专题04 勾股定理章末易错必刷题型专训（50题16个考点）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题04 勾股定理章末易错必刷题型专训（50题16个考点） 【易错必刷一 勾股定理与无理数】 1．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，正方形的边长为，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出即求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴这个点表示的实数是， 故选：． 2．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是 ___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·陕西宝鸡·月考）作图：请在同一个数轴上用尺规作出的对应的点． 【答案】见解析 【分析】在数轴上表示的点上作垂线，然后以表示的点为圆心，1为半径画弧交垂线于一点，然后连接原点和这个点，进而再以原点为圆心，这段长为半径画弧，最后问题可求解． 【详解】解：如图，点A即为所求． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键． 【易错必刷二 勾股树（数）问题】 4．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）下列各组数据中，不是勾股数的是（    ）． A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．1，2，3 【答案】D 【分析】本题考查勾股数问题，根据三个正整数，满足两个数的平方和等于第三个数的平方，这三个数为勾股数，进行判断即可． 【详解】解：A、，是勾股数，不符合题意； B、，是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，不符合题意； D、，不是勾股数，符合题意； 故选D． 5．（24-25八年级上·福建泉州·月考）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为6、8、9，则正方形D的面积为 ________． 【答案】23 【分析】根据勾股定理可得正方形A、B的面积之和等于正方形E的面积，正方形C、E的面积之和等于正方形D的面积，即可得到结果. 本题考查的是勾股定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握股定理，即可完成． 【详解】 由题意得，正方形E的面积为， 则正方形D的面积. 故答案为： 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，，，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法．你发现了吗？请你写出以下几组勾股数：①5，______，______；②7，______，______；③9，_______，_______． （2）写出勾股数一般规律的表达式（用字母n表示，n为奇数，且）． 【答案】（1）①12  13  ②24  25  ③40  41  （2） 【分析】本题考查的是勾股数的概念，满足的三个正整数，称为勾股数． （1）根据勾股数的概念解答即可； （2）根据给出的几组勾股数总结规律即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴5，12，13是一组勾股数； ②∵，， ∴7，24，25是一组勾股数； ③∵，， ∴9，40，41是一组勾股数； 故答案为：12，13；24，25；40，41 （2）由（1）可知一般规律的表达方式：n，，(n为奇数，且 )． 证明：； ， ∴，即n，，(n为奇数，且 )是一组勾股数． 【易错必刷三 以直角三角形三边为边长的图形面积】 7．（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：D． 8．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，若直角三角形的两条直角边长分别为6，8，则图中阴影部分（正方形）的面积为_________． 【答案】100 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据勾股定理及正方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由图可知：阴影部分的面积为； 故答案为100． 9．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在中，，，以为边在点C同侧作正方形，正方形的面积是12，求的长度． 【答案】 【分析】根据正方形的面积可知：，然后根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：∵正方形的面积是12， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 【易错必刷四 已知两点坐标求两点距离】 10．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据点A的坐标为，得到，解答即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据点A的坐标为，得到， 故选：B． 11．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）点到原点的距离为______． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中勾股定理的运用，根据点M的横纵坐标的绝对值与到原点的距离构成直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解∶ 点到原点的距离为， 故答案为∶ ． 12．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知平面内两点，，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． (1)已知点、，试求、两点间的距离； (2)点在第一三象限角平分线上，且轴，点的横坐标为，试求、两点间的距离． 【答案】(1)A、B两点间的距离为13； (2)A、B两点间的距离为6． 【分析】本题考查了两点间的距离公式，关键是掌握并运用两点间的距离公式． （1）根据两点间的距离公式可得； （2）因为点在第一三象限角平分线上，所以，解得的值，可得点坐标，因为轴，所以、两点间的距离，可得、两点间的距离． 【详解】（1）解：， 答：、两点间的距离为13； （2）解：点在第一三象限角平分线上， ， 解得：， ， 轴， ， 答：、两点间的距离为6． 【易错必刷五 勾股定理与网格问题】 13．（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点、、、都在格点上，则下面4条线段长度为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理进行求解，进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理得，，，， 线段长度为的是， 故选D． 14．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，的顶点都在由边长为1的小正方形组成的方格纸的格点上，且，则的长为______． 【答案】5 【分析】本题主要查了勾股定理．根据勾股定理解答，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：5 15．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，已知，． (1)的长为______． (2)在所给方格纸中画出． 【答案】(1)5 (2)见详解 【分析】本题考查了勾股定理． （1）通过方格水平垂直距离结合勾股定理求的长度； （2）先确定C点格点位置再画图． 【详解】（1）解：由勾股定理得，． 故答案为：5． （2）解：如图所示为所求： 【易错必刷六 勾股定理的证明】 16．（24-25八年级上·陕西西安·月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列四幅图中，不能验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．根据等面积法证明即可． 【详解】解：A、这个图无法证明勾股定理，故本选项符合题意； B、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、， 整理得：， 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、， 整理得：， 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：A． 17．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是，整个图形连同空白部分的面积是，则大正方形的边长是______． 【答案】5 【分析】设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，根据题意列出方程组，即可求得． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为， 根据题意得， 解得：， 解得：或舍去， 故大正方形的边长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 18．（24-25八年级上·四川巴中·月考）如图：这个图形被称为“弦图”，它是由四个全等的直角三角形拼成的，你能用这个拼图验证勾股定理吗？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明．通过两个组合正方形的面积之间相等的关系即可证明勾股定理． 【详解】解：设图中大、小两个正方形的面积分别为和，则 ， ， 又，故． 【易错必刷七 以弦图为背景的计算题】 19．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而构造的精妙图形，它最早用严谨的“数形结合”方法，直观揭示了直角三角形三边的数量关系，展现了中华民族的数学智慧．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则正方形的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形的面积大正方形面积4个直角三角形面积即可求得正方形的面积． 【详解】解：直角三角形直角边的较短边为， 正方形的面积． 故选：A． 20．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，由全等三角形的性质得，，，，由勾股定理求出，得出，然后再由勾股定理即可求出的值． 【详解】解：∵四个全等的直角三角形拼接成一个正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 21．（24-25八年级下·江西上饶·月考）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，直角三角形的两直角边之比为5比12，求小正方形的面积． 【答案】49 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质和勾股定理，求出直角三角形的两直角边的长是解决问题的关键．由题意勾股定理求出直角三角形的两直角边的长，即可得出小正方形的边长，即可求面积． 【详解】解： 直角三角形的两直角边之比为5比12， 设直角三角形的两直角边分别为， ， （负值舍去）， 直角三角形的两直角边分别为5，12， ∴小正方形的边长为， 小正方形的面积是． 【易错必刷八 用勾股定理解三角形】 22．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中，，，，以为一边向外作正方形，则正方形的面积为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴正方形的面积， 故选：C． 23．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，，，以点为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出，根据题意可得，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由题意得，， ∴． 故答案为：2． 24．（25-26八年级上·全国·期末）为了缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库．如图，某建筑公司提供了该地下停车库入口的设计示意图，按规定，地下停车库坡道上方要张贴限高标志，以便停车人判断车辆能否安全驶入．为了标明限高，请你根据图中数据计算的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出的长，再根据，即可求出的长． 【详解】解：由题可知，，，，， 在中，由勾股定理，得， ， ． 答：的长为． 【易错必刷九 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 25．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理解得的值，再结合正方形的面积公式解题即可． 【详解】在中，，，， 以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 26．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为则等于_______________________． 【答案】 【分析】先由勾股定理可得： 再利用，然后整体代入求解即可. 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是半圆的面积的计算，勾股定理的应用，掌握利用勾股定理的知识计算图形的面积是解题的关键. 27．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为， 【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 【易错必刷十 利用勾股定理证明线段平方关系】 28．（24-25八年级上·广东梅州·月考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 29．（2025·山东枣庄·模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则______． 【答案】34 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：，， ∴， ∵，， ∴ ． 故答案为：34． 30．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，，，于点D，求AD的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理. 由勾股定理得到，设，求出，计算即可. 【详解】∵ ∴,， ∴ 设，则， ∴ 整理得 解得 即 ∴. 【易错必刷十一 用勾股定理构造图形解决问题】 31．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度为2米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.3米，则这名学生身高为（    ）米．    A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6 【答案】C 【分析】过点作于，则，米，由勾股定理得出（米），则（米），即可得出答案． 【详解】解：过点作于，如图所示：    则，米， 在中，米， 由勾股定理得：（米）， （米）， 米， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 32．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，有一块长为的长方形土地，在土地旁边处有健身器材．居住在处的居民最少走______步可到处健身（假设2步为）． 【答案】52 【分析】根据勾股定理进行功能计算即可． 【解答】解：由勾股定理可知：， （步， 故答案为：52. 33．（24-25八年级下·新疆巴州·期末）某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 【答案】云梯的长度足够 【分析】本题主要考查了勾股定理，连接，利用勾股定理求出，通过比较可知，可知云梯的长度不够． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 云梯的长度足够． 【易错必刷十二 判断三边能否构成直角三角形】 34．（25-26八年级上·山东青岛·期末）下列各组数，能构成直角三角形的一组是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理． 利用勾股定理的逆定理，验证每组数中两较小边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则能构成直角三角形． 【详解】解：对于选项，，，，以，，为边不能组成直角三角形，故不符合题意； 对于选项，，，，以，，为边不能组成直角三角形，故不符合题意； 对于选项，，，，以，，为边不能组成直角三角形，故不符合题意； 对于选项，，，，以，，为边能组成直角三角形，故符合题意； 故选：． 35．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，，D为延长线上一点，．若，则的长为 ___________． 【答案】 【分析】利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形；利用勾股定理求得，根据同一个三角形的面积相等，解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 36．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点在边上，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）利用勾股定理逆定理，即可得证； （2）勾股定理求出，进而求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， 即． （2）解：在中，根据勾股定理，得， 即， ． ． ． 【易错必刷十三 在网格中判断直角三角形】 37．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图是边长为1的4×4的正方形网格，已知A，B，C三点均在正方形格点上，则点C到线段所在直线的距离是（    ） A．2 B． C．2.5 D． 【答案】B 【分析】连接，根据勾股定理以及勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，则点C到线段所在直线的距离是． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理可得：，，， ， ∴是直角三角形，， ∴点C到线段AB所在直线的距离是 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等，判断为直角三角形是解题的关键． 38．（24-25八年级下·广东梅州·月考）已知：如图，在方格图中_____________．    【答案】/45度 【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：连接，    ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是得出是等腰直角三角形． 39．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，的顶点都在格点（正方形的顶点）上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．根据勾股定理，求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理，即可求出． 【详解】解：∵在边长为的小正方形组成的网格中， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【易错必刷十四 利用勾股定理的逆定理求解】 40．（24-25八年级上·河南周口·期末）若a，b，c是的三边，且，，，则最长边上的高是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再利用等面积法求解即可. 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， 作于D，如图， 则， ∴； 故选：C.    【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，正确判定是直角三角形是关键. 41．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，在中，D是边上一点， ，，则的长为______． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理的综合运用：先由三边的数值关系，得，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ， ∴， 即， 故， ∴， 故答案为：4． 42．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，四边形中，，，，，． (1)求的长度； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)11 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关定理，是解题的关键： （1）勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理逆定理得到，分割法求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）∵，，由（1）知：， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【易错必刷十五 勾股定理逆定理的实际应用】 43．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和三角形面积的应用，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：连接，则在中，    ∵， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：A． 44．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，有一块农家菜地的平面图，其中，则这块菜地的面积为___________． 【答案】 【分析】连接，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，在三角形中，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形为直角三角形，三角形面积减去三角形面积即可确定出菜地面积． 【详解】解：连接， 在中，， 根据勾股定理得：， 在中，， ， 为直角三角形， ∴这块菜地的面积为 ． 故答案为∶24 【点睛】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 45．（24-25八年级下·河北邢台·期中）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角： 如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．设相邻两个结点之间的距离为a，请你说说其中的道理． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键． 根据题意得：这个三角形的三边长分别为，然后再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：这个三角形的三边长分别为 ， ∵ ∴以为边长的三角形是直角三角形，其直角在第4个结处． 【易错必刷十六 勾股定理的实际应用】 46．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过B作于D，可知，，进而求出，根据计算即可． 【详解】解：过B作于D， ∴，， ∴（）， 在中，， ∴（）， 答：至少需要的彩旗带． 47．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 【答案】它们航行两小时后，相距． 【分析】本题考查解决航海问题（勾股定理的应用）． 根据题意可得，，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ∴， ∴它们航行两小时后，相距． 48．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离． 【答案】千米 【分析】根据题意利用勾股定理易得BD长，设AC=CD=x，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意可得：AB=3，AD=5 ∴在Rt△ABD中， 设AC=CD=x，则BC=4-x 在Rt△ABC中，，解得：x= ∴物品中转站与车站之间的距离CD的长为千米 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的难点是构造已知长度的线段所在的直角三角形，利用勾股定理求解． 49．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水深厘米，则，，，利用勾股定理计算即可． 【详解】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长． 设水深h厘米，由题意得：中，，， ， 由勾股定理得：， 即， 解得． 答：水深是 50．（24-25八年级上·陕西西安·月考）今年9月23日是第六个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长24cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短是多少？    【答案】装饰带的长度最短是． 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点C为的中点，    ∵，， ∴装饰带的长度， 答：装饰带的长度最短是． 【点睛】本题主要考查了平面展开−最短路线问题，以及学生的立体思维能力．解题关键是圆柱的侧面展开图是长方形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理章末易错必刷题型专训（50题16个考点） 【易错必刷一 勾股定理与无理数】 1．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，正方形的边长为，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是 ___________． 3．（24-25八年级上·陕西宝鸡·月考）作图：请在同一个数轴上用尺规作出的对应的点． 【易错必刷二 勾股树（数）问题】 4．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）下列各组数据中，不是勾股数的是（    ）． A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．1，2，3 5．（24-25八年级上·福建泉州·月考）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为6、8、9，则正方形D的面积为 ________． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，，，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法．你发现了吗？请你写出以下几组勾股数：①5，______，______；②7，______，______；③9，_______，_______． （2）写出勾股数一般规律的表达式（用字母n表示，n为奇数，且）． 【易错必刷三 以直角三角形三边为边长的图形面积】 7．（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 8．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，若直角三角形的两条直角边长分别为6，8，则图中阴影部分（正方形）的面积为_________． 9．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在中，，，以为边在点C同侧作正方形，正方形的面积是12，求的长度． 【易错必刷四 已知两点坐标求两点距离】 10．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 11．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）点到原点的距离为______． 12．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知平面内两点，，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． (1)已知点、，试求、两点间的距离； (2)点在第一三象限角平分线上，且轴，点的横坐标为，试求、两点间的距离． 【易错必刷五 勾股定理与网格问题】 13．（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点、、、都在格点上，则下面4条线段长度为的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，的顶点都在由边长为1的小正方形组成的方格纸的格点上，且，则的长为______． 15．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，已知，． (1)的长为______． (2)在所给方格纸中画出． 【易错必刷六 勾股定理的证明】 16．（24-25八年级上·陕西西安·月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列四幅图中，不能验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是，整个图形连同空白部分的面积是，则大正方形的边长是______． 18．（24-25八年级上·四川巴中·月考）如图：这个图形被称为“弦图”，它是由四个全等的直角三角形拼成的，你能用这个拼图验证勾股定理吗？ 【易错必刷七 以弦图为背景的计算题】 19．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而构造的精妙图形，它最早用严谨的“数形结合”方法，直观揭示了直角三角形三边的数量关系，展现了中华民族的数学智慧．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则正方形的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 20．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，，则的值是______． 21．（24-25八年级下·江西上饶·月考）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，直角三角形的两直角边之比为5比12，求小正方形的面积． 【易错必刷八 用勾股定理解三角形】 22．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中，，，，以为一边向外作正方形，则正方形的面积为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 23．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，，，以点为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点，则______． 24．（25-26八年级上·全国·期末）为了缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库．如图，某建筑公司提供了该地下停车库入口的设计示意图，按规定，地下停车库坡道上方要张贴限高标志，以便停车人判断车辆能否安全驶入．为了标明限高，请你根据图中数据计算的长． 【易错必刷九 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 25．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为则等于_______________________． 27．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【易错必刷十 利用勾股定理证明线段平方关系】 28．（24-25八年级上·广东梅州·月考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 29．（2025·山东枣庄·模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则______． 30．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，，，于点D，求AD的长． 【易错必刷十一 用勾股定理构造图形解决问题】 31．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度为2米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.3米，则这名学生身高为（    ）米．    A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6 32．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，有一块长为的长方形土地，在土地旁边处有健身器材．居住在处的居民最少走______步可到处健身（假设2步为）． 33．（24-25八年级下·新疆巴州·期末）某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 【易错必刷十二 判断三边能否构成直角三角形】 34．（25-26八年级上·山东青岛·期末）下列各组数，能构成直角三角形的一组是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 35．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，，D为延长线上一点，．若，则的长为 ___________． 36．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点在边上，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【易错必刷十三 在网格中判断直角三角形】 37．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图是边长为1的4×4的正方形网格，已知A，B，C三点均在正方形格点上，则点C到线段所在直线的距离是（    ） A．2 B． C．2.5 D． 38．（24-25八年级下·广东梅州·月考）已知：如图，在方格图中_____________．    39．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，的顶点都在格点（正方形的顶点）上．求证：． 【易错必刷十四 利用勾股定理的逆定理求解】 40．（24-25八年级上·河南周口·期末）若a，b，c是的三边，且，，，则最长边上的高是（    ）    A． B． C． D． 41．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，在中，D是边上一点， ，，则的长为______． 42．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，四边形中，，，，，． (1)求的长度； (2)求四边形的面积． 【易错必刷十五 勾股定理逆定理的实际应用】 43．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D．  44．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，有一块农家菜地的平面图，其中，则这块菜地的面积为___________． 45．（24-25八年级下·河北邢台·期中）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角： 如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．设相邻两个结点之间的距离为a，请你说说其中的道理． 【易错必刷十六 勾股定理的实际应用】 46．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 47．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 48．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离． 49．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 50．（24-25八年级上·陕西西安·月考）今年9月23日是第六个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长24cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短是多少？    学科网（北京）股份有限公司 $