精品解析：湖北武汉市武昌区2025--2026学年下学期八年级数学素养调研

八年级数学素养调研 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 要使有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列出不等式求解即可． 【详解】解：要使有意义，需满足， 解不等式得． 2. 下列各式中属于最简二次根式的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，选项错误； B、是最简二次根式，选项正确； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，选项错误； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，选项错误． 3. 下列运算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可． 【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项计算正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键． 4. 已知三角形的三边长分别为a，b，c，则以下条件：①；②；③；④，，，其中能说明是直角三角形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和三角形三边关系，逐项判断是否为直角三角形即可． 【详解】解：①∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴是直角三角形； ②设， ∵， ∴， 解得，最大角， ∴不是直角三角形； ③设， ∵， ∴， 解得，最大角， ∴是直角三角形； ④∵， ∴，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能构成三角形， ∴不是直角三角形； 综上，能说明是直角三角形的共2个． 5. 四边形中，对角线相交于点O，下列不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法，结合平行线的性质和三角形全等的判定，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； B选项： ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，又，， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意. C选项： 当，时，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，不能判定四边形是平行四边形，本选项符合题意. D选项： ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由对角线互相平分的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，本选项不合题意． 6. 如图，四边形为菱形，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD， ∵AC＝8，DB＝6， ∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°， 由勾股定理得：AB＝， ∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×DH， ∴×8×6＝5×DH， ∴DH＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×DH是解此题的关键． 7. 如图，中，，分别是其角平分线和中线，过点B作于G，交于F，连接，则线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：中，， ∴， ∵平分， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 8. 如图，长方体的长为4cm，宽为4cm，高为3cm，cm，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点C，则需要爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 6cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面展开—最短路线问题，勾股定理，无理数的大小比较．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：按照正面和右面展开，如下， ∴， ∴； 按照上面和左面展开，如下， ∴， ∴； 按照正面和上面展开，如图3， ∴，， ∴ ∵， ∴需要爬行的最短距离是， 故选：C． 9. 如图，矩形ABCD的周长为1，连接矩形ABCD四条边中点得到四边形A1B1C1D1，再连接四边形A1B1C1D1四条边中点得到四边形A2B2C2D2，如此继续下去…，则四边形A10B10C10D10的周长为（ ） A. （）5 B. （）10 C. （）5 D. （）10 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形ABCD的周长，四边形A2B2C2D2的周长、四边形A4B4C4D4的周长，找到规律即可解题． 【详解】解：顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2， 连接AC，BD交于点O， ∵四边形A1B1C1D1是矩形ABCD的中点四边形， ∴A1B1的中点A2在AC上，A1D1的中点D2在BD上， ∴A2D2=AD， 同理A2B2=AB，B2C2=BC，C2D2=CD， ∴四边形A2B2C2D2的周长为四边形ABCD周长的一半，即为矩形ABCD周长的， 同理：四边形A4B4C4D4的周长为四边形A2B2C2D2周长的一半，即为矩形ABCD周长的， ……， ∴四边形A10B10C10D10周长为矩形ABCD周长的， 故选：A ． 【点睛】本题考查了中点四边形以及矩形的性质，找到连接矩形、菱形中点所得的中点四边形的周长为原四边形周长的一半是解题的关键． 10. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到面积为9的大正方形和面积为2的小正方形，连接，交于点P，交于点M，①，②；③，④，以上说法中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算，解决此题的关键是熟练地运用这些性质和读懂题目意思并把图形联系起来． 根据正方形的性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴， 由题意得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 故①正确； 由①得， ∴ = = ∵， ∴， 即 故②错误； 用x，y表示直角三角形的两条边()， ∵大正方形面积为9，小正方形面积为2， ∴，， ∴直角三角形的面积和为， 于是得到， 解得； 即，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴． 故④正确， 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． 12. 一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是_________边形． 【答案】四 【解析】 【分析】任何多边形的外角和都是，再结合多边形内角和公式，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 解得：， 故这个多边形是四边形． 13. 如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的周长为，则的周长是 _______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于周长的两倍． 【详解】解：∵点D、E、F分别是、、的中点， ∴，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 14. 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为___． 【答案】5 【解析】 【分析】设DE=x，则AE=8-x．先根据折叠的性质和平行线的性质，得∠EBD=∠CBD=∠EDB，则BE=DE=x，然后在直角三角形ABE中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设DE=x，则AE=8-x． 根据折叠的性质，得∠EBD=∠CBD． ∵AD∥BC， ∴∠CBD=∠ADB， ∴∠EBD=∠EDB， ∴BE=DE=x． 在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得 x2=（8-x）2+16， 解得x=5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中． 15. 如图，在四边形中ADBC，，，，点为上一点，，点从出发以的速度向运动，点从出发以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．当运动时间为秒时，以、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情形列出方程即可解决问题． 【详解】解：当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 则有，解得， 当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 则有，解得不合题意舍去， 综上所述，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 16. 如图，菱形中，，，点为上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形，，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】画出最大值和最小值时相应的图形，过点作于点，连接，过点作于点，根据证明，可证明再点的运动轨迹是，根据垂线段最短、等腰直角三角形、含角的直角三角形的性质及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，过点作交于点， ，， ，， 又， ， ， ， 点在直线上运动， 当时，有最小值，此时是等腰直角三角形； ，， ， ， ， ， 的最短距离为， 如图，当点移动到点时，最大， ，， 是等边三角形， ， 在等腰直角三角形中，， ， 的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形、等腰直角三角形的性质及含角的直角三角形的性质，画出相应的图形，确定点的运动轨迹是解决问题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由二次根式性质化简，再去括号，最后合并同类二次根式计算即可； （2）先由二次根式性质化简，再由二次根式乘除运算法则计算，最后分母有理化即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对二次根式进行化简，合并同类二次根式，再代入求值． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 19. 如图，在四边形中，，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可得，即；再利用勾股定理逆定理说明，即是等腰直角三角形，进而证明结论； （2）如图：作交延长线于E，即，易证可得，，即，再运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：作交延长线于E，即， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 20. 如图，在中，对角线与相交于点，点分别为的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当与满足条件_________时，四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：在中，， 点分别为的中点， ， 则， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到对角线互相平分，再由中点定义确定四边形的对角线互相平分即可得证； （2）由矩形对角线相等求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：若四边形是矩形，则， 由（1）知，， ， 则当与满足条件时，四边形是矩形． 21. 按要求仅用无刻度的直尺作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹． （1）如图1，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，以格点为顶点画一个，使其三边长分别为，，； （2）在中，点在边上，，平分交于点． ①在图2中，过点A画出的边上的高； ②在图3中，过点画出到的垂线段． 【答案】（1） 解：如图1中，即为所求作； （2） 解：①如图2中，线段即为所求作． ③如图3中，线段即为所求作． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的性质等知识． （1）利用勾股定理，数形结合的思想解决问题即可． （2）①连接交于G，线段即为所求作．②连接交于点O，连接，延长交于J，连接交于H，线段即为所求作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如： （1）模仿材料中的计算方法，化简___________；___________． （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）； （2）2024 （3）10 【解析】 【分析】（1）根据材料提示分别将分母有理化即可解答； （2）分别将第一个括号内的每一项分母有理化，即可化简得到，再根据平方差公式计算即可； （3）先根据完全平方公式把原式化为，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ． 23. 在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． （1）若为线段上一点． ①如图1，当点落在边上时，求的长； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系?请说明理由； （2）当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】（1）①4； ②，理由： 由题意可知，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵（翻折性质）， ∴， ∴； （2）5或或20或10 【解析】 【分析】（1）①利用折叠性质和勾股定理求，进而得；②通过平行线和折叠性质推导与的关系； （2）分直角情况，结合勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 解：①由题意可知，， 在中，，， 则 因为， 所以； ②略 【小问2详解】 第一种可能： 当点在上并且时： 即为直角三角形， 设，则， 由①， ∵， ∴ 解得，即， 第二种可能： 当点在上时： 折叠性质可知， ∴, ∴为直角三角形 ∵，, ∴ 设, ∵ ∴ 解得 第三种可能： 当点在延长线上时, 使为直角三角形，则点在延长线上， ∵，， ∴在中, 则， 由折叠性质得 设则 ∵在中 ∴ 解得，即 第四种可能： 当点在延长线上并且时，为直角三角形， 此时由折叠性质得 又∵ ∴四边形为正方形 ∴ 所以的长为5或或20或10． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、勾股定理、等腰三角形性质，运用分类讨论思想和方程思想解题，关键是利用折叠性质转化线段和角的关系，易错点是忽略点在射线上的不同位置导致漏解． 24. 平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点，EF⊥OP于M． （1）如图1，若点E与点A重合，点A坐标为（0，8），OF＝3，求P点坐标； （2）如图2，若点E与点A重合，且P为边BC的中点，求证：CM=2CP； （3）如图3，若点M为线段OP的中点，连接AB交EF于点N，连接NP，试探究线段OP与NP的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）证明：取的中点，连接交于，连接 ∵在正方形AOBC中，OA=BC=AC，且点P为BC中点 ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形 ∴ ∵EF⊥OP ∴ 又∵N为OA中点 ∴在Rt△AOM中，MN=AN 在Rt△AHN和Rt△MHN中，MN=AN，NH=NH ∴ ∴，为的垂直平分线 ∴ （3）， 证明：过点作交于点，交于点，连接 由题意可知四边形AHGC是矩形且四边形AOBC为正方形 ∴HG=AC=OA 在正方形AOBC中，∠OAB=45° ∴为等腰直角三角形 ∴， 由EF⊥OP于M且M为OP的中点 ∴MN垂直平分OP ∴ON=NP 在Rt△ONH和Rt△NPG中 ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴． 【解析】 【分析】（1）证明△OAF≌△BOP（ASA），得出OF=PB=3，则P点坐标可求出； （2）取的中点，连接交于，连接，利用，证得四边形为平行四边形，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得MN=AN，用HL定理证明，从而求得为的垂直平分线，使问题得解； （3）过点作交于点，交于点，连接，由矩形和正方形的性质求得为等腰直角三角形，从而求得，，利用垂直平分线的性质求得ON=NP，然后根据HL定理证得，然后利用全等三角形的性质求得，即为等腰直角三角形，从而使问题得解． 【详解】解：∵A（0，8）， ∴OA=8， ∵EF⊥OP于M， ∴∠OMF=90°， ∴∠MOF+∠OFM=90°， ∵∠OFM+∠OAF=90°， ∴∠MOF=∠OAF． ∵OA=OB，∠AOF=∠OBP， ∴△OAF≌△BOP（ASA）， ∴OF=PB=3， ∴P（8，3）； （2）略 （3）略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质等知识，解答时正确作出辅助线，证明三角形全等是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学素养调研 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 要使有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中属于最简二次根式的是（   ） A. B. C. D. 3. 下列运算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知三角形的三边长分别为a，b，c，则以下条件：①；②；③；④，，，其中能说明是直角三角形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 四边形中，对角线相交于点O，下列不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，四边形为菱形，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，分别是其角平分线和中线，过点B作于G，交于F，连接，则线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 如图，长方体的长为4cm，宽为4cm，高为3cm，cm，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点C，则需要爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 6cm 9. 如图，矩形ABCD的周长为1，连接矩形ABCD四条边中点得到四边形A1B1C1D1，再连接四边形A1B1C1D1四条边中点得到四边形A2B2C2D2，如此继续下去…，则四边形A10B10C10D10的周长为（ ） A. （）5 B. （）10 C. （）5 D. （）10 10. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到面积为9的大正方形和面积为2的小正方形，连接，交于点P，交于点M，①，②；③，④，以上说法中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算的结果是____________． 12. 一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是_________边形． 13. 如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的周长为，则的周长是 _______． 14. 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为___． 15. 如图，在四边形中ADBC，，，，点为上一点，，点从出发以的速度向运动，点从出发以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．当运动时间为秒时，以、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则的值是______． 16. 如图，菱形中，，，点为上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形，，则的取值范围是_______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在四边形中，，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 20. 如图，在中，对角线与相交于点，点分别为的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当与满足条件_________时，四边形是矩形． 21. 按要求仅用无刻度的直尺作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹． （1）如图1，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，以格点为顶点画一个，使其三边长分别为，，； （2）在中，点在边上，，平分交于点． ①在图2中，过点A画出的边上的高； ②在图3中，过点画出到的垂线段． 22. 阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如： （1）模仿材料中的计算方法，化简___________；___________． （2）计算：； （3）已知，求的值． 23. 在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． （1）若为线段上一点． ①如图1，当点落在边上时，求的长； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系?请说明理由； （2）当为直角三角形时，的长为 ． 24. 平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点，EF⊥OP于M． （1）如图1，若点E与点A重合，点A坐标为（0，8），OF＝3，求P点坐标； （2）如图2，若点E与点A重合，且P为边BC的中点，求证：CM=2CP； （3）如图3，若点M为线段OP的中点，连接AB交EF于点N，连接NP，试探究线段OP与NP的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $