2026年中考数学提分必刷训练二次函数中特殊三角形的存在性问题专题提升训练

2026年中考数学提分必刷训练 二次函数中特殊三角形的存在性问题专题提升训练 1．如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接． (1)直接写出抛物线与x轴的交点坐标及直线的解析式； (2)点P是上方抛物线上一点，当时，求出点P的坐标（不与点A重合）； (3)在抛物线的对称轴上存在点M，使是等腰三角形，请直接写出此时点M的坐标． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交x轴于点D．已知线段， 直线经过B，C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点. (1)求抛物线的解析式和，两点的坐标； (2)如图，若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），过点M作y轴的平行线，交直线于点； ①设点的横坐标为，用含的式子表示出的长，并求出的最大值及此时点的坐标； ②过点作，交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的横坐标的值． 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点C，点在线段上，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点．    (1)求二次函数的解析式； (2)在点运动过程中，若是直角三角形，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图所示，已知抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求直线的函数表达式； (3)点为轴上一动点，的垂直平分线交于点，交抛物线于两点，且点在第二象限．                         ①当线段时，求的值； ②当以为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标． 9．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，使的面积最大？求出的最大面积及此时M点的坐标． 10．如图，抛物线过点、点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是第四象限抛物线上的一个动点． ①当的面积最大时，求点的坐标？并求出面积的最大值； ②过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（点B在点C左侧）． (1)点A的坐标为______． (2)若点B关于x轴的对称点为，则当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在直线上方，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当与全等时，求点P，Q的坐标． 13．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)存在，点的坐标为或； (3)四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，，，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； （3）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，且，则，，可得，从而得出，进而得到，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ，， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或； （3）解：，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在线段上运动， 设，且， 过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值， 即四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键． 2．(1)； (2) (3)或或()或()或 【分析】本题是二次函数综合题，考查了抛物线的性质及解析式的确定，三角形的面积，两点间的距离公式以及等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解． （1）令，则，解方程得到，令，则，得到，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为； （2）如图，设，过P作轴交于Q，得到，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）设M的坐标为，根据勾股定理得到，，，①当时，②当时，③当时，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）如图，设，过P作轴交于Q， ∴， ∵， ∴， 解得或(不合题意舍去)， 当时， ∴点P的坐标为； （3）∵抛物线的对称轴为直线， ∴设M的坐标为， ∵， ∴，， ， ∵是等腰三角形， ∴①当时，即， ∴， ∴或； ②当时，即， 解得， ∴()或()； ③当时，即， 解得， ∴， 综上所述，点M的坐标为或或()或()或． 3．(1) (2)存在，，，， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，两点间距离公式，等腰三角形的定义等知识点． （1）先根据一次函数求出点坐标，再由求出坐标，然后由待定系数法求解即可； （2）先求出对称轴为直线，则，然后设，表示出，，，再分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：对于，当， ∴， 将代入，则， ∴， 当，， 解得：， ∴， ∵， ∴， 将代入，则 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：存在，由可得对称轴为直线，则 ∴设， 则，，， ①时，， 解得：或（舍）， ∴； ②时，， 解得：， ∴； ③当时，， 解得：， ∴或， 综上：当是等腰三角形，，，，． 4．(1) (2)存在，点的坐标为或； 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； 【详解】（1）解：抛物线交轴于，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ， ， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或． 5．(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 6．(1)抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为 (2)①用含的式子表示出的长为，的最大值是4，此时点的坐标为；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出的值，即可求得抛物线解析式，在令其值为零，解一元二次方程即可求出和的坐标； （2）①易求点的坐标为，设直线的解析式为，将，代入，解出和的值，即得直线的解析式；设点的坐标为，则点的坐标为，表示出的长得出关于的二次函数，从而求得其最值及此时点的坐标；②由得中，，可得当时为等腰直角三角形，分点在对称轴右侧和点在对称轴左侧，根据得出关于的方程，从而求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 抛物线的解析式为：． 当时，，解得，， 点的坐标为，点的坐标为． ∴抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为； （2）解：①当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为，将，代入得： ，解得， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 当时，的最大值是4， 点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合）， ， 此时点的坐标为． 用含的式子表示出的长为，的最大值是4，此时点的坐标为； ②， ， 当时，为等腰直角三角形， 点在对称轴右侧时，如图： ，交抛物线于点，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ，， 当时为等腰直角三角形， 的长为， ，解得：或（舍去）， ； 点在对称轴左侧时，如图： ，交抛物线于点，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ，， 当时为等腰直角三角形， 的长为， ，解得：或（舍去）， ； 存在，点的横坐标的值为或. 【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是充分掌握分类讨论的思想，对（2）要分类求解，避免遗漏． 7．(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可； （3）分四边形为菱形和四边形为菱形，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于、两点， 把、代入， 得，解得， ； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， 轴， ，， ， 是直角三角形， 当时，则：， ， ∴关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为， ， 此时点的坐标为， 当时， 设的解析式为， 把，代入， 得，解得， ， 设点，则，， 则：，， ，， ， ∴， ， ，， ， 则， 即， 解得，（此时点和点重合，故舍去）， 点； 综上或； （3）存在，或； 如图：依题意，当四边形为菱形时，由（2）知的解析式为； 设点，，； 四边形为菱形， ， 即， 则， 由（2）知，此时， ， ∵， ∴， ∴， ， 即如下图所示： 如图：依题意，当四边形为菱形时 点，，， ，即， ∴， ， ， 解得，（舍去）， ， ； 综上或． 8．(1) (2) (3)①；②或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）①由题意可得，设交抛物线的对称轴于点，则由抛物线的对称性可得，进而可得点的横坐标为，得到，即得，即得到，可得，过点作于点，由得，， 即得，最后根据正切的定义计算即可求解；②分和两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了用待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的几何应用，锐角三角函数，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：把代入，得， 解得，， ∴，， 设直线的函数表达式为， 把和代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （3）解：①∴，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， 设交抛物线的对称轴于点，则由抛物线的对称性可得， ∵对称轴是直线， ∴点到轴的距离是， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分于点， ∴， ∵点是直线与抛物线的对称轴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， 在中，； ②当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的纵坐标为， 此时点和点重合，如图， 把代入，得， 解得，， ∵点在第二象限， ∴， ∴； 当时，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∴点和的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∵点在第二象限， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或． 9．(1) (2)存在满足条件的点，其坐标为或 (3)点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为 【分析】（1）由的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）可设出点坐标，则可表示出、和的长，分、两种情况分别得到关于点坐标的方程，可求得点坐标； （3）由、的坐标可求得直线的解析式，可设出M点坐标，则可表示出N点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点M的坐标． 【详解】（1）解：在抛物线上， ，解得， 抛物线解析式为； （2）， 抛物线对称轴为直线， 当时，， ，且， ， 点在对称轴上， 可设， ，， 当时，， 解得，此时点坐标为； 当时， 解得（与重合，舍去）或，此时点坐标为； 综上可知：存在满足条件的点，其坐标为或； （3）当时，即，解得或， ，， 设直线解析式为， 由题意可得，解得， 直线解析式为， 点M是线段上的一个动点， 可设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为4， 此时， ，即M为的中点， 点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用点的坐标表示出和是解题的关键，在（3）中用M点坐标表示出的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 10．(1) (2)①，最大值为；②存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的性质，三角形的面积，等腰直角三角形，掌握二次函数的性质，等腰直角三角形是解题的关键． （1）由抛物线过点，，可直接得出抛物线的表达式为，展开即可得出结论． （2）①过点作轴，交线段于点，则，根据二次函数的性质可得结论； ②由题意可知，若是等腰直角三角形，则，分别表示及，可求出的值，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，点， 抛物线的表达式为； （2）由（1）得抛物线的解析式为， 令，则， ， 直线的表达式为， 点是第四象限抛物线上的一个动点， 设， ①如图，过点作轴的垂线，交线段于点，则， 当时，即，的值取最大，最大值为 ②存在， 由题意可知， 若是等腰直角三角形，则， 点是第四象限抛物线上的一个动点， 设，， ， 轴， ， ， ， 解得 舍去或或或 舍去， 当是等腰直角三角形时，点的坐标为或． 11．(1) (2)以点为顶点的三角形是直角三角形时，实数a的值为或1 【分析】（1）一次函数与x轴的交点的纵坐标为0， 计算当时x的值，从而得到交点坐标. （2）先联立直线与抛物线方程得到B，C两点的坐标. 再利用坐标的对称变换，将表示出来，利用直角三角形的特点以直角的位置分类， 并利用勾股定理建立等式求出a的值. 【详解】（1）解：对于直线l：， 当时，， A点的坐标为. （2）解：联立直线l：与抛物线E：， 得 ∴. 解得或. ，. B点关于x轴的对称点为点，. ， ， . 若，则 ， 即. . 若，则， 即. 若，则 ， 即. 则此方程无解. 或. 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、坐标的对称变换以及勾股定理的运用， 是函数与直角三角形综合性问题. 12．(1) (2) (3)或，或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊三角形形，难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再求出直线的解析式为，过P点作轴交于点G，设，则，求出，进而求出，利用二次函数的性质即可解答； （3）根据题意易证是等腰直角三角形，由与全等，得到是等腰直角三角形，推出，设，则，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将两点代入，得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 过P点作轴交于点G， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴时，四边形面积有最大值， 此时； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵与全等， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴或，或， ∴或，或． 13．(1) (2)点E的坐标为，； (3)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； ∴； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $