6.3.1 平面向量基本定理-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

第三节平面向量基本定理及坐标表示 课时1平面向量基本定理 A级基础练 1.(多选)如图所示，设O是平行四边形AB 5.如图，在△ABC中，AQ-QC,A-}A, CD的两条对角线的交点，则下列可作为该 平面的一个基底的是 () BQ与CR相交于点I. (1)用AB和AC分别表示BQ和CR; (2)若Ai=AB+BQ=AC+CR,求实数 入和的值. A.(AD,AB) B.DA,BC) C.(CA,DC) D.OD,OB) 2.已知{e1,e2}是平面内的一个基底，则下列 选项中，不能作为基底的是 ( A.{2e1-e2,2e2-4e1} B.{e1+e2,e1-2ez} C.{e1-2e2,e1} D.{e1+e2,2e2+e1} 3.(多选)若e1,e2是平面a内两个不共线的向 量，则下列说法正确的是 () A.e1十e2(入，∈R)可以表示平面&内的 所有向量 B.对于平面a内的任一向量a,使a=e1十 e2的实数入，以有无数多对 C.若入141，入242均为实数，且向量入1e1十 1e2与入2e1十2e2共线，则有且只有一个 实数入，使入1e1十1e2=入(2e1十2e2) D.若存在实数入，4，使e1十e2=0,则入= =0 4.在平行四边形ABCD中，G为△ACD的重 心，AG=xAB+yAD,则3x+y=() A.9 B.2 c D.1 B级 综合练 1.已知e1,e2不共线，若{e1-2e2,e1十e2}是5.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD 平面内的一个基底，则 ( ⊥AB,CD=1,AD=2,AB=3,动点E,F分 A.A=司 BA≠号 别在线段BC和CD上，AE和BD交于点 M,且BE=ABC,DF=(1-A) c&=日 n≠吉 DC,a∈[0,1]. 2.(多选)在△ABC中，记AB=a,AC=b,点D (1)当AE·BC=0时，求入的值； 在直线BC上，且BD=3DC.若AD=ma+ （2)当X=号时，求治的值： b,则的值可能为 2 (3)求A正+A应的取值范围. A.-2 B.、1 c D.2 3.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别为 边AB,AD上的点，且AE=4AB,AC与 EF交于点P,若A户-AC,则点F为 A A.AD边的中点 B.AD边上靠近点D的三等分点 C.AD边上靠近点D的四等分点 D.AD边上靠近点D的五等分点 4.如图，在△ABC中，BD= 号BC,点E在线段AD上移 B D 动（不含端点）.若AE=入AB+4AC,则入 ,入2一2μ的最小值是 102b),故C正确；a-b在b上的投影向量为|a-b cose-b:b·合=a1日n治·合 ah.b=一b,故D错误. b12 3.AD设b与c的夹角为0，则b+c2=|b2+c2 +2b·c=20+2b·c=12,所以b·c=-4,所以 0s9=:日=-日义0≤C,所以9-经由 3 题意得a·b=2,a·c=4,则a+2b|=√a+2b) =2√7，|b-c|=√(b-c)'=√16入+8入+4，(a+ 2b)·(h-c)=4以+10，所以a+2b)·(h-xC) a+2b b-ic 27是可含解行=一是高= 4λ+10 4.解：(1)因为M为BC的中点， 所以Ai=子(A应+AC. 所以A脉=子（亦+衣+2A市·心）=子 (AB2+AC12+2ABIACI cos<AB,AC>). 又|A1=2,|AC1=6√2，∠BAC=45°， 所以=(4+72+2x2x6万×)=25， 所以AM=5. (2)因为N为AC的中，点，所以B亦=A市-A方= 号心-A成，又A成=子（市+AO, 所以Ai.B时=名(A+AC)·(}A心-A迹) 合号花-号术.防-)=合分×2-司 ×12-4)=13, 又B时1=兮AC-A=V18-12+4=而， 所以cos〈AM,B亦〉= AM.BN 13 AMB=5X√d =13√10 50 又∠MPN与AM,B市的夹角相等，所以cos ∠MPN=13D,即∠MPN的余弦值为13d 50 50 第三节平面向量基本定理及 坐标表示 课时1平面向量基本定理 A级基础练 1.ACB中DA与BC共线，D中OD与OB共线，A,C 中两向量不共线，故选AC. 2.A 8 因为2e2-4e1=-2(2e1-e2),所以2e1-e2和 A 2e2一4e1共线，不能作为基底. 设e1+e2=入(e1-2e2)=ae1-2e2,则 B 入=1， -2λ=1， 无解，故e1十e2和e1-2e2不共线， 能作为基底。 C 与B同理可得e,一2e2和e1不共线，e1十e2和 D 2e2十e1也不共线，均能作为基底. 自以上分析知选A. 3.AD由平面向量基本定理，可知A,D说法正确，B 说法错误.对于C,当入1=入2=41=42=0时，这样 的入有无数个，故C说法错误. 4.C通解如图，设AC与BD相交于点O,又G为 △ACD的重心，可得O为BD的中点，点G在OD 上，且DG=2G0,则AG=A0+O元=AO+3Oi= Aò+。BD=号(Ai+AD)+6(Ai-AB) }A成+号市.又AG=x店十yA市，则x=子y =号所以3x十y 5 G 0 B 秒解由题意知DG:GB=1:2,所以由分点恒等 式得花=号+号市，所以=子y=号，所以 3x+y-号 5.解：(1)B0-BA+AQ=-A+号AC 因为A庆=子A店，所以C成=C+A求=一AC+ }成 (2)Ai=A店+入BQ=A店+X(-A店+号AC) (1-A)Ai+AC,Ai=A心+μC京=AC+4 AC+子A)=号A店+1-)A元 1-A= 4 由平面向量基本定理，得 解得 =1 B级综合练 1D当(e,一2e2)∥(e1十e2)时，存在唯一实数t,使 得ae1十e2=t(e1-2e2),所以 入=t,。,解得入= 1=-2t, t=-7.因为e,-2e,e,十e,}是平面内的-个基 底，所以6-2e,e,十e不共线，所以≠- 2.BC如图1，当点D在线段BC上时，而AD=AB +B市=A店+BC=A店+(AC-AB)=A店 1 +A心-a+b,所以==日 以n三=3如图2，当点 4 D在线段BC的延长线上时，AD=AB+BD=AB 十2B心=A+2(AC-A)=-2A成+多A心 、1 2a+,则= 1 3 3 图1 图2 3.B设A庐=xAD(0<x≤1)，则A市=A京.因为 A症=号成，所以A店=是A应，所以A市=普A- 告+a)=(破+)-花+ 京.因为E,P,F三点共线，所以哥十=1，解 4 得x=号，所以A京=号市，所以点下为AD边上 靠近点D的三等分点.故选B. 4答案：2} 解析：因为在△ABC中，Bi=子BC,所以DC 2B市，则由分点位等式得市=异2A访+十2AC =子A店+A心.因为点E在线段AD上移动（不 含端点)，所以设AE=xAD(0<x<1),所以AE= 号A店+号AC.又A应=AA店+AC,所以A=号 2.x =则-=2-=（）-2× 82 号-音吉{女一》-子0<<.根括二次画敬 性质知，当=是时以一2取得最小值，为一 5.解：I)由题中条件，可得∠ABC=牙，BC=2E. 因为A它.BC=0,所以AE⊥BC,所以△ABE为等 腰直角三角形 又AB=3,所以E=ABms∠ABC=32,故X (2)AE-AB+BE-AB+ABC-AB+A(BA+AD +D心)=A苏-AA成+AA市+A店=(1-号) AB+入AD, 当=号时，A应=号店+号A心 设AM=xAE,DM=yDB, 尉Ai=号A+A市 AM-AD+DM-AD+DB-AD+(DA+ AB)=yAB+(1-)AD, 所以 1” (3)AF=AD+DF=AD+(1-)DC=AD+ 号 由2)得A应=A市+(1-号刘A店， 所以A+A店=(1+含)市+（号）A 因为AD⊥AB,所以AD·A店=0，则 A亦+=(1+合)A心+（号-） A=4(1+2)°+9（告-）=5x-6a+号 =a-》+8 又A[0,1小，所以当入=多时，+A取到 小住丸 10 当入=0时，+A取到展大值，为厚 =4红 2 所以正+到的取值范国是[，]