精品解析：重庆西南大学附属中学2026年4月九年级期中数学考试试卷（一模）

数学定时练习 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查“神舟二十二号”飞船各零部件的质量情况 B. 调查某批次灯泡的使用寿命情况 C. 调查某市中学生视力情况 D. 调查某水域的水质情况 4. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（ ） A. 9∶1 B. 25∶4 C. 9∶4 D. 25∶9 5. 如图，是的直径，点，在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有3个圆点，第②个图中有7个圆点，第③个图中有11个圆点，第④个图中有15个圆点……，按照这一规律，第⑩个图中圆点的个数是（ ） A. 39 B. 40 C. 41 D. 35 8. 年重庆城市足球超级联赛（渝超）某赛区采用了单循环赛制（每两队之间只比赛场）、该赛区一共进行了45场比赛，若设该赛区共有支球队参赛，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点在线段上，，连接，将绕点逆时针旋转90°得，将沿直线翻折到正方形所在的平面内得，连接，连接交于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n，为正整数，，，…，均为自然数，若，，下列说法中：①满足条件的所有整式M中有且只有4个单项式；②当时，满足条件的所有整式M的和为；③满足条件的整式M共有22个．正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 木星赤道的半径大约是71000千米，将数据71000用科学记数法表示为________． 12. 一个不透明的袋子中装有三张卡片，上面分别写有，1，2（卡片除了上面的数字外，其他完全相同），从中随机抽取1张卡片，抽取的卡片上的数字为正数的概率为________． 13. 若一个多边形的每一个外角都是和它相邻内角的，这个多边形的边数是___________． 14. 已知，则的值是________． 15. 如图，四边形为的内接四边形，为的直径，对角线、相交于点，交于点，、的延长线相交于点．已知，点为中点，，则的长为________． 16. 对于一个五位自然数，如果它满足万位数字与个位数字之和等于百位数字，且千位数字与十位数字之和等于百位数字的2倍，则称这个五位数为“对称数”．例如：59631，∵，，∴59631是对称数．则最小的“对称数”是________．若是一个“对称数”，记，．若是一个完全平方数且与之差能够被7整除，则的最小值是________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，给出必要的图象（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 小红学习了菱形和尺规作图后，进行了拓展性研究，她发现了菱形的一种作图方法，以下是她的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： （1）用尺规完成以下作图：作的平分线交于点，作线段的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，． （2）已知：在中，平分，垂直平分．求证：四边形是菱形． 证明：∵垂直平分， ∴ ，①________． ∵平分， ∴②________． 在和中， ∴． ∴④________． ∴． ∴四边形是菱形． 四、（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图象（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为提升学生的科学素养，某校七、八年级学生参加了科学知识竞赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制均为整数）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级抽取的20名学生竞赛成绩：98，97，93，93，92，90，89，89，89，86，86，83，82，81，76，75，74，72，70，65．八年级抽取的20名学生中B等级学生竞赛成绩：89，88，87，86，88，83，81． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 84 84 中位数 86 b 众数 a 91 根据以上信息，解答下列问题 （1）上述图表中，________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科普知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1200名学生、八年级有1000名学生参加了此次竞赛，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．“张雪机车”3月A、B两种型号的摩托车订单量共3800台，两连冠后4月的订单暴增，A型号订单量增加200%，B型号订单量增加100%，4月两种型号的摩托车订单量共9400辆． （1）求3月A、B两种型号的摩托车订单量各是多少辆？ （2）4月的摩托车订单出厂前需要统一进行交付前检查“张雪机车”安排甲、乙两个质检组同时开始工作，甲组负责检查A型摩托车，乙组负责检查B型摩托车．已知甲组每天检查A型号的数量是乙组每天检查B型号数量的1.8倍，最终甲组比乙组提前20天完成检查任务．求乙组每天检查B型号摩托车多少台？ 22. 如图，在平行四边形中，，，点为的中点，连接．动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动，连接．动点同时以每秒个单位长度从点出发，沿射线方向运动，连接．当点到达点时，点，同时停止运动．设点，的运动时间均为秒，记的面积为，与的面积之比为． （1）请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 缙云山下、嘉陵江畔，风光秀美，人文雅致．小喜、小福的家与学校、公园均坐落于此．已知小福家位于学校的北偏东方向，同时在小喜家的北偏东方向；小喜家位于学校的北偏西方向4公里处；公园位于学校的正东方向．（参考数据；，，） （1）求小福家与小喜家的距离，（结果精确到） （2）小喜和小福约好放学后一同去公园游玩，两人同时出发．小喜从学校直接前往公园．小福先从学校回家放下书包（停留时间不计），再从家里前往公园，最终两人同时到达．已知小喜与小福的速度之比为，求小福家到公园的距离．（结果精确到） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，交轴于点，其中点，抛物线的对称轴为直线，连接，． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作交抛物线于点，连接交线段于点，连接，，点，分别是直线和直线上的动点，且，连接，当四边形面积最大时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中四边形面积取得最大值条件下，将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上一动点，为点的对应点，连接，，，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的求解过程． 25. 在Rt中，，，在直线下方有一点，连接与交于点，连接，． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，点为线段的中点，连接，过点作于点．求证：； （3）如图3，，点在直线上方，连接，，且的面积为2，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学定时练习 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： ， 四个数中最小的数是． 2. 下面四个字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 不是轴对称图形，本选项不符合题意； B. 不是轴对称图形，本选项不符合题意； C. 不是轴对称图形，本选项不符合题意； D. 是轴对称图形，本选项符合题意． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查“神舟二十二号”飞船各零部件的质量情况 B. 调查某批次灯泡的使用寿命情况 C. 调查某市中学生视力情况 D. 调查某水域的水质情况 【答案】A 【解析】 【分析】根据调查的特点，结合是否具有破坏性、是否对结果精确度要求高进行判断，普查适用于精确度要求高，事关重大的调查； 【详解】解：A、调查飞船各零部件质量，事关飞行安全，精确度要求极高，适合全面调查； B、调查灯泡使用寿命，测试过程会破坏灯泡，具有破坏性，适合抽样调查； C、某市中学生群体数量大，调查范围广，适合抽样调查； D、某水域范围大，水质调查工作量大，适合抽样调查． 4. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（ ） A. 9∶1 B. 25∶4 C. 9∶4 D. 25∶9 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形一定是相似图形，且面积比等于相似比的平方．由已知比例确定对应点到位似中心的距离之比，得相似比，进而计算面积比． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ． ， 设，．若点在、之间，则，与矛盾， 点在、之间，即． 与的相似比为． 与的面积之比为． 5. 如图，是的直径，点，在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由是直径可以求出，再根据同弧所对的圆周角相等，可得，再通过角的和差即可求解． 【详解】为直径， ， ， ． 6. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的大小，即可得到的取值范围． 【详解】解： ， ， ， ， ， 即． 7. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有3个圆点，第②个图中有7个圆点，第③个图中有11个圆点，第④个图中有15个圆点……，按照这一规律，第⑩个图中圆点的个数是（ ） A. 39 B. 40 C. 41 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】观察可得相邻两个图形圆点个数之差为4，归纳出第n个图中有个圆点，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个图中有3个圆点，； 第②个图中有7个圆点，； 第③个图中有11个圆点，； 第④个图中有15个圆点，…… 第个图中有个圆点， ∴第10个图中圆点的个数是． 8. 年重庆城市足球超级联赛（渝超）某赛区采用了单循环赛制（每两队之间只比赛场）、该赛区一共进行了45场比赛，若设该赛区共有支球队参赛，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设该赛区共有支球队参赛，根据该赛区一共进行了45场比赛列方程即可． 【详解】解：设该赛区共有支球队参赛， ∵每支球队需要和除自身外的支球队各赛场，每场比赛由支球队共同参与，直接计算会对每场比赛重复计算次， ∴实际总比赛场数为， ∵总比赛场数为， ∴可列方程． 9. 如图，在正方形中，点在线段上，，连接，将绕点逆时针旋转90°得，将沿直线翻折到正方形所在的平面内得，连接，连接交于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正方形边长为3，利用旋转和翻折的性质确定点G和点F的位置．通过勾股定理建立方程组求出点F到正方形边的距离，进而利用相似三角形求出的长，利用勾股定理求出的长，最后计算比值． 【详解】解：设正方形的边长为3， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， 由旋转性质可知，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 即G，D，C三点共线， ∴ ， 由翻折性质可知，， ∴ ，， 过点F作于M，作于N， 设F到的距离为x，到的距离为y， 则，， 在Rt中，，，， ∴ ①， 在Rt中，，，， ∴ ②， 由①得， ∴ ， 由②得， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 代入得， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， 即点F到的距离为0.6，到的距离为1.8， ∴ 点F到的距离为， 过点F作于Q， 则， ∵ 点F到距离为0.6，G到距离为4， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， 即， ∴ ， 在Rt中，，， ∴ ， ∴ ． 10. 已知整式，其中n，为正整数，，，…，均为自然数，若，，下列说法中：①满足条件的所有整式M中有且只有4个单项式；②当时，满足条件的所有整式M的和为；③满足条件的整式M共有22个．正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件确定n的可能取值，再按n枚举符合条件的整式，逐一验证三个说法正确与否即可． 【详解】解：验证①：当时，， ∵，为正整数，为自然数， ∴的解可以为， 其中单项式有：，共4个， 当时，整式M至少有两项，不可能是单项式，故①正确； 验证②：当时，， ∵，， ∴的解可以为， ∴满足条件的所有整式M有：， ∴所有整式M的和为：，故②正确； 验证③：当时，由说法①可知，满足条件的整式M有7个， 当时，由说法②可知，满足条件的整式M有9个， 当时，， ∵，， ∴的解可以为， ∴满足条件的所有整式M共有6个， 当时，， ∵，， ∴的解可以为， ∴满足条件的所有整式M共有1个， 当时，， ∵，， 此时系数之和的最小值为，大于， 此时没有对应的解满足条件，不存在满足条件的整式， ∴满足条件的所有整式M的个数为：（个），并非22个，故③错误， 综上所述，正确的结论为①②，共2个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 木星赤道的半径大约是71000千米，将数据71000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变为时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于时，是正数． 【详解】解：． 12. 一个不透明的袋子中装有三张卡片，上面分别写有，1，2（卡片除了上面的数字外，其他完全相同），从中随机抽取1张卡片，抽取的卡片上的数字为正数的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出满足抽取的卡片数字为正数的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，所有可能的抽取结果共有种，它们出现的可能性相等， 其中抽取的卡片上数字为正数的结果有种，即数字和， 所以，抽取的卡片上的数字为正数的概率为． 13. 若一个多边形的每一个外角都是和它相邻内角的，这个多边形的边数是___________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据每个外角都等于相邻内角的，并且外角与相邻的内角互补，就可求出外角的度数；根据外角度数就可求得边数． 【详解】解：设外角是x度，则相邻的内角是3x度． 根据题意得：， 解得：， 则多边形的边数是：． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用是解题关键． 14. 已知，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先由已知条件得到，再利用因式分解的方法逐步转化为含有已知条件的形式，利用整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入得 ， 再次把代入得 ． 15. 如图，四边形为的内接四边形，为的直径，对角线、相交于点，交于点，、的延长线相交于点．已知，点为中点，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作与点，根据圆周角定理得出和是等腰直角三角形，利用勾股定理，得出，，再证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图，过点作与点， 四边形为的内接四边形，为的直径， ， ， 和是等腰直角三角形， ，，， 点为中点， ，， 在中，， ， ， ， ，， ，， 在中，， ， ， ， ． 16. 对于一个五位自然数，如果它满足万位数字与个位数字之和等于百位数字，且千位数字与十位数字之和等于百位数字的2倍，则称这个五位数为“对称数”．例如：59631，∵，，∴59631是对称数．则最小的“对称数”是________．若是一个“对称数”，记，．若是一个完全平方数且与之差能够被7整除，则的最小值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】若“对称数”最小，则万位数取最小数1，千位数取最小数0，再根据“对称数”定义求解即可；根据“对称数”定义可得，，根据是一个完全平方数，推出的可能取值为，根据能够被7整除，得到或或或，再逐一求解比较即可． 【详解】解：若“对称数”最小，则万位数取最小数1，千位数取最小数0， 万位数字与个位数字之和等于百位数字， 要使百位数最小，则个位数最小取0，此时百位数为， 千位数字与十位数字之和等于百位数字的2倍， 十位数为， 最小的“对称数”是； 是一个“对称数”， ，， ， 是一个完全平方数， 是一个完全平方数， ，且为整数， 的可能取值为， 记，，则，， ， 与之差能够被7整除， 是7的倍数， 或或或， 或或或，或或或， ①当时，则， 若，则， 当时，此时，，不符合题意； 当时，此时，，不符合题意； 当时，此时，，不符合题意； 当时，此时，，不符合题意； 若，则， 当时，此时，， ； 当时，此时，，不符合题意； 当时，此时，，不符合题意； 当时，此时，，不符合题意； ②当时，则， 若，时，则， 当时，，； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 若，时，则， 当时，不符合题意； 当时，，； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 若，时，则， 当时，，不符合题意； 当时，，； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； ， 的最小值是． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，给出必要的图象（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】、0、1 【解析】 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴整数解为、0、1． 18. 小红学习了菱形和尺规作图后，进行了拓展性研究，她发现了菱形的一种作图方法，以下是她的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： （1）用尺规完成以下作图：作的平分线交于点，作线段的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，． （2）已知：在中，平分，垂直平分．求证：四边形是菱形． 证明：∵垂直平分， ∴ ，①________． ∵平分， ∴②________． 在和中， ∴． ∴④________． ∴． ∴四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2）；；； 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角平分线和线段的垂直平分线的步骤作图即可； （2）先由线段的垂直平分线得到，，再证明，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图象（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为提升学生的科学素养，某校七、八年级学生参加了科学知识竞赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制均为整数）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级抽取的20名学生竞赛成绩：98，97，93，93，92，90，89，89，89，86，86，83，82，81，76，75，74，72，70，65．八年级抽取的20名学生中B等级学生竞赛成绩：89，88，87，86，88，83，81． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 84 84 中位数 86 b 众数 a 91 根据以上信息，解答下列问题 （1）上述图表中，________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科普知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1200名学生、八年级有1000名学生参加了此次竞赛，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共是多少？ 【答案】（1），，； （2） 七年级和八年级平均数都是分，但八年级的竞赛成绩的中位数和众数都比七年级高， 故八年级的学生竞赛成绩更好； （3）估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为等的学生人数总共是人． 【解析】 【分析】（）先根据众数、中位数的定义即可求出的值，求出八年级学生竞赛成绩为等级的人数所占比即可求出的值； （）七年级和八年级平均数都是分，但八年级竞赛成绩的中位数和众数都比七年级的学生的高，故八年级的学生竞赛成绩更好； （）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：由七年级学生竞赛成绩可知出现的次数最多，出现次， ∴， ∵八年级学生的竞赛成绩在等级的数据有个， ∴八年级学生的竞赛成绩在等级的数据占总数的， ∴八年级学生的竞赛成绩在等级的数据占， ∴， 八年级学生的竞赛成绩在等级的人数有（人），八年级学生的竞赛成绩在等级的数据可知，从高到低排列为，89，88，88，87，86，83，81， ∴八年级学生的竞赛成绩落在等级的数据，即第名成绩是，第名是， ∴八年级学生竞赛成绩的中位数是； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为等的学生人数总共是人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再用特殊角三角函数的值以及零次幂求得a的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ； ； ． 21. 2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．“张雪机车”3月A、B两种型号的摩托车订单量共3800台，两连冠后4月的订单暴增，A型号订单量增加200%，B型号订单量增加100%，4月两种型号的摩托车订单量共9400辆． （1）求3月A、B两种型号的摩托车订单量各是多少辆？ （2）4月的摩托车订单出厂前需要统一进行交付前检查“张雪机车”安排甲、乙两个质检组同时开始工作，甲组负责检查A型摩托车，乙组负责检查B型摩托车．已知甲组每天检查A型号的数量是乙组每天检查B型号数量的1.8倍，最终甲组比乙组提前20天完成检查任务．求乙组每天检查B型号摩托车多少台？ 【答案】（1）3月A型号摩托车订单量为1800台，B型号摩托车订单量为2000台. （2）乙组每天检查B型号摩托车50台. 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的实际应用. （1）设出3月A、B两种型号的订单量，根据题干给出的3月总订单量和4月总订单量的条件列出二元一次方程组，求解即可得到结果. （2）先根据第一问结果算出4月两种型号的订单量，再设乙组每天检查的数量，根据甲乙完成任务的时间差列出分式方程，求解检验后即可得到结果. 【小问1详解】 解 ：设3月A型号摩托车订单量为x台，B型号摩托车订单量为y台. 根据题意可得 ，整理第二个方程得， 解得 ， 答：3月A型号摩托车订单量为1800台，B型号摩托车订单量为2000台. 【小问2详解】 解：由（1）可得，4月A型号订单量为（台）， 4月B型号订单量为（台）. 设乙组每天检查B型号摩托车m台，则甲组每天检查A型号摩托车台. 根据题意可得， 解得，经检验是分式方程的解， 故乙组每天检查B型号摩托车50台. 22. 如图，在平行四边形中，，，点为的中点，连接．动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动，连接．动点同时以每秒个单位长度从点出发，沿射线方向运动，连接．当点到达点时，点，同时停止运动．设点，的运动时间均为秒，记的面积为，与的面积之比为． （1）请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） 解：画出，的图象，如下图所示： 由函数图象可知，函数的性质：当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3） 【解析】 【分析】（1）首先确定的取值范围；当点在线段上时，可得，过点作于点，此时，利用三角函数解得，即可确定此阶段；当点在线段上时，可得，此时，由三角形面积公式可得此阶段；计算的面积，过点作于点，根据题意可知，利用三角函数解得，进而可得，然后确定，并分别写出自变量的取值范围； （2）结合（1）中，关于的函数关系式，在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出一条函数的性质即可； （3）结合函数图象，确定时的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵，，且点为的中点， ∴， ∴， ∵动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动， ∴点运动到点，所用时间为秒， ∵动点以每秒个单位长度从点出发，沿射线方向运动， ∴点运动到点，所用时间为秒， ∴点，的运动时间的取值范围为； 当点在线段上时，可得，过点作于点，如下图， 此时， ∵在中，， ∴在中，， ∴， ∴的面积为， 当点在线段上时，可得，如下图， 此时， ∴的面积为， ∴； ∵四边形为平行四边形，为对角线， ∴，，， ∴， ∴， 如下图，过点作于点， ∵动点以每秒个单位长度从点出发，沿射线方向运动， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴与的面积之比为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：结合函数图象，可知时的取值范围为． 23. 缙云山下、嘉陵江畔，风光秀美，人文雅致．小喜、小福的家与学校、公园均坐落于此．已知小福家位于学校的北偏东方向，同时在小喜家的北偏东方向；小喜家位于学校的北偏西方向4公里处；公园位于学校的正东方向．（参考数据；，，） （1）求小福家与小喜家的距离，（结果精确到） （2）小喜和小福约好放学后一同去公园游玩，两人同时出发．小喜从学校直接前往公园．小福先从学校回家放下书包（停留时间不计），再从家里前往公园，最终两人同时到达．已知小喜与小福的速度之比为，求小福家到公园的距离．（结果精确到） 【答案】（1）公里； （2）公里 【解析】 【分析】（1）过点A作，根据题意得出，，，再由正切函数结合图形求解即可； （2）由（1）得：，过点B作，确定，设，设小喜与小福的速度分别为，利用时间相等及勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：过点A作，如图所示： 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）得：， ∴， 过点B作，如图所示： ∴， ∴， ∴， 设， ∵小喜与小福的速度之比为， ∴设小喜与小福的速度分别为， ∴，整理得：①； ∵， ∴②， 将①代入②整理得：， 解得：（负值舍去）， ∴小福家到公园的距离为公里． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，交轴于点，其中点，抛物线的对称轴为直线，连接，． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作交抛物线于点，连接交线段于点，连接，，点，分别是直线和直线上的动点，且，连接，当四边形面积最大时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中四边形面积取得最大值条件下，将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上一动点，为点的对应点，连接，，，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合，解直角三角形，平行四边形的性质； （1）先根据对称轴求出，再将、代入即可求出解析式； （2）先求出直线：，直线：，直线：，由，将转化为，从而得到，过作轴，交于，设，则，表示出即可求出当时，四边形面积最大，从而求出，过作，以为斜边作等腰，以为邻边作平行四边形，由，得出当三点共线时，即三点在轴上，从而求出的最小值； （3）先求出平移后的解析式为，再求出直线：或，分别与求解，即可求出点的横坐标． 【小问1详解】 解：∵，抛物线的对称轴为直线， ∴， 将、代入得， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵，令，得， ∴， 又∵， 设直线解析式为，将，代入得：， 解得， ∴直线解析式为， ∵，， ∴设直线解析式为，将代入得：，解得：， ∴直线解析式为， 连接， ∵， ∴， ∵， 将直线：与联立得：， 解得：或， ∴点， 又∵， 同理可得：直线解析式为， 过作轴，交于， 设，则， ∴ ， ∴当时，四边形面积最大， ∴， 过作，以为斜边作等腰，以为邻边作平行四边形， ∵， ∴等腰中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 设直线：，将代入得：，解得：， ∴直线：， 设， ∴，解得：或（舍去）， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当三点共线时，即三点在轴上，取最小值， ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：∵， ∴将抛物线沿方向平移，即是将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位， ∵， ∴平移后的解析式为， ∵，将抛物线先向右平移2个单位，在向上平移2个单位， ∴， ∴， 过点作轴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴当点在轴上方时，， 设直线：，将代入得：，解得：， ∴直线：， 设直线：，将代入得：，解得：， ∴直线：， 令，解得：（舍去）或， 将直线：，沿着轴翻折得到直线，同样满足， 令，解得（舍去）或， 综上：点的横坐标为或． 25. 在Rt中，，，在直线下方有一点，连接与交于点，连接，． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，点为线段的中点，连接，过点作于点．求证：； （3）如图3，，点在直线上方，连接，，且的面积为2，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，取中点，连结， 为等腰直角三角形， ， ， 在的垂直平分线上， ， ， ， 又是中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ． （3）10 【解析】 【分析】（1）根据，可以推出，由可得，设，用的代数式表示，即可列出方程求解； （2）取中点，连接，构造出平行四边形，推出，进一步得出，从而确定与的数量关系，再根据和的关系即可证明结论； （3）首先要确定的轨迹，根据轨迹确定什么时候最短，然后确定的位置，求出到的距离，即可求出三角形的面积。 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 设， 则 又 ， ， 解得 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过作的垂线交于，过作的垂线，垂足为，取的中点，取的中点，以为圆心，为半径作圆，连接交于点，作于点，连接，过作的垂线交于点，连接 ， ， ， ， ，, （夹在平行线间的垂线段相等）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在以为直径的圆上， 当与重合时，最小， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当最小时，则点与点重合，点与点重合， ． 【点睛】本题是一道综合性很强的题目，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理的推论等知识，本题还考查了反演变换，熟悉这个模型是解决这个题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $