期中培优：用基底表示向量、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

期中培优：用基底表示向量、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算复习讲义 期中培优：用基底表示向量、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算复习讲义 考点目录 用基底表示向量 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 考点一 用基底表示向量 【知识点解析】 一、解题原理 1. 平面向量基本定理：平面内任意两个不共线向量 可作为一组基底； 平面内任一向量，有且仅有唯一一组实数，使得： 1. 核心本质：将复杂向量拆解、转化为两个定基底的线性组合，实现向量标准化表达； 1. 依托向量线性运算法则（加减、数乘）、三角形法则、平行四边形法则完成转化。 二、解题思路 1. 确定基底：锁定题目给定的一组不共线向量； 1. 拆解目标向量：利用图形中点、中线、中位线、等分点，结合向量加减法则拆分； 1. 逐步代换：把未知向量通过平移、相反向量转化为基底向量； 1. 合并整理：统一写成「系数基底系数基底」标准形式； 1. 系数求解：若含参数，利用基底不共线⇔系数分别相等列方程求参。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·北京平谷·月考）在中，点满足．若，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·安徽安庆·月考）在中，是线段上的靠近的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·福建龙岩·期中）在梯形中，，，设（，），则____． 例4．（25-26高一下·山东枣庄·期中）在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 【变式训练】 变式1．（2026·辽宁沈阳·三模）在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·浙江·期中）在中，，记，，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·北京·月考）在中，已知是边上一点，且，设，则用表示___________． 变式4．（25-26高一下·广东揭阳·月考）如图，中，点是线段的中点，是线段上靠近的三等分点，设，，则______（用，表示）. 考点二 平面向量的数量积 【知识点解析】 一、 解题原理 考点 知识点 定义 （为与的夹角，夹角必须有公共起点） 计算 ①若已知、和，则直接用定义计算. ②若、和存在未知量，则需利用线性运算进行替换. ③建立平面直角坐标系，用坐标进行计算 性质 ①若，则. ②，即. 夹角问题 . 投影与投影向量 ①在上的投影为. ②在上的投影向量为. 锐角与钝角问题 ①若与所成之角为锐角，则且与不共线 ②若与所成之角为钝角，则且与不共线. 二、解题思路 1选公式列式 · 已知模与夹角：直接用定义式； · 已知坐标：用坐标数量积公式； · 向量线性组合：先展开再代入计算； 1. 夹角判定：找准两向量共起点夹角，避免用补角出错； 1. 常见求解方向 求数量积、求夹角、判断垂直、求模长、求投影； 1. 复杂结构：遇平方、多项式结构，先平方展开，利用转化求值。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·浙江温州·期中）若平面向量满足，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 例2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知向量与的夹角为，，，则的值为（    ） A． B． C． D．6 例3．（25-26高一下·上海闵行·期中）在中，，则__________. 例4．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知为单位向量，与的夹角是. 若，则在上的数量投影为__________. 例5．（25-26高一下·重庆綦江·期中）已知． (1)若的夹角为，求； (2)若，求与夹角的余弦值． 例6．（25-26高一下·河南郑州·期中）如图，在中，延长至点，使得，点在线段上，延长，交于点，且，记，． (1)请用表示向量； (2)若为的中点，求实数的值； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 例7．（25-26高一下·湖北武汉·期中）如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点. (1)若为中点，分别将和用和表示； (2)求的取值范围. 【变式训练】 变式1．（2026·山西吕梁·二模）若单位向量，满足，则（   ） A．2 B． C． D．1 变式2．（2026·安徽池州·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知向量，满足，，且，则与的夹角为______. 变式4．（25-26高三下·甘肃武威·月考）已知单位向量，满足，则______，向量在向量方向上的投影向量为______． 变式5．（25-26高一下·上海黄浦·期中）已知． (1)求与的夹角大小； (2)求在方向上的投影与数量投影． 变式6．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，． (1)求角的大小； (2)若为平面内一点，且满足，求的取值范围． 变式7．（25-26高一下·江苏南通·月考）在菱形中，，，，. (1)若，求的值； (2)求的值； (3)若在线段上的动点，问是否为定值?若是，求该定值；若不是，求的取值范围. 考点三 平面向量的坐标运算 【知识点解析】 一、 解题原理 1.建立平面直角坐标系后，向量完全代数化； 2.向量加减、数乘、数量积、模长、平行、垂直、夹角，全部可用坐标公式量化计算； 3.两点构成向量：终点坐标起点坐标，是坐标运算基础。 2、 解题思路 4.正确写坐标 若，则： 5.套用基础坐标公式 设 ① 加减： ② 数乘： ③ 数量积： ④ 模长： 1. 位置关系判定 平行： 垂直： 1. 万能转化：几何向量问题，优先建系写坐标，转化为纯代数计算，降低难度。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 例2．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知，则平面向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知向量，，若，则实数________． 例4．（25-26高一下·河北保定·期中）已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________. 例5．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知. (1)求； (2)求在方向上的投影向量（用坐标表示）. 例6．（25-26高一下·浙江台州·期中）已知平面向量，其中． (1)若为与方向相同的单位向量，求的坐标； (2)若且与垂直，求向量夹角的余弦值． 例7．（25-26高一下·江苏盐城·期中）已知向量，，且与的夹角为． (1)求； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·重庆·月考）已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·北京海淀·期中）若向量，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·山西晋中·模拟预测）已知向量与向量，满足，则________． 变式4．（25-26高一下·重庆·月考）已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 变式5．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知向量，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)若向量，求． 变式6．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知，是平面内两个不共线的向量，，，. (1)若A，C，D三点共线，求实数m的值； (2)若，，是钝角，求实数m的取值范围. 变式7．（25-26高一下·上海普陀·期中）已知，向量，. (1)若为锐角，求的取值范围； (2)若，且，求和在方向上的投影的坐标. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：用基底表示向量、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算复习讲义 期中培优：用基底表示向量、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算复习讲义 考点目录 用基底表示向量 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 考点一 用基底表示向量 【知识点解析】 一、解题原理 1. 平面向量基本定理：平面内任意两个不共线向量 可作为一组基底； 平面内任一向量，有且仅有唯一一组实数，使得： 1. 核心本质：将复杂向量拆解、转化为两个定基底的线性组合，实现向量标准化表达； 1. 依托向量线性运算法则（加减、数乘）、三角形法则、平行四边形法则完成转化。 二、解题思路 1. 确定基底：锁定题目给定的一组不共线向量； 1. 拆解目标向量：利用图形中点、中线、中位线、等分点，结合向量加减法则拆分； 1. 逐步代换：把未知向量通过平移、相反向量转化为基底向量； 1. 合并整理：统一写成「系数基底系数基底」标准形式； 1. 系数求解：若含参数，利用基底不共线⇔系数分别相等列方程求参。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·北京平谷·月考）在中，点满足．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 因为，，所以，. ， 所以，，所以. 例2．（25-26高一下·安徽安庆·月考）在中，是线段上的靠近的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法计算即可. 【详解】 由题意可知. 例3．（25-26高一下·福建龙岩·期中）在梯形中，，，设（，），则____． 【答案】/ 【详解】由于，故是的中点，故, 故 例4．（25-26高一下·山东枣庄·期中）在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意以为基底表示出，再根据三点共线，利用共线定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值为. 【详解】如下图所示：    因为，易知， 又，所以， 易知三点共线，利用共线定理可得， 又，， 所以； 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【变式训练】 变式1．（2026·辽宁沈阳·三模）在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 设，， 则. 代入，得. 又，所以，解得. 因此. 变式2．（25-26高一下·浙江·期中）在中，，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，记，， 所以，，， 所以，即. 变式3．（25-26高一下·北京·月考）在中，已知是边上一点，且，设，则用表示___________． 【答案】 【详解】由题意得. 变式4．（25-26高一下·广东揭阳·月考）如图，中，点是线段的中点，是线段上靠近的三等分点，设，，则______（用，表示）. 【答案】 【详解】由题意知：点是线段的中点，则， 是线段上靠近的三等分点，则, 所以. 考点二 平面向量的数量积 【知识点解析】 一、 解题原理 考点 知识点 定义 （为与的夹角，夹角必须有公共起点） 计算 ①若已知、和，则直接用定义计算. ②若、和存在未知量，则需利用线性运算进行替换. ③建立平面直角坐标系，用坐标进行计算 性质 ①若，则. ②，即. 夹角问题 . 投影与投影向量 ①在上的投影为. ②在上的投影向量为. 锐角与钝角问题 ①若与所成之角为锐角，则且与不共线 ②若与所成之角为钝角，则且与不共线. 二、解题思路 1选公式列式 · 已知模与夹角：直接用定义式； · 已知坐标：用坐标数量积公式； · 向量线性组合：先展开再代入计算； 1. 夹角判定：找准两向量共起点夹角，避免用补角出错； 1. 常见求解方向 求数量积、求夹角、判断垂直、求模长、求投影； 1. 复杂结构：遇平方、多项式结构，先平方展开，利用转化求值。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·浙江温州·期中）若平面向量满足，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，且， 所以 例2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知向量与的夹角为，，，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】由，则. 例3．（25-26高一下·上海闵行·期中）在中，，则__________. 【答案】36 【分析】根据平面向量数量积的定义即可求解． 【详解】在中,， 所以． 例4．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知为单位向量，与的夹角是. 若，则在上的数量投影为__________. 【答案】2 【详解】因为与的夹角是，所以在上的数量投影为. 例5．（25-26高一下·重庆綦江·期中）已知． (1)若的夹角为，求； (2)若，求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助数量积与模长的关系及数量积公式计算即可得； （2）借助平面向量垂直定义与平面向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）； （2）由，故， 即，则. 例6．（25-26高一下·河南郑州·期中）如图，在中，延长至点，使得，点在线段上，延长，交于点，且，记，． (1)请用表示向量； (2)若为的中点，求实数的值； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）利用向量的基本定理求解； （2）利用向量共线的推论求解； （3）利用向量的数量积求解. 【详解】（1）． （2）因为为的中点，由（1）知， 所以． 因为三点共线， 所以， 所以，解得，所以. （3）． 由（1）知，由（2）知，， 则， 所以， 所以，得， 所以． 例7．（25-26高一下·湖北武汉·期中）如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点. (1)若为中点，分别将和用和表示； (2)求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）直接根据平面向量的线性运算可求解，设，可得，再根据三点共线的推论可得，进而求解即可； （2）根据平面向量的数量积运算律可得，进而求解即可. 【详解】（1）由于为中点，，， 则， ， 设， 因为三点共线，则，即，则. （2）由（1）知，， 设，则，而， 则 ， 函数开口向下，对称轴为，又， 则时，取得最大值， 时，取得最小值， 所以的取值范围为. 【变式训练】 变式1．（2026·山西吕梁·二模）若单位向量，满足，则（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题意，， 因为，所以， 则，即， 所以. 变式2．（2026·安徽池州·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量在另一个向量上的投影向量公式求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以在上的投影向量为 变式3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知向量，满足，，且，则与的夹角为______. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 设与的夹角为，则， 又，，所以，解得， 因为，所以. 变式4．（25-26高三下·甘肃武威·月考）已知单位向量，满足，则______，向量在向量方向上的投影向量为______． 【答案】 / 【分析】①根据向量的数量积求出向量的模；②根据投影向量的公式计算即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以，向量在向量方向上的投影向量为． 变式5．（25-26高一下·上海黄浦·期中）已知． (1)求与的夹角大小； (2)求在方向上的投影与数量投影． 【答案】(1)； (2)投影为，数量投影为. 【分析】（1）根据数量积的运算律求得，然后根据夹角公式计算即可； （2）根据投影和数量投影的概念计算即可. 【详解】（1）由题可知， 所以， 则，， 又，所以夹角为. （2）在上的投影为. 在上的数量投影为. 变式6．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，． (1)求角的大小； (2)若为平面内一点，且满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，由，求得，结合向量的数量积的运算公式，得到，即可求解； （2）设，根据向量的运算法则，求得，再由，结合向量的三角不等式，即可求解. 【详解】（1）由，可得， 因为，所以， 则 ， 又因为，所以，可得， 因为，可得， 又因为，所以. （2）设，可得， 由（1）知，且， 可得， 所以， 又由，可得， 根据向量的三角不等式，可得， 可得， 即的取值范围. 变式7．（25-26高一下·江苏南通·月考）在菱形中，，，，. (1)若，求的值； (2)求的值； (3)若在线段上的动点，问是否为定值?若是，求该定值；若不是，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3)不是定值，取值范围为. 【分析】（1）以，为基底，利用向量线性运算表示，对比即可得出与的值； （2）利用数量积的定义结合第一问的结论可求的值； （3）以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据在线段上，可得，，结合坐标计算即可得出范围. 【详解】（1）因为，，所以, 又因为，所以，，所以； （2）因为，所以， 在菱形中，，所以，所以 （3）以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 由菱形边长为，，得，，，， 因为，易得，由可得， 在线段上，则 ，. ，，所以，又， 所以，又因为，所以. 故不是定值，取值范围为 . 考点三 平面向量的坐标运算 【知识点解析】 一、 解题原理 1.建立平面直角坐标系后，向量完全代数化； 2.向量加减、数乘、数量积、模长、平行、垂直、夹角，全部可用坐标公式量化计算； 3.两点构成向量：终点坐标起点坐标，是坐标运算基础。 2、 解题思路 4.正确写坐标 若，则： 5.套用基础坐标公式 设 ① 加减： ② 数乘： ③ 数量积： ④ 模长： 1. 位置关系判定 平行： 垂直： 1. 万能转化：几何向量问题，优先建系写坐标，转化为纯代数计算，降低难度。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，解得. 例2．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知，则平面向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 因为， 所以，所以， 所以，又，故平面向量与的夹角为. 例3．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知向量，，若，则实数________． 【答案】3 【分析】根据向量坐标运算和向量垂直的性质建立关于的方程，求解即可. 【详解】因为 ， ，且， 则， 所以，解得. 例4．（25-26高一下·河北保定·期中）已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由，得. 当时，有，解得，此时向量的夹角为， 所以实数的取值范围为. 例5．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知. (1)求； (2)求在方向上的投影向量（用坐标表示）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量加法的坐标运算，求出，根据模的坐标表示求出； （2）根据投影向量的定义可得. 【详解】（1）根据题意，，， ，     故.     （2）由，，得 ， ，     所以在方向上的投影向量为. 例6．（25-26高一下·浙江台州·期中）已知平面向量，其中． (1)若为与方向相同的单位向量，求的坐标； (2)若且与垂直，求向量夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的数乘及向量的模求解即可. （2）根据向量垂直及向量数量积运算律求出，结合向量夹角的求法求解即可. 【详解】（1）设 由得，解得 所以 （2）因为与垂直，所以 即， 又，，所以. 所以向量夹角的余弦值. 例7．（25-26高一下·江苏盐城·期中）已知向量，，且与的夹角为． (1)求； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量夹角的坐标形式可求的值； （2）数量积为正可求实数的取值范围． 【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为， 则，解得， （2）由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则， 解得，     且向量与不共线，则，即，     因此，实数的取值范围是 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·重庆·月考）已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，解得，即， 因为，， 所以在方向上的投影向量的坐标为. 变式2．（25-26高一下·北京海淀·期中）若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算计算判断平行与垂直； 【详解】对于A，， 因为不一定为，所以两向量不一定垂直，A错误； 对于B，因为， 不一定等于零，所以两向量不一定平行，B错误； 对于C，因为， ，所以，C正确； 对于D，因为， ，结果不一定为零，所以与不一定平行，D错误； 故选：C. 变式3．（2026·山西晋中·模拟预测）已知向量与向量，满足，则________． 【答案】 【分析】由平面向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由向量与向量， ，，解得，故，． 变式4．（25-26高一下·重庆·月考）已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【分析】根据向量在向量上的投影向量公式求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 变式5．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知向量，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)若向量，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量夹角的坐标公式计算即得； （2）先求出向量的坐标，再求其模即可. 【详解】（1）由，，可得， 且， 则； （2）因， 则. 变式6．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知，是平面内两个不共线的向量，，，. (1)若A，C，D三点共线，求实数m的值； (2)若，，是钝角，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）应用三点共线结合基底列式计算求解参数； （2）应用钝角得出向量数量积小于0及不共线计算求解参数. 【详解】（1），， 若A，C，D三点共线，即，共线， 即存在实数t使得成立， 即，即， 则，所以， （2）是钝角，则且与不共线， 又，，， 即，即， 又与不共线，即， 综上，且. 变式7．（25-26高一下·上海普陀·期中）已知，向量，. (1)若为锐角，求的取值范围； (2)若，且，求和在方向上的投影的坐标. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）由与的夹角为锐角，得到且与不共线，列出不等式组，即可求解； （2）由，根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求得，结合向量数量积坐标运算及投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 若与的夹角为锐角，则且与不共线， 则满足，解得且， 实数的取值范围为． （2）由，可得 因为，可得，解得或 又因为，所以，此时，可得且， 所以在方向上的投影向量. 2 学科网（北京）股份有限公司 $