第4章三角形 自主学习同步练习题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《第4章三角形》自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列长度的3条线段不能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在和中，，补充条件后，仍不一定能保证，这个补充条件是（   ） A． B． C． D． 3．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（    ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 4．如图，E，B，F，C四点在一条直线上，且，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图所示的两个三角形全等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在与中，，，，与交于点，与交于点，与交于点，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．②④⑤ D．①④⑤ 二、填空题 8．下列物体的某些结构都是三角形，其中没有运用三角形稳定性的是______．（填物体名称） 9．已知是的高，，则的度数为___________． 10．若一个等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为_____________． 11．一个三角形的三边为3，6，，另一个三角形的三边为，3，7，若这两个三角形全等，则______． 12．如图，点在同一条直线上，，，，，，则的长为_______． 13．如图，且，且，，，，已知点F，A，G，C，H在同一直线上，则图中阴影部分的面积是___________． 14．如图，中，，，，点从出发．以的速度沿向运动，设运动时间为秒，当从开始运动的同时，从出发以的速度，沿向运动，当与全等时，的值为_____． 三、解答题 15．已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 16．下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折叠后点C落到点处）． (1)折出的是边上的中线的是______； (2)折出的是边上的高的是______； (3)折出的是的平分线的是______． 17．如图，已知线段b和． (1)请用无刻度的直尺和圆规作；使，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)请作适当的辅助线证明． 18．判断下列各组中的两个三角形是否全等，并说明理由 (1)图（1）中的与．已知条件是， (2)图（2）中的与．已知条件是， (3)图（3）中的与．已知条件是，， 19．小刚想知道一堵墙上点到地面的高度，已知，但是测量的皮尺无法到达点，无法直接测量，于是小刚想到了刚刚学过的全等三角形的知识，设计了如下的两种方案进行测量： 方案一： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量线段①_______的长度，即为点到地面的高度． 方案二： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下的长度； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点为； 第三步：测量线段②_______的长度，即为点到地面的高度． (1)请补全方案中的空白①_____；②____； (2)请分别说明小刚这两种方案测量的理由； (3)你认为这两种方案哪个更容易操作、测量的结果更准确呢？_____（填“方案一”或“方案二”不需说明理由）． 20．已知，在四边形中，，E、F分别是边上的点，且． (1)为探究上述问题，小李同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小李的解题思路：先证明______；再证明 ，即可得出之间的数量关系为 ． (2)请你借鉴小李的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，准确分析判断是解题的关键． 根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边，否则不能组成三角形． 【详解】解：选项：，两边之和等于第三边，不满足两边之和大于第三边，故不能组成三角形． 选项：，，，满足三角形三边关系，故能组成三角形； 选项：，，，满足三角形三边关系，故能组成三角形； 选项：，，，满足三角形三边关系，故能组成三角形； 故选． 2．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． 选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A、当补充时，利用可判定，故A不符合题意； 当补充时，利用可判定，故B不符合题意； 当补充时，利用可判定，故C不符合题意； 当补充时，满足，不一定能保证，故D符合题意． 故选：D 3．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 【详解】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，先根据全等三角形的性质得到，则可判断，然后利用可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∵， 而， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等可知，边长为m和边长为n的两条边的夹角相等，即，据此可得答案． 【详解】解：∵如图所示的两个三角形全等， ∴， 故选：A． 6．A 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键； 先证明，根据全等三角形的性质可得，，，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7．D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定()与性质的综合运用，同时考查角的和差运算与等量代换、对顶角性质及三角形内角和定理的应用，先通过角的等量代换推出，用证得到边的等量关系；再依次用证多组三角形全等，逐一验证①②④⑤结论成立，根据已知条件排除③，结合选项确定最终答案为①④⑤． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 故①正确； ∵， 如解图，连接 根据题目已知条件，无法判断和全等， 则不一定等于， ∴不一定等于， 故②不一定正确； ∵题目条件并未体现和和之间的角度关系， 故③不一定正确； 又∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，故④⑤正确， 综上所述，一定正确的是①④⑤． 故选：D． 8．警示牌 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；因此此题可根据三角形的稳定性进行求解即可． 【详解】解：没有运用三角形稳定性的是警示牌； 故答案为：警示牌． 9．或 【分析】本题主要考查了三角形的高，角的和与差， 分两种情况：当高在内时，根据解答；当高在外时，根据解答. 【详解】解：当高在内时， ∵， ∴； 当高在外时， ∵， ∴. 故答案为：或. 10．33或36 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，理解题意是解决本题的关键． 分为腰长或为腰长两种情况讨论，利用三角形三边关系判断是否能组成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当为腰时，三边分别为、、， ∵， ∴能组成三角形，周长为； 当为腰时，三边分别为、、， ∵， ∴能组成三角形，周长为． 故答案为：33或36． 11．1 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，两个三角形全等，则对应边相等．通过比较两个三角形的各边长度，从而求出x和y的值，则可得到答案． 【详解】解：由全等三角形的性质可得， ∴， 故答案为：1． 12．7 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 根据，，，可证，推出，即可得出答案． 【详解】解：，，． 在和中， ． ． 故答案为：7． 13．72 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据同角的余角相等推出，由此证得，得到，，同理得，，进而根据求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理，，， ∴， ∴ ． 故答案为：72． 14．或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意可得，，则，分两种情况：①当时，，；当时，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ， 当时，，， ，， 解得，； 当时，，， ，， 解得，； 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：或． 15．(1)5，，． (2)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查非负数的性质，三角形三边关系和等边三角形的判定，结合“三角形三边关系”，判断绝对值内表达式的正负是解题关键． （1）根据非负数的性质和三角形三边关系去绝对值后计算即可； （2）根据非负数的性质可判断出，进而确定的形状． 【详解】（1）解： ， ，， 则； 根据三角形三边关系，，， 则； 且， ， ． 答：5，，． （2）解： ，且，， 可得， 解得， ，为等边三角形． 答：为等边三角形． 16．(1)丙 (2)甲 (3)乙 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的高，中线和角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据三角形中线的定义求解即可； （2）根据三角形高的定义求解即可； （3）根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠得，甲和乙中，丙中， ∴折出的是边上的中线的是丙； （2）解：根据折叠得，甲中，乙和丙中， ∴折出的是边上的高的是甲； （3）解：根据折叠得，乙中，甲和丙中， ∴折出的是边上的平分线的是乙． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握作图技能． （1）画射线，截取，利用画一个角等于已知角的方法作即可； （2）如图所示，过点B作，证明出，即可得到． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：如图所示，过点B作 ∴ ∵， ∴ ∴． 18．(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． （1）根据定理即可证出； （2）根据定理即可证出； （3）先根据线段的和差可得，再根据定理即可证出． 【详解】（1）解：，理由如下： 在和中， ， ∴． （2）解：，理由如下： 在和中， ， ∴． （3）解：，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 19．(1)①；② (2)见解析 (3)方案二 【分析】本题考查了全等三角形的应用，读懂题意，找出全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质即可得到答案． （2）证明和全等，即可完成证明． （3）长度测量比角度测量更容易，故方案二更容易操作、测量的结果更准确． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：理由如下， 方案一，在和中， ， ∴， ∴． 方案二，在和中， ， ∴， ∴． （3）解：方案二更容易操作、测量的结果更准确． 20．(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长至M，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明， 即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：上述结论依然成立． 证明：如图2，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $