福建莆田第一中学2025-2026学年高一下学期数学周测：期中复习卷2

2025-2026学年高一数学期中复习卷2 一、单选题 1.若复数z满足z+2z=6+3i,则在复平面内复数z对应的点Z位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.知向量ā，6，c在坐标纸（规定小方格的边长为1）中的位置如图所示，则（) A.a+b+c=0 B.a-6+c=0 C.a+26+c=0 D.a-2b+c=0 3.若A,B,C分别为△ABC的三个内角，则“sinA>sinB”是“cosM+cos(A+C)<0"的() A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设c,B为两个不同的平面，m,n为两条不同的直线，且a∩B=m,则下列正确的是() A.若nllm,则nl∥a B,若n⊥m,则n⊥x或n⊥B C.若nl∥a,nllB,则nllm D.若n与a,B所成的角相等，则n⊥m 5.在△ABC中，AB=AC,BC=2,动点M满足BM=xBC+yBA,且2x+y=1,若N为AB 的中点，则的最小值为() A青 B.② 3 C. D. 2 6.在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a+b=8且tan C sin B 22-coSB,若△ABC 面积为4，则tanC=（) A.2 B c D.3 4 7.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，已知M,N分别是棱CD,A4的中点， 平面a经过B4和M,平面B经过CD,和N,则该正方体处于平面a,B之间部分的体积为() k号 B.4 c号 D.10W5 3 8.我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的楼台称为“刍童”，已知棱台 ABCD-AB'CD是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”，AB=2AB'=4, BC=2B'C=4W3,则该“刍童”外接球的表面积为() A.o B. 80 3π C.80π D.5√5元 试卷第1页，共4页 二、多选题 9.已知复数z=a+bi(a,beR),z上2，则下列说法正确的是() A.z.7=4 B.若z2∈R,则z∈R C.若b=2,则z为纯虚数 D.1sz-3is5 10.已知向量ā=(-2,1)，石=(-l,),其中t∈R,则下列说法正确的是（) A.若a16,则t的值为-2 B.若t>-2,则a与B的夹角为锐角 C.若a/6,则t的值为号 D.若(a+b⊥(a-b,则1a+曰a-b1 11.正方体ABCD-ARGD中，M,N分别为CD,BC的中点，2为侧面ADDA内一点， 则() A.存在点2，使得D2⊥平面BDM B.线段AD1上不存在点2，使B,2与CD所成角为30° C.当C∥平面BDM时，tan∠AOB,的最大值为5 D.当点2为侧面ADDA中心时，平面MNg截正方体所得的截面为五边形 三、填空题 12.已知一个圆台的上下底面直径分别为6和8，母线长为√2，则该圆台的侧面积为 13.已知△ABC中，AB=2V2,AC=1,向量B在向量AC上的投影向量为-2AC,则 ∠A=· 14.在△ABC中，AB=2AC,D为边BC的中点，∠A的平分线交BC于点E,若△ADE的 面积为1，则△ABC的面积为_，DE的最小值为一， 四、解答题 15.如图，在平行四边形ABCD中，M,N分别是线段AB,BC的中点，记B=a,D=b, 且DM=1,DN=2,∠MDN=60°. D (I)试用向量a,b表示DM,DN: (2)回求同，同的值：②设O为△ADM的内心，若A0=xa+5(xyeR),求兰的值. 试卷第2页，共4页 16.如图，四枚锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=AC=2, E为PA的中点，直线PD与平面BCE交于点F, p 0 (I)证明：EF/I平面ABCD: (②)武四棱锥P-BCFE的体积 17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,过△ABC内一点M的直线I与直 线AB交于D,记BA与DM夹角为O. (I)已知c-aoos B=bsinA, (i)求角A: (i)M为△ABC的重心，b=c=1,8=30°，求D: (2)请用向量方法探究日与△ABC的边和角之间的等量关系. 试卷第3页，共4页 18.如图，在四搜P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面四边形ABCD为直角梯形，AD/BC, AD⊥AB,PA=AD=AB=2,BC-I,M,N分别为PC,PB中点. B (I)求证：PB⊥DM. (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值， (3)求点C到平面PBD的距离. 19.某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中AB=2百米，BC=1百米， AD=CD,AD⊥CD,草坪内需要规划4条人行道DM、DN、EM、EN以及两条排水 沟AC、BD,其中M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点. B D (I)若∠ABC=，求∠BCD的余弦值， ②若∠MBC=乏，求排水沟BD的长： (3)若∠ABC=a,试用a表示4条人行道的总长度，并求出它的取值范围. 试卷第4页，共4页 2025-2026学年高一数学期中复习卷2参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 0 D 0 Q ACD AC BCD 12. 7W2x13. 14. 62 2 15.【详解】1)Dm-丽-而=号而-而--D丽=Dc+丽=历+7=西-D=a-之， 0服=i-6 a-4DN-2DM (2)①由(1)知： 6-号丽- ,又：DM,DN-pM外pNcs☑MDN=1, 问-丽-号丽-2，-研-丽-号 2 2 16【详解】(I)因为四边形ABCD是菱形，所以BC/IAD,又BCC平面PAD,ADc平面PAD,所以BC/平 面PAD,因为BCc平面BCE,平面BCE∩平面PAD=EF,所以BCI/EF. 又EF文平面ABCD,BCc平面ABCD,所以EFII平面ABCD, (2)解法1：因为BC∥EF,BC∥AD,所以EF∥AD.因为E为PA的中点，所以F为PD的中点 因为BC∥EP,EF=aC,所以eU8ae,所以m-m 又E为P的中点，所以-=a-c· 2 2 2 因为PAL平面AQD,所以队e=X兮48e片弘8心 因为四边形BcD是菱形，MB=4C=2,所以8C=2,所以S=5×2:=5. 4 因为E为M的中点。PA=2,所以B4-号P4=1，所以m分X1x5=号 21 解法2：连接CE,则n-EC='-Cs+Vn-csr·设AB,AD的中点分别为G，H,连接CG,CH. 因为四边形ABCD是菱形，AB=AC=2,所以BC=2,所以CG⊥AB,CH⊥AD 因为PA⊥平面ABCD,PAc平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD. 又平面PABO平面ABCD=AB,CGc平面ABCD,CG⊥AB,所以CG⊥平面PAB.同理CH⊥平面PAD· 所t以-o=c+cew=es+em=GSs+}HSs 3 因为△ABC和△ACD都是等边三角形，所以CG=CH=√， 答案第1页，共4页 解法3：n-c0=lVn-AcD-Vs依Dsrc=n-AcD-(VA-EPBC+Vo-4cr）. 因为E为PA的中点，所以n-Eram=VA-EFRC,所以2-rcn=-8cD-Vb-Acr=n-AMCD-V-4CD: 因为F为PD的中点，所以-m:因为5ac=SMa,所以-m=a, 所以2ge=e-名em-款am即队-爱-ew 图为PAL平覆C0,所以m合号ASo-专队O· 因为5o=2ac=2x×2=2月，PA=2,所以a=x2x25=5 4 17.【详解】(i)(i)因为c-acos B=bsin A,由正弦定理可得sinC-sin AcosB=sin Bsin4, 即sin(A+B)--sin Acos B=sin Bsin A,所以cos Asin B=sin Bsin A, 又0°<B<180,所以sinB>0,所以cosA=sinA,所以tanA=1,又0<A<180°，所以A=45°. (i)由题意6=c=10=30,因为M为△M8C的重心，所以=（历+4O, 所以-网-号五+网-西+网-*2w-号 2 在△DM中，由正弦定期三og所以a-血D, 'sin∠AMD sin& 显然△ABC为等腰三角形，则M平分∠BAC, 所网-o-(台024wm(经0 -w号wj片m9如引-引aao子w到9m4rm4+ 6 (2)直线I与△ABC的边AC相交于点E,如图所示，因为BA=BC+CA,所以DE·BA=DE.(BC+CA),即 DE.BA=DE.BC+DE.CA,又因为DE·BA-DE‖BAl COS ZEDA=clDE|cos9, DE.BC =DE IIBC I cos(B-0)=aDE lcos(B-),DE.CA=DE IICAlcos(A+=bDE Icos(A+, 所以c|DE1cos0=a|DE|cos(B-0)+b|DE|cos(A+日即ccos9=acos(B-)+bcos(A+). 18.【详解】(1)因为PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PA⊥AD, 又因为AD⊥AB,AB∩PA=A,且两直线在平面内，所以AD⊥平面PAB, 答案第2页，共4页 因为PBc平面PAB,所以AD⊥PB,因为PA=AB=2,且N为PB中点，所以N⊥PB, 又因为AW∩AD=A,所以PB⊥平面MD,又因为DMc平面ANMD,所以PB⊥DM. (2)连接DN,因为PB⊥平面ANMD,PBOBD=B,∠BDN为BD与平面ANMD所成角， 又因为PA=AB=2且PA⊥AB,N为PB中点，所以N=√2， 所以ND2=AW2+AD2=2+4=6,即ND=V6又因为MD=B=2且B⊥AD,所以BD=2√2，所以 cos∠BDN三D=V5=?,所以BD与平面MWMD所成角的余弦值为5 2 (3)由已知得，BD=VAB+AD2=2V2,PB=√AB2+AP2=2W2, P0=aD-2A5a-oxPM=时产分2Xx2-f 设点C到平面P80的距离，则am写心*h-写2wx2x9×h25。 1 h 32 2 3 由o=60,即-25h,解得：9，即点C到平面P8D的距离为 33 3 19.【详解】1)~hl=2百米，BC=1百米，h8c=受 ·在直角三角形ABC中，AC=AB+BC=V5百米， ma-嗯音-9wac图合停 又：AD⊥CD,AD=CD,AC=5百米， 。 六在等腰直角三角形ACD中，hDl-GCDl-四百米，血∠4CD=怎 ∠4CD=2 .cos∠BCD=cos(LBCA+∠ACD)=cos/BCAcos∠ACD-sin/BCAsinACD =5x225反0 一X 525210 ∠BCD的余弦值为-iO. 10 2)由(1)知，当ABc=.时，cos∠8C0=10'2=0 Eac0，中+o-2BC1PDBc0=1+四-2xk90L2 210厂 BDl=3V2 (百米) 排水沟BD的长为3y5百米。 2 (3)设∠ABC=a,∠BAC=B,∠BCA=Y,M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点， 答案第3页，共4页 C:EMMB,lEM=hBl=1百米，∠MEC=∠BAC=P, BNBC,BN-BC=号百米，NEA=∠BCM=Y, 在△ABC中，由余弦定理得AC=AB+BC-2MB,BC.cosa=5-4cosa, 由正弦定理AC_BC_A8 得sinB= BC .sina sina AB.sina 2sina siny= sina sinB siny AC AC 4C 连接DE,AD=CD,AD⊥CD,E为边AC的中点， DEC -c 在aMDE中，cos∠MED=cos(MEc+∠CED上cos(A}-sinA, 由余弦定理得|DM'=EM+DE'-2EMDE·cos∠MED 1+C+2x1xC0+sing, 在△NDE中，cos∠N5D=cos(∠NEA+∠hB0=co7月-sig, 由余弦定理得DN=EN+|DE-2ENDE斗cOsLNED =+4G+2x分对4cmr 22 3 -cos@+sina, o叫ola4+aM-层sa-ma+ +sina-cosa+ 3 令1=ma-osa=5sma-f1<1≤) p4-DN+a4+a-++1]单递， .3 IDW1lbw-in-ens 答案第4页，共4页