第4章三角形 单元自主达标测试题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《第4章三角形》单元自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形的稳定性 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 2．如图，为估计沙堆两侧点A，B间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点C，测得，，那么点A，B两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 3．下列各图中，作边上的高，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．根据下列已知条件，能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．， D．，， 5．如图，已知，点与点，点与点分别是对应顶点，且，，，的长为（   ） A． B． C． D．或或 6．如图，中，，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，则有，因此量出的，两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 8．如图，，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（满分24分） 9．已知等腰三角形的一边长为4，周长为20，则它的腰长为______． 10．如图，已知，若以“ASA”判定，需添加的条件是______．    11．如图，是上的中线，是上的中线．是的中点，的面积是40，则的面积是______． 12．如图，，平分，E为上一点，且，连接并延长，交于点F，若，则的度数为______． 13．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 14．如图，且，且，，，，已知点F，A，G，C，H在同一直线上，则图中阴影部分的面积是___________． 15．如图，，，若，则的面积为________ 16．已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为___________秒时，和全等． 三、解答题（满分72分） 17．如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作一个，使得 ，．（保留作图痕迹，不写作法） 18．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)在任意中，化简：． 19．在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，，与相交于点F．若_____，求证：． 20．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．如图，三点共线，三点共线，，于点，． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 22．已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 23．综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据图示即可求解． 【详解】解：自行车支架一般都会采用如图的设计，这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：B ． 2．B 【分析】本题考查了三角形的三边关系：已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先根据三角形的三边关系定理求出的取值范围，然后再判断各选项是否正确． 【详解】解：∵，，能构成三角形， ∴， 即， 只有8符合题意， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，从三角形的一个顶点往对边引垂线，顶点与垂足所连线段为三角形的高线进行判断即可． 【详解】解：作边上的高，如图： 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：，，，两边及其中一边的对角不能画出唯一，故A不符合题意； ∵，，， ∴，故B不符合题意； ，，一边一角不能画出唯一，故C不符合题意； 当，，时，根据“”可判断的唯一性．故D符合题意； 故选D． 5．B 【分析】本题主要考查全等三角形的定义，找准对应顶点是解题的关键． 根据全等三角形找到的对应边为即可求解． 【详解】解：∵，点与点，点与点分别是对应顶点， ∴， 故选：B． 6．A 【分析】根据条件判断，然后根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的性质是解题关键． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定条件是解题关键． 由中点得两组对应边相等，由对顶角相等得到一组对应角相等，根据判定定理证出． 【详解】解： 为两根木条的中点， ，， ， 在与中， ， ． 故选：． 8．B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，是解题的关键． 证明可判断①②正确；根据证明可判断④正确；无法判断③正确． 【详解】解：，，， ， ，，，故②正确； ， 即，故①正确； ，，， ，故④正确； 根据题目条件，不能判断出与的大小关系，因此不能判断与是否相等，故③错误． 故选：B． 9．8 【分析】该题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分两种情况讨论：当4为腰时和当4为底边时，利用三角形三边关系判断是否构成三角形． 【详解】解：若4为腰，则底边长为，此时三边为4、4、12， ∵， ∴不能构成三角形，舍去； 若4为底边，则腰长为，此时三边为8、8、4， ∵，， ∴能构成三角形，故腰长为8． 故答案为：8． 10． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知判定三角形全等的方法是关键； 根据题意，题目中已有公共边，已知中有，若以“”判定，需添加的条件是． 【详解】解：在中， ∵，， ∴若以“”判定，需添加的条件是； 故答案为：． 11．5 【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键．根据三角形中线将三角形的面积平分，可逐步求得，，． 【详解】解：是上的中线，的面积是40， ， 是上的中线， ， 是的中点， ． 故答案为：5． 12．/32度 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．由平分可得，根据可证得，由此可得，再由对顶角相等可得，即可求解． 【详解】解：平分， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 13．2 【分析】求出，证明，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 14．72 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据同角的余角相等推出，由此证得，得到，，同理得，，进而根据求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理，，， ∴， ∴ ． 故答案为：72． 15．2 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，过点D作交的延长线于E，证得，再根据三角形的面积公式即可求出结果． 【详解】解：过点D作交的延长线于E，如图所示： ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：2． 16．或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．分和两种情况，证明和全等，进而可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知， 分两种情况讨论， ①当时，如图， ∵， ∴， 由题意得，解得（秒）； ②当时，如图， ∵， ∴， 由题意得，解得（秒）． 综上所述，当的值为1或7秒时，和全等． 故答案为：或． 17．见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—作三角形，先作射线，再以点A为圆心，线段的长为半径画弧交射线于D，接着以点D为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于B，再接着作，最后以点A为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于C，连接，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 18．(1)等边三角形； (2)． 【分析】本题考查了绝对值非负数的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定，整式的加减等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）根据绝对值和平方的非负性得到，，进而推出，即可判断的形状； （）根据三角形三边关系得到，，，再结合绝对值性质进行化简，即可解题． 【详解】（1）解：∵， ∴根据非负数的性质，，， 解得，， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：∵的三边长分别为，，， ∴根据三角形的三边关系得，，，， ∴，，， 则 ． 19．①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是关键．若选择条件①，根据“边角边”证明，即可得到结论；若选择条件②，根据“角边角”证明，即可得到结论；若选择条件③，连接，先证明，得到，再根据“角边角”证明，即可得到结论． 【详解】解：选择条件①的证明： 在和中， ， ， ； 选择条件②的证明： 在和中， ； 选择条件③的证明：连接， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，关键是全等三角形的判定； （1）通过三角形外角的性质论证，进而论证两三角形全等； （2）根据全等三角形的性质得到，，进而得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ， ， 在与中，， ； （2）解：， ，， ，， ． 21．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）过作的延长线于点，可证，得到，再证明，得到，即可求证； （）由全等三角形的性质得，，即得，，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：过作的延长线于点， ∵于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）证明：由（）得，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 22．(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，两条直线的位置关系，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，通过角之间的等量代换，得出即可证明． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ． （2）解：、特殊位置关系为． 证明如下：由（1）知， ． ， ． ． 即． 、特殊位置关系为． 23．（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （2）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （3）分两种情况讨论：情况一：当在线段上时，情况二：当在点右边时，利用证明，再由全等三角形的性质和线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：分两种情况讨论： 情况一：当在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 情况二：当在点右边时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $