第4章三角形 自主达标测试题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《第4章三角形》自主达标测试题（附答案） 一、单选题（某个24分） 1．下列图形中，运用四边形不稳定性的是（   ） A． B． C． D． 2．下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，利用三角板（图中阴影所示）能直接画出边上的高的是（   ） A． B．C． D． 4．如图，已知，，要使 ，可以添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 5．如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，P为边上一动点（不与A，B重合），于E，于F，连接，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的大小 C．的周长 D．的面积 7．如图，在中，，，，射线，垂足为点B，一动点E从C点出发以每秒1个单位长度的速度在线段上运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，设点E运动时间为t（）秒，当___秒时，与全等． 8．如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（满分24分） 9．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 10．若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是________． 11．已知是的高，，，则的度数为_______． 12．已知图中的两个三角形全等，则_____． 13．如图，已知，若，，则的长为_____． 14．如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．若，则_____． 15．如图，在和中，，，点是的中点，连接、，且满足，若，则________．（用含的代数式表示） 16．如图，在中，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动_________s时，． 三、解答题（满分72分） 17．（8分）如下图所示，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高，边上的中线； (2)若的周长比的周长长4.5，则比长____________； (3)的面积为____________． 18．（8分）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 19（8分）如图，中，，为上一点，，交于点，求证： 20．（8分）图，、交于点，连接、、、，． 若_____，则．从①，②，③，这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 21．（8分）如图，在中，，是的高，在上取一点P，使，在的延长线上取一点Q，使，求证：且． 22．（10分）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 23．（10分）如图是嘉嘉爸爸制作的风筝，风筝的一角（）缺失，为修补该风筝，嘉嘉测得，，． (1)淇淇说：“测得的长就是的长．”请你判断淇淇的说法是否正确，并说明理由； (2)若用纸面积为30，求的用纸面积． 24．（12分）在等腰中，，，点在直线上．且于点，于点． (1)当直线处于图1位置时，若，，则___________，___________． (2)当直线处于图1位置时，求证：． (3)当直线处于图2位置时，猜想，，之间的数量关系，并证明． 参考答案 1．B 【分析】根据三角形和四边形的特征解答即可． 【详解】解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性，不符合题意； B选项伸缩门是用到了四边形的不稳定性，符合题意． 2．B 【详解】解：三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，只需比较较短两边的和与最长边的大小即可， A选项，最长边为，，不能做成三角形框架，不符合题意； B选项，最长边为，，能做成三角形框架，符合题意； C选项，最长边为，，不能做成三角形框架，不符合题意； D选项，最长边为，，不能做成三角形框架，不符合题意． 3．B 【分析】从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高，根据此定义逐项判断即可． 【详解】解：A、三角板的直角边没有一条在直线上，不能直接画出边上的高，故此选项不符合题意； B、三角板的直角边有一条在直线上，且另一直角边经过点，能直接画出边上的高，故此选项符合题意； C、三角板的直角边没有一条在直线上，不能直接画出边上的高，故此选项不符合题意； D、三角板的直角边没有一条在直线上，不能直接画出边上的高，故此选项不符合题意； 4．A 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、由推出，由判定 ，故A符合题意； B、由得不到，不能判定 ，故B不符合题意； C、和分别是和的对角，不能判定 ，故C不符合题意； D、和分别是和的对角，不能判定 ，故D不符合题意． 5．B 【详解】解：已知条件是，，， ∴， ∴． 故选：B． 6．B 【分析】过B作，与的延长线交于D，连接，利用等积法即可得出结论． 【详解】解：过B作，与的延长线交于D，连接， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴的大小为定值．其余选项均不能得到是定值. 7．2 【分析】由，，，可得当或时，与全等，解得：或（舍去）． 【详解】解：∵， ， ，， ∴当或时，与全等， 或， 解得：或， ， ， 即当秒时，与全等． 8．B 【分析】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误． 【详解】解：， ∴，即， 在和中， ， ，则①正确； ，，，则②正确； 由三角形的外角性质得：， ，则③正确； 如图，作于，于，则， 在和中， ， ， ，， 平分，即， ， ∴， 假设， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，即，与矛盾， 则假设不成立，则④错误； 综上，正确的结论有①②③． 9． 8 ，，， 和 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 10．25 【分析】题目未明确腰和底边的长度，因此需要分两种情况讨论，再根据三角形三边关系验证能否组成三角形，即可得到结果． 【详解】解：根据等腰三角形的定义，分以下两种情况讨论： 当边长为的边为腰时， 三角形的三边长分别为，，， 因为，不满足三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，因此这种情况不成立，舍去； 当边长为的边为腰时， 三角形的三边长分别为，，， 满足三角形的三边关系定理， 此时这个等腰三角形的周长为． 11．或 【分析】分两种情况讨论，当高在内时，根据计算，当高在外时，根据计算． 【详解】解：当高在内时， ， ； 当高在外时， ， ． 12．/50度 【分析】根据全等三角形的性质解题． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等，是边和边的夹角， ∴． 13．5 【分析】根据全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解： ， ． 14．/125度 【分析】本题主要运用全等三角形的判定定理以及全等三角形的性质来求解．先通过线段的等量关系证明三角形全等，再利用全等三角形对应角相等求出角度． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 15． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接、，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，即， ，， ， ， ， ， ． 16．或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 由题意易得，则有，然后可分当点E在直线的上方时，当点E在直线的下方时，进而分类进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意可分：当点E在直线的上方时， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为； 当点E在直线的下方时， 同理可得：， ∴， ∴点E的运动时间为； 综上所述：当点E运动或时，有； 故答案为：或． 17．(1)见解析 (2)4.5 (3)4 【分析】本题考查了三角形的高与中线的定义，三角形周长差的转化，三角形面积的计算，掌握中线将三角形分成面积相等的两部分，周长差可通过消去相等线段转化为边长差是解题的关键． （1）根据三角形高的定义，从点向边作垂线得到，根据中线定义找到的中点，连接得到中线； （2）利用中线的性质，，结合周长差的表达式，消去公共边和相等线段，得到与的差； （3）先计算的面积，再利用中线将三角形分成面积相等的两部分，得到的面积． 【详解】（1）解：如图所示，线段、线段即为所求． （2）解：∵是的中线， ∴． ∵的周长比的周长长， ∴， ． （3）解：∵，是的中线， ∴． 18．(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 19．证明见详解 【分析】根据已知条件可知四边形是平行四边形，得到，再证明，即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴（）， ∴． 20．见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，根据题意，运用角边角，角角边判定三角形全等即可求解． 【详解】解：选择①作条件， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴； 选择②作条件， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴； 选择③作条件，不能运用边边角证明三角形全等，不能得到结论． 21．见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质； 由同角的余角相等得到，证明，得到，，再根据，求出，可得． 【详解】解：∵在中，，是的高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴． 22．(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． ∴． 23．(1)正确，理由见解析 (2)30 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，线段和差问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质； （1）由得，利用证明，得； （2）先利用证明，得，由（1）知，进而得，利用证明，根据用纸面积为30，求的用纸面积． 【详解】（1）解：正确； 理由：，，， ， 在与中， ， ， ，即测得的长就是的长； （2）（2）由（1）可知， ，， 在与中， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ． 24．(1)1，3 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定． （1）根据题意证明出，即可得到，； （2）由（1）得，，进而证明即可； （3）同（1）证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； （2）解：由（1）得，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $