第二十章勾股定理培优提升测试卷 2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（人教版）

第二十章勾股定理培优提升测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1．已知，直角三角形的两边长分别为和，则斜边长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】题目未说明已知边长哪条为斜边，需要分两种情况讨论计算． 【详解】解：直角三角形中斜边为最长边，分两种情况讨论： 情况1 若是斜边，则斜边长为； 情况2 若已知两边均为直角边， 根据勾股定理得， 综上斜边长为或， 故选：C． 2．下列三组数中，是勾股数的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，只需逐一验证各选项即可． 【详解】解：对选项A，∵，，， ∴A不是勾股数； 对选项B，∵，，， ∴B不是勾股数； 对选项C，∵，， ∴，且三个数均为正整数， ∴C是勾股数； 对选项D，∵，，， ∴D不是勾股数． 3．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B． C．8，12，13 D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴能构成直角三角形，故A不符合题意； ∵，∴能构成直角三角形，故B不符合题意； ∵，，，∴不能构成直角三角形，故C符合题意； ∵，∴能构成直角三角形，故D不符合题意． 4．如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使A的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的周长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】设交于，设交于，根据三角形内角和定理以及等腰三角形三线合一，可知，以及，然后利用30度所对的直角边等于斜边的一半，求得，从而得到和，利用，，求得，，接着利用勾股定理，求得，最后计算出重叠部分周长即可． 【详解】解：设交于，交于，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 同理可得到， ． 5．如图，长方形的边的长为2，边的长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ）． A．2.5 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由勾股定理计算出的长，再结合数轴即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是． 6．如图是一张的正方形网格（每个小正方形的边长都是1个单位长度），若要在格点上画出一些点，使得每两个点之间的距离都大于2个单位长度，则画出的点的个数最多有（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】  先确定每一行，每一列有8个格点，根据题意，则每一行，每一列最多画2个格点，再根据，对网格的格点进行错位间隔排布，即可解答． 【详解】解：如图所示，每一行，每一列有8个格点， 根据题意，则每一行，每一列最多画2个格点， ∵， ∴格点进行错位间隔排布，如下图， 则最多画出 13个点． 7．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 8．如图，，，，，，则的面积为（    ） A． B．45 C． D．18 【答案】C 【分析】勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再求面积即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴的面积为. 9．如图，在中，，，，将沿直线折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点E，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由折叠知：， 设，则， 在中，， ， 解得， 即的长为． 10．如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，进而判定①；根据勾股定理与等量代换可得②正确；根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③；再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 与不一定相等， 故不成立，故①错误； 由①中证明， ∴， 连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 设与的交点为， ∵，， ∴，， ∴， ∵, ∴，故③错误， ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．等腰直角三角形的一条直角边长为2，则它斜边上的高为______． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出等腰直角三角形的斜边长，再利用三角形面积公式，通过等面积法求解斜边上的高. 【详解】解：设该等腰直角三角形的斜边长为，斜边上的高为. 根据勾股定理，可得， 整理得， 因为三角形的边长为正数，因此， 根据三角形面积公式，三角形面积等于两直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上高乘积的一半， 因此可得， 化简得， 解得. 12．机械狗可用于开展水质监测工作，如图，机械狗从A点出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于受水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相差50米，机械狗实际行走的路程为130米，则的长为_______米． 【答案】 【分析】由题意可得：米，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：由题意可得：，为130米 在中，（米）． 13．如图，的顶点是正方形网格的格点，则点到的距离为_____． 【答案】 【详解】解：设点到的距离为， ∵，， ∴， ∴，即点到的距离为． 14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形，，，的面积之和为___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：最大的正方形的面积为， 根据题意，可得，，， 则， 正方形，，，的面积之和为． 15．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 【答案】231 【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 16．如图，中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，线段和最值问题，勾股定理及逆定理，熟练运用轴对称解决线段和最值问题是解题关键． 连接，设与交于点，设，由折叠的性质可得，，，，．由线段公理可得，当、、三点共线时， 周长最小，此时点与点重合．使用勾股定理的逆定理可判断出，则．使用勾股定理构造方程并求解出的值，进而求出的长． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，设， 由折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∴周长为， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即周长最小，此时点与点重合， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．如图，在中，，，是的垂直平分线，垂足为点E，交于点D，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，再结合三角形内角和定理求出，即可得证； （2）由角平分线的性质定理可得，由直角三角形的性质可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ， ， 平分． （2）解：平分，，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 设，则， 由勾股定理：， 解得， ． 18．在如图所示方格中，每个小方格的边长都为 (1)在图中画出，使得，顶点都在格点上． (2)求点到直线的距离． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）借助网格利用勾股定理画图； （2）利用等面积求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求；； （2）解：设点到直线的距离为， ， ． 19．如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直平分线的性质得到，结合已知条件，推出，由勾股定理的逆定理证明． （2）设，，利用垂直平分线性质和勾股定理建立方程，求出的值，进而求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的垂直平分线， ， 又， ， ， 在中，由勾股定理的逆定理得， ． （2）解：设，则， ， 由（1）知， 是直角三角形，， 在中，， ， ， 在中，， ， 解得（）， ． 20．如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 【答案】该车没有超速．理由见解析 【分析】过点作交于点，根据三线合一可求出的长，然后在中，利用勾股定理可求出的长，再在中，根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，从而可得的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】解：该车没有超速．理由如下： 如图，过点作交于点， 由题意可得，米，米， 米， 在中，（米）， 在中，， （米）， （米）， 米， 汽车经过区间用时秒， 该车的速度为（米/秒）， ， 该车没有超速． 21．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米100元．经测量，，，，．求购买运动型塑胶地板的费用． 【答案】元 【分析】先在中，利用勾股定理求出的长度；再根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形；然后分别计算和的面积，求和得到四边形的总面积；最后根据每平方米地板的价格，计算出总费用． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ， ∵运动型塑胶地板每平方米元， ∴购买运动型塑胶地板的费用为（元）， 答：购买运动型塑胶地板的费用为元． 22．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 23．出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． (1)由此得到等式________； (2)【探索研究】数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为、，斜边长为，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边、、的等式，整理后发现，，请说明此等式成立； 【推广应用】数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边、，斜边都存在的等量关系，利用此发现，解决下面问题： (3)如图3，是直角三角形，，大于，将绕点顺时针旋转得点的对应点为，点的对应点为，连接，若，，，，的面积为10，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）两种方法所表示的图形的面积相等即可得出答案； （2）利用两种方法分别用代数式表示图2的面积即可； （3）根据旋转的性质，勾股定理以及三角形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：图2中大正方形的边长为，因此大正方形的面积为， 拼成图2的五部分的面积和为， 所以有， 即， ； （3）解：是直角三角形， ， 由旋转可知，，， ， ， 即， ， ， 即， ， ， ， ． 24．爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点作于点于点，过点作于点， 是的角平分线，且， _________． ， ． (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：； (3)【直接应用】如图3所示，在中，平分交于点，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出． (4)【拓展应用】如图4所示，在中，，设，记的面积为，将先沿的平分线折叠，点刚好落在边上的点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分，记剩余部分的面积为，请猜测的值，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)见详解 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形面积公式分别得到，，再根据角平分线的性质得到，由此列式即可求解； （2）过点A作于点P，过点D作于点M，作延长线于点N ，，，由此列式求解即可； （3）根据题意得到，结合题意得到，，设，在中，根据勾股定理列式求解即可； （4）根据题意，运用勾股定理得到，且，结合（1）的计算得到，，，，则，分别算出，，，得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点， 是的角平分线，且， ∴，， ， ． （2）证明：如图所示，过点A作于点P，过点D作于点M，作延长线于点N ， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：在中，平分交于点， ∴， ∵，，则， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴； （4）解：在中，，平分，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵折叠，点刚好落在边上的点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章勾股定理培优提升测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1．已知，直角三角形的两边长分别为和，则斜边长为（    ） A． B． C．或 D． 2．下列三组数中，是勾股数的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B． C．8，12，13 D． 4．如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使A的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的周长为（   ） A． B． C． D．5 5．如图，长方形的边的长为2，边的长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ）． A．2.5 B． C．3 D． 6．如图是一张的正方形网格（每个小正方形的边长都是1个单位长度），若要在格点上画出一些点，使得每两个点之间的距离都大于2个单位长度，则画出的点的个数最多有（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 7．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，，，，，，则的面积为（    ） A． B．45 C． D．18 9．如图，在中，，，，将沿直线折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点E，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 10．如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．等腰直角三角形的一条直角边长为2，则它斜边上的高为______． 12．机械狗可用于开展水质监测工作，如图，机械狗从A点出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于受水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相差50米，机械狗实际行走的路程为130米，则的长为_______米． 13．如图，的顶点是正方形网格的格点，则点到的距离为_____． 14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形，，，的面积之和为___________． 15．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 16．如图，中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为__________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．如图，在中，，，是的垂直平分线，垂足为点E，交于点D，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 18．在如图所示方格中，每个小方格的边长都为 (1)在图中画出，使得，顶点都在格点上． (2)求点到直线的距离． 19．如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 21．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米100元．经测量，，，，．求购买运动型塑胶地板的费用． 22．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 23．出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． (1)由此得到等式________； (2)【探索研究】数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为、，斜边长为，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边、、的等式，整理后发现，，请说明此等式成立； 【推广应用】数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边、，斜边都存在的等量关系，利用此发现，解决下面问题： (3)如图3，是直角三角形，，大于，将绕点顺时针旋转得点的对应点为，点的对应点为，连接，若，，，，的面积为10，求的面积． 24．爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点作于点于点，过点作于点， 是的角平分线，且， _________． ， ． (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：； (3)【直接应用】如图3所示，在中，平分交于点，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出． (4)【拓展应用】如图4所示，在中，，设，记的面积为，将先沿的平分线折叠，点刚好落在边上的点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分，记剩余部分的面积为，请猜测的值，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $