期中重难点检测卷（提高卷）（考试范围：19～21章 二次根式+勾股定理+四边形）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

期中重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：19 ~ 21章（二次根式+勾股定理+四边形全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·山东聊城·开学考试）已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（    ） A．30 B． C． D． 【答案】B 【分析】先估算的大小，得到的范围，从而求出整数部分和小数部分，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴的整数部分，小数部分 ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·广西贵港·月考）下列三边的长能成为直角三角形三边的是（   ） A．3，4，5 B．5，11，13 C．6，9，10 D．3，3，5 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长（为最长边）满足，则该三角形为直角三角形，据此逐项判断即可． 【详解】对于A，最长边为，，符合直角三角形三边条件，故A符合题意； 对于B，最长边为，，不符合直角三角形三边条件，故B不符合题意； 对于C，最长边为，，不符合直角三角形三边条件，故C不符合题意； 对于D，最长边为，，不符合直角三角形三边条件，故D不符合题意． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角问题．熟练掌握正边形的每个内角的度数为，是解题的关键．根据正边形的每个内角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：设该正多边形的边数为， 由题意得， 解得， 故选：B． 4．（25-26八年级下·江西赣州·月考）代数式中的取值范围在数轴上表示如图所示，则的值为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据有意义得出，，再由数轴可得，即可得，即可求解． 【详解】解：根据有意义可得，解得， 根据有意义可得，解得， 由数轴可得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，求的值（    ） A．4 B．3 C．2 D．不确定 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 故选：A． 7．（25-26八年级下·江西上饶·月考）如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】解：如图所示，符合要求的点C的位置如图所示． 则符合要求的点C共有6个 8．（25-26八年级下·浙江金华·开学考试）如图是的方格（每个小方格的边长为 1 个单位长度），图中阴影部分是正方形，则此正方形的边长为（    ） A．5 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据每一个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，再根据勾股定理，列出算式，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 阴影正方形的边长是：． 9．（25-26八年级下·陕西安康·月考）我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则葛藤的最短长度是（   ） A．20尺 B．22尺 C．25尺 D．30尺 【答案】C 【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化为下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【详解】解：如图所示， 在如图所示的直角三角形中， ∵尺，（尺）， ∴（尺）， 即葛藤的最短长度是25尺． 10．（2026·安徽亳州·一模）如图，点D是的边的中点，按下列方法尺规作图：先以点D为角的顶点，以所在射线为角的一边，在的右侧作，然后在射线上截取，最后连接．根据以上条件和作法，下列判断不正确的是（   ） A．若，则四边形是菱形 B．若四边形是菱形，则是直角三角形 C．若，则四边形是矩形 D．若是直角三角形，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据作图过程，证明四边形是平行四边形，又因为点D是的边的中点，证明四边形是平行四边形，然后结合每个选项的条件进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点D是的边的中点， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故A选项正确，不符合题意； ∵四边形是菱形， ∴ ∵ ， ∴， ∴， 则是直角三角形, 故B选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故C选项正确，不符合题意； ∵是直角三角形， ∴当时， ∵ ∴ 此时， 则四边形不是正方形， 或当时， 此时， 则四边形不是正方形， 或当时， ∵， ∴， 但不一定相等， 则四边形不是正方形， 故D选项不正确，符合题意； 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026八年级下·北京西城·专题练习）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____________． 【答案】且 【分析】根据二次根式和分式的有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， 且， 解得且． 12．（25-26八年级下·云南大理·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是_____． 【答案】 【分析】勾股定理求出的长，即可得出结果. 【详解】解：由作图和勾股定理可知：， 故在数轴上点A表示的实数是. 13．（25-26八年级下·上海·月考）在中，已知的度数是的5倍，那么______度． 【答案】 【分析】由平行四边形得到，，则，结合已知条件得到,求出，即可求解和的度数． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的度数是的5倍， ∴, 解得， ∴． 14．（25-26九年级上·福建漳州·期末）某小区做园林规划设计时，将图纸上的一块长为，宽为的长方形的花坛改成等面积的圆形，则这个圆形花坛的半径是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算、长方形和圆的面积公式，解题的关键是根据面积相等建立方程求解半径． 先计算长方形的面积，再根据圆的面积公式列出方程，求解半径． 【详解】解：长方形的面积为 设圆的半径为，则圆的面积为， 由题意可知，即， ， ∴（半径为正数，舍去负根） 故答案为：． 15．（25-26八年级下·河南开封·月考）如图，这是由四个完全相同的直角三角形和中间的一个小正方形无缝拼成的一个大正方形，已知直角三角形中较长的直角边长为m，较短的直角边长为n，若大正方形的边长为17，小正方形的面积为49． （1）________； （2）________． 【答案】 7 23 【分析】（1）根据正方形的面积进行求解； （2）利用完全平方公式进行求解． 【详解】解：（1）根据题意得， ∵小正方形的面积为49， ∴小正方形的边长为7， ∴； （2）根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（2025九年级·辽宁沈阳·专题练习）如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，如此进行下去，得到四边形．有下列结论：①四边形是矩形；②四边形的周长是；③四边形是菱形；④四边形的面积为．其中正确的结论是_____．把所有正确结论的序号都填在横线处） 【答案】①②③ 【分析】根据三角形中位线定理以及矩形和菱形的判定定理可判断①②③结论；根据题意得出每得到一个新四边形，它的面积为原四边形面积的一半，可判断④结论． 【详解】解：顺次连接四边形各边中点，得到四边形， 由三角形中位线定理可知，，，，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形且相邻边长为、， ∴四边形的周长是， 故①②正确． 连接、 ∵四边形是矩形， ∴， 由三角形中位线定理可知，，， ， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形； 故③正确． 由题意可知，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，． ∴每得到一个新四边形，它的面积为原四边形面积的一半， ∴四边形的面积为，故④错误． 三、解答题（9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式， （2）解：原式， （3）解：原式， （4）解：原式． 18．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）在中，，、、的对边分别是a，b，c． (1)已知，，求b； (2)已知，，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键， （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 19．（2025·四川攀枝花·模拟预测）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形的内角和为540°． 【答案】答案见解析 【分析】 如下图，连接，，将五边形分成三个三角形，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】 解：连接，， 五边形的内角和等于，，的内角和的和， 五边形的内角和． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，并将五边形转化为三个三角形是解答此题的关键． 20．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）阅读理解材料．分母有理化，指的是将原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去，例如： ①； ②． 等运算都是分母有理化．根据上述材料， (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子、分母都乘，再进行计算即可； （2）分式的分子和分母都乘，再进行计算即可； （3）先分母有理化，再根据二次根式的加减进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 21．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端与墙角的距离为． (1)求梯子底端与墙角的距离； (2)如果梯子的顶端沿墙下滑至墙体处，当沿墙下滑距离为，那么梯子底端外移多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，已知梯子长和墙高，利用勾股定理直接计算梯子底端到墙角的距离； （2）先根据下滑距离求出的长度，再在中利用勾股定理求出的长度，最后用减去得到梯子底端外移的距离． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得 ， 所以． （2）解： 在中，根据勾股定理得 ， 所以， 所以． 所以梯子底端外移． 22．（25-26八年级上·山东济南·期中）【阅读材料】 如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”． 【材料应用】 如图，在中，，，． (1)____________； (2)求的面积； (3)过点作，垂足为，求线段的长． 【答案】(1)12 (2) (3)2 【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形的面积，勾股定理，也考查了阅读理解能力． （1）利用阅读材料，把数值代入公式中即可计算出的值； （2）根据海伦——秦九韶公式计算的面积； （3）利用面积法求的长，再根据勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：，，， ． 故答案为：12． （2），，， ． （3）， ． ． 在中，，， ． 23．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在平行四边形中，连接对角线． (1)按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴①______， ∴， 又∵的垂直平分线为直线， ∴，②______，， 在与中， ， ∴（④______） ∴⑤______， ∴， ∴四边形是菱形． 【答案】(1)图见解析 (2)；；；； 【分析】（1）按照垂直平分线的作图流程进行尺规作图即可； （2）由平行四边形的性质可得，由垂直平分线的性质可得，，，从而可证明，则，命题得证． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵的垂直平分线为直线， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 24．（2025·河南·模拟预测）数形结合，解答下列各题： (1)如图1，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个物流中心，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有________处． (2)如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线，相交于点E，连接，若，请求出的度数． (3)如图3，某市在文物发掘中需要对一直角区域（）内部进行围挡，直角区域内部有一棵电线杆（点P），工作人员经过测量得到点P到的距离为20米，点P到的距离为40米，为了保护电线杆及节约材料，设计要求围挡牌要经过电线杆位置（点P）并且所用材料最少，即围挡区域周长最小，请你根据以上信息直接写出符合设计的周长的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3)200 【分析】（1）根据角平分线的性质作图即可得出结果； （2）根据角平分线得出，确定，过点作交延长线于，作于，作于，再由角平分线的性质确定，结合角平分线求解即可； （3）设、、的角平分线交于点，作于，于，于．连接．设．得出，，，然后表示出的周长为，利用勾股定理及三角形三边关系即可求解． 【详解】（1）解：作直线、、所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点、、，内角平分线相交于点， 根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． （2）解：与的角平分线相交于点， ，， 由三角形的外角性质得，，， ， ， 整理得，， ， ， 过点作于，作于，作于， 平分， ． 平分， ． ． 是的平分线． ； （3）解：如图，设、、的角平分线交于点， 作于，于，于．连接，则四边形是矩形， ，， 设． 则，，， 的周长：， 矩形中，，， ，． ， ， ， ． ． 或（舍去）． 则，当且仅当、重合时取等号． 即的周长的最小值为200． 25．（2026·山西晋中·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中，分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答： (2)①求此时的值； ②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 【答案】(1)，见解析； (2)①； ②平移的距离是或． 【分析】根据矩形、正方形、菱形的性质，勾股定理解三角形，平移的性质求解即可，关键是进行分情况分析． （1）根据题意可知，由勾股定理得，结合，即可证得结论； （2）①根据题意得到，由勾股定理求得，结合可求得，进而求得，即可解答； ②分三种情况讨论：；；；分别利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ∵点G在边的延长线上， ， ，即． （2）解：①∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ， ，点G在边的延长线上， ， ； ②平移的距离是或． 如图1，若， ∴点在线段的垂直平分线上， 由①得， ∴； 若，连接，过点作于点M，过点作的延长线于点N，如图所示： ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 此时； 如图3，若，过点G作，过点作的延长线于点M， 根据题意得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：19 ~ 21章（二次根式+勾股定理+四边形全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·山东聊城·开学考试）已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（    ） A．30 B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西贵港·月考）下列三边的长能成为直角三角形三边的是（   ） A．3，4，5 B．5，11，13 C．6，9，10 D．3，3，5 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 4．（25-26八年级下·江西赣州·月考）代数式中的取值范围在数轴上表示如图所示，则的值为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 5．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，求的值（    ） A．4 B．3 C．2 D．不确定 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·江西上饶·月考）如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 8．（25-26八年级下·浙江金华·开学考试）如图是的方格（每个小方格的边长为 1 个单位长度），图中阴影部分是正方形，则此正方形的边长为（    ） A．5 B． C． D．3 9．（25-26八年级下·陕西安康·月考）我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则葛藤的最短长度是（   ） A．20尺 B．22尺 C．25尺 D．30尺 10．（2026·安徽亳州·一模）如图，点D是的边的中点，按下列方法尺规作图：先以点D为角的顶点，以所在射线为角的一边，在的右侧作，然后在射线上截取，最后连接．根据以上条件和作法，下列判断不正确的是（   ） A．若，则四边形是菱形 B．若四边形是菱形，则是直角三角形 C．若，则四边形是矩形 D．若是直角三角形，则四边形是正方形 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026八年级下·北京西城·专题练习）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____________． 12．（25-26八年级下·云南大理·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是_____． 13．（25-26八年级下·上海·月考）在中，已知的度数是的5倍，那么______度． 14．（25-26九年级上·福建漳州·期末）某小区做园林规划设计时，将图纸上的一块长为，宽为的长方形的花坛改成等面积的圆形，则这个圆形花坛的半径是_____． 15．（25-26八年级下·河南开封·月考）如图，这是由四个完全相同的直角三角形和中间的一个小正方形无缝拼成的一个大正方形，已知直角三角形中较长的直角边长为m，较短的直角边长为n，若大正方形的边长为17，小正方形的面积为49． （1）________； （2）________． 16．（2025九年级·辽宁沈阳·专题练习）如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，如此进行下去，得到四边形．有下列结论：①四边形是矩形；②四边形的周长是；③四边形是菱形；④四边形的面积为．其中正确的结论是_____．把所有正确结论的序号都填在横线处） 三、解答题（9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）在中，，、、的对边分别是a，b，c． (1)已知，，求b； (2)已知，，求c． 19．（2025·四川攀枝花·模拟预测）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形的内角和为540°． 20．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）阅读理解材料．分母有理化，指的是将原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去，例如： ①； ②． 等运算都是分母有理化．根据上述材料， (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 21．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端与墙角的距离为． (1)求梯子底端与墙角的距离； (2)如果梯子的顶端沿墙下滑至墙体处，当沿墙下滑距离为，那么梯子底端外移多少？ 22．（25-26八年级上·山东济南·期中）【阅读材料】 如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”． 【材料应用】 如图，在中，，，． (1)____________； (2)求的面积； (3)过点作，垂足为，求线段的长． 23．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在平行四边形中，连接对角线． (1)按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴①______， ∴， 又∵的垂直平分线为直线， ∴，②______，， 在与中， ， ∴（④______） ∴⑤______， ∴， ∴四边形是菱形． 24．（2025·河南·模拟预测）数形结合，解答下列各题： (1)如图1，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个物流中心，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有________处． (2)如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线，相交于点E，连接，若，请求出的度数． (3)如图3，某市在文物发掘中需要对一直角区域（）内部进行围挡，直角区域内部有一棵电线杆（点P），工作人员经过测量得到点P到的距离为20米，点P到的距离为40米，为了保护电线杆及节约材料，设计要求围挡牌要经过电线杆位置（点P）并且所用材料最少，即围挡区域周长最小，请你根据以上信息直接写出符合设计的周长的最小值． 25．（2026·山西晋中·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中，分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答： (2)①求此时的值； ②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $