四川省成都市石室中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 成都石室中学高二期中数学试卷聚焦复数、向量、三角函数等核心知识，通过“星空摩天轮”情境应用题与布洛卡点文化题，考查数学眼光、思维与语言，实现基础巩固与能力提升的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部、向量投影、三角函数图象变换|基础巩固，突出概念理解| |多选|3/18|解三角形、三角函数性质、单位向量综合|能力区分，考查推理能力| |填空|3/15|复数象限、测量距离、中线与面积最值|情境应用，体现几何直观| |解答|5/77|向量夹角、三角函数单调性、摩天轮模型、布洛卡点|综合创新，融合模型意识与文化传承|

成都石室中学2025-2026学年度下期高2028届期中考试 数学试卷 一.选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则复数z的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在所在的平面内，，关于的对称点是，则（ ） A． B． C． D． 3．要得到函数的图象，需将的图象上所有的点（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5.若平面向量，，若在上的投影向量为，则（ ） A． B．1 C． D． 6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，边上的高等于，则（ ） A. B. C.3 D.2 7.已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D是AC边上的一点，且，且，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8．已知函数，在上单调递增，且当时，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二.选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，，，则（ ） A． B． C． D． 10．如图，函数的图象经过，，则（ ） A． B． 若，则 C．若为偶函数，则正数的最小值为 D． 方程所有根的和为 11.已知同一平面内的单位向量，，，则下列说法正确的是（ ） A．若，夹角为，则 B.若，夹角为，则最小值为 C．的最小值是0 D．若与不共线，，x，y，，，，则 三.填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知对应的复数为，则点A位于第______象限. 13.如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则______. 14．在中，内角的对边分别为．已知上的中线长为4，则面积的最大值是______. 四.解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分13分）已知，，． (1)求向量与的夹角; (2)当向量与的模相等时，求实数的值． 16.（本题满分15分）已知向量，．设． (1)求的单调区间; (2)在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，，的面积为，求边a的长． 17．（本题满分15分）“星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系： (1)游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为(单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式； (2)若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处 （i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？ （ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长. 18．（本题满分17分）如图，已知的三边所对的角分别为以为一边作等边，位于边两侧，连结交CB于O点. (1)若，求的值. (2)若，，求： (i)的值; (ii)记，求面积关于的函数表达式，并求的最大值. O 19. （本题满分17分）若内一点P满足，则称点P为的布洛卡点(Brocard's point)，θ为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． (1)若，时，求的值; (2)在等腰中，为钝角，的外接圆的面积为，求; (3)若平分，求的值. 第 页 命题人：汪骊自 程旭磊 审题人：曹亚桴 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室中学2025-2026学年度下期高2028届期中考试 数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 D C C D A C B 8 9 10 11 12 13 14 D AC AB ABD 二 一.选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则复数z的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】.所以复数的虚部为-2. 2．如图，在所在的平面内，，关于的对称点是，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在所在的平面内，所以，， 又因为关于的对称点是，所以是中点，， 所以. 3．要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【详解】因为，将向左平移个单位，得到函数. 4．在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中利用正弦定理得，则， 若有且仅有一个，则或，或， 则边长的取值范围是. 5.已知平面向量，，若在上的投影向量为，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，因为，所以有，即，解得． 6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，边上的高等于，则（ ） A. B. C.3 D.2 【答案】C 【详解】由已知，，得. 又由余弦定理可知. 7.已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D是AC边上的一点，且，且，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由余弦定理可得，即，且，所以. 因为，即 则可得，即，当且仅当，即时，等号成立，所以，即的面积的最大值为. 8．已知函数在上单调递增，且当时，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】利用辅助角公式化简得： 的单调递增区间为， 当时，，整个区间需落在某个增区间内， 因此：,化简得： 结合： 若，则，若，则，若，不等式无解， 因此 当时，， 要使恒成立，整个区间需落在， 因此：，化简得：， 结合，分情况讨论： 当时：取，得，交集为， 当时：取，得，交集为（因为）， 综上，的取值范围是. 二.选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由二倍角公式， A为锐角，，，故A正确； 由余弦定理得解得，故B错误； 由余弦定理得，故C正确； 由二倍角公式可知，故D错误 10．如图，函数的图象经过，则（ ） A． B． 若，则 C．若为偶函数，则正数的最小值为 D． 方程所有根的和为 【答案】AB 【详解】依题意，即，又，所以， 设函数的最小正周期为，则，所以，则，得， 由于，又函数过点，且为单调递减区间上的对称中心， 所以，则，解得， 又，所以，所以； 对于A：，故A正确； 对于B：若，则， 得，故 ，故B正确； 对于C：函数是偶函数，则， 解得，因此当时，正数取得最小值，故C错误； 对于D：由，即函数的图象关于点对称，直线过点， 因此直线与的图象交点关于点对称，共有个交点， 即方程共有个根，所有根的和为， 因为不存在使得，故D错误. 11.已知同一平面内的单位向量，，，则下列说法正确的是（ ） A．若，夹角为，则 B.若，夹角为，则最小值为 C．的最小值是0 D．若与不共线，，x，y，，，，则 【答案】ABD 【详解】对于A选项，，，夹角为，， 故A正确； 对于B选项，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C选项，设，的夹角为， ，的夹角为， ， ，， 当，时，，故C错误； 对于D选项，设， ，， 则，所以， 所以，所以， 故或或，其中，故或或， 故共线，或或， 若共线，因为，故彼此共线，与题设矛盾， 故或， 若，故，故，因为与不共线， 故不共线，故即，而， 故，故， 同理时，也有，故D正确. 三.填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知对应的复数为，，则点A位于第______象限. 【答案】二 【详解】已知，对函数因为所以对恒成立，对函数，值域为，所以对任意恒成立，故点位于第二象限。 13.如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则______. 【答案】 【详解】因为， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则 14．在中，内角的对边分别为．已知上的中线长为4，则面积的最大值是______. 【答案】 【详解】因为由余弦定理，得得 设,由余弦定理，得 即 当且仅当即时，等号成立. 四.解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分13分）已知，，． (1)求向量与的夹角； (2)当向量与的模相等时，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因，，， 则有，解得， 3分 因此，而，于是得，所以向量与的夹角 6分 （2）由，则， 8分 即，得， 11分 解得或 13分 16. （本题满分15分）已知向量，．设． (1)求的单调区间． (2)在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，，的面积为，求边a的长． 【详解】（1）因为，， 则 4分 令，得 故函数的单调递增区间为， 同理可得：的单调递减区间为． 7分 （2）因为，所以，又，则， 所以，则 10分 ∵，所以 12分 由余弦定理可得：，故 15分 17．（本题满分15分）“星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系： (1)游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式； (2)若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处 （i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？ （ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长. 【答案】(1)，；(2)（i）；（ii） 【详解】（1）根据题意，设关于的函数解析式为， 由题知，轮盘最高点距地面100m，直径90m，最低点距离地面为10m， 时，游客甲从最低点逆时针匀速转动，即时，，周期， 所以，解得，，解得， 所以，当，，即，解得， . 3分 所以，，整理得，； 所以，关于的函数解析式为：， 5分 （2）（i）由（1）知，游客乙距离地面的高度与时间的关系为：， 考虑游客乙的初始位置，当时，游客乙距离地面的高度为55m，且开始后高度降低， 故，即，解得， 即游客乙距离地面的高度关于的关系为，， 即， 7分 所以，时刻时，游客乙距离地面的距离为； 游客甲距离地面的距离为 所以， 即， 9分 所以，首次相等对应最小正解,即，即 所以，转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是 11分 （ii）由题，，即， 所以，解得， 13分 时间间隔为：， 所以游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长 15分 18．如图，已知的三边，，所对的角分别为，，，以为一边作等边，，位于边两侧，连结交CB于O点.   O (1)若，求的值. (2)若，，求： （i）的值； （ii）记，求面积关于的函数表达式，并求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）由C、O、B三点共线知，解得.代入回原式，知，故,故，所以，所以. 4分 （2）（i）， 又，则； 10分 （ii）记， 在中，由余弦定理得 ① ② 将②代入①得 即③， 由正弦定理④， (将③、④代入) 14分 当且仅当，即，也就是时取等号. 所以，面积的最大值为. 17分 19.若内一点P满足，则称点P为的布洛卡点(Brocard's point)，θ为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． (1)若，时，求的值； (2)在等腰中，为钝角，的外接圆的面积为，求; (3)若平分，求的值. 【答案】(1) (2) (3)1. 【详解】（1）因为，所以，所以，， 在中，由余弦定理，得， 所以． 4分 （2）由的外接圆的面积为，得外接圆半径，， 又为钝角，则，，， 6分 在中，； 同理，在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得，则， 整理得，即，所以. 10分 (3)因为， 即， 所以， 12分 在中， 分别由余弦定理得：，，， 三式相加整理得， ， 将代入得： 14分 若平分，则，， 所以③ 又由余弦定理可得：④ 由③-④得： 所以， 所以，且, 故. 17分 第 页 命题人：汪骊自 程旭磊 审题人：曹亚桴 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $