专题02 平行四边形及其性质与判定重难点题型专训（4个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测-2025-2026学年人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练

该初中数学讲义通过表格系统梳理平行四边形的性质、判定及平行线间距离等4个知识点，用符号语言和图示呈现核心内容，12大题型从基础应用到综合证明层层递进，构建清晰知识脉络。 讲义亮点是分层练习设计，基础题巩固性质应用，提高题如“动点构成平行四边形”培养推理意识，拓展训练中的翻折和最值问题发展创新意识。自我检测与分层训练满足不同学生需求，助力教师精准教学。

专题02 平行四边形及其性质与判定重难点题型专训 （4个知识点+12大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 利用平行四边形的性质求解 题型二 求平行线间的距离 题型三 利用平行线间距离解决问题 题型四 判断能否构成平行四边形 题型五 添一个条件成为平行四边形 题型六 数图形中平行四边形的个数 题型七 证明四边形是平行四边形 题型八 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型九 全等三角形拼平行四边形问题 题型十 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十一 利用平行四边形性质和判定证明 题型十二 平行四边形性质和判定的应用 拓展训练一 平行四边形最值问题 拓展训练二 与平行四边形有关翻折问题 拓展训练三 平行四边形性质和判定的综合应用 知识点一：平行四边形的性质 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 【即时训练】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，已知，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为__________． 知识点二：平行四边形的判定 判定 符号语言（同上图） 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 【解题技巧】 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路： 1）已知一组对边平行, 首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等； 2）已知一组对边相等, 首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行； 3）已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分； 4) 已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·福建福州·月考）如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2025九年级·广东·专题练习）定义：两组对边分别_______的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可写成_____． 知识点三：平行线间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质：1）两条平行线间的距离处处相等. 2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广西来宾·期中）点，分别在直线，上，且，点到的距离为，则点到的距离（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 2．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，点P、D在直线a上，点A、C在直线b上，于点B，，，，，则直线a与b之间的距离是________． 知识点四：平行四边形的判定与性质 1.平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 2.平行四边形的判定 （1）与边有关的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【即时训练】 1．（24-25八年级下·北京·月考）以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形______平行四边形（填“是”或“不是”）． 【经典例题一 利用平行四边形的性质求解】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）在平行四边形中，若，则____，____． 1．（25-26八年级下·浙江温州·开学考试）如图，在▱中，点，，，分别在边，，，上，，，交点在的内部，记，，，的面积分别为，．若的面积为，则下列选项中，可用含的代数式表示的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，平行四边形的对角线交于点，且，若它的对角线的和是32，则的周长为______． 3．（24-25八年级上·重庆·周测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，现同时将点分别向上平移3个单位，再向右平移2个单位，分别得到点的对应点，连接． (1)求点C，D的坐标：C______，D______，______； (2)在x轴上有一点P，使得，求点P的坐标． 【经典例题二 求平行线间的距离】 【例1】（24-25八年级下·广东梅州·月考）已知直线，，，在同一平面内，且，，与，，分别交于点A，，，，，则与的距离是（  ） A． B． C．或 D．以上都不对 【例2】（24-25八年级下·河南商丘·月考），点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为________． 1．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，直线，和AB的夹角，，则两平行线和之间的距离是（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）如图，点是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、．当时，三角形的面积记为；当时，三角形的面积记为；…；以此类推，当时，三角形的面积记为，那么的值为________． 3．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，于点E，经测量，，则AB与CD两平行线之间的距离是1.5cm还是1.8cm？为什么？点C到直线AB的距离是多少？ 【经典例题三 利用平行线间距离解决问题】 【例1】（24-25八年级下·河南南阳·开学考试）把一个平行四边形任意分成两个梯形，这两个梯形的（    ）一定相等． A．周长 B．面积 C．高 D．上、下底的和 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是练习书法的书画毡，点，，，均为格点上的点，其中满足的点为__________． 1．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②三角形的周长；③三角形的面积；④的大小．其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 2．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图1，平面上两条直线，相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线的距离为p，到直线l2的距离为q，则称有序实数对为点M的“距离坐标”，例如，图1中点O的“距离坐标”为，点N的“距离坐标”为． （1）如图2，点A的“距离坐标”为_______，点B的“距离坐标”为_______； （2）如图3，点C，D分别在直线，上，则C，D两个点中，“距离坐标”为的点是_______； （3）平面上“距离坐标”为的点有_______个，“距离坐标”为的点有_______个． 3．（24-25八年级下·甘肃武威·月考）如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． (1)若，，求的度数和的长． (2)若的面积是，求四边形的面积． 【经典例题四 判断能否构成平行四边形】 【例1】（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为________________． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点，，，在同一平面内．有下列条件：①；②；③；④．从中任意选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（   ）    A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是__________． 3．（24-25八年级下·吉林延边·月考）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，以格点为顶点，为边，按下列要求画图： (1)在图1中，画等腰直角三角形； (2)在图2中，画锐角等腰三角形； (3)在图3中，画四条边都相等的平行四边形． 【经典例题五 添一个条件成为平行四边形】 【例1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东临沂·月考）如图，中，，分别是边，上的点，有下列条件：①；②；③；④．若要添加其中一个条件，使四边形一定是平行四边形，则添加的条件可以是____． 1．（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是________（填写序号）． 3．（24-25八年级下·河南·期末）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 【经典例题六 数图形中平行四边形的个数】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【经典例题七 证明四边形是平行四边形】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线，相交于点．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，以的顶点为圆心，长为半径作弧，再以顶点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，．由此得到的四边形是__________，依据是______________． 1．（2025·河北邢台·一模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，在四边形中，垂直平分，过点作，以为顶点，在的左侧作交于点． 求证：四边形是平行四边形． 证明：垂直平分， ，又， （①）， ， _____②______ ， 四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A．SAS， B．SSS， C．SAS， D．SSS， 2．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=6厘米，AD=9厘米，P、Q分别从A、C同时出发，P以1厘米/秒的速度由A向D运动，Q以2厘米/秒的速度由C向B运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，使得，，分别以点B，D为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点C，连接，，四边形是平行四边形吗？请说明理由． 【经典例题八 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【例1】（2025·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（24-25八年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 1．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 2．（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【经典例题九 全等三角形拼平行四边形问题】 【例1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 1．（2025·河北·模拟预测）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 2．（2025·青海·模拟预测）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 3．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【经典例题十 利用平行四边形的判定与性质求解】 【例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是(　　) A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在梯形中，，则_____． 1．（2025八年级下·浙江·学业考试）如图 ，矩形 中，点 分别在 边上，，点 在 边上，连结 ． 若知道矩形 的面积，则一定能求出 （   ） A． 与 的面积之和 B． 与 的面积之和 C．四边形 与 的面积之和 D． 的面积 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为____． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【经典例题十一 利用平行四边形性质和判定证明】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，要在平行四边形的边所在直线上找点，，使四边形为平行四边形，下面的两种方案中正确的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．两种都正确 D．两种都不正确 【例2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是________． 1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在中，点E为边AD上一点，连结BE，将沿AE折叠，使点C的对称点落在BA的延长线的点G处，点D的对称点为点F．给出下列四个结论： ①四边形AEFG是平行四边形； ②； ③四边形AEFG的周长为； ④四边形AEFG的面积为四边形BCDE的面积的2倍与的面积差． 其中，以上结论正确的序号有_________． 3．（24-25八年级下·云南文山·期末）如图，在中，、分别是、的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的面积是7，求四边形的面积． 【经典例题十二 平行四边形性质和判定的应用】 【例1】（2025·浙江·一模）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【例2】（24-25八年级下·广西南宁·期末）在四边形ABCD中，，，若，则______． 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，是矩形内一点，设，，，的面积分别表示为，，，，要求出的值，只需知道（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 3．（24-25八年级下·广东中山·期中）定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”． (1)当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为______度； (2)如图，在沙漏四边形中，对角线、相交于点O，满足，且，过点B、D分别作，，垂足为E、F，连接、，所得四边形也是沙漏四边形．若，求的长以及的面积． 【拓展训练一 平行四边形最值问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为，的中点，则长度的最大值为（    ）    A．3 B．4 C．4.5 D．5 【例2】（24-25八年级下·北京丰台·期末）在等边中，为边的中线，将此三角形沿剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形．如果，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是______． 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连结，则的最小值为（    ）    A．22 B．24 C．25 D．26 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，线段与相交于点，，，则的最小值为________． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______． 【拓展训练二 与平行四边形有关翻折问题】 【例1】（24-25八年级下·北京·期中）如图，将▱ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是（    ） A．AF＝EF B．AE＝AF C．AB＝EF D．FD＝EC 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为_______． 1．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，点E为边上一点，将沿直线翻折，点A落在点F处，则等于（     ） A． B． C． D．无法判断，与点E的位置有关 2．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在梯形中，，，．点在边上，将沿着翻折，点的对应点为点．如果，那么的长为______． 3．（24-25八年级下·山西太原·月考）问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【拓展训练三 平行四边形性质和判定的综合应用】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______． 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建龙岩·月考）如图，是边长为的等边三角形，P是内的任意一点，过点P作分别交于点E，F，作分别交于点G，H，作分别交于点M，N，则的值是________． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． A基础训练 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 3．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，平行四边形的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·模拟预测）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 5．（24-25八年级下·河北保定·期中）图是甲、乙两名同学的作业（题中为等腰三角形，） 甲： 1．过点A作．垂足为D； 2．延长到N，作的角平分线； 3．过点C作，垂足为E四边形为矩形． 乙： 1．过点A作．垂足为D； 2．以A为圆心，长为半径画弧；以B为圆心，长为半径画弧； 3．两弧交于上方一点E．连接；四边形为矩形． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 B 提高训练 6．（25-26八年级下·全国·周测）在同一平面内，已知直线，，相互平行，直线与的距离为4，直线与的距离为6，那么直线与的距离为__________． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 9．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为．当_________ 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，对角线相交于点．点在上，，cm，，点是的中点，若点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点同时以2cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止坛动，当点运动________s时，以点为顶点的四边形是平行四边形． C 培优训练 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 12．（2025·江苏宿迁·三模）如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 13．（2026·江苏宿迁·三模）如图，已知在中，点E、F分别在边、上，且．求证：． 14．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）（1）如图1，在的网格中，的三个顶点都在格点上，请在图1中画出一个以为边的，顶点，在格点上且满足； （2）如图2，中，于点，若于点，请用无刻度的直尺在图2中作出符合题意的点．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） 15．（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上.在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹. (1)在图①中确定一个格点D，连接、，使四边形是平行四边形. (2)先在图②中的线段上确定一点E，使最短，再在图②中确定一点F，连接、，使四边形为平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行四边形及其性质与判定重难点题型专训 （4个知识点+12大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 利用平行四边形的性质求解 题型二 求平行线间的距离 题型三 利用平行线间距离解决问题 题型四 判断能否构成平行四边形 题型五 添一个条件成为平行四边形 题型六 数图形中平行四边形的个数 题型七 证明四边形是平行四边形 题型八 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型九 全等三角形拼平行四边形问题 题型十 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十一 利用平行四边形性质和判定证明 题型十二 平行四边形性质和判定的应用 拓展训练一 平行四边形最值问题 拓展训练二 与平行四边形有关翻折问题 拓展训练三 平行四边形性质和判定的综合应用 知识点一：平行四边形的性质 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 【即时训练】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，已知，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边相等，可知，，再根据平行四边形的周长公式计算出结果即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 故选：D． 2．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合题意得到，由，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 知识点二：平行四边形的判定 判定 符号语言（同上图） 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 【解题技巧】 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路： 1）已知一组对边平行, 首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等； 2）已知一组对边相等, 首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行； 3）已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分； 4) 已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·福建福州·月考）如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的判定方法，平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据选项所给的点D的位置，正确作出以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，再利用平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】对于A，如图， 此时，四边形不是平行四边形，故A不符合题意； 对于B，如图， 此时，，且， ∴四边形是平行四边形，故B符合题意； 对于C，如图， 此时，四边形不是平行四边形，故C不符合题意； 对于D，如图， 此时，四边形不是平行四边形，故D不符合题意． 故选：B． 2．（2025九年级·广东·专题练习）定义：两组对边分别_______的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可写成_____． 【答案】 平行 【分析】根据平行四边形的定义作答即可． 【详解】解：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可写成 故答案为：平行，． 【点睛】本题考查了平行四边形的定义．解题的关键在于对平行四边形定义的熟练掌握． 知识点三：平行线间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质：1）两条平行线间的距离处处相等. 2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广西来宾·期中）点，分别在直线，上，且，点到的距离为，则点到的距离（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据平行线之间的距离此处相等即可解题． 本题考查了平行线间的距离，属于简单题，熟悉平行线间距离的概念是解题关键． 【详解】解：∵，点到的距离为， ∴到的距离等于． 故选C． 2．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，点P、D在直线a上，点A、C在直线b上，于点B，，，，，则直线a与b之间的距离是________． 【答案】12 【分析】根据平行线间的距离的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴直线a与b之间的距离就是垂线段PB的长度， ∵， ∴直线a与b之间的距离就是12cm． 故答案为12． 【点睛】本题考查了平行线间的距离，从平行线上任意一点到另一条直线的垂线段长度称为平行线间的距离，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握平行线间的距离的定义是解题的关键． 知识点四：平行四边形的判定与性质 1.平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 2.平行四边形的判定 （1）与边有关的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【即时训练】 1．（24-25八年级下·北京·月考）以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D：由，，不可以推出四边形是平行四边形，可能是等腰梯形，故该选项符合题意． 故选：D ． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形______平行四边形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【详解】解：由题意已知， 四边形为平行四边形， 故答案为：是． 【经典例题一 利用平行四边形的性质求解】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 的周长． 【例2】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）在平行四边形中，若，则____，____． 【答案】 /度 /度 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形邻角互补得到与的数量关系，结合已知的角度差联立方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 1．（25-26八年级下·浙江温州·开学考试）如图，在▱中，点，，，分别在边，，，上，，，交点在的内部，记，，，的面积分别为，．若的面积为，则下列选项中，可用含的代数式表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质结合，列式计算即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得，，， ， ， ， ， ∴， 整理得，即， ∴． 可用含的代数式表示的是． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，平行四边形的对角线交于点，且，若它的对角线的和是32，则的周长为______． 【答案】20 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 由平行四边形的性质得出，，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，． ， ． 的周长． 故答案为：20． 3．（24-25八年级上·重庆·周测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，现同时将点分别向上平移3个单位，再向右平移2个单位，分别得到点的对应点，连接． (1)求点C，D的坐标：C______，D______，______； (2)在x轴上有一点P，使得，求点P的坐标． 【答案】(1)，，18 (2)点的坐标为或． 【分析】（1）根据向右平移2个单位，横坐标加2，向上平移3个单位，纵坐标加3，即可求出点的坐标，再求出长，即可求面积； （2）设点的坐标为，求得，再利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标分别为，， 现同时将点向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到点的对应点分别是点， ∴，， ∴； （2）解：设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 【经典例题二 求平行线间的距离】 【例1】（24-25八年级下·广东梅州·月考）已知直线，，，在同一平面内，且，，与，，分别交于点A，，，，，则与的距离是（  ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线之间距离的关系，掌握平行线的性质，图形结合分析是解题的关键． 分两种情况，结合平行线之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：情况一：直线在与之间， ，， ， 与的距离是 情况二：直线在与之间， ，， ， 与的距离是， 综上所述：则与的距离是或． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·河南商丘·月考），点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为________． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 【详解】解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 与之间的距离为， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，直线，和AB的夹角，，则两平行线和之间的距离是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，证明，所以，在中，，即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， 直线，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ，负值舍去． 两平行线和之间的距离为． 故选：D． 【点睛】本题考查了两平行线之间的距离，解决本题的关键是作辅助线，构建等腰直角三角形． 2．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）如图，点是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、．当时，三角形的面积记为；当时，三角形的面积记为；…；以此类推，当时，三角形的面积记为，那么的值为________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质以及三角形面积的等积变换，关键是利用正方形的角度关系证明，从而将的面积转化为的面积，发现与的关系． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴点与点到直线的距离相等， ∴． ∵正方形的边长为， ∴， ∴，即． 当时，， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，于点E，经测量，，则AB与CD两平行线之间的距离是1.5cm还是1.8cm？为什么？点C到直线AB的距离是多少？ 【答案】与之间的距离是，∵两平行线之间的距离指的是它们间任意一条垂线段的长度．点到直线的距离为 【分析】两条平行线，其中一条直线上一点到另一条直线的距离即为两条平行线间的距离，据此结合的长度即可解答； 根据平行线间的距离处处相等即可得到点到的距离． 【详解】解：与之间的距离是，∵两平行线之间的距离指的是它们间任意一条垂线段的长度，而题中且在上，∴的长度就是这两条平行线间的距离． 点到直线的距离同样是 ，由于，故同一条平行线上的任意点到另一条平行线的垂直距离相等，∵到的垂直距离为，那么到的垂直距离也必然是． 【点睛】本题考查两条平行线间的距离，掌握两条平行线间的距离的定义是解题的关键． 【经典例题三 利用平行线间距离解决问题】 【例1】（24-25八年级下·河南南阳·开学考试）把一个平行四边形任意分成两个梯形，这两个梯形的（    ）一定相等． A．周长 B．面积 C．高 D．上、下底的和 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键．由于平行四边形的两组对边是平行的，它的高有无数条且都是相等的，所以无论怎样分割成两个梯形，它们的高都是相等的，据此即可解答． 【详解】解：把一个平行四边形任意分割成两个梯形后，两个梯形的高还等于原平行四边形的高； 由于平行四边形有无数条高且都是相等的，所以两个梯形的高是相等的； 答：这两个梯形的高总是相等． 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是练习书法的书画毡，点，，，均为格点上的点，其中满足的点为__________． 【答案】，，， 【分析】根据“平行线之间的距离处处相等”以及“同底等高的两个三角形面积相等”即可解答． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴满足的点为，，，． 1．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②三角形的周长；③三角形的面积；④的大小．其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的周长和面积计算．熟练掌握平行线的性质以及三角形的周长和面积计算是解题的关键． 通过分析点移动时各值得变化情况来判断即可． 【详解】解：直线， 点到直线n的距离不变，故①不符合题意； ，的长度随点的移动而变化， 的周长会随点的移动而变化，故②符合题意； 点P到直线n的距离不变，的大小不变， 的面积不变，故③不符合题意； 的大小随点的移动而变化，故④符合题意； 综上所述，随点P的移动而变化的是②④． 故选C． 2．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图1，平面上两条直线，相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线的距离为p，到直线l2的距离为q，则称有序实数对为点M的“距离坐标”，例如，图1中点O的“距离坐标”为，点N的“距离坐标”为． （1）如图2，点A的“距离坐标”为_______，点B的“距离坐标”为_______； （2）如图3，点C，D分别在直线，上，则C，D两个点中，“距离坐标”为的点是_______； （3）平面上“距离坐标”为的点有_______个，“距离坐标”为的点有_______个． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了点到直线的距离，要注意结合图形分析讨论问题． （1）根据“距离坐标”定义解答即可； （2）根据距离坐标”为是指到直线的距离分别是3，0解答即可； （3）根据代表点到直线的距离分别是0和5，则所求点在直线上，且到的距离为5，求解即可；通过画图，分析出到一条直线距离为定值的点在与已知直线平行的两条直线上，解答即可． 【详解】解：（1）点到直线的距离分别是和，点到直线的距离分别是和． 故答案为： （2）“距离坐标”的两个有序数对的第一个数和第二个数分别表示点到直线的距离，所以，“距离坐标”为是指到直线的距离分别是3，0． 结合已知图形，可知满足条件的为点． 故答案为：． （3）代表点到直线的距离分别是0和5，则所求点在直线上，且到的距离为5，这样的点在两侧各有一个． 如图，直线且相邻两条直线距离为5，直线，且相邻两条直线距离为四点的“距离坐标”． 故答案为：2，4． 3．（24-25八年级下·甘肃武威·月考）如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． (1)若，，求的度数和的长． (2)若的面积是，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平移的性质以及平移的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移性质，得，则，结合条件，即可作答； （2）作平行交于点．根据平移性质，得与平行四边形相等，可求解． 【详解】（1）解：沿着方向平移至， ． ， ． 平移的距离是边的1.5倍， ． ． （2）解：作平行交于点D． 沿着方向平移至， ，． 、与平行四边形等高，． ． 平移的距离是边的倍， ． 设的高为h， ，， 平行四边形的面积三角形的面积， 四边形的面积为． 【经典例题四 判断能否构成平行四边形】 【例1】（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用平行四边形的判定逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意；     B． ，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意；     C． ，，不能判断四边形是平行四边形，符合题意；     D． ，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为________________． 【答案】平行且相等/ 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等是解题的关键． 根据已知条件且，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质，得出与的关系． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴且，即与的关系为平行且相等． 故答案为：平行且相等（或）． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点，，，在同一平面内．有下列条件：①；②；③；④．从中任意选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（   ）    A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关． 根据平行四边形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：①和③根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ①和②，③和④根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ②和④根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ∴能推出四边形为平行四边形的有种． 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是__________． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论． 【详解】解：①∵，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②∵，， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ③∵，，无法得出四边形是平行四边形，故③不正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④正确； ⑤∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故⑤正确； ⑥∵，， 不能得出四边形是平行四边形，故⑥不正确． 综上所述，添加的条件①②④⑤，可证明四边形是平行四边形． 故答案为：①②④⑤． 3．（24-25八年级下·吉林延边·月考）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，以格点为顶点，为边，按下列要求画图： (1)在图1中，画等腰直角三角形； (2)在图2中，画锐角等腰三角形； (3)在图3中，画四条边都相等的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，熟记勾股定理，等腰三角形的定义，以及平行四边形的判定是解题的关键． （1）利用勾股定理求得，若为斜边，则两直角边长均为，不存在符合条件的格点；若为直角边，利用勾股定理找出到点A或点B的距离为的格点，从中找出满足等腰直角三角形的格点即可； （2）利用勾股定理求得，利用勾股定理找出到点A或点B的距离为的格点，从中找出满足锐角等腰三角形的格点即可； （3）利用勾股定理求得，再画出四条边都为的平行四边形即可． 【详解】（1）如图1所示：等腰直角，即为所求； （2）如图2所示：锐角等腰三角形，即为所求； （3）如图3所示：四条边都相等的平行四边形，即为所求； 【经典例题五 添一个条件成为平行四边形】 【例1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，，根据一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、由可得，又，根据一组对边平行且相等能判断四边形是平行四边形，该选项符合题意； 、，，只能得到一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、，，根据一组对边及一组对角相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 故选：． 【例2】（24-25八年级下·山东临沂·月考）如图，中，，分别是边，上的点，有下列条件：①；②；③；④．若要添加其中一个条件，使四边形一定是平行四边形，则添加的条件可以是____． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定定理，由于四边形是平行四边形，得到，然后利用平行四边形的判定定理分别分析求解，即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ①时，四边形是平行四边形，故①正确； ②时，，则四边形是平行四边形，故②正确； ③时，， ， ， 四边形是平行四边形，故③正确； ④时，则四边形是平行四边形或等腰梯形，故④错误， 故答案为：①②③． 1．（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用平行四边形的判定与性质．根据可得，利用平行四边形的判定可知，如，则四边形是平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， A．如， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴A选项不符合题意， B．如添加，无法证明四边形是平行四边形， ∴B选项不符合题意， C.如， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴C选项不符合题意， D．如， 则， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴D选项不符合题意， 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是________（填写序号）． 【答案】②（或③，或④） 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． 若添加条件①，无法证明四边形是平行四边形．若添加条件②，连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得，得到，，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；若添加条件④，可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证． 【详解】解：若添加条件①，无法证明四边形是平行四边形． 若添加条件②，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件③，可得四边形是平行四边形． 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件④，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，添加的条件可以是②或③或④． 故答案为：②（或③，或④） 3．（24-25八年级下·河南·期末）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 【答案】(1)，答案不唯一 (2)见解析 【分析】（1）从对角线的角度思考，添加条件即可； （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：从对角线的角度思考，可以添加， 故答案为：．不唯一 （2）证明：∵的对角线与相交于点O，     ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【经典例题六 数图形中平行四边形的个数】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】首先根据已知条件找出图中的平行线，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， , ， 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可得图中平行四边形有：, 共6个． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 【答案】3 【详解】解：∵和都可以由平移得到， ∴，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 2．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 【答案】 3 9 【分析】本题考查了平行四边形的判定与有序计数．掌握“两组对边分别平行”的判定定理，并能有条理、不重不漏地识别图形中的所有平行四边形是解题的关键． 在已知平行四边形中，增加条件．利用平行四边形对边平行的性质，可推导出，由此，图形中被分割出的三个四边形、以及原四边形均满足两组对边分别平行，因此都是平行四边形，共有3个．在①的基础上，再作，此条件与原有平行关系结合，产生了更多平行线组，从而划分出更多小的平行四边形．计数时，需从不同大小、不同位置系统性地识别，包括由新交点G产生的小平行四边形（如）、原有的大平行四边形（如）以及新组合成的平行四边形（如）．通过有序枚举，共得到9个平行四边形． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴, ∴四边形、、均为平行四边形， 故图①中的平行四边形有3个． 设线段与线段交于点G， ∵， ∴， ∴四边形、、、、、、、、均为平行四边形， 故图②中的平行四边形有9个． 故答案为：3；9． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】(1)图见解析； (2)，，，，，． 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可； （2）根据图形平移的性质以及平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 【点睛】本题考查的是作图－平移变换，平行四边形的判定定理，熟知图形平移不变性的性质以及平行四边形的判定定理是解答此题的关键． 【经典例题七 证明四边形是平行四边形】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线，相交于点．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断. 【详解】解：A、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； B、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； C、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； D、，能判定这个四边形是平行四边形，符合题意. 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判断、解题的关键是根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，以的顶点为圆心，长为半径作弧，再以顶点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，．由此得到的四边形是__________，依据是______________． 【答案】 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，尺规作图的性质，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 根据尺规作图的结果，得到四边形两组对边分别相等，再依据平行四边形的判定定理得出结论． 【详解】解：以顶点为圆心， 的长度为半径作弧， 以顶点为圆心， 的长度为半径作弧， 两弧相交于点D，连接AD、CD； 此时的长度等于半径的长度，的长度等于半径的长度 即， ∵在四边形中，， ∴四边形是平行四边形． ∴依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 1．（2025·河北邢台·一模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，在四边形中，垂直平分，过点作，以为顶点，在的左侧作交于点． 求证：四边形是平行四边形． 证明：垂直平分， ，又， （①）， ， _____②______ ， 四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A．SAS， B．SSS， C．SAS， D．SSS， 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：垂直平分， ， 又， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 故选：B． 2．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=6厘米，AD=9厘米，P、Q分别从A、C同时出发，P以1厘米/秒的速度由A向D运动，Q以2厘米/秒的速度由C向B运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 【答案】2或3/3或2 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形ABQP是平行四边形；根据题意得：AP=tcm，CQ=2tcm，由AP=BQ得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线PQ将四边形ABCD截出另一个平行四边形DCQP， 根据题意，得AP=x厘米，CQ=2x厘米， 则PD=（9-x）厘米，由AP=BQ得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形ABQP是平行四边形， 根据题意，得AP=t厘米，CQ=2t厘米， 则BQ=（6-2t）厘米， ∵， ∴当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形， ∴t=6-2t， 解得t=2， 即经过2秒四边形ABQP为平行四边形； ②设经过x秒直线PQ将四边形ABCD截出另一个平行四边形DCQP， 根据题意，得AP=x厘米，CQ=2x厘米， 则PD=（9-x）厘米， ∵， ∴当CQ=PD时，四边形DCQP是平行四边形， ∴2x=9-x， 解得x=3． 综上，经过2秒或3秒直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 故答案为：2或3 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，使得，，分别以点B，D为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点C，连接，，四边形是平行四边形吗？请说明理由． 【答案】四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】根据题意可得，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，理由如下： ，，，， ，， ∴四边形是平行四边形． 【经典例题八 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【例1】（2025·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 【例2】（24-25八年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 1．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答． 【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即； 当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 2．（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定以及网格作图等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定进行画图即可； （2）根据平行四边形的判定进行画图即可； （3）根据平行四边形的判定进行画图即可． 【详解】（1）解：如图：平行四边形即为所求． （2）解：如图：平行四边形即为所求． （3）解：如图：平行四边形即为所求． 【经典例题九 全等三角形拼平行四边形问题】 【例1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 【例2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 1．（2025·河北·模拟预测）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可． 【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形； B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形； C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形． 故选：C 【点睛】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键． 2．（2025·青海·模拟预测）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 【答案】． 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 3．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【经典例题十 利用平行四边形的判定与性质求解】 【例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，通过中点坐标公式分三种情况讨论点的坐标：①以为对角线；②以为对角线；③以为对角线，计算出所有可能的点坐标后，对比选项即可确定不可能的坐标． 【详解】解：设，分三种情况讨论： ①当为平行四边形的对角线时， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴、的中点和、的中点重合． 、的中点为，、的中点为， 则，解得，即； ②当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； ③当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； 综上，点的坐标可能是、、，不可能是． 【例2】（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在梯形中，，则_____． 【答案】11 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．因为，所以四边形是平行四边形，则，由，，得，所以，推导出，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（2025八年级下·浙江·学业考试）如图 ，矩形 中，点 分别在 边上，，点 在 边上，连结 ． 若知道矩形 的面积，则一定能求出 （   ） A． 与 的面积之和 B． 与 的面积之和 C．四边形 与 的面积之和 D． 的面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质．设 ，，则，证明四边形是平行四边形，可得 ，再根据三角形的面积公式，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴可设 ，，则，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴  ， ∴ 与 的面积之和为 ； 与 的面积之和为 ； 四边形 与 的面积之和为 ； 的面积为 ； 故选：A． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为____． 【答案】4 【分析】本题考查平移的性质，线段的和与差，平行四边形的判定和性质． 由平移的性质，结合线段的和与差，可得，由平移的性质可得四边形为平行四边形，即可得的长． 【详解】解：由平移可得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由平移可得，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【经典例题十一 利用平行四边形性质和判定证明】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，要在平行四边形的边所在直线上找点，，使四边形为平行四边形，下面的两种方案中正确的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．两种都正确 D．两种都不正确 【答案】C 【分析】对于方案一，根据平行四边形的性质证明，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；对于方案二，通过证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】解：方案一：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 方案二：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，两个方案都正确． 【例2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是________． 【答案】4 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，，结合中点的性质得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得到四边形、四边形、四边形都是平行四边形，由此即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； 则图中平行四边形有个， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可知可证明四边形为平行四边形，可得到 【详解】解：由题意可知： 四边形为平行四边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质,解题的关键是证明四边形为平行四边形. 2．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在中，点E为边AD上一点，连结BE，将沿AE折叠，使点C的对称点落在BA的延长线的点G处，点D的对称点为点F．给出下列四个结论： ①四边形AEFG是平行四边形； ②； ③四边形AEFG的周长为； ④四边形AEFG的面积为四边形BCDE的面积的2倍与的面积差． 其中，以上结论正确的序号有_________． 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，平行四边形的判定和性质．②由折叠的性质得，根据得，由此可对结论②进行判断；①由折叠的性质得，，根据平行四边形性质得，，进而得，，由此得，，由此可对结论①正确；③由折叠的性质得，则，进而得四边形的周长为，由此可对结论③进行判断；④延长交于H，证明四边形是平行四边形，设，，由折叠性质得，则，，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：②由折叠的性质得：， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； 由折叠的性质得：，， 在平行四边形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论①正确； 由折叠的性质得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形的周长为：， 当时，四边形的周长为， 即四边形是菱形时，四边形的周长为， 故结论③不正确； 延长交于点H，如图所示： ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 设，， 由折叠性质得：， ∴，， ∴， ∴，故结论④正确， 综上所述：结论正确的序号有①②④． 故答案为：①②④． 3．（24-25八年级下·云南文山·期末）如图，在中，、分别是、的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的面积是7，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)28 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，可得，，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点E是中点， ． 又， ∴四边形是平行四边形． ，． 点是中点， ， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由（1）知四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ∴． ∴平行四边形的面积是28． 【经典例题十二 平行四边形性质和判定的应用】 【例1】（2025·浙江·一模）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 【例2】（24-25八年级下·广西南宁·期末）在四边形ABCD中，，，若，则______． 【答案】140° 【分析】根据ABCD，AB=CD，可得四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得答案． 【详解】解：∵ABCD，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ∵∠A=40°， ∴∠B=140°， 故答案为：140°． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是判定四边形ABCD为平行四边形． 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，是矩形内一点，设，，，的面积分别表示为，，，，要求出的值，只需知道（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积与平行四边形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，，作交于点，交于点，先证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，通过，，，，得到，同理可证，即，从而推出答案． 【详解】过点作，，作交于点，交于点，如图所示： 四边形是矩形 ，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形 ，， ， ， 即 同理可证 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·广东中山·期中）定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”． (1)当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为______度； (2)如图，在沙漏四边形中，对角线、相交于点O，满足，且，过点B、D分别作，，垂足为E、F，连接、，所得四边形也是沙漏四边形．若，求的长以及的面积． 【答案】(1)60 (2)， 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据沙漏四边形即平行四边形的特征得出，，，，在根据矩形的性质得出，得出为等边三角形，即可得出夹角的度数； （2）根据四边形ABCD是沙漏四边形，得，在证，根据，，得，利用四边形BEDF是沙漏四边形，得，利用勾股定理得出，根据三角形面积计算公式即可得出结论． 【详解】（1）四边形ABCD是沙漏四边形， ，，， 四边形ABCD是矩形， ， ， 为等边三角形， 故答案为：60． （2）， ， 四边形ABCD是沙漏四边形， ，，， ， ，， ，， ，，， ∵四边形BEDF是沙漏四边形， ， ， ， 在中， ， 【拓展训练一 平行四边形最值问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为，的中点，则长度的最大值为（    ）    A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】连接，根据中位线定理的判定和性质得到，推出当点与点重合时，的值最大，即最大，在中求出长即可得到答案． 【详解】如图，连接， ， ，当点与点重合时，的值最大，即最大， 在中， ， ， 的最大值，   ， 故选：A． 【点睛】本题考查中位线定理的判定和性质，勾股定理，得到当点与点重合时，的值最大，即最大是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·北京丰台·期末）在等边中，为边的中线，将此三角形沿剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形．如果，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查图形的拼接，平行四边形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 分三种情况作出图形，分别利用勾股定理计算出对角线的长度即可． 【详解】解：∵在等边中，为边的中线， ∴， ∴， 如图，有三种情况． 在图1中，对角线； 在图2中，过点作交的延长线于E， 在中，， ∴； 在图3中，过点B作交的延长线于F， 在中，， ∴， ∵， ∴对角线长度的最大值是， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连结，则的最小值为（    ）    A．22 B．24 C．25 D．26 【答案】D 【分析】连接，可证四边形是平行四边形，故；在的延长线上截取，连接，则；由即可求解． 【详解】解：如图，连接    在矩形中， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ 则 在的延长线上截取，连接 则 ∵ ∴ 连接，则 ∵ ∴的最小值为 故选：D 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用．正确作出辅助线是解题关键． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，线段与相交于点，，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】如图，沿方向平移得，连接，，作于点，可得四边形是平行四边形，，在中，可得的长度，根据勾股定理可得的长度，根据，可得的最小值为，即的最小值为，由此即可求解． 【详解】解：如图，沿方向平移得，连接，，作于点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴，， ∴， 在中，， 在中，，且， ∴的最小值为，即的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，图形平移的性质，两点之间线段最短，平行四边形的判定和性质等知识的综合，掌握合理构造辅助线，运用勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质； （1）先证明，结合，从而可得结论； （2）由勾股定理可求的长，由可证，可得，由，根据直角三角形直角边小于斜边（可取等）即可求解． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接，交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， 动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，， ∴的最大值为. 【拓展训练二 与平行四边形有关翻折问题】 【例1】（24-25八年级下·北京·期中）如图，将▱ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是（    ） A．AF＝EF B．AE＝AF C．AB＝EF D．FD＝EC 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质及折叠变换进行推理，可知A、C、D均成立，只有B不成立． 【详解】解：∵平行四边形ABCD沿AE翻折， ∴△ABE≌△AFE， ∴AB＝AF，BE＝EF，∠AEB＝∠AEF， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EAF， ∴∠AEF＝∠EAF， ∴AF＝EF，故选项A正确，不符合题意； ∴AF＝BE ∴四边形ABEF为平行四边形， ∴AB＝EF＝AF＝BE，故选项C正确，不符合题意， ∵AD＝BC， ∴AD−AF＝BC−BE，即FD＝EC，故选项D正确，不符合题意； 不能证明选项B，故选项B不一定成立，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形中的翻折问题，已知翻折就是图形全等，翻折是一种对称变换，它属于轴对称，解题的关键是掌握轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 【详解】解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 1．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，点E为边上一点，将沿直线翻折，点A落在点F处，则等于（     ） A． B． C． D．无法判断，与点E的位置有关 【答案】A 【分析】本题考查了翻折的性质，平行四边形的性质，过点作，则可得，则可得，即可解答，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：在中，， ， 如图，过点作， ，， ， ， 将沿直线翻折，点A落在点F处， ， ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在梯形中，，，．点在边上，将沿着翻折，点的对应点为点．如果，那么的长为______． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是关键．延长交于点G，证明四边形是平行四边形，得到，则，得到，得到，设则由折叠可知，勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点G， 在梯形中，，， ∴， ∵将沿着翻折，点B的对应点为点F． ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴， ∴， 设则 由折叠可知， 在中，， ∴， 解得 则， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山西太原·月考）问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）；（2）小虎的结论正确，见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据折叠的性质得到，再由平角的定义即可求解； （2）根据折叠的性质得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，即可证明； 【详解】（1）解：由折叠得： ∴故答案为： （2）小虎的结论正确，理由如下： ∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【拓展训练三 平行四边形性质和判定的综合应用】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，由，可得，，由直角三角形两锐角互余可得，． 本题主要考查了平行四边形的性质和直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 设，，则，判定四边形是平行四边形，得到．当时，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．当时，过点作于点，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．根据O，E两点的距离减小了，得到，求得，进而点C的竖直高度上升即可求解． 【详解】解：设，， 则，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 当时，如图， 则， 过点C作于点H， ∴，则， ∴在中，， ， ∵，， ∴． 当时，如图， 则， 过点作于点， ∴，则， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴． ∵O，E两点的距离减小了， 即， ∴， ∴， ∴点C的竖直高度上升． 故答案为： 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分． 连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 2．（24-25八年级下·福建龙岩·月考）如图，是边长为的等边三角形，P是内的任意一点，过点P作分别交于点E，F，作分别交于点G，H，作分别交于点M，N，则的值是________． 【答案】12 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．由等边三角形的性质可得，结合平行线的性质可得四边形都是平行四边形，均为等边三角形，根据等边三角形及平行线的性质可得，进而可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 同理是等边三角形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵是边长为6的等边三角形， ∴． ∴． 故答案为：12． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据路程=速度×时间，求解即可 ； （2）当时，过点A作于点F，则，，得到，根据题意，得，，构造等式求解即可； （3）当时，；当时，， 根据平行四边形的判定，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动， ∴； （2）解：当时，如图1，过点A作于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴当点P与点D重合时，， 故， 解得， ∴当点Q与点B重合时，， 故， 解得， ∴当时，； 当时，， ∵， ∴当时，A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， 当时，如图2，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 当时，如图3，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． A基础训练 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：A、由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； B、由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； C、，可能是等腰梯形，不能判定这个四边形是平行四边形； D、由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质及应用，熟练掌握垂线的性质是解题的关键，根据垂线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴线段的长度是直线a，b之间的距离， 故选：D． 3．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，平行四边形的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，对角线互相平分． 由平行四边形的周长为，可得，再由的周长为，可得，则，根据平行四边形对角线互相平分可得，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 4．（2025·安徽·模拟预测）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， ， 同理，且． ∴四边形是平行四边形， 则与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误． 选项D：长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 故选：． 5．（24-25八年级下·河北保定·期中）图是甲、乙两名同学的作业（题中为等腰三角形，） 甲： 1．过点A作．垂足为D； 2．延长到N，作的角平分线； 3．过点C作，垂足为E四边形为矩形． 乙： 1．过点A作．垂足为D； 2．以A为圆心，长为半径画弧；以B为圆心，长为半径画弧； 3．两弧交于上方一点E．连接；四边形为矩形． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定，角平分线的定义，平行四边形的判定，由甲同学的作业可知，，，得到平分，进而得到四个角都为直角，即可判断；由乙同学的作业可知，，得到四边形为平行四边形，又因为，即可判断，掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：由甲同学的作业可知，，， ∴平分， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 由乙同学的作业可知，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， 综上，甲、乙两位同学的作业都符合题意， 故选：A． B 提高训练 6．（25-26八年级下·全国·周测）在同一平面内，已知直线，，相互平行，直线与的距离为4，直线与的距离为6，那么直线与的距离为__________． 【答案】2或10 【分析】分类讨论：当直线在之间或直线不在之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解． 【详解】解：当直线在之间时， 是三条平行直线， 而与的距离为与的距离为 与的距离 当直线在之间时， 是三条平行直线， 而与的距离为与的距离为 与的距离 综上所述，与的距离为或. 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离．解决问题的关键是熟练掌握概念并注意分类讨论． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 【答案】 3 ，， 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握有两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定数出平行四边形的个数即可． 【详解】解：，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 则图中共有个平行四边形，它们分别是，，， 故答案为：；，，． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 9．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为．当_________ 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【答案】或5 【分析】此题考查了平行四边形的判定．分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，当时，以为顶点的四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案 【详解】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得： ，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点F在C的右侧时，根据题意得： ，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形 即， 解得：； 综上所述：当或时，以为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或5． 10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，对角线相交于点．点在上，，cm，，点是的中点，若点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点同时以2cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止坛动，当点运动________s时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】4或 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定．要使以点为顶点的四边形是平行四边形， 则，先表示出,则或，解出即可． 【详解】解：四边形是平行四边形 cm cm cm 是的中点 cm 要使以点为顶点的四边形是平行四边形 则 或 解得或． C 培优训练 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线间的距离，运用等积法求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以平行线与之间的距离为． 12．（2025·江苏宿迁·三模）如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 【答案】①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先证明，得到，，推出，添加①，得到，可证明四边形是平行四边形；添加③， 由，可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：点为的中点，， 在和中， ， ， ，， ， 添加①，理由如下， ， ， 四边形是平行四边形； 添加③，理由如下， ， 四边形是平行四边形． 13．（2026·江苏宿迁·三模）如图，已知在中，点E、F分别在边、上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得出，根据线段的和差关系得出，再证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，． ， ，即． 又， 四边形是平行四边形， ∴． 14．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）（1）如图1，在的网格中，的三个顶点都在格点上，请在图1中画出一个以为边的，顶点，在格点上且满足； （2）如图2，中，于点，若于点，请用无刻度的直尺在图2中作出符合题意的点．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了作图−应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质及判定定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行四边形的定义画出图形即可； （2）连接交于点，延长交于点，连接，延长交于点，连接交于点，点即为所求． 【详解】解：（1）如图1中，四边形即为所求； （2）如图2中，点即为所求． 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 15．（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上.在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹. (1)在图①中确定一个格点D，连接、，使四边形是平行四边形. (2)先在图②中的线段上确定一点E，使最短，再在图②中确定一点F，连接、，使四边形为平行四边形. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据正方形网格的特点和平行四边形的判定确定出点D位置即可； （2）根据正方形网格的特点可作出CE⊥AB，此时最短，然后作CD∥AB，再根据正方形网格的特点作出点F，可得BE＝CF，即此时四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：点D位置如图所示： （2）解：点E、F位置如图所示： 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及正方形网格的特点，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $