专题04 一次函数常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

该初中数学单元复习讲义以一次函数为核心，系统整合面积、平移、动点等8大常考几何模型，通过题型分类框架图呈现知识脉络，明确各模型的重难点及内在逻辑联系，帮助学生构建完整的知识体系。 讲义亮点在于“模型专训+分层练习”设计，如一次函数中的动点问题结合坐标系路径分析，培养几何直观与推理意识，15道拓展培优题强化模型应用。基础例题夯实方法，拓展题提升综合能力，支持学生自主复习，助力教师精准分层教学。

专题04 常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 一次函数中的面积问题 题型二 一次函数中的平移模型 题型三 一次函数中的动点问题 题型四 一次函数中的交点问题 题型五 一次函数中的全等问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型 题型八 一次函数中的最值问题 【经典例题一 一次函数中的面积问题】 1．（2026·黑龙江·一模）城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元． (1)求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？ (2)若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，一次函数的函数图象与轴，轴分别交于点，． (1)若点为第三象限内一个动点，请问的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？ (2)在（1）的条件下，试用含的代数式表示四边形的面积；若的面积是，求的值． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式及的面积； (2)若点在直线上，的面积与的面积相等，请求出此时点的坐标． 4．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 5．（25-26八年级上·辽宁锦州·期末）为了加强劳动教育，落实五育并举，某中学在校园内建成了如图所示的一块三角形的劳动实践基地，并邀请数学兴趣小组的同学们将其全部种植甲、乙两种蔬菜．同学们经过测量与调查，得到如下信息： 信息1：； 信息2：甲种蔬菜的种植成本为每平方米30元； 信息3：乙种蔬菜的种植成本（单位：元）与种植面积（单位：平方米）的关系如下表所示，其中； /平方米 10 20 30 40 50 /元 420 660 900 1140 1380 根据以上信息，请帮助该小组的同学们完成下列任务： (1)求该校劳动实践基地的面积； (2)求乙种蔬菜的种植成本与种植面积之间的函数关系式； (3)设甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，才能使最小？并求出的最小值． 6．（24-25八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 【经典例题二 一次函数中的平移模型】 7．（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，过点在第二象限内作，且． (1)求点A、B、C的坐标： (2)将向右平移得到，点的对应点始终在轴上，当点的对应点落在直线，求平移的距离及的坐标． 8．（24-25八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线． (1)画出直线m及直线； (2)观察图象，直线还可以看作由直线m向________（左/右）平移________个单位长度． 9．（24-25八年级下·河南新乡·期末）已知一次函数．请解答下列问题． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (2)观察图象，当时，的取值范围是______； (3)若将直线沿轴平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为______． 10．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求m的值； (2)将直线平移，平移之后的直线记作直线，若直线与直线的交点在第二象限内，直接写出b的取值范围． 11．（2025·河北保定·二模）如图，平面直角坐标系中有一矩形平台，平台下边缘与x轴重合，高度为1，平台上的点光源A发射的光线经过屏幕的下端点后照射到y轴平面镜上的点处，屏幕轴，点N的坐标为． (1)求点光源A的坐标． (2)①直接写出屏幕的中点的坐标：______． ②若将屏幕向右平移，使得光线经过平面镜反射后恰好能照射到屏幕的中点处，求需将屏幕向右平移的距离． (3)将②中平移后得到的屏幕所在位置再向左平移1个单位长度至屏幕，并调整点光源A的发射方向，使得光线经过平面镜反射后恰好经过屏幕的上端点，求此时光线与平面镜的交点的坐标． 12．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，B的坐标为，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到． (1)若直线经过点C，求平移的距离； (2)继续向右平移，当点A平移到了原点O，画出此时平移后的，连接，，直接写出和平行且相等的线段． 【经典例题三 一次函数中的动点问题】 13．（2025·浙江嘉兴·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)求该函数的表达式． (2)是上的一个动点；是一次函数上的一个动点．当时，点P到x轴的距离都大于点Q到x轴的距离，求n的取值范围． 14．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，是直线l上的一点．若点D在x轴正半轴上，且． (1)求直线CD的解析式； (2)连接BD，点G是直线CD上一动点，且的面积等于面积的2倍，求G的坐标； (3)点P是x轴上的动点，若△PBD是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 15．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 如图，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点B，直线交轴于点，交直线于点．    (1) ；A（ ， ）；B（ ， ）； (2)求直线的函数解析式； (3)点P是y轴上一动点，分别连接、，当值最小时，点P的坐标为 ； (4)点为直线上一动点，当的面积为时，请直接写出点的坐标． 16．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）如图，在平面直角坐标系中，有一动点和两定点． (1)求直线的函数表达式； (2)动点P的横坐标，纵坐标，则y关于x的函数关系式为_____； (3)若直线与线段（包含端点）有交点，求a的取值范围； (4)无论a取何值，动点P都在一条确定的直线l上，若平行于x轴的直线与直线、y轴及直线l有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出t的值． 17．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点A，B． (1)求m和k的值； (2)若动点在x轴上，过点P作垂直于x轴的直线m，直线m分别与直线，交于点D，C，过点D作轴，交直线于点E． ①用含t的代数式表示点D，E的坐标：D（______），E（______）； ②当时，求t的值； ③以，为边作矩形，当动点P在x轴上运动时，判断顶点F是否始终落在一条固定的直线上？若是，请直接写出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 18．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，． (1)填空： ，点A的坐标是（ ， ）； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止：动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒． ①当时，的面积是 ； ②当为直角三角形时，请直接写出此时点Q的坐标． 【经典例题四 一次函数中的交点问题】 19．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，线段DE在y轴上，且D点、E点坐标分别为，，直线与线段DE交于点P． (1)当点P与点D重合时，若直线与有交点，求k的取值范围； (2)当点P是线段DE上任意一点时，若直线与有交点，求k的取值范围． 20．（24-25八年级下·海南海口·月考）在平面直角坐标系中，是原点，一次函数与轴交点为，与轴交点为． (1)写出交点的坐标________、的坐标________； (2)请直接在平面直角坐标系中，作出一次函数的图象； (3)求的面积． 21．（24-25八年级下·广东珠海·期末）如图，直线是由直线经过平移并且经过点而得，它与轴和轴的交点分别为、，若，点为轴上的动点． (1)求直线的解析式及的度数； (2)若，求点的坐标； (3)若点关于直线的对称点，连接，直接写出线段与直线有交点时的取值范围． 22．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点在直线l：上，若点的坐标为，则称点为点P关于直线l的“点线变换点”． 例如：点 在直线上，点关于直线l的“点线变换点”为，即．如图，直线与直线相交于点C， (1)分别求出点C关于直线，直线的“点线变换点”的坐标； (2)点在x轴上，过点D作x轴的垂线，与相交于点M，与相交于点N，设点M关于直线的“点线变换点”为点，设点N关于直线的“点线变换点”为点； ①当时，求的面积； ②当时，求直线与y轴交点坐标； ③当线段与直线组成的图形有两个交点时，直接写出m的取值范围． 23．（24-25八年级下·吉林长春·月考）定义：对于给定的一次函数，把形如的函数称为一次函数的衍生函数．已知矩形的顶点坐标分别为，，，． (1)已知函数． ①在网格中画出该函数的衍生函数图象． ②若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则 ． ③若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则 ． ④这个一次函数的衍生函数图象与矩形的边的交点坐标分别为 ． (2)当函数的衍生函数的图象与矩形有个交点时，的取值范围是 ． 24．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下面是小宇同学写的一篇数学日记，请你认真阅读并完成相应学习任务． 用一次函数的观点认识方程（组）、不等式 任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式，所以一元一次方程的解，相当于某个一次函数的图象与轴交点的横坐标．如图，一次函数的图象与轴交点的横坐标为，则方程的解为 任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式，相当于求某个一次函数的函数值大于或小于时，自变量的取值范围．如图，根据图象可知，一次函数，当时，的取值范围是，所以不等式的解集为 ； 任何一个含未知数和的二元一次方程，都可以改写成（，是常数，）的形式．含未知数和的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求自变量为何值时两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．如图，直线与直线的交点的坐标为，则二元一次方程组的解为 ． 任务： (1)上述材料“”处不等式“”的解集为______，“”处二元一次方程组的解为______； (2)上述材料中主要运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．统计思想    C．方程思想 (3)①如图4，直线与直线的交点坐标火，则关于，的二元一次方程组的解为______； ②如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，则不等式的解集为______． 【经典例题五 一次函数中的全等问题】 25．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，直线：与过点的直线交于点，且直线与x轴交于点A，与y轴交于点D．    (1)求直线的函数表达式； (2)若点M是直线上的点，过点M作轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点M的坐标． 26．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OB上，将△ACB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，直线DC交AB于点E． （1）求点C的坐标； （2）若点P在直线DC上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当△CPQ和△CBE全等时，直接写出点P的坐标 　 　（不包括这两个三角形重合的情况）． 27．（24-25八年级下·四川泸州·期末）如图（1），已知直线与x轴、y轴分别交于点A，C，以为边在第一象限内作矩形． (1)求点A，C的坐标； (2)如图（2），将对折，使得点A与点C重合，折痕分别交于点D，E，求直线的解析式； (3)在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得与全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由． 28．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)． (1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标； (2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由； (3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 29．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x＋9于点C． （1）点C的坐标是　 　． （2）点M是直线AB上一点，点N是直线y＝﹣2x＋9上一点，连接线段MN，若MNx轴，且MN＝6，求出所有符合条件的点M的坐标． （3）在（2）的条件下，平面上是否存在点P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 30．（24-25八年级下·河南商丘·月考）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，C，，过点A作轴，垂足为A，过点C作轴，垂足为C，两条垂线相交于点 (1)求线段AC的长； (2)如图2，将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，求点D的坐标； (3)是射线上的一个动点，过点M的另一条直线与y轴相交于点请直接写出与全等时，点M的坐标． 【经典例题六 一次函数中的翻折模型】 31．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，已知的面积为10． (1)求这条直线的表达式； (2)若将这条直线沿轴翻折，求翻折后得到的直线的表达式． 32．（25-26八年级下·上海·月考）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 33．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，已知在平面直角坐标系中，是矩形，，，点是边边上一动点，连结，将四边形沿所在直线翻折，落在的位置，点A、的对应点分别为点、，边与边的交点为点． (1)当坐标为时，求点坐标和直线的解析式； (2)过作交于，若，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域． 34．（24-25九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：将点先关于直线翻折，再向上（时）或向下（时）平移个单位，得到的点叫做关于点的“关联点” (1)①点，，点关于点A的“关联点”的坐标是______； ②若点关于点的“关联点”的坐标是，则点的坐标是______； (2)直线分别与轴，轴相交于点，，是线段上的点． ①点，若直线上存在着点关于点的“关联点”，直接写出的取值范围； ②点是以为圆心，1为半径的圆上的点，点关于点的所有“关联点”组成图形．若图形与坐标轴有公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 35．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，如图1，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象，直线与y轴相交于点C． (1)求新函数的图象的表达式． (2)在射线上有一动点，连接，试求的面积S关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)如图2，过点作平行于y轴的直线． ①求证：是等腰直角三角形． ②将直线沿y轴方向平移，若直线与x轴相交于点，与y轴相交于点，其中点在右侧，点在左侧，则在直线上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图1，直线：与轴交于点、直线上有一动点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们相交于点．将沿直线翻折得到，点的对应点为． (1)直线与轴的交点的坐标为______．直线与轴的交点的坐标为______． (2)如图2，当点的对应点落在轴上时， ①求证：； ②求点P的坐标． (3)如图3，直线上有、两点，当点P从点A运动到点B的过程中，点也随之运动，请直接写出点的运动路径长为______． 【经典例题七 一次函数中的旋转模型】 37．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）【提出问题】 探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 【探究过程】 小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 小芳尝试把变形为，并用代入时，也就是说当时，无论k取何值时，． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组讨论得出：无论k取何值，一次函数的图象一定会经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”． 已知一次函数的图象是“点旋转直线”． (1)一次函数的图象经过的定点P的坐标是________． (2)已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值． 38．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 39．（2025·山东滨州·模拟预测）根据要求，解答下列问题： (1)已知直线的函数表达式为，请直接写出过原点且与垂直的直线的函数表达式； (2)如图，过原点的直线向上的方向与轴的正方向所成的角为． ①求直线的函数表达式； ②把直线绕原点按逆时针方向旋转得到的直线，求直线的函数表达式． (3)分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线垂直的直线的函数表达式． 40．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）已知：如图，平面直角坐标系中，A（ 3，0），B（0，3），C（－3，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E． （1）求直线AB的解析式； （2）若△OCD与△BDE的面积相等，求直线CE的解析式； （3）若点P（m＋1，6m＋3）是该平面直角系内的点． ①求点P的纵坐标随横坐标变化的函数表达式； ②若点P在该△AOB内，求m的取值范围 41．（25-26八年级下·四川成都·月考）平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，且a．b满足．不论k为何值，直线l：都经过x轴上一定点A． (1)_______，_______；点A的坐标为_______； (2)如图1，当时，将线段沿某个方向平移，使得与点B对应的点M恰好在直线l上，与点C对应的点N恰好在直线上，请你判断四边形的形状，并求出M点坐标； (3)如图2，当k的取值发生变化时，直线l：绕着点A旋转，当它与直线相交的夹角为时，求出相应的k的值． 42．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点B． (1)如图1，①求点A、点B的坐标；②求证； (2)D在线段上，过点D作，将绕点A顺时针方向旋转一个角度，得到图3，然后取的中点M，取的中点N，连接，得到图4，请解答下列问题： ①在图3中，与的数量关系是_____________； ②判断的形状，并说明理由． 【经典例题八 一次函数中的最值问题】 43．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）某经销商购进10件A产品和20件B产品需要155元，购进20件A产品和10件B产品需要130元．A产品每件售价5元，B产品的销量不超过200件，每件8元；销量超过200件时，超过的部分每件7元． (1)求每件A，B产品的进价； (2)该经销商每天购进A，B产品共300件，并在当天都销售完． ①要求购进B产品的件数多于A产品件数的2倍，B产品的总利润不超过A产品总利润的4倍，设每天购进A产品x件（x为正整数），求x的取值范围； ②端午节这天，经销商让利销售，将A产品售价每件降低m元，B产品售价每件定为7元，且A，B产品的总利润的最小值不少于318元，在①中x的取值条件下，直接写出m的最大值． 44．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）阅读理解题： 【定义】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：一次函数，它的相关函数为． （1）已知点A（－2，5）在一次函数的相关函数的图像上，求a的值； （2）已知一次函数． ①若点B（t，－4）在这个函数的相关函数的图像上，求t的值； ②当－1≤ x ≤2时，求函数的相关函数的最大值和最小值． 45．（24-25八年级下·四川眉山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． (1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； (2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由．      46．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，直线与轴交于点，直线（）与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值及直线的解析式； (2)求的面积； (3)若点在线段上，点在直线上，则的最大值为______． 47．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)若点在线段上，点在直线上． 求： ①的范围； ②的最大值． 48．（24-25八年级上·江苏南京·月考）用函数方法研究动点到定点的距离问题． 在研究一个动点到定点的距离S时，小明发现：S与x的函数关系为，并画出图象如图， 借助小明的研究经验，解决下列问题： (1)写出动点到定点的距离S的函数表达式，并求当x取何值时，S取最小值？ (2)设动点到两个定点、的距离和为y． ①求y与x的函数表达式； ②在网格中画出这个函数图象； ③随着x增大，y怎样变化？ ④当x满足______时，y取最小值，y的最小值是______． ⑤当时，证明y随着x增大而变化的规律． 1．（2025·陕西西安·二模）若把一次函数y＝kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A(4，0)和点B(0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（　　） A．y＝﹣x﹣1 B．y＝﹣x+1 C．y＝x+1 D．y＝x﹣1 2．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·新疆昌吉·一模）已知直线与y轴、x轴分别交于点A和点B，M是线段上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在y轴上的点处，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，第一象限内的点和在第四象限内的，若满足：，那么称点Q为点P的“影像点”，例如：点的影像点为点，点的影像点为点，如图，若点在直线上，当时，存在点P的影像点Q，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点．函数的图象与直线，，…分别交于点，，，…；函数的图象与直线，，…分别交于点，，…，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作…四边形的面积记作，那么的值为（   ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 6．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点在边上），折叠后点恰好落在边上的点处．若点的坐标为，则直线的解析式为______． 7．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的动点，则的最小值是__________． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，已知正方形的边长为1，E为的中点，P为正方形的边上的动点，动点P从点B匀速向点C运动．设的长度为x，阴影部分三角形的面积为y． （1）y与x之间的函数表达式为__________ （2）当点P运动的路程为________时，三角形的面积为． 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知函数与轴交于，与交于B，C两点． （1）点的坐标是_______； （2）若一次函数与有交点，则的取值范围是______． 10．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，矩形被直线分成面积相等的两部分，，若线段的长是正整数，则矩形面积的最小值是_______． 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 12．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 13．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与一次函数交于x轴上的同一点A，且一次函数交y轴于点B，一次函数交y轴于点C． (1)求k的值； (2)若点E是x轴上的一个动点，是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标； (3)若点P是上的一个动点，若，求点P的坐标． 14．（25-26八年级上·江苏南京·月考）【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 15．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B，A两点． 【模型探索】 （1）如图2，求证：是等腰直角三角形． （2）如图3，M，N是直线上的两动点，连接，．若，，求的长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，经过点B的直线与y轴交于点C，H为线段上的一点，作射线．若，请直接写出m的值及直线的函数解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 一次函数中的面积问题 题型二 一次函数中的平移模型 题型三 一次函数中的动点问题 题型四 一次函数中的交点问题 题型五 一次函数中的全等问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型 题型八 一次函数中的最值问题 【经典例题一 一次函数中的面积问题】 1．（2026·黑龙江·一模）城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元． (1)求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？ (2)若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元； (2)共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株； (3)购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米． 【分析】（1）设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株，根据题意列不等式组，再根据正整数得到的可能取值，即可得解； （3）设小区年遮阴总面积为s平方米，根据题意得出关于的一次函数，利用一次函数的增减性即可得解． 【详解】（1）解：设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元， 则，解得：， 答：购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元； （2）解：设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株， 由题意得：， ， 为正整数， 的可能取值为、、、、， 共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株； （3）解：设小区年遮阴总面积为s平方米， 则， ， 随的增大而增大， 由（2）可知，的最大取值为，此时 购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，一次函数的函数图象与轴，轴分别交于点，． (1)若点为第三象限内一个动点，请问的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？ (2)在（1）的条件下，试用含的代数式表示四边形的面积；若的面积是，求的值． 【答案】(1)不变，面积是1 (2)， 【分析】本题考查了一次函数与几何图形，一次函数与坐标轴交点问题； （1）求出、点的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论； （2）由，即可得出四边形的面积，再由的面积是可得出的值． 【详解】（1）解：不变，理由是： 一次函数的图象与轴、轴分别交于、， 当时，，当时， 则点、的坐标分别为、， ∴ ∵点为第三象限内一个动点， ∴． （2）解：∵, , ∴ 解得． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式及的面积； (2)若点在直线上，的面积与的面积相等，请求出此时点的坐标． 【答案】(1)，的面积为 (2)点的坐标为或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求一次函数的解析式、坐标与图形性质以及三角形面积求法等知识，熟练掌握一次函数解析式的求法，利用点横坐标为分别求出纵坐标是解题关键． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；求利用三角形的面积公式即可求解； （2）当的面积与的面积相等时，根据面积公式即可求得的横坐标，然后代入解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：设直线的函数关系式为：， 把分别代入得 , 解得：． 则直线的函数关系式为：； ，当时，， ， ， 的面积． （2）解：如图所示，点， ， ， 的面积与的面积相等， 到轴的距离点的纵坐标2， 点的横坐标为2或； 当的横坐标为2时， 在中，当时，，则的坐标是； 当的横坐标为时， 在中，当时，，则的坐标是． 综上所述：点的坐标为或． 4．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式、三角形的面积，熟练掌握解一次函数的解析式的方法和三角形的面积公式是解题关键． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求得点的坐标，即的长，利用三角形的面积公式即可求解； （3）当的面积是的面积的时，先求出的面积和的面积，再分类讨论：①当点在直线上，先求出直线求解析，运用三角形公式代入求解即可；②当点在直线上，已知直线解析式，运用三角形公式代入求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式是， 将点、点代入得：， 把①代入②中得：， ， ， 解得：， ∴直线的解析式是：； （2）解：∵在中，令，解得：， ∴点，． ∵点， ∴， ∴． （3）解：∵点、点， ∴，， ∴ ∵当的面积是的面积的时， ∴ ①当点在直线上， ∵设直线的解析式是， 代入点得， 解得：， ∴则直线的解析式是：， ∴设点， ∴ ∴，即， 把代入，得 ∴； ②当点在直线上， ∴设点， ∴ ∴，即， 把代入，得 ∴； 综上，点的坐标是：或． 5．（25-26八年级上·辽宁锦州·期末）为了加强劳动教育，落实五育并举，某中学在校园内建成了如图所示的一块三角形的劳动实践基地，并邀请数学兴趣小组的同学们将其全部种植甲、乙两种蔬菜．同学们经过测量与调查，得到如下信息： 信息1：； 信息2：甲种蔬菜的种植成本为每平方米30元； 信息3：乙种蔬菜的种植成本（单位：元）与种植面积（单位：平方米）的关系如下表所示，其中； /平方米 10 20 30 40 50 /元 420 660 900 1140 1380 根据以上信息，请帮助该小组的同学们完成下列任务： (1)求该校劳动实践基地的面积； (2)求乙种蔬菜的种植成本与种植面积之间的函数关系式； (3)设甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，才能使最小？并求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，才能使最小，的最小值为1680元 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据三角形的面积公式计算即可得； （2）先根据表格可得与之间满足一次函数关系，再利用待定系数法求解即可得； （3）设乙种蔬菜的种植面积为，则甲种蔬菜的种植面积为，先结合（2）的结论，建立与之间的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴的面积为， 答：该校劳动实践基地的面积为． （2）解：由表格可知，自变量每增加10，函数值就增加240，函数值的变化是均匀的， ∴与之间满足一次函数关系， 设， 将点，代入得：，解得， ∴． （3）解：设乙种蔬菜的种植面积为，则甲种蔬菜的种植面积为， 由题意得：， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为， 此时， 答：当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，才能使最小，的最小值为1680元． 6．（24-25八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 【答案】(1)增大；不变；减小； (2)； (3)； (4)当点出发5秒或14.5秒时，的面积是长方形面积的． 【分析】此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不同分段区间时的运动性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式． （1）根据函数图象及动点运动即可得出结果； （2）根据三角形的面积公式可求a、b及图②中c的值； （3）确定y与x的等量关系后列出关系式即可； （4）结合题意，分四种情况确定相应的函数解析式，然后计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的x的值，若解出的x值在对应的分段区间内，则x的值即为所求的解，反之则不是． 【详解】（1）解：当点在上运动时，增大，的面积会增大；点在上运动时，的面积会不变；点在上运动时，的面积会减小； 故答案为：增大；不变；减小； （2）∵长方形中，，， ∴， 当点P在上时， 得： ， ∴， ， ； （3）∵， ∴动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：； （4）①当时 ， ； ②当时 ， ； ③当x运动到C点时 解得： 即：时 ； ④当时 ， ； 综上： ； ∵， ①时，，符合题意； ②时，，不符合题意，舍去； ③时，，不符合题意，舍去； ④，，符合题意； 所以点P出发后5秒或秒，的面积是长方形面积的． 【经典例题二 一次函数中的平移模型】 7．（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，过点在第二象限内作，且． (1)求点A、B、C的坐标： (2)将向右平移得到，点的对应点始终在轴上，当点的对应点落在直线，求平移的距离及的坐标． 【答案】(1) (2)平移的距离为：， 【分析】本题考查了一次函数图象上的坐标特征，平移的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键． （1）把和分别代入，求出的值即可求得、的坐标；证，得到，，即可求出的坐标； （2）根据平移的性质可知的纵坐标为2，代入即可求得的坐标，根据的坐标即可求得平移的距离，根据平移的距离即可求得的坐标． 【详解】（1）解：作轴于， 由可知当时，， 当时，， 由勾股定理得：， 点的坐标为，的坐标为， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）根据题意可知的纵坐标为2， 代入得， ， 解得：， ， 平移的距离为：， ． 8．（24-25八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线． (1)画出直线m及直线； (2)观察图象，直线还可以看作由直线m向________（左/右）平移________个单位长度． 【答案】(1)见解析 (2)右，1 【分析】（1）根据平移性质，得，利用两点确定一条直线，画图象即可； （2）观察图象，与x轴的交点由到了，由此可以判断直线l还可以看作由直线m向右）平移个单位长度得到． 本题考查了一次函数图象的画法，一次函数图象的平移，熟练掌握平移是解题的关键． 【详解】（1）解：根据平移性质，得， 故可由确定，可由确定，画图如下： ． （2）解：观察图象，与x轴的交点由到了，由此可以判断直线l还可以看作由直线m向右）平移个单位长度得到， 故答案为：右，1． 9．（24-25八年级下·河南新乡·期末）已知一次函数．请解答下列问题． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (2)观察图象，当时，的取值范围是______； (3)若将直线沿轴平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了画一次函数图象，一次函数的平移，根据自变量的范围求函数的取值范围，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）分别求得直线与坐标轴的交点，进而画出函数图象； （2）观察图象即可求解； （3）分直线沿轴向上或向下平移3个单位长度，根据一次函数平移规律即可解答． 【详解】（1）解：由，当时，， 当时，， 则一次函数经过点， 如图所示， （2）解：观察图象，当时，y取值范围是； （3）解：当直线沿轴向上平移3个单位长度时，则直线解析式为； 当直线沿轴向下平移3个单位长度时，则直线解析式为； 故答案为：或． 10．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求m的值； (2)将直线平移，平移之后的直线记作直线，若直线与直线的交点在第二象限内，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的交点，象限内点的坐标特征，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将点B的坐标代入即可求解； （2）先求出直线的解析式，再联立，求出交点坐标，再根据交点在第二象限，且第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0，得到关于b的不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴； （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∵直线与直线的交点在第二象限内， ∴， 解得． 11．（2025·河北保定·二模）如图，平面直角坐标系中有一矩形平台，平台下边缘与x轴重合，高度为1，平台上的点光源A发射的光线经过屏幕的下端点后照射到y轴平面镜上的点处，屏幕轴，点N的坐标为． (1)求点光源A的坐标． (2)①直接写出屏幕的中点的坐标：______． ②若将屏幕向右平移，使得光线经过平面镜反射后恰好能照射到屏幕的中点处，求需将屏幕向右平移的距离． (3)将②中平移后得到的屏幕所在位置再向左平移1个单位长度至屏幕，并调整点光源A的发射方向，使得光线经过平面镜反射后恰好经过屏幕的上端点，求此时光线与平面镜的交点的坐标． 【答案】(1) (2)①，②需将屏幕向右平移的距离为个单位 (3) 【分析】（1）设直线的表达式为，求出解析式，令，求解即可得出结果； （2）①利用中点公式直接计算即可；②作移动后的屏幕关于平面镜，即y轴的对称的像，根据直线经过的中点，代入计算，再根据对称的性质解答即可； （3）设与关于平面镜对称．由题意可知，此时点的坐标为，则点，设直线的表达式为，求出解析式，将代入求解即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为． 将点和代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为． 令，则，解得， ∴点． （2）解：①，， 的中点的坐标为，即； ②如图1，作移动后的屏幕关于平面镜，即y轴的对称的像， 由题意知，中点的纵坐标为4， 直线经过的中点，直线的表达式为． 令，则， 解得， ， ∴需将屏幕向右平移的距离为个单位． （3）解：如图2，设与关于平面镜对称． 由题意可知，此时点的坐标为，则点． 设直线的表达式为． 将点，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为． 将代入，得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，对称的性质，平移变换，读懂题意，灵活运用对称的性质是解题的关键． 12．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，B的坐标为，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到． (1)若直线经过点C，求平移的距离； (2)继续向右平移，当点A平移到了原点O，画出此时平移后的，连接，，直接写出和平行且相等的线段． 【答案】(1) (2)图见解析，， 【分析】本题考查平移作图，勾股定理，一次函数图象和性质，掌握平移的性质是解题的关键． （1）先求出直线的解析式，再根据平移求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标，即可求解； （2）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：过点B作，垂足为M， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， 当直线经过点C，∵， ∴， ∴， 设， 把，代入，得， 解得， ∴， ∵平移， ∴设， 把代入得：， ∴， 令，解得， ∴点， ∴， ∴平移的距离为的长． （2）解：如图所示，和平行且相等的线段为，． 【经典例题三 一次函数中的动点问题】 13．（2025·浙江嘉兴·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)求该函数的表达式． (2)是上的一个动点；是一次函数上的一个动点．当时，点P到x轴的距离都大于点Q到x轴的距离，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法，点到坐标轴的距离，利用函数图象解不等式等； （1）将代入，即可求解； （2）由点到坐标轴的距离得到x轴的距离，Q到x轴的距离，设，要使当时，是图象始终在图象的上方，利用函数图象，即可求解； 掌握待定系数法，能根据题意画出图象，利用函数图象求解是解题的关键． 【详解】（1）解：将代入得 ， 解得：， 该函数的表达式为； （2）解：由题意得 ， ， 到x轴的距离， Q到x轴的距离， 时，点P到x轴的距离都大于点Q到x轴的距离， ， 设， 此时， 如图： 要使当时，是图象始终在图象的上方， 由图象得：； 故：n的取值范围为． 14．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，是直线l上的一点．若点D在x轴正半轴上，且． (1)求直线CD的解析式； (2)连接BD，点G是直线CD上一动点，且的面积等于面积的2倍，求G的坐标； (3)点P是x轴上的动点，若△PBD是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】这是一道关于一次函数的综合问题，考查了待定系数法求一次函数关系式，等腰三角形的判定，对于（1），将点代入关系式可得坐标，再令求出点B坐标，根据可知点D的坐标，然后根据待定系数法求出直线的关系式； 对于（2），先根据求出，设点G的坐标，可知点K的坐标，根据列出方程，可得答案； 对于（3），以为底，作的垂直平分线，可得，再以为腰，分别以点B，D为圆心，以为半径画弧，可得点． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴， ∴点． 当时，， ∴点， 即， ∴点D的坐标是． 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为； （2）令，则， ∴点， ∴， ∴． 过点G作轴，交于点K， 设点，则点， ∴． 则， 即， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）或或或． 以为底，作的垂直平分线，点P与原点重合，故坐标为； 以为腰，分别以点B为圆心，以为半径画弧，点P与点A重合，故坐标为； 以为腰，分别以点D为圆心，以为半径画弧，点P与x轴交点为，． 故答案为：或或或． 15．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 如图，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点B，直线交轴于点，交直线于点．    (1) ；A（ ， ）；B（ ， ）； (2)求直线的函数解析式； (3)点P是y轴上一动点，分别连接、，当值最小时，点P的坐标为 ； (4)点为直线上一动点，当的面积为时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)2；0，4；4，0 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了一次函数综合题，涉及待定系数法，将军饮马问题，一次函数与面积结合，熟练掌握这些题型的方法是解题的关键． （1）将代入求，分别令的和求、即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用将军饮马问题，作点关于轴的对称点，当、、共线时，最小，此时点为与轴的交点， （4）利用求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：， 当时，， ∴， 令，得：， ∴， 故答案为：2；0，4；4，0； （2）解：设直线的解析式为， 把点、代入解析式， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：作点关于轴的对称点，    则， 则， 当、、共线时，最小，即最小， 此时点为与轴的交点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得：， 所以直线的解析式为， 当，， ∴； （4）解：∵，， ∴， ∵的面积为， ∴， 即：， 得：或， 当时，代入，得， ∴， 当时，代入，得， ∴， 综上，点坐标为或． 16．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）如图，在平面直角坐标系中，有一动点和两定点． (1)求直线的函数表达式； (2)动点P的横坐标，纵坐标，则y关于x的函数关系式为_____； (3)若直线与线段（包含端点）有交点，求a的取值范围； (4)无论a取何值，动点P都在一条确定的直线l上，若平行于x轴的直线与直线、y轴及直线l有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)7或1或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据点P的横纵坐标解答即可； （3）分别求出直线过点B，A是函数解析式，即可； （4）求出直线与直线、y轴及直线l有三个交点分别为，，，然后分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵动点P的横坐标，纵坐标， ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：设直线的解析式为， 当直线过点时，， 解得：， ∴此时直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：； 当直线过点时，， 解得：， ∴此时直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：； ∴a的取值范围为； （4）解：由（1），（2）得：直线的函数表达式为，直线l的解析式为， ∴直线与直线、y轴及直线l有三个交点分别为，，， 当和关于点对称时，， 解得：； 当和关于点对称时，， 解得：； 当和关于点对称时，， 解得：； 综上所述，t的值为7或1或． 17．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点A，B． (1)求m和k的值； (2)若动点在x轴上，过点P作垂直于x轴的直线m，直线m分别与直线，交于点D，C，过点D作轴，交直线于点E． ①用含t的代数式表示点D，E的坐标：D（______），E（______）； ②当时，求t的值； ③以，为边作矩形，当动点P在x轴上运动时，判断顶点F是否始终落在一条固定的直线上？若是，请直接写出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，；②或；③是， 【分析】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是利用函数图象上点的坐标特征、矩形性质，结合方程与代数运算求解． （1）将点坐标代入直线解析式求，再把坐标代入直线解析式求． （2）①利用直线解析式和点横坐标求坐标，依据轴及直线解析式求坐标．②先求坐标，得出的绝对值表达式，结合列方程求解．③根据矩形性质确定坐标，设直线解析式，代入和坐标列方程组，求解得直线解析式，判断所在直线． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴． 把代入，得 ， ∴． （2）解：①轴，轴，且， 直线，当时，， ， 直线，当时，， ， ， ，． 故答案为：，． ②直线：，当时，， ， ， ， ， 解得或， 的值为或． ③作直线， 设直线的解析式为， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 解得， 直线的解析式为， 顶点始终落在一条固定的直线上，这条直线的解析式为． 18．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，． (1)填空： ，点A的坐标是（ ， ）； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止：动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒． ①当时，的面积是 ； ②当为直角三角形时，请直接写出此时点Q的坐标． 【答案】(1)；5，0 (2)见解析 (3)①12；②或 【分析】（1）代入C点坐标即可得出k值确定直线的解析式，进而求出A点坐标即可； （2）求出A、D点坐标，根据，，即可证四边形是平行四边形； （3）①作于H，设出H点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积； ②当时，当时，再根据P、Q的位置分情况计算出结果即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得， 即直线的解析式为， 当时，， ∴， 故答案为：，5，0； （2）解：∵线段平行于x轴， ∴D点的纵坐标与C点一样， 又∵D点在直线上， 当时，， 即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：①作于H，如图所示：    ∵H点在直线上， ∴设H点的坐标为， ∴， 由勾股定理，得， 即， 解得或8（舍去）， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 故答案为：12； ②当时，， ∵轴， ∴轴， ∴此时点P的横坐标为3， ∵点P在直线， ∴把代入得， 此时点P的坐标为， ， ∴， ∴， 设此时点Q的坐标为， ∴， 解得：，负值舍去， 此时点Q的坐标为：； 当时， 根据解析①可知，此时点P的坐标为， ∴， ∴， ∴， 设此时点Q的坐标为， ∴， 解得：，负值舍去， 此时点Q的坐标为：； 综上分析可知，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，勾股定理，平行四边形的判定，坐标与图形，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的判定，是解题的关键． 【经典例题四 一次函数中的交点问题】 19．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，线段DE在y轴上，且D点、E点坐标分别为，，直线与线段DE交于点P． (1)当点P与点D重合时，若直线与有交点，求k的取值范围； (2)当点P是线段DE上任意一点时，若直线与有交点，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求直线的解析式，解一元一次不等式组，理解题意，正确求解是解题的关键． （1）利用待定系数法将点D，分代入表示出解析式，然后分别求得直线经过A、B、C、时的解析式，即可求解； （2）利用待定系数法分别求得直线经过A，B时的解析式，再根据，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：当直线经过时，， 将代入中，得， 当直线经过时， 将代入中，得． 当直线经过时， 将代入中，得． ∴当直线与有交点时，k的取值范围是； （2）当直线经过时， ，即， ∵点P是线段DE上任意一点，且、，即， ∴， 解得：， 当直线经过时， ，即， ∵点P是线段上任意一点，且、，即， ∴， 解得：， ∴直线与有交点，则k的取值范围是． 20．（24-25八年级下·海南海口·月考）在平面直角坐标系中，是原点，一次函数与轴交点为，与轴交点为． (1)写出交点的坐标________、的坐标________； (2)请直接在平面直角坐标系中，作出一次函数的图象； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，画一次函数的图象，求三角形的面积，掌握求一次函数与坐标轴的交点是解题的关键． （1）令，求出x的值得到点A的坐标；当求出y的值得到点B的坐标； （2）在平面直角坐标系中描出点和点的坐标，过两点作直线即可； （3）根据三角形的面积公式计算解题． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴点A的坐标为； 当时，， ∴点B的坐标为； 故答案为：，； （2）解：如图所示： （3）解：． 21．（24-25八年级下·广东珠海·期末）如图，直线是由直线经过平移并且经过点而得，它与轴和轴的交点分别为、，若，点为轴上的动点． (1)求直线的解析式及的度数； (2)若，求点的坐标； (3)若点关于直线的对称点，连接，直接写出线段与直线有交点时的取值范围． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3)当或时，线段与直线有交点 【分析】本题主要考查一次函数的性质，平移，交点问题，轴对称问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据平移的性质得出，将点D代入确定函数解析式；再由函数与坐标轴的交点确定，即可得出角度； （2）过点C作，在点C左侧取一点G，使得，过点G作轴，使得，连接，交y轴于点E，过点D作轴，根据全等三角形的判定和性质得出，，然后利用勾股定理及各线段的长度确定点M的坐标为，利用待定系数法得出直线的解析式为，即可确定点E的坐标，再由对称即可确定另一个点的坐标； （3）分情况讨论：当F在y轴正半轴时，当点O关于直线的对称点F恰好落在上时，根据轴对称图形的性质得出，设点，得出，确定点，得出中点，再由待定系数法确定直线的解析式为，结合图形即可求解；当F在y轴负半轴时，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵直线是由直线经过平移并且经过点而得， ∴，将点D代入得：， 解得：， ∴， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点C作，在点C左侧取一点G，使得，过点G作轴，使得，连接，交y轴于点E，过点D作轴，如图所示 ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得：，解得， ∴， 当时，， ∴， 关于点O的对称点也符合题意， 综上可得：点的坐标为或； （3）解：当F在y轴正半轴时，如图所示，当点O关于直线的对称点F恰好落在上时，如图所示，连接， ∴， 设点， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点， ∴中点， 设直线的解析式为， 代入得，解得， ∴， 当时，， ∴， ∴当时，线段与直线有交点． 当F在y轴负半轴时，如图所示，当点O关于直线的对称点F恰好落在上时，如图所示，连接， ∴， 设点， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点， ∴中点， 同理可求直线的解析式为∴， 当时，， ∴， ∴当时，线段与直线有交点． 综上，当或时，线段与直线有交点． 22．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点在直线l：上，若点的坐标为，则称点为点P关于直线l的“点线变换点”． 例如：点 在直线上，点关于直线l的“点线变换点”为，即．如图，直线与直线相交于点C， (1)分别求出点C关于直线，直线的“点线变换点”的坐标； (2)点在x轴上，过点D作x轴的垂线，与相交于点M，与相交于点N，设点M关于直线的“点线变换点”为点，设点N关于直线的“点线变换点”为点； ①当时，求的面积； ②当时，求直线与y轴交点坐标； ③当线段与直线组成的图形有两个交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)点关于直线的“点线变换点”的坐标为，点关于直线的“点线变换点”的坐标为 (2)①10，②，③或且 【分析】（1）先求出点坐标，再根据“点线变换点”定义分别计算关于直线、的变换点坐标； （2）①先求时、坐标，再求、坐标，最后根据三角形面积公式计算；②利用待定系数法求直线解析式，再求与y轴交点；③排除特殊 m 值​：当或落在一条直线上时，可能导致交点重合或增加；联立方程求交点范围，​根据图形关系分析m取值范围． 【详解】（1）解：，解得， 点的坐标为； 点关于直线的“点线变换点”的坐标为，即． 点关于直线的“点线变换点”的坐标为，即． （2）设点，点， 则，， ①当时，则，，如图1， ． ， ②设直线对应的函数表达式为， 将点，，代入得， ，解得， ， 当时，， 直线与y轴交点坐标为． ③​若在上​：则， ，解得，， 在上，与有两个交点， ​若 在上​：则， ，解得，，此时重合，故舍去， ​线段：过交点时，与有一个交点， ，解得，， 当且时，线段与直线组成的图形有两个交点； 将代入，得， 解得，，即当在上时，线段与直线组成的图形刚好有两个交点， 当时，线段与直线组成的图形有两个交点； 综上，当线段与直线组成的图形有两个交点时，或且． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义“点线变换点”，通过联立方程求交点，利用坐标变换和直线解析式求解相关问题，关键是理解新定义并准确计算坐标变换． 23．（24-25八年级下·吉林长春·月考）定义：对于给定的一次函数，把形如的函数称为一次函数的衍生函数．已知矩形的顶点坐标分别为，，，． (1)已知函数． ①在网格中画出该函数的衍生函数图象． ②若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则 ． ③若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则 ． ④这个一次函数的衍生函数图象与矩形的边的交点坐标分别为 ． (2)当函数的衍生函数的图象与矩形有个交点时，的取值范围是 ． 【答案】(1)①画见解析；②；③或；④和 (2) 【分析】）①写成一次函数的衍生函数，进而根据解析式画出函数图象即可；②把点的坐标代入对应的衍生函数解析式解答即可；③分和，代入对应的衍生函数解析式解答即可；④根据函数图象解答即可求解； （）分两种情况：当直线在位置①时，函数图象和矩形有一个交点，求出的值；当直线在位置②时，函数图象和矩形有一个交点，求出的值，即可知当直线在位置①②之间的位置时，函数和矩形有两个交点，据此即可求解； 本题为一次函数的几何应用，画一次函数图象，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：：①∵， ∴一次函数的衍生函数为， 画函数图象如下： ②∵， ∴， 故答案为：； ③∵点在这个一次函数的衍生函数图象上， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或； 故答案为：或； ④由函数图象可知，一次函数的衍生函数图象与矩形的边的交点坐标分别为和， 故答案为：和； （2）解：函数的衍生函数为，画图如下所示： ∵当直线在位置①时，函数图象和矩形有个交点， ∴把代入，得， 解得； ∵当直线在位置②时，函数图象和矩形有个交点， 把代入，得， 解得； 当直线在图①②之间的位置时，直线与矩形有个交点， ∴ ， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下面是小宇同学写的一篇数学日记，请你认真阅读并完成相应学习任务． 用一次函数的观点认识方程（组）、不等式 任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式，所以一元一次方程的解，相当于某个一次函数的图象与轴交点的横坐标．如图，一次函数的图象与轴交点的横坐标为，则方程的解为 任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式，相当于求某个一次函数的函数值大于或小于时，自变量的取值范围．如图，根据图象可知，一次函数，当时，的取值范围是，所以不等式的解集为 ； 任何一个含未知数和的二元一次方程，都可以改写成（，是常数，）的形式．含未知数和的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求自变量为何值时两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．如图，直线与直线的交点的坐标为，则二元一次方程组的解为 ． 任务： (1)上述材料“”处不等式“”的解集为______，“”处二元一次方程组的解为______； (2)上述材料中主要运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．统计思想    C．方程思想 (3)①如图4，直线与直线的交点坐标火，则关于，的二元一次方程组的解为______； ②如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，则不等式的解集为______． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过数形相结合的思想作答即可； （3）①通过观察图象求解即可； ②通过观察图象求解即可． 【详解】（1）解：∵经过， ∴的解集为， ∵直线与直线的交点的坐标为， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：，； （2）解：上述材料中主要运用的数学思想是数形相结合的思想， 故选. （3）解：①∵直线与直线的交点坐标火， ∴关于，的二元一次方程组的解为； ②由关于轴的对称点为，在图中作， ∵与轴交于， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合是解题的关键． 【经典例题五 一次函数中的全等问题】 25．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，直线：与过点的直线交于点，且直线与x轴交于点A，与y轴交于点D．    (1)求直线的函数表达式； (2)若点M是直线上的点，过点M作轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或 【分析】（1）将点代入直线：可得，利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）分两种情况：①当时；②当时，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：因为直线：与直线交于点， 所以， 所以， 又因为过点， 故设直线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 所以直线的函数表达式为． （2）因为直线 ：与x轴交于点A，与y轴交于点D． 所以， 因为轴于点N， 所以， 所以以O、M、N为顶点的三角形与全等，分两种情况：    ①如图，当时，， 因为直线的函数表达式为， 当时，， 所以点M的坐标为； ②如图，当时，， 因为直线的函数表达式为， 当时，， 所以点M的坐标为． 综上所述，满足条件的点M的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的性质等知识，熟练掌握一次函数和全等三角形的性质是解本题的关键． 26．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OB上，将△ACB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，直线DC交AB于点E． （1）求点C的坐标； （2）若点P在直线DC上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当△CPQ和△CBE全等时，直接写出点P的坐标 　 　（不包括这两个三角形重合的情况）． 【答案】（1）C（0，）；（2）（﹣2，0）或（2，3）或（﹣） 【分析】（1）首先求出A（3，0），B（0，4），得出AB＝5，设OC＝x，则BC＝4﹣x，在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2，解方程即可； （2）首先可证∠BEC＝∠COD＝90°，分当点D与P重合，当CQ＝BC＝时，当PC＝BE＝2，，时，再分别根据图形性质求出点P的坐标即可． 【详解】解：（1） ， 令 则 令 则 A（3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∵∠AOB＝90°， 由勾股定理得，AB＝， ∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处， ∴AD＝AB＝5， ∴OD＝2， 设OC＝x，则， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2， 解得x＝， ∴C（0，）； （2）设为 解得： 所以直线CD的解析式为， ∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵∠BCE＝∠DCO， ∴∠BEC＝∠COD＝90°， ①当点D与P重合时，OP＝2，OC＝， CP＝ 而 则△CPQ△CBE，此时重合， ∴P（﹣2，0）； ②当CQ＝BC＝时，则点Q的纵坐标为﹣1时，如图， 当△CPQ△CEB时， 解得： ∴； ③当PQ＝BE＝2，，时，如图， 点P（2，3）， 综上，点P的坐标为（﹣2，0）或（2，3）或． 【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解（2）的关键. 27．（24-25八年级下·四川泸州·期末）如图（1），已知直线与x轴、y轴分别交于点A，C，以为边在第一象限内作矩形． (1)求点A，C的坐标； (2)如图（2），将对折，使得点A与点C重合，折痕分别交于点D，E，求直线的解析式； (3)在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得与全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)满足条件的点有三个，分别为或或． 【分析】本题主要考查对于一次函数图象的应用以及勾股定理的运用和全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）已知直线与轴、轴分别交于点、，即可求得和的坐标； （2）根据题意可知是等腰三角形，由折叠的性质和勾股定理可求出长，即可求得点坐标，最后即可求出的解析式； （3）将点在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ； 当时，，解得， ； ∴；； （2）解：由折叠知：． 设，则，， 根据题意得：， 解得：， 此时，，， 设直线为， ∴，解得， 直线解析式为； （3）解：①当点与点重合时，显然，此时； ②当点在第一象限时，如图， 由得， 则点在直线上．过作于点， 由（2）得，，， 由得：， ， ，把代入得， 此时， ③当点在第四象限时，如图， 由（2）同理可求得：， 根据勾股定理， ， 此时． 综合得，满足条件的点有三个，分别为或或． 28．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)． (1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标； (2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由； (3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)E（，） (2)△AOB≌△FOD，理由见详解； (3)P（0，-3）或（4，1）或（，）. 【分析】（1）连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，首先求出点A，点B，点C，点D的坐标，然后根据点E到两坐标轴的距离相等，得到OE平分∠BOC，进而求出点E的坐标即可； (2)首先求出直线DE的解析式，得到点F的坐标，即可证明△AOB≌△FOD； (3)首先求出直线GC的解析式，求出AB的长，设P（m，m-3），分类讨论①当AB=AP时，②当AB=BP时，③当AP=BP时，分别求出m的值即可解答. 【详解】（1）解: 连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H， 当y=0时，-3x+3=0， 解得x=1， ∴A（1，0）， 当x=0时，y=3， ∴OB=3，B（0，3）， ∵点D与点C关于y轴对称，C（3，0），OC=3， ∴D（-3，0）， ∵点E到两坐标轴的距离相等， ∴EG=EH， ∵EH⊥OC，EG⊥OC， ∴OE平分∠BOC， ∵OB=OC=3， ∴CE=BE， ∴E为BC的中点， ∴E（，）； （2）解: △AOB≌△FOD， 设直线DE表达式为y=kx+b， 则， 解得：， ∴y=x+1， ∵F是直线DE与y轴的交点， ∴F（0，1），   ∴OF=OA=1， ∵OB=OD=3，∠AOB=∠FOD=90°， ∴△AOB≌△FOD； （3）解:∵点G与点B关于x轴对称，B（0，3）， ∴点G（0，-3）， ∵C（3，0）， 设直线GC的解析式为：y=ax+c， ， 解得：， ∴y=x-3， AB==  ， 设P（m，m-3）， ①当AB=AP时， = 整理得：m2-4m=0，   解得：m1=0，m2=4， ∴P（0，-3）或（4，1）， ②当AB=BP时，= m2-6m+13=0, △＜0 故不存在， ③当AP=BP时， =， 解得：m=， ∴P（， ）， 综上所述P（0，-3）或（4，1）或（，）， 【点睛】此题主要考查待定系数法求一次函数，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定，勾股定理. 29．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x＋9于点C． （1）点C的坐标是　 　． （2）点M是直线AB上一点，点N是直线y＝﹣2x＋9上一点，连接线段MN，若MNx轴，且MN＝6，求出所有符合条件的点M的坐标． （3）在（2）的条件下，平面上是否存在点P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（1，7）（2）M（-3，3）或M（5，11）（3）P（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，4） 【分析】（1）联立两直线即可求解； （2）设点M的横坐标为a，分别求出M、N点的坐标，根据MN＝6，得到故可求解； （3）先求出B点坐标，得到MN=OB=6，故当△BOP和△MNC全等时，对应线段相等，求出MC，NC，设点P（x1，x2），得到BP=，OP=，根据BP= NC，OP= MC或BP= MC，OP= NC分别列出方程即可求解． 【详解】（1）联立两直线 解得 ∴点C的坐标是（1，7） 故答案为：（1，7）； （2）设点M的横坐标为a，则M（a，a+6）， ∵MNx轴 ∴N点的纵坐标为a+6，代入直线y＝﹣2x＋9 ∴a+6＝﹣2x＋9 ∴x= ∴N（，a+6） ∵MN＝6， ∴ 解得a=-3或a=5 ∴M（-3，3）或M（5，11） （3）存在 令直线y＝x＋6中x=0，y=6 故B（0，6） ∴OB=6 故MN=OB=6 故当△BOP和△MNC全等时，对应线段相等 ①当M（-3，3）、N（3，3）时 在△MNC中，MC=，NC=， 设点P（x1，x2），故BP=，OP= 当BP= NC，OP= MC时，则，解得或； 当BP= MC，OP= NC时，则，解得或； ∴P点坐标为（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，2）； ②当M（5，11）、N（-1，11）时，四种情况与①一致； 综上，P点坐标为（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，2）． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、一次函数的图像与性质及勾股定理的运用． 30．（24-25八年级下·河南商丘·月考）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，C，，过点A作轴，垂足为A，过点C作轴，垂足为C，两条垂线相交于点 (1)求线段AC的长； (2)如图2，将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，求点D的坐标； (3)是射线上的一个动点，过点M的另一条直线与y轴相交于点请直接写出与全等时，点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)M点坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，勾股定理，三角形全等的性质是解题的关键 （1）根据点A与点C是一次函数与x轴，y轴的交点，求出A、C点坐标，即可求AC的长； （2）由折叠可知，，在中，，解得，即可求D点坐标； （3）设，当≌时，，可求；当≌时，，可求 【详解】（1）解：当时，， ，即， 当时，， ，即， ； （2）解：由折叠可知，，， ， ， 在中，， 解得， ； （3）解：设直线AC的解析式为， ， 解得， ， 设， 当≌时，， ， 解得或舍， ； 当≌时，， ， 解得或舍； ； 综上所述：M点坐标为或 【经典例题六 一次函数中的翻折模型】 31．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，已知的面积为10． (1)求这条直线的表达式； (2)若将这条直线沿轴翻折，求翻折后得到的直线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由解析式得到点B的坐标，根据三角形面积求出点A的坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此直接解答． 【详解】（1）解：当时，，则． 当时，，解得，则． 因为的面积为10，所以， 解得，所以这条直线的表达式为． （2）因为关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， 所以将直线沿轴翻折，翻折后得到的直线的表达式为，即． 32．（25-26八年级下·上海·月考）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 【答案】(1)点，点 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，图形旋转的性质以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的性质以及图形翻折前后边长不变． （1）分别令与，求解坐标即可； （2）先求解出点、点的坐标，并表示出点的坐标，再根据图形翻折可得，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ∴令，可得，解得， ∴点的坐标为， 令，可得，解得， ∴点的坐标为； （2）解：如图， ∵点的坐标为，且， ∴点的坐标为， ∴点与点的横坐标为4， ∵点在直线上， ∴，即点的坐标为， 设点的坐标为， ∵将沿着翻折，当点的对应点落在直线上， ∴， 又∵，， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， ∴的长为． 33．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，已知在平面直角坐标系中，是矩形，，，点是边边上一动点，连结，将四边形沿所在直线翻折，落在的位置，点A、的对应点分别为点、，边与边的交点为点． (1)当坐标为时，求点坐标和直线的解析式； (2)过作交于，若，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域． 【答案】(1)，直线为： (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，一次函数的应用，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质及勾股定理是解题的关键． （1）设，先求出，再根据勾股定理求出点的坐标，由点的坐标可求出直线的解析式； （2）由折叠的性质得出，利用勾股定理得出 【详解】（1）解：设， 四边形是矩形， ， ， 由折叠得：， ， ， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， ∴， ， 设直线为：，则 ， 解得：， 直线为：． （2）解：，， 由对称性可知：，， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 当与重叠时，与重合，此时， ∴． 34．（24-25九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：将点先关于直线翻折，再向上（时）或向下（时）平移个单位，得到的点叫做关于点的“关联点” (1)①点，，点关于点A的“关联点”的坐标是______； ②若点关于点的“关联点”的坐标是，则点的坐标是______； (2)直线分别与轴，轴相交于点，，是线段上的点． ①点，若直线上存在着点关于点的“关联点”，直接写出的取值范围； ②点是以为圆心，1为半径的圆上的点，点关于点的所有“关联点”组成图形．若图形与坐标轴有公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①；②或 【分析】本题主要考查了坐标与图形-轴对称和平移变换、一次函数的性质、解一元一次不等式，理解题中新定义，正确求出变换后的点的坐标是解答的关键． （1）①根据题中定义，先确定翻折后的横坐标，再确定平移后的纵坐标即可； ②根据定义求解即可； （2）①先求出点，，设点，根据题中定义得到点关于点的“关联点”的坐标为，由点在直线上得到，利用一次函数性质求解即可； ②设点，点为圆上任意一点，则，，，，，根据题中定义得到点关于点的“关联点”的坐标为，分图形G与x轴有公共点和图形G与轴有公共点，则两种情况求解即可． 【详解】（1）解：①∵点，，点关于点A的“关联点”， ∴点关于直线翻折，横坐标变为，纵坐标不变，即， 再向上平移1个单位，横坐标不变，纵坐标变为， ∴点关于点A的“关联点”的坐标是； 故答案为: ； ②∵点关于直线翻折后的横坐标为4，纵坐标不变为，再向上平移1个单位长度后坐标为， 所以点C的坐标为； 故答案为：； （2）解：①对于，当时，，当时，由得， ∴直线与x轴交点，与y轴的交点为． 设点， ∵， ∴点P关于直线翻折后横坐标为，纵坐标为，再向上或向下平移个单位后，得到点关于点的“关联点”的坐标为， ∵点在直线上， ∴，即， ∵是线段上的点， ∴， ∴； ②设点，点为圆上任意一点， 则，，，， ∴， 点关于直线翻折后横坐标为，纵坐标为，再向上平移个单位，得到点关于点的“关联点”的坐标为，这些点组成图形． 若图形G与x轴有公共点，则有解，即， 因为，所以，解得， 又，所以； 若图形G与轴有公共点，则有解，，因为，所以，又，所以． 综上所述，或． 35．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，如图1，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象，直线与y轴相交于点C． (1)求新函数的图象的表达式． (2)在射线上有一动点，连接，试求的面积S关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)如图2，过点作平行于y轴的直线． ①求证：是等腰直角三角形． ②将直线沿y轴方向平移，若直线与x轴相交于点，与y轴相交于点，其中点在右侧，点在左侧，则在直线上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①证明见解析；②存在；满足条件的点P为或 【分析】（1）求出的坐标，根据对称性，求出点坐标，待定系数法，求出的解析式即可； （2）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可； （3）①求出的长，利用勾股定理逆定理进行判断即可； ②分点，点，点分别为直角顶点，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，当时，，当时，， ∴， ∵将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C， ∴与关于轴对称，过点， ∴， 设，将，代入得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ①当点在线段上：即：时， ； ②当点在线段的延长线上，即：时， ， 综上：； （3）①∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②存在， 当点为直角顶点时，设，如图： ∵平移， 设直线的解析式为，当时，，当时，， ∴，， 过点作，设交轴于点， ∵为等腰直角三角形，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，或，当时，或； ∴或； 当点为直角顶点时：此时在轴正半轴上，在轴负半轴上， 设平移后的解析式为：，当时，，当时，， ∴，， 同法可得：， ∴， ∴，解得： 当时，与点重合，不符合题意； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及坐标与轴对称，待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数图象的平移．综合性强，难度大，属于压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 36．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图1，直线：与轴交于点、直线上有一动点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们相交于点．将沿直线翻折得到，点的对应点为． (1)直线与轴的交点的坐标为______．直线与轴的交点的坐标为______． (2)如图2，当点的对应点落在轴上时， ①求证：； ②求点P的坐标． (3)如图3，直线上有、两点，当点P从点A运动到点B的过程中，点也随之运动，请直接写出点的运动路径长为______． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；② (3)6 【分析】（1）分别令和，即可求出点G和点D的坐标； （2）①首先求出点G、的坐标，利用平行线的性质和角平分线的定义得，可得结论；②设点的坐标为，则可得点的坐标为，在中，利用勾股定理得：，解方程即可； （3）分别过点，作轴的平行线，与过点垂直于轴的直线分别交于点，，则点在线段上运动，根据对称性知，点运动路径长度为的长，从而解决问题． 【详解】（1）当时，即 解得 ∴点D的坐标为； 当时， ∴点G的坐标为； （2）①如图， 证明：在中，当时，， ． ， ，， 由对称得：，， 轴， ， ， ， ； ②设点的坐标为，则可得点的坐标为， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得， 当时，， ； （3）分别过点，作轴的平行线，与过点垂直于轴的直线分别交于点，， 则点在线段上运动，根据对称性知，点运动路径长度为的长， ，， ， 点的运动路径长为6， 故答案为：6． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图像上点的坐标的特征，翻折的性质，勾股定理等知识，确定点的运动路径长是解题的关键． 【经典例题七 一次函数中的旋转模型】 37．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）【提出问题】 探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 【探究过程】 小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 小芳尝试把变形为，并用代入时，也就是说当时，无论k取何值时，． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组讨论得出：无论k取何值，一次函数的图象一定会经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”． 已知一次函数的图象是“点旋转直线”． (1)一次函数的图象经过的定点P的坐标是________． (2)已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查的是一次函数的几何应用； （1）把化为，再进一步求解即可； （2）求解，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵ ∴， 由，得， 当时，， ； （2）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B， 当，则， ∴， 的面积为3， ， 解得或． 38．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 【答案】 【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣3），求得OA＝，OB＝3，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的判定与性质证明△AOB≌△FEA得到AE＝OB＝3，EF＝OA＝，求得F（，－），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论． 【详解】解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B， ∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=， ∴A（，0），B（0，﹣3）， ∴OA=，OB=3， 过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E． 则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°， ∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°， ∴∠OAB=∠AFE． 又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°， ∴∠AFB＝45°， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴ AB＝AF ∴△AOB≌△FEA（AAS） ∴AE＝OB，EF＝OA， ∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝， ∴F（，－）． 设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中， ∴－＝k－3， ∴k＝， ∴直线BC的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质、等角对等边，正确的作出辅助线是解题的关键． 39．（2025·山东滨州·模拟预测）根据要求，解答下列问题： (1)已知直线的函数表达式为，请直接写出过原点且与垂直的直线的函数表达式； (2)如图，过原点的直线向上的方向与轴的正方向所成的角为． ①求直线的函数表达式； ②把直线绕原点按逆时针方向旋转得到的直线，求直线的函数表达式． (3)分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线垂直的直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】（1）利用一线三垂直模型，构造全等三角形确定直线上的点坐标，再用待定系数法求解析式． （2）①在直线上取点构造直角三角形，利用角性质和全等三角形求点坐标，待定系数法求解析式． ②直线绕原点逆时针旋转后，构造旋转后的全等三角形求新点坐标，待定系数法求解析式． （3）观察（1）（2）中垂直直线的系数关系，归纳规律后应用规律求直线的解析式． 【详解】（1）解：设直线的解析式为．如图，在直线上取点，过作轴于，令点绕原点旋转得点，则点在直线上，，过点作轴于． ，， ， 又， ， ，， ， ，， ，，即， 将代入得，， 直线的解析式为． （2）解：①设直线的解析式为． 在上取点，作轴于． ，设， ∴在中，，， ， 将代入得， 直线的解析式为． ②直线绕原点逆时针旋转得，在上取点，对应旋转后为． 设解析式为，代入得，， 直线的解析式为． （3）解：由（1）与垂直，系数乘积； 由（2）与垂直，系数乘积． 猜想：两直线垂直时，自变量系数的乘积为． 设解析式为，与垂直，则，解得． 直线的解析式为． 40．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）已知：如图，平面直角坐标系中，A（ 3，0），B（0，3），C（－3，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E． （1）求直线AB的解析式； （2）若△OCD与△BDE的面积相等，求直线CE的解析式； （3）若点P（m＋1，6m＋3）是该平面直角系内的点． ①求点P的纵坐标随横坐标变化的函数表达式； ②若点P在该△AOB内，求m的取值范围 【答案】（1）y=-x+3；（2）y=；（3）①y=6x-3；② 【分析】（1）设直线AB的解析式为：，把A（3，0），B（0，3）代入中求解即可； （2）设D点坐标为（0，m），直线CE的解析式为，则可求出直线CE的解析式为：，联立，得到，再由，得到，由此求解即可； （3）①设P点坐标为（x，y），则，可以推出，由此即可得到答案； ②P（m＋1，6m＋3）在△AOB内部，直线AB的解析式为 ，A（3，0），B（0，3），即当时，点P在直线AB的下方，在x轴的上方，由此求解即可． 【详解】解：（1）设直线AB的解析式为：，把A（3，0），B（0，3）代入中得：， ∴， ∴直线AB的解析式为：； （2）设D点坐标为（0，m），直线CE的解析式为， ∴， ∴， ∴直线CE的解析式为：， 联立， ， ∴E点坐标为（，）， ∵C（-3，0），B（0，3）， ∴，，， ∴， ∴， 解得， 经检验，m=1是方程的解， ∴直线CE的解析式为：； （3）①设P点坐标为（x，y）， ∴， ∴，即； ②∵P（m＋1，6m＋3）在△AOB内部，直线AB的解析式为 ，A（3，0），B（0，3）， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，两直线的交点坐标，一次函数与不等式等等，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识． 41．（25-26八年级下·四川成都·月考）平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，且a．b满足．不论k为何值，直线l：都经过x轴上一定点A． (1)_______，_______；点A的坐标为_______； (2)如图1，当时，将线段沿某个方向平移，使得与点B对应的点M恰好在直线l上，与点C对应的点N恰好在直线上，请你判断四边形的形状，并求出M点坐标； (3)如图2，当k的取值发生变化时，直线l：绕着点A旋转，当它与直线相交的夹角为时，求出相应的k的值． 【答案】(1) 2，4， (2) 平行四边形， (3) 或 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出的值；将直线的解析式变形为，即可求出定点的坐标； （2）根据平移的性质可知四边形是平行四边形；设出点的坐标，利用平移规律表示出点的坐标，代入直线求出的值，即可得到点的坐标； （3）过点作于点，过点O作于点D，求出， 得，可得直线的解析式为．求得，得直线的解析式为．在直线上取点使得，构造等腰直角三角形，利用“一线三垂直”模型（K字模型）构造全等三角形求出点的坐标，进而求出直线的解析式及的值． 【详解】（1）解：， ， ， ． 直线的解析式为， ， 当时，， 即直线经过定点． （2）解：四边形是平行四边形理由如下： 由平移的性质可知，且， 四边形是平行四边形， 对，令，则， 解得， ， 令，得， ， 当时，直线的解析式为， 设点的坐标为， 点平移得到点， 平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， 点平移得到点， 点的坐标为，即， 点在直线上， ， 解得， 点的坐标为， 故四边形是平行四边形， 点的坐标为； （3）解：过点作于点．过点O作于点D，则， 由（2）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 解得， ∴， 设解析式为，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得， ， 过点作轴于点，则， ， 在直线上取点，使得，连接， ， 是等腰直角三角形， ， 即直线与直线的夹角为，此时直线即为直线， 过点作交的延长线于点（当在左下方时）或交的延长线于点（当在右上时）， ， ， 在和中， ， ， ， 当点在点左下方时（记为）， ，， ， ∴， ∴， 当点在点右上方时（记为）， ，， ， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 42．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点B． (1)如图1，①求点A、点B的坐标；②求证； (2)D在线段上，过点D作，将绕点A顺时针方向旋转一个角度，得到图3，然后取的中点M，取的中点N，连接，得到图4，请解答下列问题： ①在图3中，与的数量关系是_____________； ②判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)①，；②见解析 (2)①；②是等腰三角形，见解析 【分析】（1）①利用求出点A的坐标；利用直线解析式相等求出点B的坐标；②过点B作于点K，得到，，勾股定理求出，即可得到结论； （2）①由可证，由旋转可证，进而证明即可得到；②根据，得到，求出，证明，得到即可推出是等腰三角形． 【详解】（1）①当时，，解得，所以， 令，解得，当时，，所以点； ②过点B作于点K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴是等腰三角形． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，两个一次函数交点问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟记各定理并应用是解题的关键． 【经典例题八 一次函数中的最值问题】 43．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）某经销商购进10件A产品和20件B产品需要155元，购进20件A产品和10件B产品需要130元．A产品每件售价5元，B产品的销量不超过200件，每件8元；销量超过200件时，超过的部分每件7元． (1)求每件A，B产品的进价； (2)该经销商每天购进A，B产品共300件，并在当天都销售完． ①要求购进B产品的件数多于A产品件数的2倍，B产品的总利润不超过A产品总利润的4倍，设每天购进A产品x件（x为正整数），求x的取值范围； ②端午节这天，经销商让利销售，将A产品售价每件降低m元，B产品售价每件定为7元，且A，B产品的总利润的最小值不少于318元，在①中x的取值条件下，直接写出m的最大值． 【答案】(1)每件A产品的进价为3.5元，每件B产品的进价为6元 (2)①≤x＜100（x为正整数）；②0.25 【分析】（1）设每件A产品的进价为a元，每件B产品的进价为b元，根据“购进10件A产品和20件B产品需要155元，购进20件A产品和10件B产品需要130元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①设每天购进A产品x件，则购进B产品（300-x）件，根据“购进B产品的件数多于A产品件数的2倍，B产品的总利润不超过A产品总利润的4倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围； ②设A，B两种商品全部售完后获得的总利润为w元，利用总利润=每件的销售利润×销售数量（进货数量），即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可找出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设每件A产品的进价为a元，每件B产品的进价为b元， 由题意得：， 解得：， 答：每件A产品的进价为3.5元，每件B产品的进价为6元． （2）①设每天购进A产品x件，则购进B产品（300-x）件， 由题意得：， 解得：≤x＜100． ∴x的取值范围为≤x＜100（x为正整数）． ②设A，B两种商品全部售完后获得的总利润为w元，则w=（5-m-3.5）x+（7-6）（300-x）=（0.5-m）x+300， ∵销售A，B两产品的总利润的最小值不少于318元，且≤x＜100，x为正整数， ∴， 解得：m≤0.25． 答：在①中x的取值条件下，m的最大值为0.25． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；②根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式． 44．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）阅读理解题： 【定义】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：一次函数，它的相关函数为． （1）已知点A（－2，5）在一次函数的相关函数的图像上，求a的值； （2）已知一次函数． ①若点B（t，－4）在这个函数的相关函数的图像上，求t的值； ②当－1≤ x ≤2时，求函数的相关函数的最大值和最小值． 【答案】（1）a＝1；（2）①t＝－0.5或3.5；②最小值为－5，最大值为3． 【分析】（1）根据定义，先写出一次函数的相关函数，因为点A的横坐标是负数，得到2a＋3＝5，即可求出a的值； （2）①根据定义，写出一次函数的相关函数，然后分情况讨论，t＜0或t≥0，求出t的值； ②分情况讨论，当－1≤x＜0时或当0≤x≤2时，根据一次函数的增减性求出最值． 【详解】（1）函数的相关函数是 ∵－2＜0， ∴2a＋3＝5， ∴a＝1； （2）的相关函数是 ①当t＜0时，2t－3＝－4解得t＝－0.5； 当t≥0时，－2t＋3＝－4解得t＝3.5； ∴t＝－0.5或3.5 ②当－1≤x＜0时，y＝2x－3随着x的增大而增大， ∴－5≤y＜－3； 当0≤x≤2时，y＝－2x＋3随着x的增大而减小， ∴－1≤y≤3； ∴最小值为－5，最大值为3． 【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是理解题目中定义的相关函数的意义，利用一次函数的性质进行求解． 45．（24-25八年级下·四川眉山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． (1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； (2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)P（，） (2)存在，13 【分析】本题考查了一次函数点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段最短问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键． （1）过点P作于B，由等腰三角形的性质可得，得出，再进行求解即可； （2）作点O关于直线的对称点，点P运动至三点共线时，最小，据此求解即可． 【详解】（1）当恰好是以为底边的等腰三角形时，如图，过点P作于B， 则有， ∵， ∴， 此时P的纵坐标为， ∴， ∴此时所求点P坐标为（，）． （2）动点P在直线运动过程中，存在最小值． 如图，作点O关于直线的对称点， 则有，     在中，令，得，令，得， 直线与x轴交点为，， 直线与x轴及y轴围成的三角形是等腰直角三角形， ∵点O关于直线的对称点， ， ∵，当点P运动至三点共线时取等号，   ∵，             ∴的最小值为13， 即的最小值为13． 46．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，直线与轴交于点，直线（）与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值及直线的解析式； (2)求的面积； (3)若点在线段上，点在直线上，则的最大值为______． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）将代入，求出m的值，利用待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）将转化为t的一次函数，利用一次函数的增减性进行求解即可． 解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解． 【详解】（1）解：把代入得到， ∴点C的坐标为， 把，代入得： ，解得， ∴解析式为； （2）解：； （3）解：由题可得，， ∴， ∵， ∴y随t的增大而增大， 又∵， ∴当时，最大为． 47．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)若点在线段上，点在直线上． 求： ①的范围； ②的最大值． 【答案】(1)， (2)； 【分析】（1）待定系数法解答即可； （2）①根据A，B的横坐标，解答即可． ②用含t的代数式表示出，根据一次函数的增减性确定最值即可． 本题考查了待定系数法，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法，性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得． 设直线的函数表达式为，把，代入，得 解得 直线的函数表达式为． （2）解：①点在线段上， ． 故的范围； ②解：点在直线上， ， ． ， 随t的增大而减小， 当，的最大值为． 48．（24-25八年级上·江苏南京·月考）用函数方法研究动点到定点的距离问题． 在研究一个动点到定点的距离S时，小明发现：S与x的函数关系为，并画出图象如图， 借助小明的研究经验，解决下列问题： (1)写出动点到定点的距离S的函数表达式，并求当x取何值时，S取最小值？ (2)设动点到两个定点、的距离和为y． ①求y与x的函数表达式； ②在网格中画出这个函数图象； ③随着x增大，y怎样变化？ ④当x满足______时，y取最小值，y的最小值是______． ⑤当时，证明y随着x增大而变化的规律． 【答案】(1)；当时，S的最小值为0 (2)①；②画图象见解析；③当时，y随x增大而减小；当时，y是一个固定的值；当时，y随x增大而增大；④；4；⑤当时，y随x增大而减小．证明见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，一次函数的性质，化简绝对值．掌握x轴上两点之间的距离公式，能分段讨论化简绝对值是解决此题的关键． （1）根据x轴上两点之间的距离等于它们差的绝对值，以及绝对值的意义可直接写出结论； （2）①根据x轴上两点之间的距离等于它们差的绝对值，得出和的距离，它们之和即为y；②分情况讨论，根据一次函数的性质可得y的变化情况；③根据y的变化情况可求；④当时，，根据函数的增减性可得． 【详解】（1）解：由题意得：； ∵当时y随x增大而减小，当时y随x的增大而增大， ∴当时，S的最小值为0． （2）解：①由题意得， 根据绝对值的意义，得； ②图象图下： ③当时，y随x增大而减小； 当时，y是一个固定的值； 当时，y随x增大而增大． ④当时，y取最小值，y的最小值是4， 故答案为：；4； ⑤当时，y随x增大而减小．理由如下： 当时，任取， ， 所以，即当时，y随x增大而减小． 1．（2025·陕西西安·二模）若把一次函数y＝kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A(4，0)和点B(0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（　　） A．y＝﹣x﹣1 B．y＝﹣x+1 C．y＝x+1 D．y＝x﹣1 【答案】C 【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意，得，得到直线解析式为y＝x-2，将其向左平移2个单位，得到y＝x-1，绕着原点旋转180°，得解． 【详解】设直线AB的解析式为y=kx+b， 根据题意，得， 解得， ∴直线解析式为y＝x-2， 将其向左平移2个单位，得y＝（x+2）-2， 即y＝x-1， ∴与y轴的交点为（0，-1），与x轴的交点为（2,0）， ∵绕着原点旋转180°， ∴新直线与与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（-2,0）， ∵设直线的解析式为y=mx+1， ∴-2m+1=0， 解得m=， ∴y＝x+1， 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数的图像平移，旋转问题，熟练掌握平移规律是解题的关键． 2．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，然后根据平移的规律，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵边长为3的正方形中，点的坐标为， ∴，， 将直线沿轴向上平移个单位后解析式为，， 当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D， 当经过点D时，有，解得，； 当经过点B时，有，解得，； ∵直线与正方形有交点， ∴的取值范围是． 3．（2025·新疆昌吉·一模）已知直线与y轴、x轴分别交于点A和点B，M是线段上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在y轴上的点处，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，翻折性质，勾股定理，由直线与y轴、x轴分别交于点A和点B，可得，，由折叠的性质可得结合由勾股定理可求的长，设点M坐标为， ，，由勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：令，则， ， 令，则，解得：， 点， ， ，， x轴y轴， ， ， 由折叠可知：，， ， 设点M坐标为， ， ，， ， ， ， ， ， 点M的坐标为， 故选：A． 4．（24-25八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，第一象限内的点和在第四象限内的，若满足：，那么称点Q为点P的“影像点”，例如：点的影像点为点，点的影像点为点，如图，若点在直线上，当时，存在点P的影像点Q，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，点坐标的平移，关于轴对称的点坐标的特征．熟练掌握一次函数与坐标轴的交点，点坐标的平移，关于轴对称的点坐标的特征是解题的关键． 由“影像点”可知，当时，、关于轴对称，当时，向下平移8个单位得到，然后根据在第四象限求得当时，存在点P的影像点Q，然后求解作答即可． 【详解】解：由“影像点”可知，当时，、关于轴对称，当时，向下平移8个单位得到， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∴当时，存在点P的影像点Q， ∵， ∴的最大值为， 故选：A． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点．函数的图象与直线，，…分别交于点，，，…；函数的图象与直线，，…分别交于点，，…，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作…四边形的面积记作，那么的值为（   ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的综合，读懂题意，根据直线解析式求出，的值是解题的关键，同时也要注意下标对应的关系． 根据直线解析式求出，的值，再根据直线与直线互相平行并判断出四边形是梯形，然后根据梯形的面积公式求出的表达式，然后把代入表达式进行计算即可得出解． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ， ∵直线轴于点，直线轴于点， ∴，且与间的距离为1， ∴四边形是梯形， ， 当时，． 故选：B． 6．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点在边上），折叠后点恰好落在边上的点处．若点的坐标为，则直线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，所以在直角中，利用勾股定理求得，然后设，则，，根据勾股定理列方程求出可得点E的坐标，再利用待定系数法求解的解析式即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，D的坐标为， ∴，， ∵矩形沿折叠，使D落在上的点F处， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，即EC的长为， ∴点E的坐标为． 设直线为：， ∴，解得：， ∴直线为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，利用待定系数法求解一次函数的解析式，根据题意求出EC的长为，是解题的关键． 7．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】根据题意，将问题转化为定点与直线上动点距离最小值为点到直线的距离，利用一次函数图象与性质，求出相关点的坐标，结合坐标系中三角形面积求法及勾股定理求出相关线段长度，最后由等面积法列式求解即可得到答案． 【详解】解：点的坐标为，点是直线上的动点， 由定点与直线上动点距离最小值为点到直线的距离，即过点作垂直直线，如图所示： ， 当时，，则；当时，，解得，则， ， 在中，，由勾股定理可得， ，即， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值-点到直线的距离问题，涉及图形与坐标、一次函数图象与性质、坐标系中三角形面积求法、勾股定理等知识，数形结合，掌握定点与直线上动点距离最小值为点到直线的距离，转化为等面积法求线段长是解决问题的关键． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，已知正方形的边长为1，E为的中点，P为正方形的边上的动点，动点P从点B匀速向点C运动．设的长度为x，阴影部分三角形的面积为y． （1）y与x之间的函数表达式为__________ （2）当点P运动的路程为________时，三角形的面积为． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，一次函数的实际运用，以及三角形的面积计算公式来研究动点问题． （1）的长度为x，则，根据的面积正方形的面积的面积的面积的面积即可求出； （2）根据第（1）问，令求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为1，E为的中点， ∴，， ∵的长度为x， ∴， ∴的面积＝正方形的面积的面积的面积的面积 ， 即； （2）∵的面积为， ∴， 解得， 当点P运动的路程为时，的面积为． 故答案为：，． 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知函数与轴交于，与交于B，C两点． （1）点的坐标是_______； （2）若一次函数与有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求两直线的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）当时，，当时，，据此分别联立对应的直线解析式求解即可； （2）可推出直线经过定点，再分别求出直线恰好经过点A和点B时k的值即可得到答案． 【详解】解：（1）当时，，当时，， 联立，解得，则， 联立，解得，则， 故答案为：； （2）在中，当时，， ∴， ∵， ∴直线经过定点， 如图所示，当直线恰好经过点A时，则，解得， 当直线恰好经过点B时，则，解得， ∴当时，一次函数与有交点， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，矩形被直线分成面积相等的两部分，，若线段的长是正整数，则矩形面积的最小值是_______． 【答案】 【分析】根据直线将矩形分成面积相等的两部分，可见必过矩形形的中心，设，，表示出的坐标，将坐标代入的解析式，求出的值，再根据线段、的长都是正整数，求出的最小值即可得答案．本题考查了一次函数与矩形的性质，找到一定过矩形的中心并设出心的坐标是解答此类题目的关键． 【详解】解：一定过矩形的中心．不妨设，． ∵ ， ，， ，， ∵解析式为， ， ， ， ， 线段、的长都是正整数， ，都是正整数， 的最小值为9，此时． 此时矩形的最小面积． 故答案为： 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为5； (2)一次函数解析式为或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为5所对应的函数值即可； （2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式． 【详解】（1）解：①把代入得， 解得； ②当时，， ∴， ∵y随x的增大而增大， ∴当时，时，P的值最大， 当时，， 即P的最大值为5； （2）解：当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 12．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)折叠后纸片重叠部分的面积为10 (3) 【分析】本题考查了一次函数的面积问题，求一次函数解析，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握待定系数法，求出重叠部分三角形的底和高是解题的关键． （1）根据得出，根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求出，根据，即可解答； （3）由（2）可得，设，则，在中，根据勾股定理可得：，列出方程求出，则，在用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为长方形， ∴， ， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴折叠后纸片重叠部分的面积为10； （3）解：由（2）可得， ∴， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 设所在直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴所在直线的函数表达式为． 13．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与一次函数交于x轴上的同一点A，且一次函数交y轴于点B，一次函数交y轴于点C． (1)求k的值； (2)若点E是x轴上的一个动点，是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标； (3)若点P是上的一个动点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)的值为 (2)点的坐标为或 (3)的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，关键是根据已知分类讨论求出所有可能的情况． （1）先求点的坐标，再把点的坐标代入求出的值； （2）由已知为腰，分或两种情况讨论求解； （3）分当在直线右侧和当在左侧两种情况讨论分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得, ∴， 把代入得： 解得， ∴的值为； （2）解：设, 在中，令得， ∴, 在中，令得， ∴， ∴，，； 当，为腰时，， 方程无解，这种情况不存在； 当，为腰时，， 解得或， ∴是以为腰的等腰三角形时，点的坐标为或 （3）解：当在直线右侧时，如图： ∵， ∴轴， 在中，令得， 解得， ∴； 当在左侧时，设交轴于，如图： ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 由，得直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 综上所述，的坐标为或． 14．（25-26八年级上·江苏南京·月考）【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 【答案】(1)①；②见解析；③左，2 (2)左，9 (3)右， (4)见解析 【分析】本题考查一次函数图象的平移，以及左右平移规律的探索，关键是通过与坐标轴的交点解决． （1）①利用一次函数“上加下减”(截距增减)的平移规律，直接给的截距加4，得平移后解析式； ②求出直线与坐标轴的交点，过两点作直线即可； ③求与各自与轴的交点、，对比交点横坐标变化，确定左移2个单位； （2）先求“下减”求向下平移3个单位后的解析式，再分别求两直线与轴的交点，通过横坐标变化确定即可； （3）先求与平移后各自与轴的交点，计算横坐标差值，确定平移方向和平移距离； （4）根据“上加下减”，将上移个单位画，再根据与坐标轴的交点变化画． 【详解】（1）解：①根据“上加下减”的平移规律，直线向上平移4个单位，得； 故答案为：； ②当时，；当时，， 过点，作直线，即为直线：的图象，如图所示： ③∵直线与轴的交点是，与轴的交点是，将点向左平移2个单位得到， ∴直线可以看作由的图象向左平移2个单位得到． 故答案为：左，2； （2）解：令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． 将向下平移3个单位，得到． 令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． ∵将点向左平移9个单位得到， ∴直线相当于将向左平移9个单位得到． 故答案为：左，9； （3）解：同理，直线与轴的交点是． 直线向下平移个单位后的函数为， 令，得，解得， ∴新交点为． ∵，即点向右平移个单位得到， ∴将向下平移个单位，相当于将向右平移个单位得到． 故答案为：右，； （4）解：如图所示： 15．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B，A两点． 【模型探索】 （1）如图2，求证：是等腰直角三角形． （2）如图3，M，N是直线上的两动点，连接，．若，，求的长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，经过点B的直线与y轴交于点C，H为线段上的一点，作射线．若，请直接写出m的值及直线的函数解析式． 【答案】（1）证明见解答过程；（2）的长的最小值为；（3），直线的函数解析式为． 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． （1）求出，得，又，故是等腰直角三角形； （2）当时，的长最小，证明，得，再用勾股定理得，故的长的最小值为； （3）过作交于，过作轴，过作于，过作于，设，把代入得：，解得，知直线解析式为，可得，证明，可得，故 ，可求得，再用待定系数法即得直线的函数解析式为． 【详解】（1）证明：在中，令得，令得， ， ， ， ∴是等腰直角三角形； （2）解：当时，的长最小，如图： ， ， ， ， ， ， ． ∴的长的最小值为； （3）解：过作交于，过作轴，过作于，过作于，如图： 设， 把代入得：， 解得， ∴直线解析式为， 在中，令得， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 把代入得：， 解得， ∴直线的函数解析式为． 学科网（北京）股份有限公司 $