精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年九年级下学期4月期中数学试题

数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑 1. 以下各数中最大的是（ ） A. 1 B. 3 C. 0 D. 2. 下列垃圾分类图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列问题中适合全面调查的是（ ） A. 检测沙坪坝区的空气质量 B. 检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况 C. 调查华为三折叠屏手机的使用寿命 D. 了解全国中学生的视力情况 4. 已知反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国森林面积逐年地加，年森林覆盖面积为亿公顷，年森林覆盖面积达亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，是的弦．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 小南用大小相同的棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5颗棋子，第②个图案中有9颗棋子，第③个图案中有13颗棋子，第④个图案中有17颗棋子，…，按此规律，则第8个图案中，棋子的数量是（ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 9. 如图，在正方形中，，为中点，连接为上一点，连接，把线段绕着点顺时针旋转后得到线段，连接和，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为正整数，为自然数，且整式从左到右的奇数项系数的和与偶数项系数的和的乘积为，下列说法： ①满足条件的所有整式中存在单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，不存在其中的两个分解因式后含有相同的多项式因式； ③当时，满足条件的整式共有36个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 11. 超市举办某饮料促销活动，在一箱该饮料（12瓶）中有3瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明买了一箱这种饮料，他打开一瓶饮料中奖的概率为_____． 12. 如图，边长相等的正五边形和正三角形的一边重合，则_____°． 13. 已知：，且是整数，则______． 14. 若实数同时满足，则的值为_____． 15. 如图，以为直径的与相切于点，以为边作菱形，点均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则的长为_____，的长为_____． 16. 对于一个四位自然数，如果满足百位与十位数字之和大于千位数字，同时百位与十位数字之和小于个位数字，就称这个数为“合理数”．对于合理数，将其百位与十位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将的百位与十位的差替换原来的十位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，记．例如：当时，．若为最大的合理数，则_____；一个合理数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若为偶数，为整数，且（为整数），则满足条件的合理数为_____． 三、解答题：（本大题9个小题，17－18每小题8分，19－25题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式①，得_________________， 解不等式②，得_________________， 原不等式组的解集为_________________， 满足条件的所有整数解为____________________． 18. 如图，已知中，点在边上，且，连接． （1）请你利用尺规作图，在边上截取，作的平分线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ． 在和中， ． ②__________． ， ． ③__________． ． 19. 百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：组不满意组比较满意组满意，D组非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对甲款聊天机器人的评分数据：60，65，65，71，74，76，80，82，84，84，85，85，92，92，92，92，96，96，97，98． 抽取的对乙款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：82，88，83，87，80，89 抽取的对甲，乙款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 93 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表：_____，_____；_____； （2）通过以上数据分析，你认为甲，乙款聊天机器人中哪一款的使用满意度更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）在此次测验中，共有2000人参加对甲，乙款聊天机器人使用满意度评分，估计此次测验中对聊天机器人非常满意的共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中 21. 列方程解下列问题： 某农场去年春季种植苹果和桃子共收获．今年春季苹果产量比去年增加，桃子产量比去年增加，苹果和桃子的总产量比去年增加． （1）去年春季苹果和桃子的产量各多少千克？ （2）今年春季收获果实时，该农场安排两组工人分别采摘苹果和桃子，每小时采摘苹果的质量是采摘桃子质量的倍，两组工人同时开始劳动，结果采摘桃子的工人比采摘苹果的工人提前15分钟完成采摘任务．问采摘苹果组的工人每小时采摘苹果多少千克？ 22. 如图1，在矩形中，，动点P从点E出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，同时动点Q从点E出发沿射线运动，速度为每秒2个单位长度，当点P停止运动时点Q也随之停止．连接，设点P运动时间为x秒，的面积为，的面积与的面积比值为． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合的函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值精确到0.1，误差不超过0.2）． 23. 为加强海上救援能力，某救助队准备在某海域开展海上搜救演练．如图，，在同一平面内，是指挥部，演练开始时，甲救援船位于正东方向的处，乙救援船位于南偏东方向42海里的处，在的北偏西方向．在的南偏西方向的处有一遇险浮标，位于的正西方向．（参考数据：， （1）求的长度（结果保留小数点后一位）； （2）演练开始后，甲救援船从B出发沿南偏西方向匀速行驶，同时乙救援船从出发沿往处进行搜救，乙救援船速度是甲救援船速度的倍，请问乙救援船离处多少海里时，两救援船第二次相距21海里（结果保留小数点后一位）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），且，与轴交于点，连接． （1）求抛物线解析式； （2）已知点是直线上方抛物线上一动点（且在对称轴左侧），过点作轴交于点，过点作交对称轴于点，点是对称轴上一点满足，点是对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点是点的对应点，点是新抛物线上的一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，，点是边上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接、． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若，在边上，，求证：； （3）如图3，若，，过点作于．将绕点逆时针旋转得线段为中点，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，且连接，满足．当最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑 1. 以下各数中最大的是（ ） A. 1 B. 3 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，属于基础应用题，只需学生熟练掌握有理数的大小比较法则，即可完成． 有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．据此比较即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数为3， 故选：B． 2. 下列垃圾分类图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 下列问题中适合全面调查的是（ ） A. 检测沙坪坝区的空气质量 B. 检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况 C. 调查华为三折叠屏手机的使用寿命 D. 了解全国中学生的视力情况 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查调查方式，根据调查范围少，具体特殊意义的用普查，普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，调查范围广，具有破坏性的用抽样调查，抽样调查得到的调查结果比较近似，据此进行判断即可． 【详解】解：A、检测沙坪坝区的空气质量,适合抽样调查，故不符合题意； B、检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况，适合全面调查，故符合题意； C、调查华为三折叠屏手机的使用寿命，适合抽样调查，故不符合题意； D、了解全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故不符合题意； 故选：B． 4. 已知反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．首先利用待定系数法求出的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，比较即可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， A．，故不在图象上，不符合题意， B．，故在图象上，符合题意， C．，故不在图象上，不符合题意， D．，故不在图象上，不符合题意， 故选：B． 5. 下列四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的概念以及数的大小比较．熟练掌握科学记数法的概念是解题的关键． 科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值于小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数绝对值时，是负数． 比较科学记数法表示的数时，先比较10的指数，指数大的数更大；若指数相同，则比较系数． 【详解】解：∵ 选项A和C的指数为，选项B和D的指数为，且， ∴ 最大数在B和D中产生． 又∵ B和D指数相同，比较， ∴ ， 故选D． 6. 我国森林面积逐年地加，年森林覆盖面积为亿公顷，年森林覆盖面积达亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设森林覆盖面积年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设森林覆盖面积年平均增长率为， 依题意得：， 故选：． 7. 如图，是的直径，是的弦．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上性质是解题的关键．连接，由直径所对圆周角为，得到，根据，可得，再利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 8. 小南用大小相同的棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5颗棋子，第②个图案中有9颗棋子，第③个图案中有13颗棋子，第④个图案中有17颗棋子，…，按此规律，则第8个图案中，棋子的数量是（ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现棋子个数的变化规律是解题的关键． 根据所给图形中棋子的个数，发现后一个图形比前一个图形多4个棋子，据此发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图案中，棋子的数量为； 第2个图案中，棋子的数量为； 第3个图案中，棋子的数量为； 所以第个图案中，棋子的数量为个． 当时， （个， 即第8个图案中，棋子的数量为33个． 故选：A． 9. 如图，在正方形中，，为中点，连接为上一点，连接，把线段绕着点顺时针旋转后得到线段，连接和，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点作于点，先证明求出，再证明，然后用勾股定理求解，即可求解，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵正方形中，，为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 已知整式，其中为正整数，为自然数，且整式从左到右的奇数项系数的和与偶数项系数的和的乘积为，下列说法： ①满足条件的所有整式中存在单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，不存在其中的两个分解因式后含有相同的多项式因式； ③当时，满足条件的整式共有36个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设奇数项系数和为，偶数项系数和为，由题意得 ，均为正整数，依次判断三个说法的正误，统计正确结论的个数即可． 【详解】解：设从左到右奇数项系数和为，偶数项系数和为， ， ， ，，即均为正整数． 判断①： ，，说明奇数项至少有一个非零系数，偶数项也至少有一个非零系数，因此整式至少有两项，不存在单项式，故①错误． 判断②：当时， ，，其中，​，存在两个整式：，，分解后都含有因式，故②错误． 判断③：当时， ，左到右依次为(奇项)， (偶项)，(奇项)，(偶项)，因此，，，为自然数．所有正整数对为，，，分别计算个数： ： ，自然数解共组； ，，解共 组，共个； ： ，解共组； ，，解共组，共个； ： ，解共组； ，，解共组，共个； ： ，解共组；，，解共组，共个； 总个数为 ，故③正确． 综上，只有个说法正确． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 11. 超市举办某饮料促销活动，在一箱该饮料（12瓶）中有3瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明买了一箱这种饮料，他打开一瓶饮料中奖的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的基本计算，解题的关键是掌握概率的定义，概率等于所求情况数与总情况数的比值，根据概率的定义，用中奖瓶数除以总瓶数即可得到中奖概率. 【详解】解：总瓶数为，中奖瓶数为，故打开一瓶饮料中奖的概率为. 12. 如图，边长相等的正五边形和正三角形的一边重合，则_____°． 【答案】48 【解析】 【分析】根据正五边形的性质，等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：边长相等的正五边形和正三角形的一边重合， 则， 故． 13. 已知：，且是整数，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】估计的取值范围，进而确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴m=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查无理数的估算，了解介在哪两个整数之间是正确求解的关键． 14. 若实数同时满足，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知等式推出 ，可得，由此化简第二个等式得到，代入第一个等式后分和讨论，求出与的值，再代入计算结果． 【详解】解： 实数，同时满足 ， ， ， ， 解得， ，，即，整理得， 将代入 ，得 ， 整理得 ， 当时， ，舍去该情况， 当时， ，解得， 将代入，得 ， ． 15. 如图，以为直径的与相切于点，以为边作菱形，点均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则的长为_____，的长为_____． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，结合垂径定理可得，再结合特殊角的余弦值即可求解的长；先利用相似三角形可求解，再结合勾股定理以及边长可求解，再结合的正弦值以及余弦值可求解与的值，再结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，记与的交点为点F，如图， ∵四边形为菱形， ∴且， ∵以为直径的与相切于点，即， 则，即， ∴， 在中，，， ∴ ∴，则， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，即的半径为2， 则的长为4； 连接，记与的交点为点H， 过点G作的延长线于点K，如图， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，可得， ∴， 在中，， ∵在中，， ∵为的直径， ∴， ∴，即， 则有， 在中，， ∴， 在中，，， ∵， ∴在中，，， 解得，， ∴， 在中，． 综上，的长为4，的长为． 16. 对于一个四位自然数，如果满足百位与十位数字之和大于千位数字，同时百位与十位数字之和小于个位数字，就称这个数为“合理数”．对于合理数，将其百位与十位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将的百位与十位的差替换原来的十位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，记．例如：当时，．若为最大的合理数，则_____；一个合理数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若为偶数，为整数，且（为整数），则满足条件的合理数为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据为最大合理数找出值，则千位上的数应取最大，再根据各个数位上的数字之间的关系求解；②根据题设条件，结合偶数要求、整除条件和平方数条件，筛选得到符合要求的合理数． 【详解】①解：设一个合理数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， 则有，， 要让四位数最大，优先让高位数字尽可能大； 当时， ，，但个位最大为，矛盾，排除； 当时， 根据题意可得：，，， 则，，无整数解，排除； 当时， 根据题意可得：，，， 则，， 此时要让数最大，百位尽可能大：，， ， 其中，，差为， ，， ； ②解：为偶数， 为偶数， ，， ， ，， ， ，，， ， 为整数， 需是的倍数， ， 其满足，的整数解为，，， 又由题可知， ∴， 由，得， ∵是的整数，且， ∴是的整数， 当时，不满足为整数； 当时，不满足为整数； 当时，不满足为整数； 当时，，为整数； 当时，不满足为整数； 当时，不满足为整数； ∴， ，且为偶数， ， 综上所述，． 三、解答题：（本大题9个小题，17－18每小题8分，19－25题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式①，得_________________， 解不等式②，得_________________， 原不等式组的解集为_________________， 满足条件的所有整数解为____________________． 【答案】；；； 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，然后确定整数解计算即可． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 18. 如图，已知中，点在边上，且，连接． （1）请你利用尺规作图，在边上截取，作的平分线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ． 在和中， ． ②__________． ， ． ③__________． ． 【答案】（1）见解析 （2），； 【解析】 【分析】（1）利用圆规截取，角的平分线基本作图，求解即可． （2）根据三角形全等的判定和性质，平行线的判定证明即可； 【小问1详解】 解：根据题意，作图如下： 则Ｅ，Ｆ即为所求； 【小问2详解】 证明：平分， ． 在和中， ． ． ， ． ． ． 19. 百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：组不满意组比较满意组满意，D组非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对甲款聊天机器人的评分数据：60，65，65，71，74，76，80，82，84，84，85，85，92，92，92，92，96，96，97，98． 抽取的对乙款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：82，88，83，87，80，89 抽取的对甲，乙款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 93 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表：_____，_____；_____； （2）通过以上数据分析，你认为甲，乙款聊天机器人中哪一款的使用满意度更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）在此次测验中，共有2000人参加对甲，乙款聊天机器人使用满意度评分，估计此次测验中对聊天机器人非常满意的共有多少人？ 【答案】（1）40，， （2）乙款聊天机器人的使用满意度更好； （3）800人 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义，扇形中某项目所占百分数等于频数除以样本容量，解答即可； （2）利用中位数，众数决策求解即可； （3）利用样本估计总体思想求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得对乙款聊天机器人的评分数据C组占比为：， D组占比为：， 故， 根据题意，得A等级：（人），B等级：（人） C等级：80，82， 83，87，88， 89有6人， 故中位数是， 由对甲款聊天机器人的评分数据：60，65，65，71，74，76，80，82，84，84，85，85，92，92，92，92，96，96，97，98． 故众数． 【小问2详解】 解：乙款聊天机器人的使用满意度更好，乙的中位数，众数都高于甲的，平均数相等，故喜欢乙款． 【小问3详解】 解：根据题意，得甲款聊天机器人非常满意的人数为 8，占比为：； 乙款聊天机器人非常满意的占比为 ； 此次测验中对聊天机器人非常满意的共有（人）， 答：对聊天机器人非常满意的共有800人． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】，4 【解析】 【分析】先按照分式混合运算顺序化简原式，再根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算出的值，代入化简后的式子即可求出结果． 【详解】解：         ， ，  将代入化简后的式子得： 原式． 21. 列方程解下列问题： 某农场去年春季种植苹果和桃子共收获．今年春季苹果产量比去年增加，桃子产量比去年增加，苹果和桃子的总产量比去年增加． （1）去年春季苹果和桃子的产量各多少千克？ （2）今年春季收获果实时，该农场安排两组工人分别采摘苹果和桃子，每小时采摘苹果的质量是采摘桃子质量的倍，两组工人同时开始劳动，结果采摘桃子的工人比采摘苹果的工人提前15分钟完成采摘任务．问采摘苹果组的工人每小时采摘苹果多少千克？ 【答案】（1）去年春季苹果产量为，桃子产量为. （2）采摘苹果组的工人每小时采摘苹果 【解析】 【分析】（1）设去年春季苹果产量为，桃子产量为.根据题意，得，解答即可； （2）设每小时采摘桃子的质量为，则每小时采摘苹果的质量是，根据题意，，解答即可． 【小问1详解】 解：设去年春季苹果产量为，桃子产量为. 根据题意，得， 解得， 答：去年春季苹果产量为，桃子产量为. 【小问2详解】 解：设每小时采摘桃子的质量为，则每小时采摘苹果的质量是， 根据题意，， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 答：采摘苹果组的工人每小时采摘苹果． 22. 如图1，在矩形中，，动点P从点E出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，同时动点Q从点E出发沿射线运动，速度为每秒2个单位长度，当点P停止运动时点Q也随之停止．连接，设点P运动时间为x秒，的面积为，的面积与的面积比值为． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合的函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值精确到0.1，误差不超过0.2）． 【答案】（1），，； （2）画图如下： 当时，函数值随自变量的增大而增大；（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）分点P在与点P在上两种情况，即可求得；分别求出的面积与的面积，即可求得； （2）根据一次函数与反比例函数的图象画出两个函数的图象即可；利用一次函数的性质即可写出的一条性质； （3）根据所画的函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：在矩形中，， ∴； 当点P在上时，则，此时，； 当点P在上时，则，此时，； 即； 的面积为，而，， ∴的面积为， ∴，其中； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象知，当时，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，求动点问题的函数解析式，画函数图象，一次函数与反比例函数的图象与性质等知识，掌握一次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 23. 为加强海上救援能力，某救助队准备在某海域开展海上搜救演练．如图，，在同一平面内，是指挥部，演练开始时，甲救援船位于正东方向的处，乙救援船位于南偏东方向42海里的处，在的北偏西方向．在的南偏西方向的处有一遇险浮标，位于的正西方向．（参考数据：， （1）求的长度（结果保留小数点后一位）； （2）演练开始后，甲救援船从B出发沿南偏西方向匀速行驶，同时乙救援船从出发沿往处进行搜救，乙救援船速度是甲救援船速度的倍，请问乙救援船离处多少海里时，两救援船第二次相距21海里（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）海里 （2）海里 【解析】 【分析】（1）过点A作于点G，过点B作于点F，过点C作，交的延长线于点E，解直角三角形求解即可； （2）设甲救援船的速度为x海里/小时，则乙救援船的速度为海里/小时，运动时间为小时，此时海里，海里，海里，乙救援船离处海里，两救援船第二次相距21海里时，点Q一定在点H的左侧，过点N作于点P，则，海里，故海里，海里，根据勾股定理，得，求解即可． 【小问1详解】 解：过点A作于点G，过点B作于点F，过点C作，交的延长线于点E， 根据题意，得，海里， （海里）， （海里）， ， ， （海里）， （海里）； 【小问2详解】 解：甲救援船从B出发沿南偏西方向匀速行驶，设该方向的直线与交于点H，交于点M，甲救援船运动到点N处，乙救援船运动到点Q处， 根据题意，海里， 根据题意，得（海里）， （海里）， ， ， ， ， ， 是等边三角形， （海里）， 设甲救援船的速度为x海里/小时，则乙救援船的速度为海里/小时，运动时间为小时，此时海里，海里，海里，乙救援船离处海里，两救援船第二次相距21海里时，点Q一定在点H的左侧，如图所示， 过点N作于点P， 则海里，海里， 故海里，海里， 海里， 根据勾股定理，得， ， 整理，得， 解得，， 不满足第二次相距21海里的要求，舍去， 故， 故乙救援船离的距离为： （海里）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），且，与轴交于点，连接． （1）求抛物线解析式； （2）已知点是直线上方抛物线上一动点（且在对称轴左侧），过点作轴交于点，过点作交对称轴于点，点是对称轴上一点满足，点是对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点是点的对应点，点是新抛物线上的一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）；； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）直线的解析式为：．直线的解析式为：．设，且，则， 则， 过点Q作于点Y，则，设，根据中点坐标公式，得，，过点D作轴于点H，则，过点F作于点G，过点P作于点N，交于点R，故的最小值为；连接交于点T，求解即可． （3）向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 故平移后抛物线的解析式为，根据题意，得，此时；过点作，交于点，延长交抛物线于点k，此时的k符合题意，设，求得，设直线的解析式为，根据题意，得，此时；求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），且，与轴交于点， ， ， 故， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：根据抛物线解析式为， 得，抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，且， 则， 则， ∵，， 设直线的解析式为：， ， 解得， 故直线的解析式为：， 当时，． 故， 过点Q作于点Y， 则， ， ， 设，根据中点坐标公式，得， ， ， ， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，取得最大值， ∴，，， 过点D作轴于点H， 则， 取点， 则， 作直线， 根据题意，得， 故，， ， ， ， 过点F作于点G， 则， 故， 过点P作于点N，交于点R， 故的最小值为； 连接交于点T， ， 轴， ， ，， ， ，， ， ， ， ； 故的最小值为． 【小问3详解】 解：根据题意，得， 由，得， 故， 故， 由抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， 故向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 故平移后抛物线的解析式为， 故点， 故点在抛物线的对称轴上，设直线：与对称轴的交点为， 此时，且，． 连接，则， 故， 设直线与y轴的交点为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， ， ， 故四边形是平行四边形， ， ， 延长交抛物线于点K， ， ， ， 此时的k符合题意， 此时直线的解析式为， 根据题意，得， 整理，得， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时与重合，舍去； 设抛物线的对称轴与x轴交于点，与y轴交于点， 根据题意，得，， ， ， 过点作，交于点， ， ， ， ， 延长交抛物线于点K，此时的K符合题意， 设， 则， 整理，得， 解得， 故， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 整理，得， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时与重合，舍去； 综上所述，符合要求的点或． 25. 如图，在中，，点是边上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接、． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若，在边上，，求证：； （3）如图3，若，，过点作于．将绕点逆时针旋转得线段为中点，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，且连接，满足．当最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形外角的性质可得，结合等腰三角形的性质可得．由旋转的性质可判定是等边三角形，进而可证明，因此； （2）在上截取，连接，作于点，过点作的垂线，交的延长线于点，设，，，容易判断和都是等边三角形，进而证明，则，，从而得到．利用三角函数可表示出，，，，由两角相等可判定，则，化简得，进而得到，因此； （3）在上截取线段，连接，取的中点，连接，作于点，连接，结合折叠和旋转的性质可得，为定值，因此点在以点为圆心，为半径的圆上．根据，结合三角形外角的性质可得，因此，．由等边三角形的性质可得，，通过等量代换可得，进而证明，因此，为定值．由平行的性质可得，，则，根据线段公理，当时，取得最小值，此时最小．作出时的图，延长交于点，作于点，设，利用三角函数可得，，，则，进而求得，，因此，则，．利用三角函数求出，，则．在中，利用勾股定理构造方程，求出，则，最后使用三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段由线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，在上截取，连接，作于点，过点作的垂线，交的延长线于点，设，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 由（1）可知，是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， 在中，，， 同理，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在上截取线段，连接，取的中点，连接，作于点，连接， 由旋转的性质可得，，， ∵为的中点， ∴， 由折叠的性质可得，为定值， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， 由（1）可知，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴当最小时，最小， ∵， 又∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，此时最小， 如图，、、共线，且，延长交于点，作于点，设， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $