精品解析：福建莆田第一中学2025-2026学年高一下学期数学周测：期中复习卷（一）

莆田第一中学高一下期中考复习卷（一） 一、单选题 1. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量定义结合数量积公式计算求解. 【详解】由题意可得向量在向量上的投影向量为. 2. 在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象，结合数乘向量以及向量加减法的几何意义，即可得出答案. 【详解】由图象可知，A选项，； B选项，； C选项，； D选项，． 故选：D. 3. 设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的外接圆半径为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式及余弦定理角化边，然后因式分解得到为直角三角形，进而求得外接圆半径. 【详解】. 由余弦定理得，， 整理得，，即. 又，所以. 所以是以为斜边的直角三角形， 所以外接圆半径为. 4. 矗立在曲靖一中北门广场中央的水滴形不锈钢雕塑（如图1），以灵动舒展的造型承载着学校“润泽教育”的核心理念与“知行合一、止于至善”的校训精神，曲靖一中某数学兴趣小组成员为测量水滴形不锈钢雕塑的高度，在与雕塑底O位于同一水平面上共线的A，B，C三处进行测量（如图2）．已知在A处测得雕塑顶端P的仰角为30°，在B处测得雕塑顶端P的仰角为45°，在C处测得雕塑顶端P的仰角为60°，BC＝6米，AB＝3米，则水滴形不锈钢雕塑的高度OP＝（ ） A. m B. m C. m D. m 【答案】C 【解析】 【详解】设OP＝h，依题意，，， ，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，可得：，解得：. 5. 如图，在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点，将分别沿折起，使得三点重合，此时（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正三棱锥几何关系得出边长计算求解. 【详解】在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点， 将分别沿折起，使得三点重合记为，如图所示， 因为，所以，因为，所以， 所以是等腰三角形， 因为是中点，所以，所以，所以. 故选：B. 6. 如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正八边形的边长为4，求出外接圆的半径和内切圆的半径，再根据平面向量的数量积求出的最小值和最大值，即可得出结果 【详解】正八边形中，， 所以，， 连接，过点作，交、于点、，交于点， 设， 中，由余弦定理得，， △OAF中，， 所以，解得， ，解得， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最小值为， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最大值为， 因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是． 故选：A． 7. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周与正方形的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径． 【详解】设圆柱的上底面圆周与分别交于点中点为交于点， 因为四边形是边长为2的正方形，所以， 由，得. 由题意，圆柱的底面圆与正方形的四边都相切，故其半径. 又， 所以，圆柱的高， 所以圆柱的体积为. 8. 在边长为2的正方形中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点，则到平面的距离为（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】依题意，在三棱锥中，两两垂直， 在中，， ， ，设点到平面的距离为， 由，得，即，解得， 所以点到平面EFD的距离为. 答案：B 二、多选题 9. 下列关于复数的四个命题，真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数的运算可判断AB选项的正误，利用复数模长的三角不等式可判断C选项的正误，解方程，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，设，则， ，，则，从而， A选项正确； 对于B选项，取，则，但，B选项错误； 对于C选项，由复数模的三角不等式可得，C选项正确； 对于D选项，由，可得或， 由，则，解得或，D选项错误. 故选：AC. 10. 如图，已知正方体的棱长为2，和相交于点为的中点，正方体其余各面的中心分别为，下面结论中正确的是（    ） A. B. 与所成角的正弦值为 C. 平面截正方体所得截面为五边形 D. 多面体的内切球半径为 【答案】AD 【解析】 【分析】通过几何性质（等边三角形三线合一）、构造辅助线结合余弦定理、平面的基本性质、正八面体体积与表面积公式结合内切球半径公式，逐一验证各选项的正确性. 【详解】对于A，因为， 所以是等边三角形，且是中点，所以，A正确； 对于B，在正方体右侧补一个同样的正方体， 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，故， 所以为与所成的角（或补角）， ，，， ， ，B错误； 对于C，延长交于点，连接并延长，分别交于点， 则截面为四边形，故C错误 对于D，易知是正八面体，棱长为， 正八面体可看作两个正四棱锥，正四棱锥的底面积，高， 所以正八面体的体积， 正八面体每个面是边长为的正三角形，三角形面积， 正八面体的表面积，设多面体的内切球半径为， 则，所以，D正确. 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则符合条件的三角形有两个 C. 的最大值为32 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由余弦定理将角化边，即可判断A；利用正弦定理判断B；由余弦定理及基本不等式判断C，将转化为的三角函数，结合的范围及正切函数的性质判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：由正弦定理得，解得， 故符合条件的三角形不存在，故B错误； 对于C：由余弦定理得， 即， 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D：， 因为，所以， 所以， 即的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 如图，在底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由得是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理即可求解． 【详解】连接，如图所示， 因为，所以所成角或其补角为异面直线与所成的角， 因为， 在中，由余弦定理可得. 故答案为： 13. 已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，方程的两根应为虚根，可设方程的两复根为，，根据条件可得边长之间关系式，进而得解. 【详解】根据题意设方程的两虚根为，，为实数， 方程的两根在复平面上对应的点分别为和，轴， 又是等边三角形，高为2，则， 解得，则； 则. 故答案为． 14. 如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，设后，写出各点坐标，用向量的坐标运算可得． 【详解】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设， 则有， ，过D作轴于F，， ，所以， ，，， 因为， 所以， 所以，，解得：， 则的值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：建系用坐标表示是解题的关键. 四、解答题 15. 如图，在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小． （2）若，，D是边的中点，E为边上一点，且，与交于点F． （i）求的长度； （ii）求． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理进行求解即可； （2）（i）利用平面向量加法的几何意义，结合平方法、平面向量数量积的运算性质进行求解即可； （ii）根据锐角三角函数定义，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 （i）因为D是边的中点， 所以， 因为 所以； （ii）因为， 所以， ， 因此，， ， 所以. 16. 如图，在梯形中，，，，为的中点，. （1）若，试确定点在线段上的位置； （2）若，当为何值时，最小? 【答案】（1）在线段上靠近点的四等分点处 （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点在线段上的位置； （2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得最小以及相应的值. 【小问1详解】 过作交于，如图， 因为，所以， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以 因为，所以， 所以 又因为， 所以，解得， 所以在线段上靠近点的四等分点处； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 因为，， 所以， 所以当，即时，取得最小值. 所以的最小值为，此时. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小． 【答案】（1） 连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有 ， 又 平面，平面， 所以直线平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用三角形中位线性质可得，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）由和可知或其补角即为所求，再利用余弦定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为． 18. 如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线. （1）求证：平面平面； （2）若圆O的半径为2，，，点P为的中点，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 证明：如图所示，连接，由四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意，分别证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面； （2）由平面，得到三棱锥的体积等于三棱锥的体积，利用，结合锥体的体积公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由平面及（1）知平面， 所以点P到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 因为，因为为圆的直径，可得， 又因为，，所以，， 且，， 所以， 所以三棱锥的体积为. 19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形． （1）若E是PB上任意一点，四边形ABCD是菱形，，BD= 6，当面积的最小值是9时，求证：平面； （2）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．若四棱锥是阳马，PD=5，CD=4，AD=3，求：该阳马的外接球表面积； （3）若四棱锥是阳马，且，点可能为的中点，试确定点E位置使得四面体为鳖臑，并证明． 【答案】（1）证明：因为四边形是菱形，所以， 又因为平面，平面，所以， 且，平面，所以平面； 设与相交于点，连接，又由平面，平面， 所以，； 当面积最小时，最小，则， ，，解得：； 由且，，、平面， 则平面，又平面，则； 又由，则，而， 、平面，故平面. （2） （3）点是的中点. 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直判定定理得出平面，再结合面积的最小值得，最后再应用线面垂直判定定理证明； （2）先补形再应用长方体外接球性质计算求解； （3）应用线面垂直判定定理得出平面，再结合几何体特征得出平面，即可证明几何体形状. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 把四棱锥放置在长方体中， 则长方体的外接球即为四棱锥的外接球， ，，， 长方体的对角线长为， 则长方体的外接球的半径， 该阳马的外接球的表面积为． 【小问3详解】 点是的中点， 因为，所以， 又因为底面，底面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 由，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以， 所以四面体为鳖臑； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第一中学高一下期中考复习卷（一） 一、单选题 1. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 2. 在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（ ） A. B. C. D. 3. 设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的外接圆半径为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 矗立在曲靖一中北门广场中央的水滴形不锈钢雕塑（如图1），以灵动舒展的造型承载着学校“润泽教育”的核心理念与“知行合一、止于至善”的校训精神，曲靖一中某数学兴趣小组成员为测量水滴形不锈钢雕塑的高度，在与雕塑底O位于同一水平面上共线的A，B，C三处进行测量（如图2）．已知在A处测得雕塑顶端P的仰角为30°，在B处测得雕塑顶端P的仰角为45°，在C处测得雕塑顶端P的仰角为60°，BC＝6米，AB＝3米，则水滴形不锈钢雕塑的高度OP＝（ ） A. m B. m C. m D. m 5. 如图，在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点，将分别沿折起，使得三点重合，此时（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周与正方形的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在边长为2的正方形中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点，则到平面的距离为（　　） A. 1 B. C. D. 2 二、多选题 9. 下列关于复数的四个命题，真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若，则 10. 如图，已知正方体的棱长为2，和相交于点为的中点，正方体其余各面的中心分别为，下面结论中正确的是（    ） A. B. 与所成角的正弦值为 C. 平面截正方体所得截面为五边形 D. 多面体的内切球半径为 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则符合条件的三角形有两个 C. 的最大值为32 D. 的取值范围为 三、填空题 12. 如图，在底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 13. 已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则__________. 14. 如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则______． 四、解答题 15. 如图，在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小． （2）若，，D是边的中点，E为边上一点，且，与交于点F． （i）求的长度； （ii）求． 16. 如图，在梯形中，，，，为的中点，. （1）若，试确定点在线段上的位置； （2）若，当为何值时，最小? 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小． 18. 如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线. （1）求证：平面平面； （2）若圆O的半径为2，，，点P为的中点，求三棱锥的体积. 19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形． （1）若E是PB上任意一点，四边形ABCD是菱形，，BD= 6，当面积的最小值是9时，求证：平面； （2）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．若四棱锥是阳马，PD=5，CD=4，AD=3，求：该阳马的外接球表面积； （3）若四棱锥是阳马，且，点可能为的中点，试确定点E位置使得四面体为鳖臑，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $