四川成都市北斗大数据领航联盟2025-2026学年下学期4月期中练习高一数学

**基本信息** 这份高一数学期中练习以帆船比赛风速测定、费马点等真实情境与经典问题为载体，融合复数、立体几何、解三角形等知识，考查数学抽象、空间观念与推理能力，体现素养导向与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、圆内接多边形、空间距离|结合帆船风速情境考查向量合成| |多选题|3/18|三角形性质、直四棱柱外接球|多选项设计区分逻辑推理层次| |填空题|3/15|全等四面体外接球、动点轨迹|引入费马点拓展文化视野| |解答题|5/77|三角函数、正四面体证明、新定义运算|17题禁用空间向量强化几何推理，19题“视角运算”创新应用|

2025-2026学年度下期4月期中练习 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.复数1,2,23满足1z2月21，且二+上+二=2+i,则2+2+23() 51253 A.2-i B.2+i C.-2-i D.-2+i 2.在圆内接六边形ABCDEF中，AB=CD=EF=4,BC=DE=A=7,则其外接圆的半径为() A.11 B.2v7 C.√31 D.3 3.四面体ABCD满足AB⊥BC,BC⊥CD,CD⊥AB,AB=BC-CD=1.设AB,BC,CD的中点 分别为L,MN,则点M到直线LN的距离为(). A时 B吗 c咄 D 4.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于O点，线段OD上有 0 点M满足DO=3DM,线段C0上有点N满足OC=ON(1>0),设 AB=a,AD=6,己知Mm=a-五，则2=(). A时 B.1 C.2 D.3 5.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视 风风速视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船 行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反表格给出了部分风力等级、名 称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对 应的向量如图所示（线段长度代表速度大小，单位：s),则该时刻的真风为( 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.63.3 3 微风 3.45.4 和风 5.57.9 5 劲风 8.0～10.7 珠 3视风风速 船速 1 3 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 6.已知点A不在直线a和平面a上，若存在空间中过A的直线b和平面B,则(). A.由直线b∥平面a可唯一确定b B.由直线a∥平面B可唯一确定平面B 第1页共4页 C.由直线b⊥平面a可唯一确定b D.由平面a⊥平面B可唯一确定平面邱 7.如图.△BC中，∠C=4C=2,BC=6+万.在A1BC所在的平面 内，有一个边长为1的正方形ADEF绕点A按逆时针方向旋转（不少于1周） 则A正.D的取值范围是() A.[-5,5] B.[-5,3] C.[-3,3] D.[-3,5] 8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=√5，sinA=3 cosBsinC, 则△ABC面积的最大值为(). A. n.g 11 3 c.16 D.4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9在△MBC中，1，船5，则( ). A.A>B>C B.tan B>1 C.cosA>cosB cos C D.sin(A-B)>sin(B-C) 10.已知直四棱柱ABCD-ABCD的各顶点都在球O的球面上，若A,O,C,三点共线，则 (). A.B,O,D三点共线 B.AB⊥BC C.ADL平面DCC,D D.BC/I平面ADDA 11.如图，己知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且OP=√5，弦AC,BD均过点P,则 下列说法错误的是() A.PAPC为定值-2 B.OA.OC的取值范围是[-2,0] C.当AC L BD时，AB.CD为定值4 D.4CBD的最大值为12 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知一个四面体的四个面全等，每个面的三条边长均为ab,c,则其外接球的半径为 13.己知△ABC为边长为3的正三角形，P为△ABC所在平面内动点，满足PA+PB+PC=3, 则APAB的取值范围为 14费马点是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，当 △ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点： 当△ABC有一个内角大于或等于120时，最大内角的顶点为费马点.己知在△ABC中，角 第2页共4页 A,B,C所对的边分别为ab,c,0为费马点.若V7,b=1,c=3,则OA.OB+OB.OC+0元.OA 的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.(13分)已知c0su,a∈(5,0). (1)求sin(2-o网的值： (a若sma*A-识B∈0，.求的值。 16.(15分)己知函数x)=3x+(2x+3)V1-x2. (1)指出x)的定义域： （2)求x)的最小值与最大值 17.(15分)（本题若使用空间向量，相关步骤不得分）如图，已知正四面体P一ABC的棱长为 2V3,Q为底面△ABC的外心，D为AB中点. (1)连接PO,证明：PQ1平面ABC. (2)设PC的中点为E,求DE与平面PBC夹角的正弦值. 第3页共4页 18.(17分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量 p=(c,2b+a),q=(cosA,cosC),且D+=lD-4,点D为边AB上一点. (1)求角C的大小： (2)若CD是C的角平分线，c=9,△ABC的周长为19，求CD的长度： (3)若D是边AB上靠近点A的一个三等分点，CD=AD,求实数t的取值范围. 19.(17分)已知s是直线PQ外一点，点M、N在直线PO上（点M、N与点P、Q任一 点均不重合)·我们称如下操作为“由S点对PO施以视角运算”：若点M在线段P9上， 记(P,O,M)= 网m4受·若点M在线假9外记Q,)-阅并月记 SPsin∠P.sSM |SPsin∠PsSM (P,O;M) (P,O:M,N)= 记△ABC的内角A、B、C的对边分别为4、b、C,已知b=2, (P,2,N) A=60,D是射线BC上一点现由A点对BC施以视角运算，得到(B,CD)-号 (1)若AD=V3+1,求AD.DC的值： (2)肘线BC上的点M满足(B,C,M,D)=-2. ①求∠CAM; ②求AM+16AD的最小值. 第4页共4页 2025-2026学年度下期4月期中练习 高一数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D A C B AD BC BCD 122++(或 a2+b2+c2 4 8 13 14-是 15.(ay 16.(1)[-1,1(2)3:1+V2 17.(1) 证明：如图，连接AQ、BQ、DP、PQ,由于P为△ABC的外心，故有AQ=BQ .D为AB中点，PA=PB .QD⊥AB,PD⊥AB .'PDOOD=D,PD、QDE平面DPQ ∴.平面DPQ⊥AB .'.PO LAB 同理，PQ⊥BC .'ABOBC=B,AB、BC∈平面ABC ∴.PQ1平面ABC 2)9 18w2号@ 19 (3)V5-1≤t<2 (3)【解析】 解法-：设∠ACD=日，则∠BCD=2亚-0： 3 设AD=x,则CD=在，BD=2x 在a4cD中S回 AD _即sinA=sin6 sinA sin.∠ACD 2x ix 在△BCD中sim 2-0 sinB 3 即=专m(任o）m[婚-A-号msa4 2 又mg+0camg0o4Nmg0j而sm4a0 第1页共3页 61mw4rmr2}9以ta01. 1、3 ,.2e[4-2W34),.te[3-1,2): 解法二：CD=2C+1cB:9D=4+C+24.CB, 3 a0-5可-台e-4b+-2, .t'sin'C=sin'A+4sin'B-2sinAsinB 3=51 21 ∴.t2=4-2W3sin2A 4-024-0m24e0 2π .4-2W3≤t<4,.V3-1≤t<2 191)-V5-12030:②505 3 【解析】 (2)记∠CAM=, ①因为(B,C,M,D)=-2<0, 所以点M在线段BC的延长线上，如图所示， 即(B,CM)=-csim∠BAM-csin(a+60) bsin∠CAM 因为(B,cM.D)-（8,C0:-2,所以csma+60）-2g, (B,C;D) 2sina 化的初血(60+a）-2nu.即5caa=2me 2 第2页共3页 可得V5sina=cosa,即ama- 3 因为0°<a<90°，所以∠CAM=a&=30°： ②因为S.ax=S.e+aau,则sin60-C30+h4 sin30, 高+而号.所s4a+M-后品) 即 1,15 1,1 = 16AD,AM、2 50W3 AM 17+2, 16ADAM☑ AD≥517+2VMAD 3 AM=44D ADI-5 当且仅当 1,1√5时，即当 ☑02 M0sm,等号成立 3 故H4+16AD的最小值为505 3 第3页共3页 2025-2026学年度下期4月期中练习 高一数学 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 复数满足，且 ，则( ). A.2-i B.2+i C.-2-i D.-2+i 2. 在圆内接六边形ABCDEF中，AB=CD=EF=4，BC=DE=FA=7，则其外接圆的半径为( ). A.11 B. C. D. 3. 四面体ABCD满足AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AB ，AB=BC=CD=1. 设AB,BC,CD的中点分别为L,M,N，则点M到直线LN的距离为( ). A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足，线段CO上有点N满足，设，已知，则( )． A. B.1 C.2 D.3 5.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为( ). 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 6. 已知点不在直线和平面上，若存在空间中过的直线和平面，则( ). A． 由直线平面可唯一确定 B．由直线平面可唯一确定平面 C．由直线平面可唯一确定 D．由平面平面可唯一确定平面 7．如图，△ABC中，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转(不少于1周)，则的取值范围是( ).   A． B． C． D． 8．在△ABC中，角，，的对边分别是，，，已知，，则△ABC面积的最大值为( ).   A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.在△ABC中，，，则( ).   A． B． C． D． 10.已知直四棱柱的各顶点都在球的球面上，若A，，三点共线，则( ). A．B，，三点共线 B． C．平面 D．平面 11.如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（   ） A．为定值-2 B．的取值范围是 C．当时，为定值4 D．的最大值为12 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知一个四面体的四个面全等，每个面的三条边长均为a,b,c，则其外接球的半径为_____. 13.已知△ABC为边长为3的正三角形，P为△ABC所在平面内动点，满足，则的取值范围为_____. 14.费马点是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, b, c, O为费马点．若，则的值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.（13分）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 16.（15分）已知函数. （1）指出的定义域； （2）求的最小值与最大值. 17. （15分）(本题若使用空间向量，相关步骤不得分)如图，已知正四面体的棱长为，Q为底面△ABC的外心，D为AB中点. （1） 连接PQ，证明：. （2） 设PC的中点为E，求DE与平面PBC夹角的正弦值. 18.（17分）在△ABC中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，的周长为19，求的长度； (3)若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 19．（17分）已知是直线外一点，点、在直线上（点、与点、任一点均不重合）．我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记，并且记．记△ABC的内角、、的对边分别为、、．已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到． (1)若，求的值； (2)射线上的点满足． ①求； ②求的最小值． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年度下期4月期中练习 高一数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C D D A C B D AD BC BCD 12. (或) 13. 14. 15.(1) (2) 16.（1）（2）-3； 17.（1） 证明：如图，连接AQ、BQ、DP、PQ，由于P为△ABC的外心，故有AQ=BQ. ∵D为AB中点，PA=PB ∴QD⊥AB，PD⊥AB ∵PDQD=D,PD、QD平面DPQ ∴平面DPQ⊥AB ∴PQ⊥AB 同理，PQ⊥BC ∵ABBC=B,AB、BC平面 ∴ （2） 18.(1) (2) (3) （3）【解析】 解法一：设，则； 设，则. 在中即 在中 即， 则. 又，而 ， 由和差化积公式可得. 则. ，； 解法二：， ， . ． . ， . 19.(1) (2)①；② 【解析】 （2）记， ①因为， 所以点在线段的延长线上，如图所示， 即， 因为，所以， 化简得，即， 可得，即， 因为，所以； ②因为，则， 即，所以 ＝， 当且仅当|时，即当时，等号成立， 故的最小值为． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $