精品解析：湖南省长沙市宁乡市2025年九年级第一次中考模拟数学试题

宁乡市2025年上学期学业水平模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点P表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键． 根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，从而求解． 【详解】解：根据题意可知点P表示的数为， 故选：A． 2. 中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值大于的数，理解表示方法 “一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 3. 篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体；画出从正面看这个印章的平面图形，进行作答即可． 【详解】解：这个组合体从正面看，得到的平面图形如图所示：    故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除，积的乘方，合并同类项．根据同底数幂的乘除法则，积的乘方法则，合并同类项法则求解即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 5. 在半径为的中，的圆心角所对的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了弧长计算公式，正确的代入数据并进行正确的计算是解题的关键．根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在半径为的中，的圆心角所对的弧长是： ， 故选：B． 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的 外角性质，平行线的性质，由已知得，即得，再根据平行线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵重力的方向竖直向下， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， 故选：． 7. 已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（ ） A. B. 2 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了一元一次方程的解法．首先设方程的一根为，则另一根为，根据利用根与系数的关系求得值即可． 【详解】解：设方程的一根为，则另一根为， ， 解得：， 又， ， 解得：， 故选：C． 8. 如图，的半径与弦互相垂直平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，连接，可得，即得，进而由圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵的半径与弦互相垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 甲、乙两种物质的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，下列说法：①甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大；②当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度小；③当温度为时，甲、乙的溶解度都小于；④当温度为时，甲、乙的溶解度相同．其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据图中的函数关系，逐一判断即可解答． 【详解】解：根据图像，可得甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大，故①正确； 当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大，故②错误； 当温度为时，甲、乙的溶解度都小于，故③正确； 当温度为时，甲、乙的溶解度相同，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据图象得到信息，学会看图是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，点分别在边上，点在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，连接交于，可证，得，由勾股定理求得的长，求得的长，再根据，可得的长，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接交于，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在与中， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 即， 解得， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解决问题的关键．用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，平分，于点D，点E为射线上一动点，若，则的最小值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短，过O点作于F点，先根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短解决问题． 【详解】解：过O点作于F点，如图， ∵平分且， ∴， ∵点E为射线上一动点， ∴由垂线段最短可得的最小值为3. 故答案为：3. 13. 不等式组的解集是______________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：； 所以不等式组的解集为：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 14. 现有分别标有汉字“喜”“乐”“安”“宁”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，然后随机抽出一张，不放回，再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字恰好是“安”“宁”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比是解题关键．画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：“喜”“乐”“安”“宁”的四张卡片分别用、、、表示， 画树状图如图所示： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的汉字恰好是“安”“宁”有2种， 两次抽出的卡片上的汉字恰好是“安”“宁”概率是， 故答案为：． 15. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数，）．若某乐器的弦长l为米，振动频率f为200赫兹，则k的值为___________． 【答案】160 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把，代入求解即可． 【详解】解：把，代入，得， 解得， 故答案为：160． 16. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数： ；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如： …，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，（m为偶数且），根据所给的二组数找规律可得结论． 【详解】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则另一条直角边 ，弦 ． 则弦为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质及立方根的定义分别计算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知得，再根据分式的性质和运算法则对代数式进行化简，最后把代入化简后的结果中即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图，作的角平分线与相交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）若（1）中，，求的度数． 【答案】（1） 如图即为所求作； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图——角平分线，三角形的内角和定理和外角性质，熟练掌握种基本作图是解题关键． （1）利用基本作图画出的平分线即可； （2）先根据三角形的内角和定理计算出，再根据角平分线的定义得到，然后根据三角形外角性质计算的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 平分， ， ． 20. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时， （1）求点与的水平距离的长； （2）求阴影的长．（结果都精确到米；参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，等腰三角形的判定，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）根据余弦的定义求解即可； （2）过A作于K，根据正弦的定义求出，再证明是矩形，可得，再证明是等腰三角形，可得，进而可求． 【小问1详解】 解：由题意知：，， ， 在中，米， 点与的水平距离的长为米； 【小问2详解】 解：过A作于K，则， 在中，米， 米， ， 四边形是矩形， 米，米， 由题意知：， ， 米， 米， 阴影的长为米． 21. 为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元． （1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】（1）种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元 （2）当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）购进件种农产品，则购进件种农产品，根据题意列出一元一次不等式组，求出，设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则，再由一次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元； 【小问2详解】 解：购进件种农产品，则购进件种农产品， 根据题意得：， 解得：． 设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则 ，即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，此时． 答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多． 22. 某校开学期间组织学生参加“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛，现从该校七、八年级中各选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生在组的分数为91，92，93，94 八年级20名学生在组的分数为90，93，93，93，94，94，94，94，94． 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 95 % 八年级 91 93 65% （1）填空：___________，___________，___________，并把条形统计图补充完整； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有学生1200人，八年级有学生1400人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人． 【答案】（1）92.5，94，60， 补全条形统计图如下： （2）八年级的学生成绩更好，理由如下：因为两个年级的平均数都是91，八年级学生的中位数和优秀率都高于七年级，所以八年级的学生成绩更好； （3）估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有1630人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可求出、的值，用七年级优秀的人数除以总人数即可得的值，用总人数减去其它组的人数求出组的人数即可补全条形统计图； （2）根据中位数和优秀率进行判断即可； （3）用样本的优秀率估计总体优秀率，再进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分，因此中位数， 八年级学生竞赛成绩的94出现的次数最多，故众数， ，即， 七年级组的人数为（人， 故答案为：92.5，94，60； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： （人， 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有1630人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数等知识，理解题意，把题目中提够的统计图和所列的表格结合起来，并结合提供的数据进行综合分析是解题关键． 23. 如图，为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接、． （1）若，求证：是的切线． （2）连接，若，，求的半径长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，解直角三角形的应用，掌握圆周角的相关性质是解题关键． （1）连接，根据圆周角定理，得到，则，即可证明结论； （2）由直径可得，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，从而得出，然后利用勾股定理求出，即可得到的半径长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径长为． 24. 【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 （1）【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； （2）【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． （3）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】（1）3 （2） 解：，证明如下： 如图3，在上取，连接、、、， 点M是中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，理解阿基米德折弦定理是解题关键． （1）根据阿基米德折弦定理求解即可； （2）在上取，连接、、、，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可得出结论； （3）先利用圆周角和勾股定理，求得，再分两种情况讨论：当点在上方时，过点作于点，连接、；②当点在下方时，过点作于点，结合上述结论分别求解即可． 【小问1详解】 解：由阿基米德折弦定理可知，， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是的直径， ， 的半径为10， ， ， 由勾股定理得：， ， ①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ； ②当点在下方时，如图，过点作于点， ，， ， ，即点是的中点， 由（2）可知，， ， 在中，， 综上可知，长为或． 25. 如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； （3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）或或 （3）定值 【解析】 【分析】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解； （2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，可得，由，可求解；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，，即可求解；③当为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标； （3）可设直线的解析式为，，，可求，再求直线的解析式为，从而可求，同理可求，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于两点， ， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：，， ； ②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ()， ， ， ， 解得：，， ； 如上图，根据对称性：， ③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为； 综上所述：的坐标为或或． 【小问3详解】 如图， 直线经过， 可设直线的解析式为， 、在抛物线上， 可设，， ，整理得：， ，， ， 当时，， ， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为， 当时，，解得：， ， ， 同理可求：， ； 当与对调位置后，同理可求； 故的定值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁乡市2025年上学期学业水平模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点P表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在半径为的中，的圆心角所对的弧长是（ ） A. B. C. D. 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（ ） A. B. 2 C. 5 D. 8. 如图，的半径与弦互相垂直平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两种物质的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，下列说法：①甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大；②当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度小；③当温度为时，甲、乙的溶解度都小于；④当温度为时，甲、乙的溶解度相同．其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②④ 10. 如图，在矩形中，，点分别在边上，点在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：____________． 12. 如图，平分，于点D，点E为射线上一动点，若，则的最小值为__________． 13. 不等式组的解集是______________． 14. 现有分别标有汉字“喜”“乐”“安”“宁”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，然后随机抽出一张，不放回，再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字恰好是“安”“宁”的概率是______． 15. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数，）．若某乐器的弦长l为米，振动频率f为200赫兹，则k的值为___________． 16. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数： ；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如： …，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是_____________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 已知，求代数式的值． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图，作的角平分线与相交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）若（1）中，，求的度数． 20. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时， （1）求点与的水平距离的长； （2）求阴影的长．（结果都精确到米；参考数据：，，） 21. 为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元． （1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 22. 某校开学期间组织学生参加“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛，现从该校七、八年级中各选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生在组的分数为91，92，93，94 八年级20名学生在组的分数为90，93，93，93，94，94，94，94，94． 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 95 % 八年级 91 93 65% （1）填空：___________，___________，___________，并把条形统计图补充完整； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有学生1200人，八年级有学生1400人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人． 23. 如图，为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接、． （1）若，求证：是的切线． （2）连接，若，，求的半径长． 24. 【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 （1）【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； （2）【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． （3）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 25. 如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； （3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $