精品解析：北京市文汇中学2025—2026学年度第二学期4月阶段测试 九年级 数学试卷

北京市文汇中学2025—2026学年度第二学期4月阶段测试 初三年级数学试卷 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每题2分，共16分） 1. 下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数轴的特征，及正负数在数轴上的表示求解并判断，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，， A.∵，故选项错误,符合题意； B.∵，则，故选项正确，不符合题意； C.∵，，∴，，故选项正确，不符合题意； D.∵，，∴，故选项正确，不符合题意； 故选：A． 3. 若一个多边形每一个内角都为，则这个多边形的边数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，设这个多边形的边数是，根据多边形的内角和公式列方程求解即可．解题的关键是掌握多边形的内角和公式：边形的内角和等于． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 依题意，得：， 解得：， ∴这个多边形的边数是． 故选：C． 4. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 黄 红 (红，红) (红，黄) 黄 (黄，红) (黄，黄) 共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种， ∴两次摸出的都是红球的概率为． 故选：C． 5. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后解关于m的不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得，， 故选：A． 6. 是由中国初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：将用科学记数法表示应为． 故选：D． 7. 如图，在中，，，．按如图所示作图痕迹作图，在上得点D，在上得点E，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，角平分线的性质．利用勾股定理求得，由作图知，平分，，利用角平分线的性质知，根据三角形的面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图知，平分，， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， 故选：C． 8. 如图，反比例函数（）的图象过Q，R两点，的延长线交x轴于点V，R为的中点，过点Q，R作x轴的垂线，交x轴于点S，T，交于点U，下列结论，①，②，③，④．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，由平行线等分线段定理可知，令，分别作轴，轴，又可得，设，可得到，，再根据可得到，可得，即，根据三角形面积公式，进一步得到，又根据，，通过等量代换，可得到；运用，根据面积关系，可求得，最后可求得，进而判断正确的选项． 【详解】解： 轴，轴，且R为的中点，则令（平行线等分线段定理），作轴，轴，垂足分别为A、B点，同理，设，则，，由得，解得， ，，， ， ①正确； 由，得， ②正确； 由，得，即，，， ， ③错误； ， ④正确， 综上可知①②④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，平行线等分线段定理，反比例函数的几何意义等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若式子有意义，则x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得． 故答案为：． 10. 分解因式：4ax2-ay2=________________. 【答案】a（2x+y）（2x-y） 【解析】 【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可． 【详解】原式=a（4x2-y2） =a（2x+y）（2x-y）， 故答案为a（2x+y）（2x-y）． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程转化为整式方程求解，再对结果进行检验即可． 【详解】解： 移项得： 方程两边同乘最简公分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得： 检验：当时， 因此是原分式方程的解． 12. 能够说明“设是任意非零实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为_______________________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据题意举出一组，的值能够说明“若，则”是假命题即可． 【详解】当，时，可得出若，则是假命题， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了举例说明真假命题，举反例说明一个命题是假命题的方法，考查了推理能力，属于基础题． 13. 某学习小组想了解本校学生课外阅读时间的情况，在全校随机调查了部分学生，对他们一周的课外阅读时长进行统计、整理，并绘制成两幅不完整的统计图表． 编码 课外阅读时长（分钟） 人数 10 25 如果该校有1200名学生，那么该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有__人． 【答案】360 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和统计表．先求出样本容量，得到的值，再利用样本估计总体即可求出答案． 【详解】解：由题意得，样本容量为：， 故， （人， 即该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有360人． 故答案为：360 14. 如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ABC＝20°，则∠C的度数为__． 【答案】40° 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和得到∠ODC的度数，再利用同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，可得到结果. 【详解】解：∵∠A＝60°，∠ABC＝20°， ∴∠ODC＝180°﹣20°﹣60°＝100°，∠ABC＝20°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝40°， ∴∠C＝180°﹣100°﹣40°＝40° 故答案为40° 【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键． 15. 如图，E在正方形的内部，，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】作于点，证明，求得，，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，． 16. 某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要_____小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要_____小时． 【答案】 ①. 54 ②. 28 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，两人合作的最短时间的关键在于合理分配任务，让两人的工作时间尽可能均衡且不出现等待时间． 三种产品各个阶段所需时间相加即可；一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要28小时． 【详解】解：（小时）； 为使总时间最少，应合理分配6项任务使两名工人的总工时尽量均衡．一种最优分配为：工人甲负责制作A、制作B、包装C（总工时26h），工人乙负责制作C、包装A、包装B（总工时28h）．经调度，在满足“先制作后包装”的条件下，所有任务完成的最短时间为28h． 故答案为：54；28． 三、解答题（本题共68分，第17-19、21、23、25题每小题5分，第20、22、24、26题6分，第27-28题每小题7分） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值意义，进行求解即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据两个解集的公共部分是不等式组的解集解答即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简、代数式求值，先将化简为，根据，得出，代入化简后的式子中计算求值即可，熟练掌握分式的化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵ ， ∴， ∴代数式的值． 20. 如图，四边形中，对角线与相交于点，，，点在上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 是等腰三角形，为中点， ，即， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，再根据内错角相等，两直线平行，得到，进而证明四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直，即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质，得到，，再利用勾股定理，求得，然后根据正切值，求得，最后利用勾股定理，得到，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ，，， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键． 21. 在平面直角坐标系中，已知函数与的图象交于点． （1）求k和b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）k的值为1，b的值为 （2）且 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与不等式，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方且在直线的下方，画出临界状态图象分析即可． 【小问1详解】 解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方且在直线的下方，则画出图象为： 将代入，则， ∴直线的图象过定点， 将代入，则， 由图象得：当直线的图象过点时， 则，解得：； 将代入，则， 由图象得：当直线的图象过定点时， 则，解得：； 综上，m的取值范围为:且． 22. 北京宫灯制作技艺是国家级非物质文化遗产．某校传统工艺社团为校园文化节制作一款六角宫灯骨架，骨架由主支撑杆、横向辐条、竖向围条三类竹条组成，其尺寸关系如下：宫灯骨架的总高度由头部高度、灯身高度、底座高度三部分构成，且三者之比为．已知单根横向辐条长度是灯身高度的；一根主支撑杆比单根横向辐条长；主支撑杆长度等于灯身高度和底座高度之和．求这款宫灯骨架的总高度． 【答案】这款宫灯骨架的总高度为 【解析】 【分析】设底座高度为，根据比例关系可得头部高度为，灯身高度为，进而表示出单根横向辐条长度为，再根据主支撑杆的长度构造方程，解出的值后，求出宫灯骨架的总高度． 【详解】解：设底座高度为， ∵头部高度、灯身高度、底座高度之比为， ∴头部高度为，灯身高度为， ∵单根横向辐条长度是灯身高度的， ∴单根横向辐条长度为， ∵一根主支撑杆比单根横向辐条长； ∴主支撑杆的长度为， 根据主支撑杆长度等于灯身高度和底座高度之和，可列方程： ， 解得， 这款宫灯骨架的总高度为． 答：这款宫灯骨架的总高度为． 23. 为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度得分统计图 b．信息识别准确度得分统计图 c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 AI软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 乙 根据以上信息、解答下列问题： （1）表格中的值为________；的值为________； （2）若软件信息识别准确度得分的方差越小，则认为该软件识别度越高、更方便、据此推断：甲、乙两款软件中，在使用时识别度更高、更方便的软件是________（填“甲”或“乙”）； （3）若用户对软件评分大于分视为高分，否则视为低分．甲软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这名用户做进一步的测试，该公司准备了两套优化方案．方案一：面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升分；方案二：针对低分组用户定向提升准确度，低分组每位用户的评分将提升分，高分组不变．为最大程度提升信息识别准确度评分的平均数，该公司应该选用方案________（填“一”或“二”）；采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将________．（填“增大”“减小”或“不变”） 【答案】（1），； （2）甲； （3）二，减小． 【解析】 【分析】（）根据众数，中位数定义，结合信息处理速度得分统计图中的数据进行计算即可； （）根据折线统计图，方差的定义分析即可； （） 根据平均数和方差的定义分析即可． 【小问1详解】 解：根据信息处理速度得分统计图中可以得到甲款软件分人数最多， ∴甲的众数， 根据中位数的定义，乙款软件信息处理速度的中位数是第个数据的平均数，第个是分，第个是分， ∴ ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：从折线图可看出，乙的信息识别准确度得分波动更大，甲得分更集中，因此甲的方差更小， 因为“方差越小，识别度越高”， 所以识别度更高的是甲， 故答案为：甲； 【小问3详解】 解：方案一：面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升分， 虽然平均数提升分，但方差不变； 方案二：∵低分组每位用户的评分将提升，高分组不变将会提升平均数，采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将减小， ∴分数波动变小， ∴方差将减小， ∴该公司应该选用方案二，采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将减小， 故答案为：二，减小． 24. 如图，中是的弦，过点O交于点P，是的切线． （1）写出与的数量关系，并证明； （2）射线于G，交于D，交延长线于点E，补全图形，若，，求的值． 【答案】（1）， 证明：连接， ∵是的切线． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用切线的性质得到，证明，再根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）利用垂径定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质求出，进一步得到，再证明，求出，根据即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：补全图形，连接， ∵， ∴ ∵， ∴可设， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴ 解得 ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴ 25. 生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为______； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率______超过（填“能”或“不能”) ．根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）请填出上文中的两个空，并画出上文中要求画出的函数图象． （2）请直接写出p的值，______； （3）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率______（填“大于”“小于”或“等于”) ． 【答案】（1）6；不能； 把表格中的数据描点，连线，画函数图象如下： （2）4 （3）小于 【解析】 【分析】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息，正确读懂函数图象和画出对应的函数图象是解题的关键． （1）观察函数图象可得，当菌剂添加量为时，生活垃圾在水解时的水解率最高；根据表格中的数据画出函数图象，由函数图象可知，随着时间的增加，生活垃圾水解率增长变缓，则可推出当水解时，生活垃圾水解率在的基础上增加将不超过，据此可得答案； （2）由表格可知当时，对应的水溶解率为，再由所给函数图象即可得到答案； （3）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率在水解48小时，达到约，那么；而当菌剂添加量为时，第96小时的水解率为，那么小时的水解率小于 【小问1详解】 解：观察函数图象可得：当菌剂添加量为时，生活垃圾在水解时的水解率最高， 在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为 故答案为： 从实验数据看，随着时间的增加，生活垃圾水解率增长变缓，当水解时，生活垃圾水解率在的基础上增加将不超过， ∵， ∴从函数图象看，当时，对应的y的值小于 故答案为：不能． 【小问2详解】 解：通过第二个表格可得：当时，对应的水溶解率为，由第一个图表中的实验数据可得水溶解率在第48小时为的菌剂添加量为， 故答案为： 【小问3详解】 解：由第一个表格可得：当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率在水解48小时，达到约，那么； 当菌剂添加量为时，观察第二个表格可得，第96小时的水解率为，那么小时的水解率小于 故答案为：小于． 26. 已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）________，________（用含的代数式表示）； （2）直线上有一动点，设点的横坐标为，过点作轴的垂线，分别交轴，抛物线，直线于点，，． ①当，时，则的长度为________； ②当点从点沿着直线运动到点时，的值始终随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）2； （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合，涉及到求抛物线解析式，二次函数与线段综合； （1）把和代入抛物线解析式计算即可； （2）①当，时，，，计算即可； ②由题意可得，，，，则，，， 再根据和分情况讨论，根据的值始终随的增大而增大，求的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和点， ∴，， ∴， 解得， 故答案为：2；； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②由题意可得，，，， ∴，，， ∵点从点沿着直线运动到点， ∴点在上，即在上， ∴， 解得， 当时，此时， 函数图象大致如下： ∴，，， ∴，， ∴， ∵，且的值始终随的增大而增大， ∴，即恒成立， ∴， 解得； 当时，此时， 函数图象大致如下： 则，点P从点A沿直线向左上方运动， 此时抛物线，开口向下， ∵对称轴为， ∴在y轴的左侧，y随x的增大而增大， 对于直线、，y随x的增大而减小， ∴、的值始终随的增大而增大， ∴时始终满足条件， 综上所述，的值始终随的增大而增大，的取值范围为或． 27. 如图，在中，，，为的中点，是线段上的动点（不与点，重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，过点作的平行线交的延长线于点． （1）求证： （2）若为线段的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系并证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，即：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2） 解：，理由如下： 如图，连接并延长，交于点，连接， ∵， ∴， ，，， ， ，， 由（1）可知：，， ∴， ，，， ， ，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴是的中位线， ， 即：． 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据平行线的性质可得，进而可得，根据旋转的性质、角的和差关系可得，利用可证得，于是可得，据此即可得出结论； （2）连接并延长，交于点，连接，利用可证得，于是可得，，由（1）可知，，于是可得，利用可证得 ，于是可得，，再结合平行线的性质及等角对等边可得，从而得出，进而可证得是的中位线，于是得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，旋转的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并正确做出辅助线是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为2，对于外的点P和弦，给出如下定义：若弦上存在一点Q，使，则称点P是弦关于的关联点，如果点为上一点，则称是弦关于的“关联角”． （1）， ①，，中，点______是弦关于的“关联点”； ②若是弦关于的“关联角”，，当最大时，则______； （2）直线与x轴，y轴分别交于点E，F，弦关于的“关联角”，若线段上存在“关联点P”，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据题中的定义分别作直线和，在两条直线之间及直线上，且在外的点是弦关于的“关联点”，据此判断题中所给点坐标并选出符合题意的点坐标即可； ②作平行于且距离为的直线，，在上任取一点P，作，且，利用正弦的定义及勾股定理判断动点的移动情况，进而求得此时的值； （2）设是垂直于y轴的弦，分别过点A，B作轴与轴交点H，I，判断分析出点C的位置使得，进而确定出点P的运动轨迹，从而确定最后线段与点P的轨迹有交点即可． 【小问1详解】 解：①如图，由题意知，分别作直线和， ∴在两条直线之间及直线上，且在外的点是弦关于的“关联点”， 此时点、符合题意， ∴、是弦关于的“关联点”， 故答案为：，； ②如图，作平行于且距离为的直线，， 要使最大，则点P在上角度会更大， 在上任取一点P，作，且， 此时当与相切时，有最大， ∵， ∴， 过点C作， ∴， 当点P往方向运动时，点C也会随之向左运动，此时的值减小，的值增大，的值增大， ∴的值在减小， 当点P落在时，最小，此时最小， ∴最大， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，设是垂直于y轴的弦，分别过点A，B作轴与轴交点H，I， 此时若点C在上，无限接近于，则当最大时，与相切， 当点P无限接近于时，的最大值超过， ∴点Q越靠近A时，相切状态的的值会越大，当点Q落在点A时，， ∴此时越大时，的值越小， ∵， ∴如图，延长交x轴于点G， 此时，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当越大时，点P到x轴距离越大， 当时，，此时， ∴点P的轨迹即满足， 如图，作以点O为圆心，4为半径的， 当过点，时，；过点，时，， 当与半径为4的相切时，， ∴b的取值范围是或． 【点睛】本题考查了新定义问题的理解与应用，圆的性质，线段和角度最值等知识点，解答时注意利用数形结合的方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市文汇中学2025—2026学年度第二学期4月阶段测试 初三年级数学试卷 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每题2分，共16分） 1. 下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个多边形每一个内角都为，则这个多边形的边数是（ ） A. B. C. D. 4. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 是由中国初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，．按如图所示作图痕迹作图，在上得点D，在上得点E，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 如图，反比例函数（）的图象过Q，R两点，的延长线交x轴于点V，R为的中点，过点Q，R作x轴的垂线，交x轴于点S，T，交于点U，下列结论，①，②，③，④．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若式子有意义，则x的取值范围是____． 10. 分解因式：4ax2-ay2=________________. 11. 方程的解为________． 12. 能够说明“设是任意非零实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为_______________________． 13. 某学习小组想了解本校学生课外阅读时间的情况，在全校随机调查了部分学生，对他们一周的课外阅读时长进行统计、整理，并绘制成两幅不完整的统计图表． 编码 课外阅读时长（分钟） 人数 10 25 如果该校有1200名学生，那么该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有__人． 14. 如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ABC＝20°，则∠C的度数为__． 15. 如图，E在正方形的内部，，则_____． 16. 某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要_____小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要_____小时． 三、解答题（本题共68分，第17-19、21、23、25题每小题5分，第20、22、24、26题6分，第27-28题每小题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，四边形中，对角线与相交于点，，，点在上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，已知函数与的图象交于点． （1）求k和b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 22. 北京宫灯制作技艺是国家级非物质文化遗产．某校传统工艺社团为校园文化节制作一款六角宫灯骨架，骨架由主支撑杆、横向辐条、竖向围条三类竹条组成，其尺寸关系如下：宫灯骨架的总高度由头部高度、灯身高度、底座高度三部分构成，且三者之比为．已知单根横向辐条长度是灯身高度的；一根主支撑杆比单根横向辐条长；主支撑杆长度等于灯身高度和底座高度之和．求这款宫灯骨架的总高度． 23. 为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度得分统计图 b．信息识别准确度得分统计图 c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 AI软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 乙 根据以上信息、解答下列问题： （1）表格中的值为________；的值为________； （2）若软件信息识别准确度得分的方差越小，则认为该软件识别度越高、更方便、据此推断：甲、乙两款软件中，在使用时识别度更高、更方便的软件是________（填“甲”或“乙”）； （3）若用户对软件评分大于分视为高分，否则视为低分．甲软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这名用户做进一步的测试，该公司准备了两套优化方案．方案一：面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升分；方案二：针对低分组用户定向提升准确度，低分组每位用户的评分将提升分，高分组不变．为最大程度提升信息识别准确度评分的平均数，该公司应该选用方案________（填“一”或“二”）；采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将________．（填“增大”“减小”或“不变”） 24. 如图，中是的弦，过点O交于点P，是的切线． （1）写出与的数量关系，并证明； （2）射线于G，交于D，交延长线于点E，补全图形，若，，求的值． 25. 生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为______； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率______超过（填“能”或“不能”) ．根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）请填出上文中的两个空，并画出上文中要求画出的函数图象． （2）请直接写出p的值，______； （3）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率______（填“大于”“小于”或“等于”) ． 26. 已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）________，________（用含的代数式表示）； （2）直线上有一动点，设点的横坐标为，过点作轴的垂线，分别交轴，抛物线，直线于点，，． ①当，时，则的长度为________； ②当点从点沿着直线运动到点时，的值始终随的增大而增大，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，为的中点，是线段上的动点（不与点，重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，过点作的平行线交的延长线于点． （1）求证： （2）若为线段的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为2，对于外的点P和弦，给出如下定义：若弦上存在一点Q，使，则称点P是弦关于的关联点，如果点为上一点，则称是弦关于的“关联角”． （1）， ①，，中，点______是弦关于的“关联点”； ②若是弦关于的“关联角”，，当最大时，则______； （2）直线与x轴，y轴分别交于点E，F，弦关于的“关联角”，若线段上存在“关联点P”，直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $