：（正弦定理 两角和的正弦公式）由题意知 ， 又由正弦定理得，所以 . 因为 ，所以 ，所以 ， 所以， 又，所以 ，所以，又，所以 . 4 （2）已知为边上的一点，且,求 的取值范围. 解：（化边为角正弦定理积化和差公式 角度消元法）因为 , ，所以， 在 中，由正弦定理得，所以 . 在中， ，所以 ， 5 因为，所以,所以 ， 所以，所以的取值范围是 . [总结反思] 此类问题常利用正弦定理化边为角，再利用三角形内角和定理与三 角恒等变换消元化简，转化为某个角的正弦、余弦或正切函数，根 据函数单调性或基本不等式求出其范围或最值. 7 自测题 [2026·菏泽期中] 在 中，已知 ，，则 的面积为 ____. 48 [解析] 因为 ，所以 ，其中, 令 为锐角，则由可得 因为 ， ， 所以 ， 8 又，所以 . 因为， 所以 ，故 ，所以 ，所以 ， ， 因为 ， ，所以 ，故， 所以，所以 . 由余弦定理可得，所以，故 . 例2 [2025·广东茂名一中保温卷] 已知在中，内角,, 所对 的边分别为,,，且 . （1）若，求 ； 解：（正弦定理余弦定理消元法解方程组）在 中，由 及正弦定理，得，整理得 ， 因为，所以由余弦定理得 ， 即，联立①②解得， ， 因此 ，则，所以 . 策略二 边长消元 10 （2）求 的取值范围. 解：（代入消元二次函数求值域）由（1）知 ，则 ，且 ， 由，得，即 ， 因此，所以 的取值范 围是 . 11 [总结反思] 解三角形问题中，边长消元是一种通过减少边的变量个数来简化问 题的方法，一般通过正弦定理、余弦定理或三角恒等变换，先化角 为边，再将三角形边长关系转化为单一变量的函数，再利用基本不 等式或函数性质求解，常用的方法有：代入消元、齐次化消元、引 入辅助变量消元等. 12 自测题 [2025·福建泉州安溪一中、养正中学、泉州实验中学预测] 在中，内角，，所对的边分别为，， ，已知 ，，则的内切圆半径 的最大 值为___. [解析] 因为，所以由正弦定理可得 . 因为，所以， ，利用余弦定理，可得 ，所以 ， 又，且 ， 所以， 13 故 ，当且仅当 时 等号成立，所以的内切圆半径的最大值为 . 例3 （多选题）[2025· 全国一卷］已知的面积为 ， ， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 由 ，得 ，则 ，所 以，故A正确； √ √ √ 策略三 混合消元 15 设，， , 因为且 ,所以， 若，则 为锐角，又， 所以为锐角三角形，则 ， 故，则,即 ，则 ，矛盾，故 ， 则， 故 ， 则,因为，所以 ， 所以，得，故 ，则 ，故B正确； ，则 ,故C正确； ，故D错误.故选 . [总结反思] 在复杂的三角条件中，会综合应用三角知识，重要是突破消元的基 础上，找到特殊值、值域有界性、分类讨论、几何意义等知识和方 法解决问题. 18 自测题 1.[2026·湖南师大附中月考]已知中，内角,, 的对边分别为 ,,，且 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 取,，则, ， 满足，此时 ，故选项A错误； 由 ，得 ，整理 得， √ 19 设, ，则， 所以在 上单调递减， 因为，所以 ，所以 ，所以, ,所以， 又在上单调递增，在 上单调递减， 所以, ，即 , ，所以 ，故选项B错误； 因为，所以 ，所以， 又 ，所以 ，所以 ，故选 项C错误； 因为，且, ，所以， 由正弦定理知， ，所以 ， 故选项D正确.故选D. 2.在中，若，是锐角，内角，，的对边分别是，， ， 且,,，则 的面积是___. 6 [解析] 由,,，得 ， 因为，所以 可化为 ， 又 ，所以 ， 所以 ，所以原式可化为 ，即. 若，则， 是锐角，所以， 所以 ，， 22 即, ，又,， 因此式不成立. 若，则， 是锐角，所以，所以 ，，即 , ， 又,，因此式不成立. 若，则 , 所以, ，因此 式成立，此时， 所以的面积是 . 作业手册 24 一、单选题 1.[2026·河北衡水枣强中学等校9月质检]在中，内角，， 所对的边分别为，，，且，则 的值为 ( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 [解析] 因为，所以由正弦定理得，又 ， 所以由余弦定理得 ，则 .故选A. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.[2026·江苏省常州高级中学期初检测]在中，已知 , ,，则边 的长为( ) A. B. C. D. [解析] 由正弦定理得，因为, ，所以 ，化简得， 又 ，所以由余弦定理得， 将①与②联立消去 ，可得 .故选D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 3.[2026·湖南名校联考联合体一联]记的内角,， 的对边分 别为,,，若,，且边 上的高为1，则 ( ) A. B.1 C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 [解析] 由及正弦定理得 ， 又，所以，则，由 得 . 由得，则 ，根 据余弦定理得 ，整理 得，解得 （负值舍去）.故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 4.[2026·山西大同平城区9月质监]在中，内角,, 的对边分别 为,,，若，则 的最大值为( ) A. B. C. D. [解析] 在中，由余弦定理结合 ，得 ，当且仅当 ，即时等号成立，由此可知为锐角， 而 在上单调递减，所以，所以的最大值为 . 故选D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 5.[2025·福建漳州第二次质检]在中，内角，， 的对边分别 为，，，若,,成等差数列，则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 [解析] 因为,,成等差数列，所以 ，则 ， ，所以 ，所以，且 ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立.故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 二、多选题 6.的内角，,的对边分别为,, .已知 ,且 ，则下列结论正确的是( ) A. B. C.的周长为 D.的面积为 [解析] 对于A，因为 ，所以由正弦定理得 ，又，所以，即 ，故A正 确； √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 对于B，由,，可得 ， 则 ，故B正确； 对于C，由余弦定理得，又， ，所以，整理得,所以 的周长为 ，故C错误； 对于D，由上分析知，，，所以,， 则 的面积为，故D正确. 故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.在中，内角,,所对的边分别为,,，且 ， 则下列说法正确的是( ) A. B.若且存在且唯一，则或 C.若，则 D.若，则面积的最大值为 √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 [解析] 对于A，由 ， 得 ， 即 ，因为 ，所以，又，所以 ，故A错误； 对于B，由正弦定理得，则 ，又 存在且唯一，所以或，则 或 ，故B正确； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ， 即 ，所以，即， 又为三角形的内角，所以 ，则，所以，故C正确； 对于D，若 ，则由余弦定理得， 即 ，所以， 即 ，当且仅当时取等号， 所以 的面积为， 故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.[2025·贵州省毕节市二模]在中，内角,, 所对的边分别为 ,,，已知， ，则 ( ) A. B.的周长的最大值为 C.当最大时，的面积为 D.的取值范围为 √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 [解析] 对于A选项，因为 ， 所以由正弦定理可得 ，整理可得 ，由余弦定理得 ，又 ，所以，故A错误； 对于B选项，因为 ，所以由余弦定理和基本不等式可得 ， 所以，当且仅当 时，等号成立，故的周长为，即 的周长的最大值为 ，故B正确； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 对于C选项，由正弦定理可得，则， 当且仅当时， 取最大值，此时， ，故C正确； 对于D选项，由正弦定理可得 ，则 ，，所以， 因为，所以 ，则，故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题 9.锐角三角形的内角，，的对边分别为,, ，若 ,则 __. [解析] 由题意可得 , ，可得 , ， ，， 可得 . ,,，可得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 10.[2026·河北衡水第二次调研] 在中，若 ， ，则 _ ___. [解析] 由正弦定理得，因为 ，所以 .由，得 . 将①②代入，得，得 ， 所以，则或. 因为 ，所以由大边对大角得，所以为锐角， 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 11.[2025·河南部分高中四模] 在中，内角，， 的对边分别 为，，，内角的平分线与交于点，若，则 的 取值范围是______. [解析] 设 ，则 ，因为 ，所以 ，则 ，又,,，所以. 在 中，由正弦定理可得,则 ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 因为 ，所以 . 因为，所以，故 ，所以 ，所以的取值范围是 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 四、解答题 12.[2026·广东深圳中学摸底] 在中，内角，， 所对的边分 别为,,，且 . （1）求角 的大小； 解：由，可得 ，由正弦定理 可得 ， 所以， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 又 ， 所以 ， 所以 ， 又，所以，所以 . 因为 ，所以，所以，则 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）若，为锐角三角形，求 的取值范围. 解：由（1）知，由正弦定理得 ，所以 ， 因为所以，所以 ， 所以，所以 ， 则的取值范围为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 13.记的内角，，的对边分别为，， ，已知 . （1）求 ； 解：由及正弦定理得 ，整理得 ， 所以，又 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 48 （2）若，，求 . 解：因为，，所以， ， 在中，由余弦定理得 ， 即 . 在中，由余弦定理得 ， 即，所以 ，得 ，所以，所以，可得 . 在中，由余弦定理得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 49 14.[2025·安徽安庆市重点中学最后一卷] 的内角,, 的对边 分别为,,，已知 . （1）求 ； 解：因为 ， 所以由正弦定理得 ， 故， 又 ， ，所以， ， 则，可得，所以，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 （2）若为锐角三角形，，求 的取值范围. 解：由正弦定理可得 （为 外接圆的半径）， 所以，， 因为，所以 ，则 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 51 因为为锐角三角形，所以解得 ， 则 ，所以 ， 故，即的取值范围是 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 策略一 例1（1）</m>.（2）</m>的取值范围是<m></m>. 自测题 48 策略二 例2（1） </m>.（2）<m></m>的取值范围是<m></m>. 自测题 <m></m> 策略三 例3 ABC 自测题 1. D 2. 6 答 案 核 查 53 1.A 2.D 3.D 4.D 5.D 6.ABD 7.BCD 8.BCD 9.<m></m> 10.<m></m> 11.<m></m> 12.（1）</m>. （2）</m>的取值范围为<m></m>. 13.（1）<m></m> . （2）<m></m>. 14.（1）<m></m>.（2）<m></m>的取值范围是<m></m>. 答 案 核 查 $