精品解析：山东省泰山中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

山东省泰山中学2025级高一年级下学期期中考试试题 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、选择题 1. 已知复数z满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘除法结合共轭复数的概念计算即可. 【详解】， 所以. 故选：B 2. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台表面积公式计算得解. 【详解】圆台的上底面圆半径，下底面圆半径， 设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为，依题意有： ，解 得, 所以圆台的表面积. 故选：C 3. 在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，得，利用基本不等式运算即可. 【详解】， , ， ，， ， ， 即， ， 当且仅当时等号成立， ，即的最大值是. 故选：D 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式求出，由正弦定理即可求. 【详解】因为，， 所以，解得， 由正弦定理可得， 故选：A 5. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（ ） A. B. C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由直观图画出原图的图像，分析求解边长，最后求解原的周长即可. 【详解】由直观图画出原图的图像，如图所示： ，， 所以， 所以原的周长为：. 故选：D 6. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再求出即得解. 【详解】因为，即， 所以， 所以，其所对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 7. 在中，角，，的对边分别为，，若，，，则的面积（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】解：， ，由正弦定理可得， ， ， 的面积． 故选：A． 8. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为（ ） A. (60+4)π B. (60+8)π C. (56+8)π D. (56+4)π 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意得到四边形绕所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，再计算其表面积即可. 【详解】四边形绕所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥， 如图所示： 因为，所以圆台下底面面积， 又因为，，所以，， 所以圆台的侧面积. 圆锥的侧面积. 所以几何体的表面积为. 故选：A 二、多项选择题 9. 已知复数，是关于的方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】在复数域解一元二次方程可得，，再利用复数的乘法运算、共轭复数定义、模长公式一一判定选项即可. 【详解】根据题意知，所以， 不妨令，， 则，， ，而， 故A、B、C正确，D错误. 故选：ABC 10. 在正方体的8个顶点中任意取4个不同的顶点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在四个点，使得这四个点构成平行四边形 B. 存在四个点可以构成正四面体 C. 不存在这样的四个点，使得构成的四面体每个面都是直角三角形 D. 存在有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正方体的特征，结合选项即可找到对应的图形，即可求解. 【详解】对于A，如图四边形为平行四边形，所以A正确， 对于B，四面体是正四面体，所以B正确， 对于C，如图四面体中， ，故每个面都是直角三角形，所以C不正确， 对于D，如图四面体中， ，,均是直角三角形、为等边三角形，所以D正确， 故选：ABD． 三、填空题 11. 在中，角所对的边分别为，，，O为外接圆圆心，则下列结论正确的有（ ） A. B. 外接圆面积为 C. D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合诱导公式及二倍角正弦求出角A，再利用正余弦定理、三角形面积公式、数量积运算计算判断各选项作答. 【详解】在中，由正弦定理及得：， 而，则有，即，又，， 则，所以，即，A正确； 由正弦定理得外接圆半径，该圆面积，B错误； 如图，，C正确； 由余弦定理得：，当且仅当时取等号， 因此，D正确. 故选：ACD 12. 如果复数满足，那么的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义确定复数z对应的点在两点的连线段上，继而求出的表达式，即可求得答案. 【详解】由于表示复数z对应的点到两点的距离和为3， 结合两点之间距离为3，故复数z对应的点在两点的连线段上， 设，则， 故，当时，取到最大值， 故答案为： 13. 在锐角中，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由锐角三角形结合余弦定理可得，表示出，再结合对勾函数的性质可得答案． 【详解】因为锐角三角形中，，所以一定不为唯一的最大边， 所以只需， 所以，即， 所以， 又 当时，由对勾函数的性质可得， 所以． 故答案为： 14. 如图，圆锥的底面圆半径为1，侧面积为，一只蚂蚁要从点沿圆锥侧面爬到上的点，且，则此蚂蚁爬行的最短路径长为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求出圆锥的母线长，然后将圆锥的侧面展开，如图，则可知此蚂蚁爬行的最短路径长为，求出扇形的圆心角，再利用余弦定理可求得结果. 【详解】设，利用扇形的面积公式得，解得， 所以侧面展开图的扇形的半径为3，弧长为，所以圆心角为， 沿母线裁开，将圆锥的侧面展开，如图所示， 因为，所以，连接，则为最短距离， 由余弦定理得， 所以，即此蚂蚁爬行的最短路径长为. 故答案为： 四、解答题 15. 在中，内角对应的边分别是，且． （1）若的面积是，求的周长； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到角A的大小，再由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从而可得，即可得到结果； （2）由三角形的内角和将转化为关于的式子，再由三角函数的性质即可求得结果. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即，因为，所以， 则，即. 因为，所以， 由余弦定理可得， 即，所以， 则，所以， 则的周长为. 【小问2详解】 由可得， 则 ， 且为锐角三角形，则，解得， 所以，则， 所以， 即的取值范围是. 16. 已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位. （1）求a的值； （2）在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由复数除法以及纯虚数的概念即可列式求解； （2）由复数的几何意义得出，结合向量减法及模长公式即可得解 【小问1详解】 复数，，， 则. 因为是纯虚数，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）得，. 由题意得，点O，A，B的坐标分别为，，， 所以，，因为， 所以，解得或. 17. 如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． （1）求该圆台的表面积； （2）求四棱锥的体积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理可求得，由正弦定理可得下底面半径，可求以圆台表面积； （2）由三角形面积公式可求得的面积，在中，由余弦定理得，可得，则的面积，得到底面ABCD面积的最大值，再在轴截面直角梯形中，由勾股定理求出圆台的高，即可求得四棱锥的体积的最大值． 【小问1详解】 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 得， 由正弦定理可知外接圆直径， 所以下底面半径，上底面半径， 圆台侧面积， ， 所以圆台表面积． 【小问2详解】 在四边形ABCD中，， 在中，由余弦定理， 得， 所以，当且仅当时“”成立， 所以的面积， 底面ABCD面积的最大值为， 在轴截面直角梯形中，由勾股定理可得， 所以四棱锥的体积的最大值为． 18. 在中，内角A，B，C及其所对的边a，b，c，且 （1）求A； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合，可化简为，利用辅助角公式，结合，即得解； （2）利用正弦定理可转化，又，故，可化简为，结合，即得解 【详解】（1）由，以及正弦定理可得 ，由于 即， 即，又 所以， 由辅助角公式可得，由于，可得， 所以，即. （2）由（1）知，又， 所以且， 由正弦定理， ， 又，所以， 所以，即， 综上所述的取值范围为. 19. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）设复数，求； （2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由为纯虚数，可得，从而得，再根据模的公式求解即可； （2）化简得，再根据题意列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 解：因为，则， 所以为纯虚数， 所以，解得. 所以， 因此. 【小问2详解】 解：因为， 则， 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 则，解得. 因此实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省泰山中学2025级高一年级下学期期中考试试题 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、选择题 1. 已知复数z满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（ ） A. 2 B. C. D. 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（ ） A. B. C. 10 D. 12 6. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 在中，角，，的对边分别为，，若，，，则的面积（ ） A. B. C. 1 D. 8. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为（ ） A. (60+4)π B. (60+8)π C. (56+8)π D. (56+4)π 二、多项选择题 9. 已知复数，是关于的方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体的8个顶点中任意取4个不同的顶点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在四个点，使得这四个点构成平行四边形 B. 存在四个点可以构成正四面体 C. 不存在这样的四个点，使得构成的四面体每个面都是直角三角形 D. 存在有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体 三、填空题 11. 在中，角所对的边分别为，，，O为外接圆圆心，则下列结论正确的有（ ） A. B. 外接圆面积为 C. D. 的最大值为 12. 如果复数满足，那么的最大值是_____． 13. 在锐角中，若，则的取值范围是__________. 14. 如图，圆锥的底面圆半径为1，侧面积为，一只蚂蚁要从点沿圆锥侧面爬到上的点，且，则此蚂蚁爬行的最短路径长为______. 四、解答题 15. 在中，内角对应的边分别是，且． （1）若的面积是，求的周长； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 16. 已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位. （1）求a的值； （2）在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值. 17. 如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． （1）求该圆台的表面积； （2）求四棱锥的体积的最大值． 18. 在中，内角A，B，C及其所对的边a，b，c，且 （1）求A； （2）若，求的取值范围. 19. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）设复数，求； （2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $