第二十一章四边形培优提升测试卷 2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（人教版）

第二十一章 四边形培优提升测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1．在平行四边形中，若 则 的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形的对角线交于点O，若，，，则的周长为（   ） A．26 B．35 C．40 D．52 3．从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成13个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 4．如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，将菱形放置在平面直角坐标系中，对角线轴，且与对角线相交于点，则菱形的面积为（  ） A． B．30 C． D．15 6．中经过两条对角线的交点，分别交、于点、，在对角线上通过作图得到点、，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（    ） 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点、 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A．都为矩形 B．都为菱形 C．图1为平行四边形，图2、图3为矩形 D．图1为矩形，图2、图3为平行四边形 7．如图所示，已知四边形和均是正方形，其中，则度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，矩形沿着折叠，使点落在边上的点处．若，，则矩形的面积为（  ） A．4 B．6 C． D．8 9．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在网格的格点上，连接，．D，E分别为，的中点，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 10．如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边上．将矩形纸片沿直线折叠，使点B落在边上，记为点M，点C落在点N处，连接交于点P，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点M与点D重合时，；③面积的最小值是；④中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，四边形的对角线，交于点，，．当_____时，四边形是平行四边形． 12．如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为____________． 13．如图，在五边形中，，，，，是五边形的外角，则__________°． 14．如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，，过点O作，分别交于点E、F，则的长度为_____． 15．如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节间的距离，已知菱形的边长为，若间的距离调节到时，则这个活动衣帽架所围成的面积为___________． 16．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，，，，直线过点O，连接，交于点，连，的周长等于6，①；②；③；④．以上说法正确的为______（填序号）． 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 18．我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，求的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，，此时她发现成立．请你证明此结论． 19．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，交于点E． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形， ，， ∴①___________， 平分，平分， ，， ∴②___________， 又， ③___________， ， ∴④__________， ∴四边形为平行四边形． 20．如图，在矩形中，E是上一点，垂直平分，分别交、、于点P、O、Q，连接、，，； (1)求的长； (2)求四边形的面积． 21．如图，在四边形中，，、、分别是、、的中点，． (1)求证：是等腰三角形： (2)求的度数． 22．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作，且，连接、、，其中交于点F． (1)求证：四边形为矩形； (2)若菱形的边长为4，，求线段的长度． 23．小济、小源和洋洋在教材上发现一则关于数学折纸活动的材料，材料原文叙述如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： ①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． ②再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 观察所得到的，和，这三个角有什么关系？你能证明吗？ (1)小济猜想：．他的证明思路是：连接，利用轴对称性质得出是等边三角形，，从而证得猜想成立．请根据小济的思路完成下面的填空： 证明：连接， 四边形是矩形， __________． 首次对折纸片时，由轴对称性质知， 垂直平分②_________， ③_________． 再次折叠时，由轴对称性质可知， ④_________，⑤_________， ． 是等边三角形． ， ． ． (2)小源在该折纸活动基础上，进一步探索．如图2，她先对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段．已知，，直接写出线段的长_________． (3)【迁移探究】洋洋将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究（如图3），过程如下： 将正方形纸片按照“问题情境”的方式操作，并延长交于点Q，连接．当点N在上时，，正方形的边长为_________． 24．已知和是等腰直角三角形，． (1)如图1，若，在的内部，连接，若，求证：是等边三角形； (2)如图2，连接，，若是的中点，求证：； (3)若，将绕点转动，射线与射线相交于点，过点作于点，在和都是锐角的情况下，探究线段，，之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形培优提升测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1．在平行四边形中，若 则 的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行四边形对角相等的性质即可直接求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 2．如图，平行四边形的对角线交于点O，若，，，则的周长为（   ） A．26 B．35 C．40 D．52 【答案】B 【分析】根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 的周长为． 3．从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成13个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【分析】本题考查多边形对角线分多边形得到三角形的个数规律，从边形的一个顶点引出所有对角线，分得三角形的个数为，利用该规律列方程即可求解. 【详解】解：设这个多边形的边数为. 从边形的一个顶点引出所有对角线，将多边形分成三角形的个数为 ， 根据题意得 .解得 . 4．如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，无法判定这个四边形是平行四边形，符合题意； B、∵， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、，，对角线互相平分的四边形为平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； D、∵， ∴，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，不符合题意． 5．如图，将菱形放置在平面直角坐标系中，对角线轴，且与对角线相交于点，则菱形的面积为（  ） A． B．30 C． D．15 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可知对角线互相垂直平分，结合轴及点、分别在轴、轴上的位置，求出对角线和的长度，利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是菱形 ，， 轴 轴 点的坐标为，点在轴上，点在轴上 点的坐标为，点的坐标为 ， ， 菱形的面积． 6．中经过两条对角线的交点，分别交、于点、，在对角线上通过作图得到点、，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（    ） 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点、 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A．都为矩形 B．都为菱形 C．图1为平行四边形，图2、图3为矩形 D．图1为矩形，图2、图3为平行四边形 【答案】D 【分析】图1：连接、、、，证明，得到，然后推出，即可得到四边形为矩形； 图2：连接、，证明，得到，然后推出，即可得到四边形为平行四边形； 图3：连接、，证明，得到，然后证明，得到，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：图1：连接、、、，如图所示： 在中，对角线与交于， ，， ， 在和中， ， ， ， 以点为圆心，以为半径作弧，交于点， ，即， 四边形为矩形，即图1为矩形； 图2：连接、，如图所示： 在中，对角线与交于， ，， ， 在和中， ， ， ， 为，的中线， ， 四边形为平行四边形，即图2为平行四边形； 图3：连接、，如图所示： 同理得，， ， 为的角平分线， ∴ ，， ∴， 四边形为平行四边形，即图3为平行四边形． 综上所述，图1为矩形，图2、图3为平行四边形． 7．如图所示，已知四边形和均是正方形，其中，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得到，进而求出的度数，再根据四边形的内角和为和平角的性质得到，利用． 【详解】解：四边形和均是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 8．如图，矩形沿着折叠，使点落在边上的点处．若，，则矩形的面积为（  ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】由折叠得，，求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，即可求得长方形的面积． 【详解】解：∵折叠， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 9．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在网格的格点上，连接，．D，E分别为，的中点，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接 根据勾股定理得：， ∵D，E分别是，的中点， ． 10．如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边上．将矩形纸片沿直线折叠，使点B落在边上，记为点M，点C落在点N处，连接交于点P，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点M与点D重合时，；③面积的最小值是；④中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】证明，，可判断①；点M与点D重合时，设，则，在中，根据勾股定理可得，再根据勾股定理以及菱形的性质可得的长，可判断②；根据题意可得当经过点时，最短，此时四边形的面积最小，四边形为正方形，可判断③；无法判断和全等，故无法判断与相等，可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 有折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确； 点M与点D重合时，如图： 设，则， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∵，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图，当经过点时，最短，此时四边形的面积最小，四边形为正方形， 此时，故③正确； 在和中，， 根据题意找不到其他的条件相等，则无法判断和全等，故无法判断与相等，所以④错误； 故选：A 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，四边形的对角线，交于点，，．当_____时，四边形是平行四边形． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知对角线互相平分，根据平行四边形判定定理，需对角线也互相平分，从而计算的长度． 【详解】解：∵已知 ，即对角线被点平分． ∴要使四边形是平行四边形，对角线也必须被点平分，即 ∵，且 ∴ 当时，四边形是平行四边形． 故答案为：． 12．如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】12 【分析】利用矩形的性质和面积转化思想，通过证明三角形面积相等，将分散的阴影部分面积整合为一个规则图形的面积来计算． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则四边形、四边形、四边形和四边形都是矩形． ∴，，，，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和面积转化思想，解题关键是通过三角形面积相等的关系，将分散的阴影面积整合为可直接计算的矩形面积． 13．如图，在五边形中，，，，，是五边形的外角，则__________°． 【答案】/270度 【分析】根据，可先求出与的外角的度数，再用五边形的外角和减去前面求出的那个外角的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∴的邻补角， ∴． 14．如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，，过点O作，分别交于点E、F，则的长度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的定义，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作，连接，得证是等腰直角三角形，结合勾股定理得，，又因为平行四边形的性质以及，故是的垂直平分线，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作，连接，如图所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形， 则， ∴， 解得， 即， ∴， ∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 即， 在中，， ∴， 解得． 15．如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节间的距离，已知菱形的边长为，若间的距离调节到时，则这个活动衣帽架所围成的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三线合一、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 连接交于点F，由菱形的性质得，，因为，所以，根据勾股定理求得，则，然后根据这个活动衣帽架所围成的面积为求解即可． 【详解】解：连接交于点F，如图所示： ∵四边形是边长为的菱形， ∴， ∵木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，A，E间的距离为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这个活动衣帽架所围成的面积． 故答案为：． 16．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，，，，直线过点O，连接，交于点，连，的周长等于6，①；②；③；④．以上说法正确的为______（填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】由的周长等于，可得，即得到，根据等腰三角形三线合一得到，即可判断；过点作，交于，证明，得到，同理可得，，，再由三角形的面积即可判断；过点于，交于，可得，即可判断；过点作的延长线于点，由平行线可得，进而可得，得到，由勾股定理可得，设，则，在中，由勾股定理可得，求出进而可得的长，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵的周长等于， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 即， ∴，故正确； 过点作于M，交于， ∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴，故正确； 过点作于，交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 过点作的延长线于点，则， AI ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，故正确； ∴说法正确的有①②③④． 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了多边形的内角和公式和对角线公式熟记公式是解题的关键根据多边形的内角和公式．多边形的内角一定大于0度，小于度，据此求得m的值，继而根据对角线公式求出n的值，代入计算可得． 【详解】解∶设边形少加的度数为度．则 ， 即． ，， ， ． 边形的对角线条数为． ． 18．我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，求的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，，此时她发现成立．请你证明此结论． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据“等对角四边形”的定义可得，再由四边形内角和为360度可得答案； （2）连接，由等边对等角得到．则可证明，据此可得． 【详解】（1）解：∵四边形是“等对角四边形”，， ． ， ． （2）证明：如图，连接， ， ． ， ． ． 19．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，交于点E． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形， ，， ∴①___________， 平分，平分， ，， ∴②___________， 又， ③___________， ， ∴④__________， ∴四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）结合角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质填空即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：四边形为平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， 又， ， ， 四边形为平行四边形． 20．如图，在矩形中，E是上一点，垂直平分，分别交、、于点P、O、Q，连接、，，； (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得，再由勾股定理求出， 设，则，在中，，由此列方程求解即可； （2）先判定，即可得出，进而得到四边形是平行四边形，即可求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 21．如图，在四边形中，，、、分别是、、的中点，． (1)求证：是等腰三角形： (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形的中位线性质可得，，，，再利用等量代换和等腰三角形的判定可得结论； （2）利用平行线的性质和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，、、分别是、、的中点， 分别是与的中位线， ，，，， 是等腰三角形； （2）解：，， ， ． 22．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作，且，连接、、，其中交于点F． (1)求证：四边形为矩形； (2)若菱形的边长为4，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，即可证明是矩形； （2）根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：在菱形中，，，， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴在矩形中，， ∵在矩形中，， ∴在中，． 23．小济、小源和洋洋在教材上发现一则关于数学折纸活动的材料，材料原文叙述如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： ①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． ②再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 观察所得到的，和，这三个角有什么关系？你能证明吗？ (1)小济猜想：．他的证明思路是：连接，利用轴对称性质得出是等边三角形，，从而证得猜想成立．请根据小济的思路完成下面的填空： 证明：连接， 四边形是矩形， __________． 首次对折纸片时，由轴对称性质知， 垂直平分②_________， ③_________． 再次折叠时，由轴对称性质可知， ④_________，⑤_________， ． 是等边三角形． ， ． ． (2)小源在该折纸活动基础上，进一步探索．如图2，她先对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段．已知，，直接写出线段的长_________． (3)【迁移探究】洋洋将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究（如图3），过程如下： 将正方形纸片按照“问题情境”的方式操作，并延长交于点Q，连接．当点N在上时，，正方形的边长为_________． 【答案】(1)①；②；③；④；⑤． (2) (3) 【分析】（1）因为矩形的四个角都是直角，所以先确定的度数；因为首次对折是使与重合，折痕是的垂直平分线，所以得出垂直平分的线段，进而得到对应线段相等；因为再次折叠是轴对称变换，所以对应边和相等，对应角和相等，结合等边三角形判定定理完成填空． （2）先根据对折的轴对称性质确定相关线段的长度和角度，再利用勾股定理，结合折叠的性质建立关于的等式，求解的长度． （3）设正方形边长为未知数，利用折叠的轴对称性质得到相等的线段和角度，证明三角形全等，再结合勾股定理建立方程，求解正方形的边长． 【详解】（1）证明：连接， 四边形是矩形， ． 首次对折纸片时，由轴对称性质知， 垂直平分， ． 再次折叠时，由轴对称性质可知， ，， ． 是等边三角形． ， ． ． （2）解：∵， 由折叠的性质知，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得 故线段的长为． （3）解析：设正方形边长为， 由（1）结论得， ∵， ∴． ∴， ∵在中，， ∴​​， 解得或（舍去）． 24．已知和是等腰直角三角形，． (1)如图1，若，在的内部，连接，若，求证：是等边三角形； (2)如图2，连接，，若是的中点，求证：； (3)若，将绕点转动，射线与射线相交于点，过点作于点，在和都是锐角的情况下，探究线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由全等得到，利用角的差可得到，即可证明； （2）延长至点，使，连接，先证明四边形是平行四边形，再证明，推出，即可证明；（3），根据题意作出图形，过点作于点，先证明和，得到，，，再证明四边形是正方形，推出，最后根据，，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：如图所示，延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示，根据题意作图，过点作于点， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴线段，，之间的数量关系为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的性质，平行四边形和正方形的判定和性质，准确的构造辅助线和作图是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $