专题06 一次函数常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题06 一次函数常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 一次函数中的面积计算 题型二 一次函数中的动点问题 题型三 一次函数中的最值问题 题型四 一次函数中的存在性问题 题型五 一次函数中的新定义问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型（45度等） 题型八 一次函数中的平移模型 【经典例题一 一次函数中的面积计算】 【例1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点，这两个函数的图象相交于点A． (1)求k，b的值和点A的坐标； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了两条直线的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解此题的关键． （1）根据待定系数法即可求得k、b的值，然后解析式联立，解方程组即可求得A的坐标； （2）根据图象即可求得； （3）根据三角形面积公式即可得出答案 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点， ，， ，， 两函数解析式联立，得， 解得：， ； （2）观察图象，时x的取值范围是． （3），，， ，点到轴的距离为， ． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． (1)直接写出A、C的坐标； (2)写出直线的解析式； (3)若与的面积相等，求点E的坐标． 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识点，数形结合是解此题的关键． （1）根据，求解即可； （2）用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，； （2）解：设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （3）解：∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ ∴． 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线上，轴，顶点的坐标为． (1)求正方形的面积； (2)直线将正方形分成两个部分，设的面积为，四边形的面积为，则的值为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一次函数的图象和性质、正方形的性质、平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，求得点和点的坐标是解题的关键． （1）将代入，可求得，从而可求得，于是可求得正方形的面积； （2）由正方形的边长为可求得点的坐标为，从而可求得直线的解析式，可求得点坐标，从而可求得被分割的两部分的面积，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵顶点的坐标为，轴， ∴点横坐标为， ∵顶点在直线上， ∴当时，，即， ∴， ∴正方形的面积为． （2）解：∵，， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，，即， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）如图，长方形在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，，． (1)求直线的函数解析式； (2)对角线的垂直平分线交x轴于点M，试求M点坐标； (3)在（2）的条件下，若点P是直线上的一个动点，当的面积与长方形的面积相等时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，两点距离计算公式，线段垂直平分线的性质等等，利用两点距离计算公式建立方程求解是解题的关键． （1）求出A、B两点坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，设出点M坐标，利用两点距离计算公式建立方程求解即可； （3）根据线段垂直平分线的性质得到，点N为的中点，则可求出点N的坐标，进而求出的长，再计算出长方形面积得到的面积，根据三角形面积计算公式求出的长，设出点P坐标，利用两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：设点M的坐标为， ∵对角线的垂直平分线交x轴于点M， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； （3）解：∵对角线的垂直平分线交x轴于点M， ∴，点N为的中点， ∵，， ∴， ∵， ∴； ∵，． ∴， ∵的面积与长方形的面积相等， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得， ∴点的坐标为或． 【经典例题二 一次函数中的动点问题】 【例2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作轴于点．点是轴上一动点，过作轴的垂线，分别与直线，交于点，． (1)设的长为，点的横坐标为，求与的函数表达式； (2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2)当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，平行四边形的性质．解（2）题时，要注意到． （1）用分别表示出、的坐标，则可表示出与之间的关系式； （2）由条件可知，利用平行四边形的性质可知，由（1）的关系式可得到关于t的方程，可求得t的值． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为，过作轴的垂线，分别与直线，交于，， 把代入中可得，即， 把代入中可得，即， 当时，； 当时，； （2）由题意可知， 若以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 则， ，解得或， 即当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，一次函数的图象与，轴分别交于，两点，点与点关于轴对称．动点，分别在线段，上（点与点，不重合），且满足． (1)线段长为 ； (2)当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当为等腰三角形时，点的坐标是或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质．解决本题的关键是运用分类讨论的思想，分情况求解． 首先根据一次函数的解析式可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据点与点关于轴对称，可以求出点的坐标是，利用勾股定理求出的长度即可； 当为等腰三角形时，共有三种情况：当时；当时；当时．分情况讨论求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：当时， 可得：， 点的坐标是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 点与点关于轴对称， 点的坐标是， ， 故答案为：； （2）解：当为等腰三角形时，分为三种情况， 当时，如下图所示， 在中，，， ， 由可知和关于轴对称， ， 在和中， ， ， ， 点的坐标为； 当时， 根据三角形的外角性质得：， 此种情况不存在； 当时，如下图所示， 则，即， 设，则， 在中， 由勾股定理得：， ， 解得：， 点的坐标是． 综上，当为等腰三角形时，点的坐标是或．     2．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示． (1)长方形的长________，宽________； (2)直接写出________，________，_______； (3)当P点运动到中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，的面积为y，求当时，y与x之间的关系式． 【答案】(1)6；4 (2)1；4；9 (3) 【分析】（1）根据题意，得，结合，计算得到，即可得出答案． （2）根据题意，得，结合，计算得到，结合得到，继而得到运动时间为（秒），结合图像可确定a值，m的值；根据，判定点P运动在上，且速度为每秒2个单位，设运动了t秒，从而得到，计算可得到b． （3）分三种情况：当时，点P在上，当时，点P在上，当时，点P在上，分别画出图形，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，当点P在上时，三角形的面积保持不变， 且为， ∵， ∴， 根据长方形的性质可知：； （2）解：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴运动时间为（秒）， ∴（秒）， ∴（单位每秒）； 根据图像，得，点P运动在上，且速度为每秒2个单位，设运动了t秒， ∴， ∴， ∴， 解得， 故． （3）解：当时，点P在上，， ； 当时，点P在上，， ； 当时，点P在上，， ∴； 综上分析可知：． 【点睛】本题考查了运动问题，矩形的性质，图像信息综合题，正确读懂图像并获得信息是解题的关键． 3．（2025·广东佛山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)点是轴上一动点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图像于点，连接，若的面积为15，求线段的长度． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要查了一次函数的图像和性质，熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）点代入，可得点C的坐标，再把点B，C得坐标代入，即可求解； （2）设点P的坐标为，则，可得点D的坐标为，点E的坐标为，从而得到，然后根据的面积为15，列出关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入，得： ，解得：， ∴点， 把点，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵轴于点P， ∴点D的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∵的面积为15，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 【经典例题三 一次函数中的最值问题】 【例3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，写出的坐标_________； (2)计算：的面积是________，边上的高是________； (3)若点为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点的坐标________． 【答案】(1)画图见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题，一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积，再利用勾股定理求出的长，再结合三角形的面积公式可得答案； （3）连接，交轴于点，连接，此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再令，求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 的坐标为． 故答案为：． （2）的面积为， 由勾股定理得：， 设边上的高为， 则， 解得：． 故答案为：，； （3）连接，交轴于点，连接，此时满足的值最小， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， 令，得， 点的坐标为， 故答案为：． 1、（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，B为直线上一点． (1)求a，m的值； (2)当线段最短时，求的长和点B的坐标； (3)在x轴上是否存在一点M，使的值最小，若存在，并求此时点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)，； (3)存在，． 【分析】（1）点在直线上求得m，结合两直线得交点求得点，代入即可求得a的值； （2）过点A作直线的垂线，垂足为C，求得点，结合直线的解析式求得点，则，根据直线与坐标轴交点判定为等腰直角三角形，过点C作y轴的垂线，交y轴于点E，则，那么，线段最短时，点B位于点C，其值为，且； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则最小，求得直线的解析式为，令解得即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∵直线与直线交于点， ∴，解得； （2）解：如图，过点A作直线的垂线，垂足为C， ∵直线与y轴交于点D， ∴点，即， ∵直线的解析式为， ∴点，即， 则， ∵直线与坐标轴交于点和， ∴， 则为等腰直角三角形， 过点C作y轴的垂线，交y轴于点E，则， 那么，线段最短时，点B位于点C，其值为， 此时，， 即当线段最短时，求的长和点B； （3）解：存在，理由如下： 如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点M， 则， ∵直线过点， ∴设直线的解析式为， ∵点 ∴，解得， 则直线的解析式为， 当时，，解得， 则的值最小时，点． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、一次函数与坐标轴的交点、等腰直角三角形的判定和性质和轴对称的性质，解题的关键是熟悉一次函数的性质和几何图形的结合． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标； (2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值． (3)如图2，点坐标为，则的面积是 ． (4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，点坐标 (2)存在， (3) (4)满足条件的点C的坐标为或 【分析】本题为一次函数与几何综合，其中涉及到了一次函数的图象性质，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，三角形面积的运算，等腰三角形的性质及判定，全等三角形的判定及性质等知识点，利用数形结合思想作出图象是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求出解析式即可，把代入函数式子即可得到点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小，列式运算即可； （3）利用三角形面积公式列式运算即可； （）分类讨论点的位置，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把、代入得到， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上，横坐标为， 把代入可得：， ∴点坐标； （2）存在．如图1中，作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小， ∵，，， ∴的最小值； （3）如图2中， ∵点坐标为，， ∴， ． 故答案为18； （4）如图3中， ①当是等腰直角三角形时，作轴于， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，， ∴， ②当是等腰直角三角形时，同理可得等， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 3．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，直线与轴的交点为． (1)点的坐标为______； (2)在轴上找一点，连接，使的值最小，求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、轴对称—最短路径问题、求点的坐标，解本的关键在求出直线的解析式． （1）设直线的解析式为，把点A、C坐标代入，利用待定系数法求出函数解析式，进而可求出点的坐标； （2）作点关于轴的对称点P，连接，交轴于点D，连接，此时最小，根据点关于轴的对称点P，得出点P的坐标，然后根据待定系数法求出直线的解析式，然后令，得出，解出方程，即可得出点D的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把点，点代入，得 根据题意，可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， 故答案为：； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点关于轴的对称点P，连接，交轴于点D，连接， ∴， ∴， ∴此时的值最小， ∵， ∴点关于轴的对称点P的坐标为， 设直线的解析式为， 根据题意，可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴点D的坐标． 【经典例题四 一次函数中的存在性问题】 【例4】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴、轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于，直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积为，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，坐标与图形，一次函数的图像及性质，面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）分为当点在点左侧时和当点在轴右侧时，列方程求解即可； （3）设点的坐标为，根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，即点， ∵直线经过点，， ∴， 解得：， 则直线的表达式为：． （2）解：设直线和轴交于点， 设点， 在函数中，令，则， 所以点的坐标为，则， 当点在轴左侧时，则的面积， 解得：，即点； 当点在轴右侧时，则的面积， 解得：，即点． 综上，即点的坐标为：或． （3）解：存在， 设点的坐标为， 由题意可得， 解得：， 故点的坐标为． 1．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为3． (1)求一次函数的表达式； (2)如图2，过点C作直线轴，M为射线上一动点，若为以为腰的等腰三角形，直接写出点M的坐标； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或 (3)存在，或 【分析】本题考查了一次函数综合应用、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标，求出点B的坐标为，从而得出，再根据等腰三角形的定义分两种情况：或，分别求解即可； （3）根据三角形面积公式可得，过P作轴交于Q，则，再由，结合的面积等于面积的一半，列方程即可解答． 【详解】（1）解：∵点C的横坐标为3， ∴把代入中，得， ∴点C的坐标为， 把，代入，得， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：设点M的坐标， 把代入得， 解得， ∴点B的坐标为， ∴， ∵为以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时， ∴或（舍去）， 当， 过B作于H， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，点M的坐标为或； （3）解：∵，， ∴， 过P作轴交于Q， ∵， ∴， ∵，的面积等于面积的一半， ∴， 解得或， ∴或． 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)点A的坐标为_________，点B的坐标为__________； (2)直线上是否存在一点C（C与B不重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)x轴上是否存在一点D，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存，在请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， (3)存在，或或或 【分析】本题考查了一次函数性质，掌握用取特殊值的方法求定点坐标，设C点坐标根据面积相等求出未知数是解题关键． （1）令，，列出一元一次方程，解出即可； （2）先求出，设点C的坐标为，再根据的面积等于的面积，列方程求解即可； （3）设点，则，，，在根据，，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：令，则，解得， 令，则， ∴A点的坐标为，B点的坐标为． 故答案为：，； （2）解：存在，理由： ∵A点的坐标为，B点的坐标为， ∴，， ∴， ∵直线上一点C， ∴设点C的坐标为， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得，（与点B重合，舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：存在，理由： 设点， ∵A点的坐标为，B点的坐标为， ∴，，， 当时，即，则，解得：，此时点或； 当时，即，则，解得：，此时点； 当时，即，则，解得：，时与重合，此时点； 综上，或或或． 3．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴和轴上．已知，，点坐标为，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动的时间为秒． (1)如图1，当点恰好到达点时，的长为______． (2)如图2，把长方形沿着直线折叠，点的对应点恰好落在边上，求直线的函数关系式． (3)在点的运动过程中，是否存在某个时刻使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，并求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）分别求得，的长度，然后利用勾股定理解答即可； （2）根据翻折的性质，可知，由勾股定理可以求出的长，从而求出的长，在根据勾股定理求出的长，进而待定系数法求解析式，即可求解． （3）根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论：；；，结合等腰直角三角形的性质、垂直平分线的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图1， ，， ； 故答案为：； （2）解：由折叠的性质可知，，， 在中，由勾股定理可得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴； 设直线的解析式为，代入得 ，解得： ∴直线的函数关系式为； （3）解：存在， ， ， ①当时， ， 在上， 由勾股定理可得：， ， ②当时，在的垂直平分线上， 在上， ， ③当时，在上， 由①可知，， ， 的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查了图形与坐标、勾股定理及等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式，合理运用勾股定理及等腰三角形的性质是本题解题的关键． 【经典例题五 一次函数中的新定义问题】 【例5】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）定义：一次函数和(其中、为常数，，)互为“友好函数”．比如和互为“友好函数” (1)已知点在的“友好函数”上，则______． (2)上的点也在它的“友好函数”上，求点的坐标． (3)若和它的“友好函数”与轴围成的三角形的面积是2，求值． 【答案】(1)2 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的性质，两直线交点问题，三角形面积问题； （1）根据“友好函数”的定义，可找出的“友好函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值； （2）联立两函数解析式组成方程组，解之即可得出点的坐标； （3）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出两函数图象与轴的交点坐标及两函数的交点坐标，结合三角形的面积公式，即可求出的值． 【详解】（1）解： 的“友好函数”是， 点在一次函数的图象上， ， 解得：． 故答案为：． （2）解：的“友好函数”是， 联立 解得： ∴ （3）的“友好函数”是． 当时，， 一次函数的图象与轴的交点坐标为； 当时，， 一次函数的图象与轴的交点坐标为． 联立 解得： 和它的“友好函数”的交点坐标为， 和它的“友好函数”与y轴围成的三角形的面积是， 解得：或， 的值为或． 1．（24-25八年级上·北京·期中）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的“直角距离”为．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“直角距离”，记作． (1)已知、，则_______，_______； (2)已知、，若，则t的取值范围是_______； (3)已知，若坐标平面内的点P满足，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是_______． 【答案】(1)3，1 (2)或； (3)作图见解析，2 【分析】（1）根据“直角距离”的公式代入即可求出的值；利用待定系数法求出的表达式，根据题意表示出，最后根据一次函数的增减性即可求解； （2）首先根据“直角距离”的公式表示出点O和的“直角距离”，然后根据，可判断出，进而可求出t的取值范围； （3）首先设出点P的坐标为，根据题意代入表示出，可得出关于x和y的方程，分情况讨论画出所有满足条件的点P所构成的图形，最后求解面积即可． 【详解】（1）解：、， ， 设的表达式为， 将、，代入得 ， 解得：， ， 设线段上一点的坐标为，且， ， ， ， ， 即， ， ∴随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最小值， 最小值， ∴． 故答案为：3，1； （2）∵设经过点和点的表达式为， 代入得：， 解得：， ∴． ∴点O和 “直角距离”，， ∵， ∴， ∴或； 故答案为：或； （3）设点P的坐标为， ∵， ∴代入得，得∶ ，即， 当时，，即， 当时，； 当时，； 当时，，即， 当时，； 当时，； ∴如图所示，正方形即所有满足条件的点P所构成的图形， ，， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系和新定义问题，绝对值的意义，一次函数，分类讨论方法等知识点，解题的关键是正确分析“直角距离”的公式，并列出方程求解． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交．类似的，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交． 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点为、、、． (1)判断直线与正方形是否相交，并说明理由； (2)设d是点O到直线的距离，若直线与正方形相交，求d的取值范围． 【答案】(1)相交，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，正确确定直线与正方形相交的位置是解决本题的关键． （1）直线的解析式是，直线的解析式是，求出这两条直线与直线的交点，判断交点是否在正方形的边上，就可以判断； （2）当直线经过点和时，直线与正方形只有一个公共点，可以求出的值，当直线在的下方，在经过点的直线的上方时，直线与正方形相交，据此求解即可． 【详解】（1）解：相交，理由如下： 直线与线段交于点，同时直线与线段交于点， 直线与正方形相交； （2）解：当直线经过点时，，此时； 当直线经过点时， ∴， ． 即， 设直线与、轴的交点分别为、， 令，，则， 令，，解得，则， ， 如图，过作，垂足为，则， ∵， ， ∵当直线在的下方，在经过点的直线的上方时，直线与正方形相交， 若直线与正方形相交，求d的取值范围为． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）【新定义】 一次函数与一次函数称为一对和谐函数（其中，为常数，）．例如：与就是一对和谐函数． 【特殊化】 请以与这对和谐函数为例，完成以下两条结论： （1）这对和谐函数图象的交点坐标是_______________ （2）可以发现这对和谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是__________ 【一般化】 （3）请尝试证明一般情况下一对和谐函数与（其中，为常数，）图象“成轴对称”的结论依然成立． 【答案】（1）；（2）x轴；（3）见解析 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到直线与直线，直线与坐标轴的交点的 坐标是解题的关键． （1）解析式联立成方程组，解方程组即可求解； （2）由直线与坐标轴的交点即可判断对称轴是x轴； （3）求得直线与坐标轴的交点即证明结论． 【详解】（1）解：由， 解得：， ∴这对和谐函数图象的交点坐标是； （2）解：将代入，则， ∴直线与y轴交点为， 将代入，则， ∴直线与y轴交点为， ∵点与点关于x轴对称，且这对和谐函数图象的交点坐标是在x轴上， ∴可以发现这对和谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是x轴； （3）证明：由， 解得：， ∴谐函数与（其中，为常数，）图象交于x轴上一点， 将代入，则， ∴直线与y轴交点为， 将代入，则， ∴直线与y轴交点为， ∵点与点关于x轴对称，且这对和谐函数图象的交点坐标是在x轴上， ∴一对和谐函数与（其中，为常数，）图象“成轴对称”． 【经典例题六 一次函数中的翻折模型】 【例6】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，y轴上有一点． (1)点A的坐标为________，点B的坐标为________，求出直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)若点D为线段上一点，连接，将沿翻折得到，线段交y轴于点F，当为直角三角形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)，， (2)20 (3)或 【分析】（1）分别，，求出对应的x、y的值，即可求出A、B坐标，设直线的函数表达式为，然后把A、C的坐标代入求解即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）由翻折得出，则需分，两种情况讨论，然后根据等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识求解即可． 【详解】（1）解：当时，，解得， ∴， 当时，， ∴， 设直线的函数表达式为， 则，解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵，，， ∴， ∴； （3）解：∵翻折， ∴，， ∴分两种情况讨论： ①当时，如图， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 此时，轴， 而轴， ∴点E在x轴上， 在中，根据勾股定理得， ∵翻折， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 综上，D的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、勾股定理的应用、等腰直角三角形的判定和性质、轴对称的性质、一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积、一次函数图象的交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）将的图象记作， (1)图象与轴交点坐标为___________，与轴交点坐标为___________； (2)若点、均在图象上，求、的值： (3)将图象上（为常数）的部分沿轴翻折，翻折后的图象记作，将的部分记作和合起来记作图象．直接写出对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (4)已知点、，连结，在（3）的条件下，图象与线段有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)，； (3)； (4)． 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． （1）分别令和，求得和，据此求解即可； （2）分别将点、代入，求解即可； （3）分情况讨论，求解即可； （4）先求得线段与的交点的坐标，与的交点的坐标，再根据四个特殊点、、和，画出图形，根据图象即可求解． 【详解】（1）解：令，则，令，则， ∴图象与轴交点坐标为，与轴交点坐标为； 故答案为：，； （2）解：将点代入，得 ； 将点代入，得 ， 解得； （3）解：当时，图象对应的函数表达式为， 当时，图象对应的函数表达式为， 综上，图象对应的函数表达式为； （4）解：设线段与交于点，与交于点， 令，则，解得， 则； 令，则，解得， 则； ①若图象过点；图象与线段有一个交点，此时； ②若图象过点；图象与线段有一个交点，此时； 综上，时，图象与线段有一个交点； ③若图象过点，此时； 如下两个图知当时，图象与线段没有交点； ④如图时，图象与线段没有交点； 综上，图象与线段有一个交点时，的取值范围为． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，．在边上取一点E，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点D处． (1)直接写出点D和点E的坐标：D（ ），E（ ）； (2)求直线的表达式； (3)若直线与平行，当它过长方形的顶点C时，且与y轴相交于点F时，求的面积． 【答案】(1)4，8；0，5 (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理求出，则，得出．由勾股定理得出，解得，可求出点的坐标； （2）由待定系数法可求出直线解析式； （3）求出直线的解析式，可求出点的坐标，由三角形面积可得出答案． 【详解】（1）解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 在中，，， 由勾股定理，得， ， ． 在△中，由勾股定理，得， 又，， ， 解得， ． ，； 故答案为：4，8；0，5； （2）解：设、两点所在的直线的解析式为， 则，解得， 所以过、两点的直线函数表达式为． （3）解：直线与平行， ， 直线过长方形的顶点， ， ， 直线的解析式为， 时，， ， ， 的面积． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、勾股定理以及待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 3．（23-24八年级下·重庆黔江·期末）如图，长方形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，．在上取一点M，使得沿翻折后，点B落在x轴上，记作点．    (1)点的坐标是______； (2)求折痕所在直线的解析式； (3)在x轴上是否能找到一点P，使的面积为9？若存在，直接写出点P的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合，考查了折叠的性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积，勾股定理等知识，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）由长方的性质及翻折的性质可得，在中，由勾股定理即可求得的长，从而求得点的坐标； （2）设，则，由翻折的性质，在中由勾股定理建立关于t的方程，解得t，则可得点M的坐标，用待定系数法即可求得直线的解析式； （3）由面积条件可求得的长，再根据点P的位置即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：在长方形中， ∴，， ∵沿翻折后，点B落在x轴上，记作点， ∴， 在中，， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为： （2）解：设，则， ∵， 在中，， 即，解得， ∴M点的坐标为， 设直线的解析式为， 把和代入得， ，解得∶ ， ∴直线的解析式为； （3）解：存在，理由： 设点P的坐标为， ∵的面积为9， ∴，即， ∴， ∵， ∴当点P在点的右侧时，点P的坐标为； 当点P在点的左侧时，点P的坐标为； ∴点P的坐标为或． 【经典例题七 一次函数中的旋转模型（45度等）】 【例7】（24-25八年级上·河南郑州·期中）【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 【答案】模型建立：见解析；模型应用：（1）①，；②或；（2） 【分析】（1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）过点A作交于点C，过点C作轴，求出，，然后证明出，，，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】模型建立：解：①∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （1）解：①∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为； ②如图所示，当M在原点右边时，连接，，以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （2）如图所示，过点A作交于点C，过点C作轴 ∵直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∴， ∵将直线绕点B旋转至直线， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴设直线表达式为 ∴ 解得 ∴设直线表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 1．（2023八年级下·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)点M是坐标轴上的一点，若以为直角边构造，请求出满足条件的所有点M的坐标； (3)如图2，以A为直角顶点作，射线交x轴的正半轴于点C，射线交y轴的负半轴于点D，当绕点A旋转时，求的值． 【答案】(1) (2)M点的坐标为或或 (3)8 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据题意进行分类讨论：①当时，过A作的垂线，交y轴于点，交x轴于点，根据两点之间的距离公式以及勾股定理，列出方程求解即可；②当时，过点B作的垂线交y轴于点，用相同的方法即可求解； （3）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，通过证明，得出，即可得出． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， ∵，在直线上， ∴ ， 解得： ， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵是以为直角边的直角三角形， ∴有或， ①当时，如图： 设点，， ∵，， ∴，，，，， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ②当时，如图： 过点B作的垂线交y轴于点， 设， ∵，， ∴，，， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴． 综上：M点的坐标为：或或． （3）解：过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，如图： 则， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查案例一次函数的图象和性质，勾股定理，两点之间的距离公式，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，坐标轴上点的坐标特征． 2．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 【答案】 【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣3），求得OA＝，OB＝3，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的判定与性质证明△AOB≌△FEA得到AE＝OB＝3，EF＝OA＝，求得F（，－），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论． 【详解】解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B， ∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=， ∴A（，0），B（0，﹣3）， ∴OA=，OB=3， 过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E． 则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°， ∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°， ∴∠OAB=∠AFE． 又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°， ∴∠AFB＝45°， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴ AB＝AF ∴△AOB≌△FEA（AAS） ∴AE＝OB，EF＝OA， ∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝， ∴F（，－）． 设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中， ∴－＝k－3， ∴k＝， ∴直线BC的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质、等角对等边，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．求证：． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，求点M的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 【答案】（1）见详解；（2）点M的坐标为（1，3）；（3）R（，0） 【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论； （2）过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，判断出MF=NG，OF=MG，设M（m，n）列方程组求解，即可得出结论； （3）过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，先求出OP=4，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=5，SH=OQ=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l， ∴∠ACB＝∠ADC． ∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC． ∴△ACD≌△CBE， ∴CD＝BE， （2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G， 由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°， ∴由（1）得△OFM≌△MGN， ∴MF＝NG，OF＝MG， 设M（m，n）， ∴MF＝m，OF＝n， ∴MG＝n，NG＝m， ∵点N的坐标为（4，2）      ∴ 解得 ∴点M的坐标为（1，3）； （3）如图3， 过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H， 对于直线y＝﹣4x+4，由x＝0得y＝4， ∴P（0，4）， ∴OP＝4， 由y＝0得x＝1， ∴Q（1，0），OQ＝1， ∵∠QPR＝45°， ∴∠PSQ＝45°＝∠QPS． ∴PQ＝SQ． ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP． ∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝4+1＝5，SH＝OQ＝1． ∴S（5，1）， 设直线PR为y＝kx+b，则 ， 解得． ∴直线PR为y＝x+4． 由y＝0得，x＝， ∴R（，0）． 【点睛】 本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 【经典例题八 一次函数中的平移模型】 【例8】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数向上平移2个单位，与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)且． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的平移，两直线的交点问题，确定不等式的取值范围，掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）根据一次函数的平移得到新函数，再求出两直线的交点坐标，得到的值，再代入函数解析数求出的值即可； （2）根据题意得：当时，且，然后对每个不等式分两种情况分析求解，最后确定取值范围即可． 【详解】（1）解：将函数向上平移2个单位，得到新函数， 当时，， 即函数与函数的图象交于点， 将点代入函数， 则， 解得：； （2）解：由（1）得：， 根据题意得：当时，且， ， 当时，，最大值在时，得， 当时，，恒成立，得， 综合得：； ， 当时，，最小值在时，得， 当时，，恒成立，得， 综合得：； 综上可得：且． 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点． (1)将直线向下平移5个单位，所得直线的解析式是 　； (2)直接写出与直线关于x轴对称的直线的解析式； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标； 【答案】(1) (2)yx﹣4 (3)或 【分析】本题考查次一函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）由图形平移的性质求解即可； （2）求出A、B点坐标，然后求出A、B关于x轴的对称点坐标，由待定系数法求函数解析式即可； （3）由题意可知是等腰直角三角形，则，由此可求P点坐标． 【详解】（1）解：直线向下平移5个单位，得到， 即， 故答案为：； （2）解∶令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴B点关于x轴的对称点， 设直线：关于x轴对称的直线解析式为， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵点P在x轴上，，， ∴ ∴点P在直线的两侧，， ∴或． 2．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求，两点的坐标． (2)若将直线向左平移个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． (3)若为轴上一点，将直线沿翻折，使得点刚好落在坐标轴上，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，轴对称的性质，一次函数的平移以及勾股定理； （1）根据题意分别令，得出，，根据勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得平移后的直线与轴的交点为，设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入，即可求解； （3）设点关于的对称点为，，分在轴负半轴，在轴正半轴，当在轴正半轴，三种情况，分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 当时，，当时，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得直线解析式为， ∵将直线向左平移个单位长度，， ∴平移后的直线与轴的交点为， 设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入得， ， ∴， ∴平移后的直线所对应的函数表达式为． （3）解：设点关于的对称点为，， 当在轴负半轴时，如图所示， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在轴正半轴时， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在轴正半轴时，， ∴点与点重合，即， 综上所述，或或． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线：与x轴交于点A，直线：与x轴交于点B，且与直线交于点． (1)求m和b的值； (2)求的面积； (3)若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数图象的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，第3问有一定难度，写出直线向下平移后的解析式，求出t的临界值是解题的关键． （1）将代入可得m的值，将代入可得b的值； （2）先根据解析式求出A，B坐标，再根据求解； （3）先求出直线向下平移的所得直线的解析式，将直线与y轴的交点坐标，以及点A坐标分别代入新直线的解析式，求出t的临界值，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， ， ∴， 把代入得，， 解得； （2）解：中，令，得：， 解得， ∴， 中，令，得：， 解得， ∴， ∴， ∴； （3）将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线的解析式为， 直线：与y轴的交点为， 把代入得，， 解得； 把代入得，， 解得， ∴平移后所得到的直线与直线的交点在第一象限，t的取值范围是． 1．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，轴上有一点，分别为直线和轴上的两个动点，当的周长最小时，点的坐标分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考待定系数法求一次函数解析式、轴对称的性质，解题的关键是掌握用对称的方法确定周长最小时，E、F的位置．作点关于直线的对称点和关于轴的对称点，由可得，，所以是等腰直角三角形，求得，，待定系数法求出直线的解析式为，直线与轴的交点即为点的坐标，直线的交点即为点坐标． 【详解】解：作点关于直线的对称点和关于轴的对称点，如图， 则，，， ∴， 当共线时周长最小， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点，， ∴，， 则是等腰直角三角形， ∴， ∵C、关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 则点， 联立，解得， 则． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，由直线求出点坐标，得出，过点D作于点E，证明，得，设点，则，得出，代入，求出的值即可． 【详解】解：对于，当时，， ∴， ∴， 过点D作于点E，如图， 则 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， 又 ∴， ∴， 设点，则， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴, 故选：D． 3．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，若两直线所夹锐角为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用全等三角形的判定和性质是解题的关键． 点作直线与直线交于点，过点作轴于，过点作轴于点，判定，进而求解点的坐标，． 【详解】解：如图，直线与直线的夹角为，过点作直线与直线交于点， 则， ， ， ， 过点作轴于，过点作轴于点， 则， 设点， 则，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点， 点在直线上， 可得， 解得：， 把代入， 可得：， 点坐标为； 故答案为： 4．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，此时的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用、轴对称的性质、勾股定理，先求出，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则点即为所求，由轴对称的性质可得，，则，当、、在同一直线上时，最小，为，由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：将代入直线得，即，故， 将代入直线得，解得，即； 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则点即为所求， 由轴对称的性质可得：，， ∴， 当、、在同一直线上时，最小，为， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点M在x轴上，当最大时，点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题、一次函数的应用，作点关于轴的对称点，连接，延长交轴于点，点即为所求，由对称的性质可得，求出直线的解析式为，令，则，求解即可得解． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，延长交轴于点，点即为所求， ， 由对称的性质可得， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴点M的坐标为， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，并与直线相交于点，点在线段上，过点作轴的垂线与直线交于点，与轴交于点，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标．根据两条直线的关系式求出交点坐标，设，则 ，列方程求出a值，进而求出结论即可； 【详解】解：联立， 解得：， ∴点C的坐标为； 设，则 ， ， ， ， 解得：， ， 的面积为， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山东·期末）已知直线交轴于点，交轴于点，点是轴正半轴上的一点，连接．当的面积等于4时，直线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、一次函数与几何的综合、求函数解析式等知识点，确定点的坐标是解题的关键．先求得，，设点的坐标为，则，再根据的面积等于4求得，即；然后运用待定系数法求解即可． 【详解】解：由条件可知，， 设点的坐标为，则， 的面积等于4， ，解得：或（不合题意，舍弃）， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的表达式为． 故答案为：． 8．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是直线上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点． (1)求直线的函数解析式： (2)是否存在点，使，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了一次函数与几何问题题，一次函数的性质，轴对称的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． （）由，得，，由点与点关于轴对称，得，设直线解析式为，再代入计算即可； （）当时，则直线解析式为，联立和得，； （）设，故，由的面积，得，故或． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵点与点关于轴对称， ∴， 设解析式为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴直线解析式为， 联立， 解得， ∴； （3）解：设， ∴， ∴的面积， 解得：， ∴或． 9．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (1)若直线与直线有交点，求的面积； (2)在（1）的条件下，y轴上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式是解决问题的关键． 过点C作于点E，于点D，将点代入得，则直线的表达式为，进而可求出点，点，则，，再根据点得，，据此可得的面积； 先求出，设点P的坐标为，则，进而得，进而得，由此解出或，则点P的坐标为或 【详解】（1）解：过点C作于点E，于点D，如图所示： 线与直线有交点， ， 解得：， 直线的表达式为：， 对于，当时，， 当时，，解得：， 点，点， ，， 点， ， ； （2）存在． ，， ， 点P在y轴上， 设点P的坐标为， ， ， 当的面积与的面积相等时， ， ， 或， 点P的坐标为或， 即当点的坐标为或时，的面积与的面积相等． 10．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点Q，使得是以为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)点P的坐标为或 (3)存在，点Q的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何的综合应用，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）分别令，求出点A和点B的坐标； （）设，由（）得点的坐标为，点的坐标为，则，，，然后由即可求出的值，从而求解； （）分当时和当时进行分析即可； 【详解】（1）解：由得， 当时；当时，，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：设， 由（）得点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴，即 ， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由：如图， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， 当时， ∴的坐标为，的坐标为， 当时， ∴， ∴的坐标为． 综上所述：存在，点Q的坐标为或或 11．（2025八年级下·全国·专题练习）一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点．点在线段上．如图，将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求一次函数的解析式； (2)求的长； (3)点为轴上一点．且满足是以为腰的等腰三角形，请直接写出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（）利用待定系数法可求解析式； （）由勾股定理可求，由勾股定理可求，即可求解； （）设点，分和两种情况讨论可求解． 【详解】（1）解：∵和点在一次函数图象上， ∴， 解答， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵和点， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴，． 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴， ∴； （3）解：设点， ∵是以为腰的等腰三角形， 当时，则， ∴或， ∴点或； 当时， ∵， ∴， ∴点； 综上所述，点或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 12．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． (1)求和的值； (2)点的坐标为，将线段沿轴向右平移个单位得到线段，若线段的垂直平分线经过点，求的值； (3)若点为轴负半轴上的一点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）由待定系数法即可求解； （）在中，由勾股定理得，即可求解； （）证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数过点， ∴， ∴一次函数表达式为， 将点代入得，， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∴，； （2）解：如图，连接，过点作轴于点， 由图形平移的特征可得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵线段的垂直平分线经过点， ∴， ∴，即， 解得； （3）解：如图，过点作于点，交的延长线于点，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 把代入，得， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数图象与性质，勾股定理定理，全等三角形的判定与性质，平移的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线l：为点P的“关联直线”．例如，点的“关联直线”l的解析式为． (1)若点，写出点P的“关联直线”l的解析式，并求l与坐标轴围成的三角形面积； (2)若点在第一象限，其“关联直线”l交x轴于点A，连接，过点P作的垂线，交l于点B．当时，求点P的坐标． 【答案】(1)，6 (2) 【分析】本题主要考查了新定义、一次函数与坐标轴的交点问题、全等三角形的性质与判定等知识点，正确求得直线解析式是解题的关键． （1）根据新定义写出直线解析式，进而求得直线与坐标轴的交点坐标，最后根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据题意点在第一象限，其“关联直线”l为，求得，如图：过点P作轴于点D，过点B作于点C，证明即可得出B的坐标，然后代入直线解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴点P的“关联直线”l的解析式为， ∵当时，，当时，， ∴点P的“关联直线”l过，， ∴l与坐标轴围成的三角形面积为． （2）解：∵点在第一象限， ∴点P的“关联直线”l的解析式为， ∵点“关联直线”l交x轴于点A， ∴当时，，则， ∵点在第一象限，则， 如图：过点P作轴于点D，过点B作于点C，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，即，解得：， ∴． 14．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点的长为10，点在轴的负半轴上，以为对称轴作的轴对称图形，点的对称点为点． (1)求直线的解析式； (2)若点恰好落在轴正半轴上，求点的坐标以及直线的解析式； (3)当时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)点的坐标为，直线的解析式为 (3)点坐标为 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据题意求出，即点坐标为，将两点坐标分别带入，即可得到答案； （2）以为对称轴作的轴对称图形为，设点的坐标为，求出点的坐标为．设直线的解析式为，即可得到答案． （3）当时，由题意得点在第一象限，过作轴于点，证明，则可求得点D的坐标；设直线与交点为，点为中点，可得点E的坐标，求出直线的解析式为，即可得到答案． 【详解】（1）解：为直角三角形，， ，即， 解得， 即点坐标为， 将两点坐标分别带入， 得， 解得， 故直线的解析式为． （2）解：以为对称轴作的轴对称图形为， ， ． 点在轴的正半轴上， 点的坐标为． 设点的坐标为，由题意可知． 在中，由勾股定理，得，解得． 点的坐标为． 设直线的解析式为． 点在直线上， ，解得． 直线的解析式为． （3）解：当时，由题意得点在第一象限，如图， 过作轴于点， ， ，， ， 以为对称轴作的轴对称图形为， ， 在和中， ， ， ， ， ． 设直线与交点为，点为中点， 则点坐标为． 设直线的解析式为， 将点，分别代入直线方程， 得， 解得， 故直线的解析式为， 上式中，令，则， 则点坐标为． 15．（24-25八年级上·山西运城·期末）综合与探究：如图，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，交直线于点． (1)求一次函数的表达式． (2)若线段上有一点，使得，求点的坐标． (3)若是直线上方且位于轴上的一点，，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理、面积的计算等知识． （1）运用待定系数法求出一次函数的表达式即可； （2）根据三角形面积公式求出，由得，设，由列式求解即可； （3）根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，求出，从而可得出结论． 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得， 所以，一次函数的表达式为； （2）解：联立方程组，得， 解得， ∴ 过点作轴于点如图， ∴ ∵ ∴ 对于，当时， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， 设，则 ∴ 解得，或（舍去） ∴； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 过点C作轴，交轴于点，则轴，如图， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴， ∵ ∴是直角三角形，且 在中， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一次函数常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 一次函数中的面积计算 题型二 一次函数中的动点问题 题型三 一次函数中的最值问题 题型四 一次函数中的存在性问题 题型五 一次函数中的新定义问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型（45度等） 题型八 一次函数中的平移模型 【经典例题一 一次函数中的面积计算】 【例1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点，这两个函数的图象相交于点A． (1)求k，b的值和点A的坐标； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围； (3)求的面积． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． (1)直接写出A、C的坐标； (2)写出直线的解析式； (3)若与的面积相等，求点E的坐标． 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线上，轴，顶点的坐标为． (1)求正方形的面积； (2)直线将正方形分成两个部分，设的面积为，四边形的面积为，则的值为__________． 3．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）如图，长方形在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，，． (1)求直线的函数解析式； (2)对角线的垂直平分线交x轴于点M，试求M点坐标； (3)在（2）的条件下，若点P是直线上的一个动点，当的面积与长方形的面积相等时，求点P的坐标． 【经典例题二 一次函数中的动点问题】 【例2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作轴于点．点是轴上一动点，过作轴的垂线，分别与直线，交于点，． (1)设的长为，点的横坐标为，求与的函数表达式； (2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，一次函数的图象与，轴分别交于，两点，点与点关于轴对称．动点，分别在线段，上（点与点，不重合），且满足． (1)线段长为 ； (2)当为等腰三角形时，求点的坐标． 2．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示． (1)长方形的长________，宽________； (2)直接写出________，________，_______； (3)当P点运动到中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，的面积为y，求当时，y与x之间的关系式． 3．（2025·广东佛山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)点是轴上一动点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图像于点，连接，若的面积为15，求线段的长度． 【经典例题三 一次函数中的最值问题】 【例3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，写出的坐标_________； (2)计算：的面积是________，边上的高是________； (3)若点为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点的坐标________． 1、（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，B为直线上一点． (1)求a，m的值； (2)当线段最短时，求的长和点B的坐标； (3)在x轴上是否存在一点M，使的值最小，若存在，并求此时点M的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标； (2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值． (3)如图2，点坐标为，则的面积是 ． (4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点的坐标． 3．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，直线与轴的交点为． (1)点的坐标为______； (2)在轴上找一点，连接，使的值最小，求出此时点的坐标． 【经典例题四 一次函数中的存在性问题】 【例4】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴、轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于，直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积为，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 1．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为3． (1)求一次函数的表达式； (2)如图2，过点C作直线轴，M为射线上一动点，若为以为腰的等腰三角形，直接写出点M的坐标； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)点A的坐标为_________，点B的坐标为__________； (2)直线上是否存在一点C（C与B不重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)x轴上是否存在一点D，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存，在请说明理由． 3．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴和轴上．已知，，点坐标为，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动的时间为秒． (1)如图1，当点恰好到达点时，的长为______． (2)如图2，把长方形沿着直线折叠，点的对应点恰好落在边上，求直线的函数关系式． (3)在点的运动过程中，是否存在某个时刻使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，并求出值；若不存在，请说明理由． 【经典例题五 一次函数中的新定义问题】 【例5】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）定义：一次函数和(其中、为常数，，)互为“友好函数”．比如和互为“友好函数” (1)已知点在的“友好函数”上，则______． (2)上的点也在它的“友好函数”上，求点的坐标． (3)若和它的“友好函数”与轴围成的三角形的面积是2，求值． 1．（24-25八年级上·北京·期中）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的“直角距离”为．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“直角距离”，记作． (1)已知、，则_______，_______； (2)已知、，若，则t的取值范围是_______； (3)已知，若坐标平面内的点P满足，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是_______． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交．类似的，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交． 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点为、、、． (1)判断直线与正方形是否相交，并说明理由； (2)设d是点O到直线的距离，若直线与正方形相交，求d的取值范围． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）【新定义】 一次函数与一次函数称为一对和谐函数（其中，为常数，）．例如：与就是一对和谐函数． 【特殊化】 请以与这对和谐函数为例，完成以下两条结论： （1）这对和谐函数图象的交点坐标是_______________ （2）可以发现这对和谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是__________ 【一般化】 （3）请尝试证明一般情况下一对和谐函数与（其中，为常数，）图象“成轴对称”的结论依然成立． 【经典例题六 一次函数中的翻折模型】 【例6】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，y轴上有一点． (1)点A的坐标为________，点B的坐标为________，求出直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)若点D为线段上一点，连接，将沿翻折得到，线段交y轴于点F，当为直角三角形时，请直接写出点D的坐标． 1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）将的图象记作， (1)图象与轴交点坐标为___________，与轴交点坐标为___________； (2)若点、均在图象上，求、的值： (3)将图象上（为常数）的部分沿轴翻折，翻折后的图象记作，将的部分记作和合起来记作图象．直接写出对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (4)已知点、，连结，在（3）的条件下，图象与线段有一个交点时，直接写出的取值范围． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，．在边上取一点E，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点D处． (1)直接写出点D和点E的坐标：D（ ），E（ ）； (2)求直线的表达式； (3)若直线与平行，当它过长方形的顶点C时，且与y轴相交于点F时，求的面积． 3．（23-24八年级下·重庆黔江·期末）如图，长方形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，．在上取一点M，使得沿翻折后，点B落在x轴上，记作点．    (1)点的坐标是______； (2)求折痕所在直线的解析式； (3)在x轴上是否能找到一点P，使的面积为9？若存在，直接写出点P的坐标？若不存在，请说明理由． 【经典例题七 一次函数中的旋转模型（45度等）】 【例7】（24-25八年级上·河南郑州·期中）【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 1．（2023八年级下·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)点M是坐标轴上的一点，若以为直角边构造，请求出满足条件的所有点M的坐标； (3)如图2，以A为直角顶点作，射线交x轴的正半轴于点C，射线交y轴的负半轴于点D，当绕点A旋转时，求的值． 2．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 3．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．求证：． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，求点M的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 【经典例题八 一次函数中的平移模型】 【例8】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数向上平移2个单位，与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点． (1)将直线向下平移5个单位，所得直线的解析式是 　； (2)直接写出与直线关于x轴对称的直线的解析式； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标； 2．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求，两点的坐标． (2)若将直线向左平移个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． (3)若为轴上一点，将直线沿翻折，使得点刚好落在坐标轴上，直接写出点的坐标． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线：与x轴交于点A，直线：与x轴交于点B，且与直线交于点． (1)求m和b的值； (2)求的面积； (3)若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，直接写出t的取值范围． 1．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，轴上有一点，分别为直线和轴上的两个动点，当的周长最小时，点的坐标分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，若两直线所夹锐角为，则点的坐标为 ． 4．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，此时的最小值为 ． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点M在x轴上，当最大时，点M的坐标为 ． 6．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，并与直线相交于点，点在线段上，过点作轴的垂线与直线交于点，与轴交于点，且，则的面积为 ． 7．（24-25九年级上·山东·期末）已知直线交轴于点，交轴于点，点是轴正半轴上的一点，连接．当的面积等于4时，直线的表达式为 ． 8．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是直线上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点． (1)求直线的函数解析式： (2)是否存在点，使，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)若的面积为，求点的坐标． 9．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (1)若直线与直线有交点，求的面积； (2)在（1）的条件下，y轴上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点Q，使得是以为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点．点在线段上．如图，将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求一次函数的解析式； (2)求的长； (3)点为轴上一点．且满足是以为腰的等腰三角形，请直接写出点坐标． 12．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． (1)求和的值； (2)点的坐标为，将线段沿轴向右平移个单位得到线段，若线段的垂直平分线经过点，求的值； (3)若点为轴负半轴上的一点，连接，若，求点的坐标． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线l：为点P的“关联直线”．例如，点的“关联直线”l的解析式为． (1)若点，写出点P的“关联直线”l的解析式，并求l与坐标轴围成的三角形面积； (2)若点在第一象限，其“关联直线”l交x轴于点A，连接，过点P作的垂线，交l于点B．当时，求点P的坐标． 14．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点的长为10，点在轴的负半轴上，以为对称轴作的轴对称图形，点的对称点为点． (1)求直线的解析式； (2)若点恰好落在轴正半轴上，求点的坐标以及直线的解析式； (3)当时，直接写出点的坐标． 15．（24-25八年级上·山西运城·期末）综合与探究：如图，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，交直线于点． (1)求一次函数的表达式． (2)若线段上有一点，使得，求点的坐标． (3)若是直线上方且位于轴上的一点，，判断的形状，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$