陕西渭南市渭南高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

HN202604 北师大版 高一数学 注意事项: 1:答题前,务必将自己的个人信息填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的, 1.下列函数中,最大值是2的为 A.y=sinx B.y=tan 2x C.y=2cos 2x D.y=sin- 2.已知向量a=(1,-√5),则与a同方向的单位向量的坐标为 A.(-1,W5) 停-引 c(- 侵, 3.函数y=in(x-1)的图象可以由y=sinx的图象 A.向左平移1个单位长度得到 B.向右平移1个单位长度得到 C.向上平移1个单位长度得到 D.向下平移1个单位长度得到 4.如图,终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合用弧度制可表示为 759 40 A{|2km-号≤≤2m+kez B.{l2m-2晋≤≤2m+晋kez c{e2km-平≤≤2km+,keZ D.{2km+骨≤x≤2m+7ez 数学(北师大版) 第1页(共4 5.已知 ABC的三个顶点分别为A(0,0),B(2,1),C(1,3),则 ABC是 A.A=90 的直角三角形 B.B=90的直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 6在 ABC中,-}d,成=-寻成,N交AM于点P,设=A成,店=u成,则 A1= 1 3“=-2 BA=号,4=1 “=2 C.入= 1 =-2 D.A子=号 .已知函数)=s(ox+p)(u>0)在区间-晋,]上单调,且f哥】-1-》)=2,则 tan o= A.-3 B.-1 C.1 D.3 8.在 ABC中,BC=25,(2AB-AC) BC=0,且 ABC的面积为3√3,则AC= A.3 B.2√7 C.215 D.√57 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分, 9.下列结论正确的是 A.若a∥b,则a b= Ial 1b1 B.若a∥b,b∥c,则a∥c C.若(a+b) (a-b)=0,则1al=lb1 D.Ia+bl≤lal+lbl 10.已知函数f(x)=sinx与g(x)=sin wx(w>0)的图象的一个公共点的坐标为( ,0),则下 列说法正确的是 A.w为正整数 B.若w=3,则(e)的单澜递减区间为[君+2受+2](ez) C.若 =3,则g(x)的图象可由f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不 变)得到 D.若 =3,则f(x)与g(x)的图象在[0,2m]上共有7个公共点 1,在 ABC中,角A,B,C的对边分别为ab,c已知.C=40,c09A=多,D为BC的中点, 且AD=√65,则 A.a=10 B. ABC的外接圆半径为54 14 C. ABC的周长为28 D. ABC的内切圆半径为24 7 数学(北师大版)第2页(共4页) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.某款智能扫地机器人在墙角工作时,会启动“扇形深度清扫”模式:来回清扫一个以墙角为 圆心0.6m为半径、圆心角为写的扇形区域.该扇形区域的面积为 m2.(结果 保留 ) 13.若关于的方程咖2=m在x臣智]时恰有3个实根,(名<名<),则名+ 2x2+为3=】 14.如图,等边三角形ABC是由三个全等的三角形( ACD, CBF, BAE)与中间一个小等 边三角形DEF拼成的,且 ABC的面积是 DEF的面积的19倍,设A而=mA店+nA元,则 m-n= 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在平面直角坐标系中,角:与角B均以x轴的非负半轴为始边,且角:的终边与单位圆交 于点M号,-),角B的终边经过点N(-a,)(a>0). (1)求cos atan B的值; co+a (2)求 simz- l co8(2m-) 的值, sin'B+2sin Bcos B 16.(15分) 已知e1,e2为不共线的单位向量,a=入e1-e2,b=e1-2e2 (1)若入=2且a⊥b,求e1,2的夹角的余弦值; (2)若e1,e2的夹角为60 ,且1a-b1=√5,求实数入的值. 数学(北师大版)第3页(共4页) 17.(15分) 已知函数f(x)=sin(2mx+p)(0<p< ): (1)求f(x)的最小正周期; (2)若g(x)=对(x)为奇函数,求p的值; (3)若x)在区间0,)上有最小值,无最大值,求的取值范围, 18.(17分) sin B a-c 在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,inA+inC-6+e (1)求A. (2)已知AD平分∠BAC且交BC于点D,AD=2. (i)若sinB=2sinC,求a; ( )求 ABC周长的最小值, 19.(17分) 如图,圆0的半径为2,P,Q为圆0上两点、 (1)若coL0PQ=子,向量Pd+2P与aPi-P垂直,求实数a的值; (2)若过 OPQ的重心G的直线与边PQ,OP分别交于点M,N,且PM=入P,P成=uPd, 入,∈R,求入+4的最小值; (3)设1P1=x(x>0且为常数),若P⑦+mP可1(meR)的最小值为5,求x的值 数学(北师大版)第4页(共4页) HN202604 高一数学(北师大版)答案 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 1.答案C 命题透析本题考查三角函数的最值. 解析y=sinx和y=sin受的最大值都是1,y=an2x设有最大值,y=2eos2x的最大值为2. 2.答案D 命题透析本题考查单位向量的概念 解析由题可知lal=2,所以与a=(1,-√5)同方向的单位向量的坐标为 分- 3.答案B 命题透析本题考查三角函数图象的平移. 解析y=sinx的图象向右平移1个单位长度即可得到y=sin(x-l)的图象. 4.答案A 命题透析本题考查角度与弧度的互化, 解析先将角度转化为弧度。-40 =-号,75 =晋所以终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合用弧度制 可表示为+2km-号≤x≤2km+7keZ 5.答案B 命题透析本题考查向量的应用. 解析由题可知A店=(2,1),武=(-1,2),A心=(1,3),所以11=5,1B武1=5,1A心1=√0,且112+ IBC12=1A心1,所以 ABC是B=90 的直角三角形, 6.答案C 命题透析本题考查平面向量基本定理, 解析市=A=A(花+成)=(花-子心=[花-子(花-)]=(子应+花,成=u丽= (-恋)= (兮花-,由办+应=应,可得(子+列+(兮花-=应,则 子-u=1, 解得入=子山=之 +3= 一1一 7.答案A 命题透析本题考查三角函数的图象与性质, 解析由题可知(-)=-1()=1.设)的最小正周期为T,则T=2(+石)=2m,故w=1.所以 )=sim(爱+9)=1,解得p=-号+2km(ke2).所以am9=-5. 8.答案D 命题透析本题考查向量的数量积及解三角形, 解析延长AB到D,使得=2应.由(2应-心) B武=0,可知(-心) B武=0,即C.B武=0,所以 CD1CR,由 MBC的面积为3万,可知 BCD的面积为35,由于BC=25,所以? CD BC=7 2万CD= 35,解得0=3.由勾服定理可得BD=VI,所以A8=V在R BCD中,CD-器-2-2识,所 BD 21 以cosCBA=-2 .在 ABC中,.由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB BC cos∠CBA=21+12-2 √2I 25 -29) =57,所以AC=√57. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的 得0分. 9.答案ACD 命题透析本题考查共线向量的性质及向量的运算, 解析对于A,a b= lallbl,故A正确: 对于B,当b=0时,a∥c不一定成立.故B错误: 对于C,因为(a+b) (a-b)=a2-b2=lal2-1b12=0,所以1al=1b1,故C正确: 对于D,根据向量加法的三角形法则,可知la+b1≤Ial+Ib1成立,故D正确, 10.答案ABD 命题透析本题考查三角函数的图象与性质, 解析对于A,由g(x)=sin wx的图象经过点(T,0),可得Tw=km,k∈N ,即w=k,k∈N ,故A正确: 对于B.若w=3,则g)=m3,令受+2m≤x受+2m(e2).可得号+2学≤≤受+2(eZ,所 以()的单调递减区间为[吾+2约受+2当引水keZ),故B正确: 对于C,若w=3,则(x)=sin3x,(r)的图象可由八x)图象上所有点的横坐标变为原来的3(纵坐标不变) 得到,故C错误: 一2 对于D,当w=3时,在同一坐标系内作出八x)与g(x)在[0,2 ]上的大致图象,如图,可得共有7个公共点,故 D正确. sin 3a 11.答案AC 命题透析本题考查正弦定理、余弦定理的应用, 解析对于A,由应.A心=40,得becos LBAC=40,在 ABC中,由余弦定理可得d2=b+c2-2 bccos∠BAC,所以 b2+c2-2=80,因为D为BC的中点,∠ADB+∠ADC=180 ,所以cos∠ADB+cos∠ADC=0,由余弦定理可得 +65-e 4 +65-b2 4 =0,解得a=10,故A正确: 2 号 V质2 受 6而 对于B,设 M8cC的外接圆半径为R,由c∠BMC=号得血∠BMC:2号,由正弦定理得2R=C 9 22三解得R=的0严,故8错误: 214 9 .5 对于C,由cos∠BMC=号,bccos∠BAC=40,得bc=72,又6+c2=02+80=100+80=180,可得b+c=18.因此 ABC的周长为28,故C正确: 对于D, ABC的面积为7 C=8本,网长为28,设其内切圆半径为,则宁 28 r=8V年,解得 r=4平故D错误 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12答案012m(或) 命题透析本题考查扇形的面积, 解析该扇形区域的面积为S=宁 号 0.6=-0.12m(m)。 13.答案2 命题透析本题考查三角函数的图象与性质, 解析如图,作出函数y=如2在[晋]上的图象则+=受+与=受所以名+2+与=2m 一3一 鸟 分 入 4 x 12 2 3 14答案启 命题透析本题考查解三角形及向量的综合运用 解析设 DEF的面积为S,则 ABC的面积为19S ACD, BCP, ABB的面积均为19,-S=6S.设 3 AE=,DE=,y>0,则AD=-X由题可知∠DEF=60,则∠A88=120Sw=S=宁DE DE 血60=得0m60=宁45E血120-县(x-列@费得片-二刀解得=y或-3 (舍去)B=-y=2…子市=花=兮应+子应=号应+子(行花+子动=号应+号花+号戒. 则币=合+音衣m=合=告放m-a=号音-合 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查三角函数的定义及三角函数式的化简与求值 解析(1)因为角 的终边与单位圆交于点M(号,-号), 所以cosx= 4 5 (2分) 因为角B的终边经过点N(-a,a)(a>0), 所以amB=。=-1. (4分) 所以cotan B=号 (-1)=-号 5 (6分) (2)由题可知s如a=一号B= 2.=-2 (9分) sin( 所以 os(2r-ax)sin2B+2sin cosB =-sin cos'B cos a sin'B+2sin Bcos B 一4 .(-i 号( }+2 受 (-) 3-1 =-4 .a.ae。.......... (13分) 16.命题透析本题考查向量的运算. 解析(1)由题意知le,l=le2l=l.… (1分) 因为aLb,所以a…b=0,…(2分) 即(2e1-e2) (e1-2e2)=2le12-5e1 e2+2le22=4-5e1 e2=0, 4 所以1 2=5, (4分) 设 吗的夹角为(则m0=己治=号即6吗的夹角的余弦做为号 (6分) (2)a-b=( e1-e2)-(e1-2e2)=(入-1)e1+e2,… (8分) 因为la-b1=5,即[(A-1)e,+e2]2=3, 所以(入-1)21e,2+2(A-1)e1 e2+le212=3,…(10分) 又e1 e2=le,Ile2lcos60 = 1 ,*(12分 所以A2-A-2=0, 解得入=2或-1.… (15分) 17.命题透析本题考查三角函数的图象与性质. 解折(的最小正周期T-票=1. (3分) (2)因为y=x是奇函数,且g(x)=y(x)为奇函数, 所以八x)为偶函数,… (5分) 则p=受+km(kez), 又因为0<9<m,所以9=受 …t00…0040…t0…0…00… (8分) (3)当xe(0,号)时:2mx+pe(p.号+p) (10分) 因为0<<m,所以写+ee(写): (12分) 又八x)在(0,)上有最小值,无最大值, 一5一 会多 所以 3年2红+ n解得红<p<m, p < 6 2 3 0<p<r, 即p的取值范围为 5 1 6,m (15分) 18.命题透析本题考查解三角形. 解析(1)因为smB a-c sin A+sin Cb+c 所以由正弦定理,可得。本。=+即公+心-心=-c (2分) 由余孩定理,可得A流。心=提。-宁 1 2bc 2bc 义因为0 <A<180 ,所以A=120 . (5分) (2)(i)因为sinB=2sinC,所以由正弦定理,可得b=2c①. (6分) 因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD=60 由Soc=Sae+Soe,可得宁-inC=方e DinD+之b ADsinCAD. 即2csin1200=7 2 exsin60 +7 2xb sin60,即bc=2c+26@, 000000000044e。 (8分) 由①②可得c=3,b=6.…(9分) 由余弦定理,可得公=62+-2ecos120 =36+9-2x6 3 (-)=63, 解得a=3√7. (11分) (i)由(i)可得e=2c+26,即2+2=1, c 所以6+=(6+(各+2)-2+约+号+22√2x +4=8, 当且仅当b=c=4时等号成立,此时b+c取得最小值8.…(14分) 由余弦定理,可得a2=b2+c2-2 becos120 =(b+c)2-bc, 因为(6+e-c≥(6+e2_6+c_3b+c当且仅当6=c=4时等号成立. 4 4 所以≥3(b+e,即a≥6+以, 4 2 所以当b+c取得最小值8时,a取得最小值4√5. 所以 ABC周长的最小值为8+4V5. 一6 19.命题透析本题考查余弦定理、向量的线性运算与共线的条件及基本不等式. 解析设P与P⑦的夹角为Q. (1)在 0PQ中,0P=00=2,cos0=4 由余弦定理,可得0Q=0P2+PQ-20P PQ cos0. 即22=2+PQ2-2x2 PQ },解得PQ=1.… (2分) 所以7d.7=70171cs0=2x1x4=分 ………4……………… (3分) 若P+2P戒与aP心-P垂直,则(+2) (aPd-P)=0, 即aP亦+(2a-1)Pd.P-2P攻=0, 所以4a+7(2a-1)-2=0,解得a=之 (5分) (2)因为G为 oP0的重心,所以P=子 (P成+P=兮戒+兮Pd. 由=A向丽=u成,可得成=丽+成 … …(7分) 由于M.C,N三点共线,所以7+ +=1,即片+=3. ………… (9分) 由题可知0<A≤1,0<4≤1, 所以A+u=宁(a*+如)(分+)=2+片+)≥2+2√供 空)=子 当且仅当止=片即入=“=子时,等号成立。 入 所以入+“的最小值为手 (11分) (3)在 OP0中,由余弦定理,可得cm0=0PB02= 20P PQ 所以P0.P成=1P11P戒1cos9=号 …(13分) 因为1p0+mP1=√(P0+mP)2=√P心+2mP0.P+m2P衣=√4+mx2+m2x= √(m+)+4-军… …(15分) 所以当m=-之时,+mP1取得最小值√4- 所以√4-=5,解得=2 …(们7分)》 一7