广东省东莞市2026年高三年级四月综合测试（二模）数学试题

广东省东莞市2026年高三年级四月综合测试（二模）数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1. 复数的实部为（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 64 B. 56 C. 38 D. 8 4. 设为两个不同平面，为一条直线，则的充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知对于任意的，都有成立，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 6. 已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆的左、右焦点为为坐标原点，为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若恒成立，则（ ） A. 0 B. 1 C. e D. 3 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 若为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（ ） A. 的夹角为 B. C. D. 10. 某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直.在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（ ） A. B. C. D. 11. 若直线与曲线相交于不同两点，曲线在A，B点处的切线交于点，设AP的斜率为的斜率为，则（ ） A. 时， B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 已知抛物线的焦点为，点在上.若，则到轴的距离为__________. 13. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数：__________. ①；②任意，都有；③是偶函数. 14. 为响应“缤纷寒假，探索实践”活动，某同学计划去2个展馆类景点和4个公园类景点打卡，已知其每日随机选择一个景点打卡（不重复打卡），设为打卡完某一类所有景点需要的天数，则的概率为__________，的期望__________. 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15. 为探索“五育融合”育人项目，某市在中小学全面开展志愿服务实践课程，并建立了学生志愿服务日参与情况的常态化统计机制．下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与志愿服务的学生人数（单位：万人）. 月份编号 1 2 3 4 5 平均参与人数（单位：万人） 0.5 0.7 1 1.3 1.5 （1）已知与之间线性相关，求关于的经验回归方程，并预测第6个月的日平均参与志愿服务的学生人数； （2）假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万人）服从正态分布，并视（1）所求第6个月的日平均参与人数的预测值为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万人的天数是否不少于25天. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率 .②若，则 16. 如图，四棱锥中，底面，，. （1）求平面与平面所成角的余弦值； （2）已知，分别为线段，上的动点，是否存在这样的点，，使得，，，四点共面、且该平面与平面垂直？若存在，请确定点，的位置；若不存在，请说明理由. 17. 设a为非负实数，函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若恒成立，求的最小值. 18. 已知反比例函数的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线，将曲线绕原点顺时针旋转，得到曲线，设曲线的左顶点为. （1）求的坐标及曲线的标准方程； （2）若B，C为曲线右支上不同两点，为的垂心，为关于原点的对称点，证明： （i）点在曲线上； （ii）A，B，C，E四点共圆. 19. 进位制是人们为了计数和计算方便而约定的计数方式，通常“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；…；满几进一，就是几进制”.记十进制下的自然数在三进制下的表示为，则，其中，例如十进制数，所以19在三进制下可写为. （1）设正整数在三进制下的各位数字之和； （i）将满足的正整数从小到大排成一列，写出该列数的前四个数； （ii）证明：； （2）已知正整数，设正项数列的前项和为，且，，证明：（其中[x]表示不大于的最大整数）. 广东省东莞市2026年高三年级四月综合测试（二模）数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】（答案不唯一）如等 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 【15题答案】 【答案】（1），（万人） （2）该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天． 【16题答案】 【答案】（1） （2）存在，点位于线段上的中点、点位于线段上靠近点的三等分点． 【17题答案】 【答案】（1）减区间为，增区间为； （2）. 【18题答案】 【答案】（1）， （2） （i）方法一： 证明：因为曲线是曲线绕原点顺时针旋转得到，不妨设曲线上的点A，B，C分别对应曲线上的点，曲线的方程为，则的坐标为， 设点为的垂心，，且． 所以直线的斜率， 边的高所在的直线的方程为，① 同理：边的高所在的直线的方程为，② 因为垂心同时在上，联立①②，得，即. 所以的垂心在曲线上． 将曲线上的点绕原点顺时针旋转后得到曲线上对应的点分别为A，B，C，D， 则的垂心在曲线上. 方法二： 证明：因为B、C为曲线右支上不同的两点， 设，设的垂心为， 有，， 恒成立，① 恒成立，② ①式两边同时乘以，得， 又因为，所以有恒成立．③ 同理，②式两边同时乘以，化简可得恒成立，④ ③-④，得：恒成立，⑤ 因为为的垂心， 所以有恒成立．⑥ ⑤式两边同时乘以，得恒成立，⑦ ⑥式两边同时乘以，得恒成立⑧ ⑧-⑦，得恒成立， 当时，恒成立，即的垂心在曲线上. 当时，的垂心是双曲线的右顶点，综上的垂心总在曲线上. 方法三： 证明：因为B、C为曲线右支上不同的两点， 当BC的斜率不存在时，不妨设，则有， 所以BC边上的高所在的直线方程为，则与双曲线交于点， 下证为的垂心． 因为， 所以，所以， ，所以， 即为的垂心，所以垂心在曲线右支上． 当BC的斜率存在时，设直线BC的方程：， 联立，得， 所以有， 所以有， 则BC边上的高所在的直线方程为，交双曲线右支于点，交左支于点， 联立，可得， 所以有，即， 即 下证为的垂心. 因为， ， 所以③ 因为，代入③中，可得： 所以， 同理可得， 即为的垂心，因为所以垂心在曲线右支上. 综上所述：的垂心在曲线上. 方法四： 证明：因为B、C为曲线右支上不同的两点， 当BC的斜率不存在时，由双曲线的对称性不妨设， 所以BC边上的高所在的直线方程为， AC边上的高所在的直线方程为， 联立可得，，因为点在双曲线上，有，所以， 即垂心的坐标为，显然点在曲线右支上； 当或时，不妨设，则边AC的高所在的直线方程为， 边AB的高所在的直线方程为，联立可得， 因为，所以在曲线上． 当BC的斜率存在时，设，且， 设直线BC的方程：，联立，得， 所以有， 所以有， 所以AB边上的高所在的直线方程为，① AC边上的高所在的直线方程为，② 设垂心的坐标为，联立①、②， 得， 即垂心的横坐标 所以. 又因为垂心必然在BC边上的高所在的直线方程上， 所以，即有， 因为，所以，即垂心在曲线的右支上. 综上所述：的垂心在曲线上. （ii）方法一 证明：由（i）可知，曲线上的点A，B，C，D分别对应曲线上的点， 有的垂心在曲线上， 则关于原点的对称点也在曲线上. 由双曲线的对称性，不妨设点在直线的上方，在直线的下方， 因为，所以直线的斜率都存在． 即，， 当时，所以， ， 即有，所以． 所以四点共圆. 当时，，所以， 所以，所以 同理：可得，即，所以四点共圆. 将点绕原点顺时针旋转后得到对应的点分别为A，B，C，E， 则A，B，C，E四点共圆. 方法二 证明：由（i）可知，点D在双曲线右支上， 因为双曲线的图像关于原点中心对称，为关于原点的对称点， 所以点在双曲线的左支上. 当BC的斜率不存在时，不妨设，此时垂心的坐标为， 则关于原点的对称点与点重合. 因为存在外接圆，所以A，B，C，E四点共圆. 当BC的斜率存在时，设直线BC的方程为， 由双曲线的对称性，不妨设点在直线AC的上方，点在直线AC的下方， 则此时AB，AE，CE的斜率都存在， 设点，点， 因为点为垂心，且，所以，即， 又因为，即， 因为，所以， 因为，所以， 当时，此时有，即， 所以 则A，B，C，E四点共圆； 当时，即，此时有， ，则， 即，则A，B，C，E四点共圆. 综上所述：A，B，C，E四点共圆. 方法三 证明：由（i）可知，点D在双曲线右支上， 因为双曲线的图像关于原点中心对称，为关于原点的对称点， 所以点在双曲线的左支上． 当BC的斜率不存在时，不妨设，此时垂心的坐标为， 则关于原点的对称点与点重合. 因为存在外接圆，所以A，B，C，E四点共圆. 当BC的斜率存在时，设直线BC的方程为， 由双曲线的对称性，不妨设点在直线AC的上方，点在直线AC的下方， 则此时AB，AE，CE的斜率都存在，设点， 则， 因为， 则 因为， 代入得： 即 所以 当时，此时有，即， 所以，则A，B，C，E四点共圆； 当时，即，此时有， ，则， 即，则A，B，C，E四点共圆. 综上所述：A，B，C，E四点共圆. 【19题答案】 【答案】（1） （i）5、7、11、13； （ii）设，其中 则， 因为， 所以， 同理，， 所以，所以. （2） 因为，所以，即， 由数列为正项数列，则，所以. 又因为，则， 所以，所以 则，两式作差得， 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，可得. 方法一： 因为，设， 当时，； 当时，， 当时，， 所以，即 当时，； 当时，， 当时，， 所以， 即 同理可得， 当时，，所以 所以 ．证毕 方法二：上接， 对任意实数，记，其中 当时， 当时， 当时， 故对任意实数，恒有， 则. 代入，得， 取正整数满足，则，记， 则， 当，故，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $