精品解析：湖南宁乡市2026年初中学业水平考试模拟卷 数学

宁乡市2026年初中学业水平考试模拟卷 数学 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 2. 蟠纹盛行于春秋晚期至战国，象征着生命和智慧．下列与蟠纹相关的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年2月10日，小行星飞掠地球时，与地球最近距离约为千米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在宁乡某中学第二届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：9，7，7，8，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（ ） A. 6 B. 8 C. 7 D. 9 6. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若反比例函数的图象经过点，则该函数图象还经过点（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________． 12. 不等式组的解集是_____________ 13. 若分式的值为0，则x的值为__________． 14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______.（结果保留） 15. 如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接，，，，则四边形的面积为_______． 16. 在数学游艺会上，小宁负责一个游戏项目，他准备了50张同样的卡片，上面分别写有．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下，按逆时针方向围成一圈，放置在桌上（如图），将这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．小宁依次将每张卡片与它逆时针方向每隔一张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是小宁抽取的五张卡片中按游戏规则得到的两张卡片上的数的和． 卡片组合 B，D C，E D，A E，B A，C 两数的和 75 70 65 59 77 则这五张卡片上数字最大的是_____________（填A，B，C，D，E） 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 我国生产的无人机畅销世界，在长沙某跨江大桥修建过程中，需要测量湘江某段河面宽度，工作人员操控无人机在P处测得M，N两处的俯角分别为，，测得无人机高于水平地面的高度为300米，且Q，M，N三点在同一条水平直线上，求这条河的宽度为多少米？（参考数据：，结果保留整数） 20. 第十五届全运会落幕，湖南接过会旗，全运会进入“湖南周期”，体育湘军在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮．学校体育组针对4类全运会湖南热门优势项目A，B，C，D，随机抽取部分学生调查统计，绘制成两幅不完整的统计图： 请根据图中信息，完成下列问题： （1）本次调查共抽取名学生；扇形统计图中C类项目所占圆心角为度； （2）补全条形统计图； （3）学校从关注热度较高的学生中选拔出4名“校园体育推广员”，其中3人关注A类项目，1人关注B类项目，现从这4人中随机选择2人在校体育节开幕式上分享运动心得，求恰好抽到关注A，B两类项目各1人的概率． 21. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，ABCD，点E是CD的中点． （1）求证：四边形ABCE是平行四边形． （2）若AC＝6，AD＝6，求四边形ABCE的面积． 22. 为满足学生的运动需求，充分发挥课间15分钟的价值，学校计划购置一批羽毛球拍和跳绳若干套．已知购买1副羽毛球拍和4根跳绳共需140元，购买2副羽毛球拍和3根跳绳共需205元． （1）求每副羽毛球拍、每根跳绳的单价； （2）商家活动：羽毛球拍打八折，跳绳不打折．根据学校需求，计划购买两种器材共60件，且羽毛球拍数量不少于跳绳数量的．应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 23. 如图，的三个顶点都在以为直径的半圆上，，连接并延长至点E，交于点F，且，连接． （1）求证：是该半圆的切线； （2）若，，求的长． 24. 在矩形中，E是边上一点（不与端点重合），以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． （1）如图1，当时，求的值； （2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接，当时，求的值； （3）如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D、G、F三点共线．若，，求的长． 25. 我们约定：如果一个函数的图象与轴交于点，我们就说该函数是“点函数”． 例如：函数与轴相交于点，我们就说函数是“点函数”．根据约定，解答下列问题： （1）判断下列函数是否一定是“点函数”（填“√”或“×”）． ① ；② ；③ ． （2）若一次函数（其中是自变量，是的函数）是“点函数”，求证：无论取何值，该函数的图象一定经过第三象限． （3）已知二次函数是“点函数”，该函数的图象与轴相交于点，两点，与轴相交于点，且，点是该函数图象在第一象限内的动点，线段与线段相交于点，当点运动时，若满足时，试求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁乡市2026年初中学业水平考试模拟卷 数学 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 2. 蟠纹盛行于春秋晚期至战国，象征着生命和智慧．下列与蟠纹相关的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形绕着某点旋转后，能与原来的图形完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 选项 B、该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 选项 C、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 选项 D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 3. 2026年2月10日，小行星飞掠地球时，与地球最近距离约为千米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为，其中，为整数，据此解答即可． 【详解】解：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A、，则选项A错误； 选项B、、不是同类二次根式，不能合并，则选项B错误； 选项C、，则选项C正确； 选项D、，则选项D错误． 5. 在宁乡某中学第二届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：9，7，7，8，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（ ） A. 6 B. 8 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数的概念，将数据按从小到大排序后，根据数据个数的奇偶性确定中间位置的数，得到中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大排列得： 6，7，7，7，8，9，9 则该组数据的中位数为． 6. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．首先根据矩形的对角线相等且互相平分可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 是的外角，， ∴， ∴． 故选：B． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，据此列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由于方程有两个不相等的实数根， 则判别式 解得：． 8. 若反比例函数的图象经过点，则该函数图象还经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 解得：， 则该反比例函数图象上的点满足， A选项：，不符合要求； B选项：，不符合要求； C选项：，不符合要求； D选项：，符合要求． 9. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求的度数，再利用平行线的性质得，最后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 12. 不等式组的解集是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】分别求解不等式组中两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分，即可得到该不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 因此，原不等式组的解集为． 13. 若分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可． 【详解】由x2-9=0，得 x=±3． 又∵x+3≠0， ∴x≠-3， 因此x=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键． 14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______.（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积. 根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得：这个圆锥的侧面积是； 故答案为：． 15. 如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接，，，，则四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的性质得到，，，接着利用勾股定理计算出的长，然后根据菱形的面积公式计算． 【详解】解：连接交于点，如图， 由作法， 四边形为菱形， ，，， 在中，， ， 四边形的面积． 故答案为：． 16. 在数学游艺会上，小宁负责一个游戏项目，他准备了50张同样的卡片，上面分别写有．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下，按逆时针方向围成一圈，放置在桌上（如图），将这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．小宁依次将每张卡片与它逆时针方向每隔一张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是小宁抽取的五张卡片中按游戏规则得到的两张卡片上的数的和． 卡片组合 B，D C，E D，A E，B A，C 两数的和 75 70 65 59 77 则这五张卡片上数字最大的是_____________（填A，B，C，D，E） 【答案】C 【解析】 【分析】设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为，由题意得到关于的方程组，求出，然后作差表示出即可得结论． 【详解】解：设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为， 则， 由①②③④⑤得， 则， ， ， ， ， ， ， 这五张卡片上数字最大的是C． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，结合进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式、单项式与多项式相乘的运算法则化简式子，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 我国生产的无人机畅销世界，在长沙某跨江大桥修建过程中，需要测量湘江某段河面宽度，工作人员操控无人机在P处测得M，N两处的俯角分别为，，测得无人机高于水平地面的高度为300米，且Q，M，N三点在同一条水平直线上，求这条河的宽度为多少米？（参考数据：，结果保留整数） 【答案】219米 【解析】 【分析】在和中，利用锐角三角函数，求出和的长，然后计算出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）． 答：这条河的宽度约为219米． 20. 第十五届全运会落幕，湖南接过会旗，全运会进入“湖南周期”，体育湘军在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮．学校体育组针对4类全运会湖南热门优势项目A，B，C，D，随机抽取部分学生调查统计，绘制成两幅不完整的统计图： 请根据图中信息，完成下列问题： （1）本次调查共抽取名学生；扇形统计图中C类项目所占圆心角为度； （2）补全条形统计图； （3）学校从关注热度较高的学生中选拔出4名“校园体育推广员”，其中3人关注A类项目，1人关注B类项目，现从这4人中随机选择2人在校体育节开幕式上分享运动心得，求恰好抽到关注A，B两类项目各1人的概率． 【答案】（1）200；36 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过D类的人数与占比求总人数，再由C类人数与总人数的比求圆心角； （2）计算B类人数后补全条形图； （3）画树状图列举所有可能结果，计算符合条件的概率． 【小问1详解】 解：本次调查抽取的学生人数为（人）； C类项目所占圆心角为． 【小问2详解】 解：B类项目的人数为（人）， 补全条形图为 【小问3详解】 解：画树状图如下， 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用两类项目各1人的结果有6种， 恰好抽到使用两类项目各1人的概率为． 21. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，ABCD，点E是CD的中点． （1）求证：四边形ABCE是平行四边形． （2）若AC＝6，AD＝6，求四边形ABCE的面积． 【答案】 （1）证明：， ， 点是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）18 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定定理得到，推出，于是得到结论； （2）根据勾股定理得到，求得，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）略 （2），，， ， ， ， ∴四边形ABCE的面积=． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理，平行四边形的面积的计算，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 22. 为满足学生的运动需求，充分发挥课间15分钟的价值，学校计划购置一批羽毛球拍和跳绳若干套．已知购买1副羽毛球拍和4根跳绳共需140元，购买2副羽毛球拍和3根跳绳共需205元． （1）求每副羽毛球拍、每根跳绳的单价； （2）商家活动：羽毛球拍打八折，跳绳不打折．根据学校需求，计划购买两种器材共60件，且羽毛球拍数量不少于跳绳数量的．应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）每副羽毛球拍单价为80元，每根跳绳单价为15元 （2）购买20副羽毛球拍，40根跳绳时总费用最少，最少费用为1880元 【解析】 【分析】（1）设每副羽毛球拍单价为元，每根跳绳单价为元，根据题干给出的两种购买总价列出二元一次方程组，求解得到单价； （2）设购买羽毛球拍副，总费用为元，根据优惠规则列出总费用的一次函数解析式，再结合数量限制得到自变量的取值范围，利用一次函数的增减性求出最小总费用和对应的购买方案． 【小问1详解】 解：设每副羽毛球拍单价为元，每根跳绳单价为元， 根据题意得 解得 答∶每副羽毛球拍单价为80元，每根跳绳单价为15元； 【小问2详解】 解：设购买羽毛球拍副，总费用为元，则购买跳绳根． 根据优惠规则可得 ∵羽毛球拍数量不少于跳绳数量的， ∴ 解得 随的增大而增大 当取最小值时，取得最小值，此时（元），（根） 答∶购买20副羽毛球拍，40根跳绳时总费用最少，最少费用是1880元． 23. 如图，的三个顶点都在以为直径的半圆上，，连接并延长至点E，交于点F，且，连接． （1）求证：是该半圆的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，利用等腰三角形的性质得到，进而得到，易证明，进而得到，从而得到，进而得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到，由（1）知，根据含角的直角三角形的性质求出、长，根据证明，进而得到，从而得到． 【小问1详解】 证明：是半圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， 是半圆的直径 是该半圆的切线； 【小问2详解】 解：在中，， ， 由（1）知，， ， 在中，， ， 在中，， 、， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定定理、圆周角定理、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 24. 在矩形中，E是边上一点（不与端点重合），以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． （1）如图1，当时，求的值； （2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接，当时，求的值； （3）如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D、G、F三点共线．若，，求的长． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）连接、，延长交于点，证明矩形和矩形是正方形，从而得出、、三点共线，再利用特殊角的正弦值求解即可； （2）连接、，利用特殊角的三角函数值得出，，从而证明，即可得解； （3）设，，利用矩形的性质求出，，证明，得出，，再结合求出的值，利用锐角三角函数，推出，利用对应边成比例求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接、，延长交于点， 当时，， ，， 矩形和矩形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ， 、是正方形和正方形的对角线， ， 、、三点共线， ， 在中，， ； 【小问2详解】 解：如图，连接、， 矩形和矩形， ，，，， ， ，， ， ， ， ，， ， 又， ， ； 【小问3详解】 解：，， ， 设，， 矩形和矩形， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， ，，，， ， ， ， ， ， ， ． 25. 我们约定：如果一个函数的图象与轴交于点，我们就说该函数是“点函数”． 例如：函数与轴相交于点，我们就说函数是“点函数”．根据约定，解答下列问题： （1）判断下列函数是否一定是“点函数”（填“√”或“×”）． ① ；② ；③ ． （2）若一次函数（其中是自变量，是的函数）是“点函数”，求证：无论取何值，该函数的图象一定经过第三象限． （3）已知二次函数是“点函数”，该函数的图象与轴相交于点，两点，与轴相交于点，且，点是该函数图象在第一象限内的动点，线段与线段相交于点，当点运动时，若满足时，试求点的坐标． 【答案】（1）√，×，× （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）先判断函数与轴交点坐标，进而由“点函数”定义判断即可； （2）由题意可知，整理得，进而得到无论取何值，该函数一定经过点，据此得证； （3）由题可得，再根据，以及可得点，，进而得出函数解析式为，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，先证，得到相关线段长度，设，则，由勾股定理列方程求解得到点的坐标，再求出直线解析式，最后联立二次函数解析式即可求出点坐标． 【小问1详解】 解：①图象与轴交于点， ∴是“点函数”； ②图象与轴交于点， ∴不是“点函数”； ③图象与轴无交点， ∴不是“点函数”； 【小问2详解】 证明：若一次函数（其中是自变量，是的函数）是“点函数”，则， 整理得， 令，即时，， ∴无论取何值，该函数一定经过点， ∵点在第三象限， ∴无论取何值，该函数的图象一定经过第三象限； 【小问3详解】 解：∵二次函数是“点函数”， ， ， ∵该函数的图象与轴相交于点，两点， 则， ∴，， ， ∴， ∴点，，， ， ∴函数解析式为， 连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，如图所示： 则， ， 又， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 在中，由勾股定理可得， 在等腰中，，则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是矩形， ，， 设，则， 在中，由勾股定理可得，则， ， 则 解得或， 又，即， ∴， ， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式， 得，解得 ∴直线的解析式为， 联立得， 消去得，则， 解得或， 则或， 点是该函数图象在第一象限内的动点， ∴点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $