期中核心考点01：平面向量及其运算【9个基础题型+5个能力提升】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期中核心考点01：平面向量及其运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础过关题型】 【题型1：平面向量的概念辨析】 【练方法】 常考结论 1向量由大小和方向共同决定与起点无关 2零向量方向任意与任意向量平行不可作为除数 3单位向量模长为1方向由具体条件确定 4相等向量：模长相等且方向相同；相反向量：模长相等方向相反 5向量平行≠向量相等向量垂直需满足数量积为0 解题方法 逐条核对向量定义排除仅模相等或仅方向相同的干扰项 遇到零向量需单独验证避免遗漏特殊情况 【题型突破】 1．（2026·江苏·二模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】若，则存在非零实数，使得，利用向量的线性运算即可证明充分性，若，则存在实数，使得：，结合向量的运算即可证明必要性，从而判断选项. 【详解】若，则存在非零实数，使得， 此时：， 因为是非零向量，所以与是共线的，即：，所以充分性成立， 若，当时，； 当时，存在实数，使得： 整理得：， 所以，若，则，即； 若，则，与为非零向量矛盾， 因此，必要性成立; 综上“”是“”的充要条件. 2．（25-26高一下·上海·期中）下列说法： ①加速度是向量； ②若向量且，则； ③若向量，则直线与直线平行； ④若向量，满足，且与同向，则； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量； ⑥若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点也相同； 其中错误的有（   ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】①加速度是有方向有大小的量，故①正确； ②若，则与不一定平行，②错误； ③若向量，则直线与直线平行或共线，③错误； ④两个向量不能比较大小，④错误； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量，⑤正确； ⑥方向相同，大小相等的两个向量为相等向量，表示它们的有向线段的起点可能不同，⑥错误； 所以其中错误的有4个. 3．（25-26高一下·江苏淮安·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】C 【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 4．（24-25高一下·山西·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】由向量既有大小又有方向判断选项A；由相等向量的定义判断选项B；分析当为零向量时的情况判断选项C；根据相等向量的传递性判断选项D. 【详解】向量不能比较大小，A错误； 表示向量大小相等，方向相同，所以，B正确； 若是零向量，零向量平行于任意向量，此时即使满足、，但和也可以不平行，C错误； 由得、与同向；由得、与同向，因此、与同向，即，D正确. 5．（25-26高一下·天津·期中）关于向量，下列说法正确的有（ ） A．温度、海拔、角度都是向量 B．零向量没有方向 C．若是等边三角形，则与的夹角为 D．若向量与共线，且，则 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量的概念，零向量的定义，以及向量的夹角，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，温度、海拔、角度只有大小没有方向，不是向量，故A错误； 对于B，零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，等边的角均为，则与的夹角为，故C正确； 对于D，向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，所以D错误. 【题型2：平面向量的共线】 【练方法】 常考结论 1向量（） 2坐标形式：，则 3三点共线判定：若则A BC三点共线 4向量共线的传递性：（） 解题方法 坐标形式优先：直接代入列方程 三点共线问题：利用向量线性表示，结合系数和为1判定 【题型突破】 6．（25-26高一下·天津·期中）已知为不共线向量，，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【详解】选项A：因为， 所以三点共线， 选项B：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，因为不共线，对应系数相等得：，方程组无解， 不存在这样的，因此与不共线，选项B错误； 选项C：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项C错误； 选项D： 若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项D错误. 7．（25-26高一下·四川·期中）已知不共线，且，，，则（ ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【分析】由两向量共线的充要条件逐一判断即可. 【详解】对于A，因为 所以， 所以、、三点共线，故A正确； 对于B，因为，， 所以不存在，使得， 所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在，使得， 所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在，使得， 所以A、C、D三点不共线，故D错误.. 8．（25-26高一下·河南濮阳·月考）已知单位向量与的夹角为，向量，． (1)若，求实数k的值； (2)若，与的夹角为钝角，求实数k的取值范围； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量共线定理列方程求解即可. （2）问题转化为且与不共线列式求值. 【详解】（1）因为，所以存在实数，使，即， 由题知，与为不共线的单位向量， 所以，解得. （2）当时，， 因为与的夹角为钝角，所以且与不共线， 所以，即， 解得， 由（1）知，所以的取值范围为. 9．（25-26高一下·重庆·月考）已知是两个不共线的向量，向量共线，则的值为______． 【答案】 【分析】利用平面向量共线定理建立等量关系，从而求出的值. 【详解】由向量共线，根据平面向量共线定理可得， 化简得：， 所以，解得， 因此. 10．（25-26高一下·江苏淮安·月考）已知向量，不共线，且，则实数（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由向量共线的充要条件，结合平面向量基本定理，列出等式求解即可. 【详解】因为，则存在实数，使得， 整理得：，因为向量，不共线，根据平面向量基本定理，得方程组： ，解得 【题型3：平面向量的线性运算】 【练方法】 常考结论 1向量加法：三角形法则平行四边形法则 2向量减法：三角形法则， 3数乘运算：；； 4中点公式： 5分点公式：若，则 解题方法 线性运算优先用基底表示利用三角形法则、平行四边形法则化简 坐标运算直接代入分量计算注意符号与运算顺序 【题型突破】 11．（25-26高一下·山东淄博·月考）已知为所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的几何性质结合向量的线性运算即可得解. 【详解】如图所示，作出符合题意的图形， 所以. 12．（25-26高一下·河北保定·月考）如图，中，点是线段的中点，是线段上靠近点的三等分点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助平面向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由是线段上靠近点的三等分点， 则， 由点是线段的中点，则， 故. 13．（25-26高一上·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 14．（2026·江苏镇江·模拟预测）在中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算求解即可. 【详解】设交于， 因为，，    所以，， 则, 故选：A 15．（25-26高一下·山东济南·期中）在中，，D是AC的中点，若，则的面积是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】先对的几何意义进行分析，表示方向上的单位向量与方向上的单位向量之和为倍的方向上的单位向量，从而得到，中线平分，进而得出为等腰直角三角形，，. 【详解】设，，，可得， 由于，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知，四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是菱形，平分，即平分; 又因为,所以，为直角三角形，, 所以为正方形，， 即，为直角三角形，又为的中线， 所以为等腰直角三角形，，. 【题型4：平面向量数量积求模长与夹角】 【练方法】 常考结论 1数量积定义：（为夹角，） 2模长公式：（坐标形式） 3夹角公式： 4垂直判定： 5平方展开： 解题方法 求模长：先平方再开方，利用转化为数量积计算 求夹角：直接套用夹角公式，注意夹角范围，避免出现钝角时符号错误 【题型突破】 16．（25-26高一下·湖北随州·月考）已知平面向量与夹角为，且对任意实数，的最小值为，则_____． 【答案】 【详解】因为， 所以当时，有最小值为， 即，解得. 17．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知平面向量满足与的夹角为，则的值为______． 【答案】 【详解】已知，与的夹角， ， ，，， 所以. 18．（25-26高一下·河南·期中）已知，为不共线的单位向量，，． (1)若且，求，的夹角的余弦值； (2)若，的夹角为，且，求实数的值． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用向量垂直的数量积为零，求出，的夹角的余弦值即可； （2）利用的模长，以及向量的夹角为列出关于的方程求解即可. 【详解】（1） 则 则 , 则 , 则 , 则 . （2）, , , , , , 解得： 当时，，成立， 当时， 成立， 或. 19．（25-26高一上·湖南株洲·期中）若两个非零向量，的夹角为，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求得，再求得. 【详解】因为两个非零向量，的夹角为，且满足，， 所以，解得， 因为，所以 20．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知平面向量所成的角为，且，则________ 【答案】1 【分析】由两边平方，根据数量积的运算律及定义，即可得解. 【详解】因为所成的角为，， 所以 ， 即，解得 【题型5：平面向量求数量积】 【练方法】 常考结论 1坐标形式：，则 2数量积性质：交换律；分配律 3若，则（同向取正，反向取负） 4数量积为0时，向量垂直（含零向量） 解题方法 坐标法优先：直接用分量计算 几何法：利用投影或基底分解，将向量转化为已知模长和夹角的向量再计算 【题型突破】 21．（25-26高一下·湖北·期中）如图，在半径为的圆中，有一条长度为2的弦，则（    ）    A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】A 【分析】取的中点，连接，则，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】取的中点，连接，则， 所以. 22．（25-26高一下·浙江衢州·期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算及数量积的运算律即可求解． 【详解】连接，取中点，连接，则且， 所以， 所以． 23．（25-26高一下·黑龙江辽宁·期中）已知四边形ABCD为平行四边形，，，，则等于（ ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用向量的线性运算及数量积的运算律，得，即可求解. 【详解】因为，则， 又，则，， 所以 ， 又，，所以. 24．（25-26高一下·福建厦门·月考）已知是圆的任意弦，若，则____________. 【答案】 【分析】作，垂足为，根据数量积的定义和三角函数定义求结论. 【详解】如图：作，垂足为， 则 25．（25-26高一下·黑龙江辽宁·期中）已知菱形 ABCD边长为， 则（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据向量的数量积的定义计算即可. 【详解】菱形边长为， 所以是等边三角形，所以 与的夹角为， 所以. 【题型6：平面向量基本定理求参数】 【练方法】 常考结论 1平面向量基本定理：若不共线，则存在唯一实数，使 2三点共线推论：若，且，则A BC三点共线 3基底不唯一，但表示系数唯一 解题方法 统一基底：将所有向量用同一组基底表示，再利用系数对应相等列方程 三点共线问题：直接利用系数和为1快速求解参数 【题型突破】 26．（25-26高一下·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在DN上，故存在实数，使得， 而，所以， 又已知，所以，解得． 27．（25-26高一下·河南·期中）在中，，，交于点，设，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算以及平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】如下图所示： 因为，，即， 故，所以， 又因为，即， 故， 因为、不共线，所以，解得. 28．（25-26高一下·湖南·期中）如图，在中，，，与相交于点，若（），则__________．    【答案】 【分析】设，，用分别表示，即可得到关于的方程组，进而根据与的关系，即可求得结果． 【详解】设，， 则， 设，， 则， 又不共线，故，解得，则． 29．（25-26高一下·山东·期中）在中，，是线段上的一点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设，再用基底表示，最后利用平面向量基本定理即可求解. 【详解】设， 由得， ， 又，则，， 解得，. 30．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用共线定理即可求出. 【详解】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 【题型7：平面向量共线及其推论】 【练方法】 常考结论 1共线向量定理：（） 2三点共线的向量表示：共线 3向量共线的坐标判定： 4平行四边形中，对边向量相等且共线，对角线向量和为0 解题方法 坐标形式：直接代入列方程 线性表示：利用共线向量定理，转化为参数方程求解 【题型突破】 31．（25-26高一下·安徽淮南·期中）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则 的最小值（ ） A． B．9 C．8 D． 【答案】C 【分析】由平面向量共线定理的推论得到，利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】解：因为是的中点，则，又，， 则，又三点共线，则， 所以，得到， ，又， 则当且仅当， 即时取等号，所以 32．（25-26高一下·上海·月考）已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据共线定理的推论得，然后利用常数代换法可得. 【详解】因为、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 33．（25-26高一下·广东茂名·月考）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为________ 【答案】 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则， 故，整理得， 结合同向和可得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 34．（24-25高一下·云南文山·期中）如图，在△ABC中，，E为AD的中点，过点E的直线分别与边AB、AC交于P、Q两点，且，，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由可得，根据三点共线向量性质可得，再结合均值不等式即可求出结果． 【详解】∵， ，∴， 又∵，， ∴， 又∵E，P，Q三点共线，∴， ， 当且仅当时取等号. 故选：A． 35．（25-26高二上·贵州遵义·期中）在中，，，，与交于，若，则______. 【答案】 【分析】设，且，由和三点共线，得到和，列出方程组，求得，得到，结合，求得，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设，且，则，如图所示， 因为三点共线，则存在实数使得， 又因为三点共线，则存在实数使得 所以，则 ，解得， 所以，且 因为，可得 ，解得， 所以， 因为，所以. 故答案为： 【题型8：基底法求数量积】 【练方法】 常考结论 1若，，则 2正交基底：若，则，数量积计算简化 解题方法 选基底：优先选择已知模长和夹角的向量作为基底 分解向量：将目标向量用基底线性表示，再展开数量积计算 【题型突破】 36．（25-26高一下·湖北·期中）已知在中，为中点，，，．    (1)设和的夹角为，若，求证：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）要证两向量垂直，则可以通过证明数量积为，从而得到对应的线段垂直； （2）先把用，线性表示，再利用建立方程关系，从而解出夹角余弦值，进而求出角度. 【详解】（1）因为N为AB中点，所以，则． 根据向量数量积的分配律可得. 已知，，， 则，， 代入可得，因为，所以，即. （2）因为，所以， 又因为，则， 所以 ， 而，，，， 所以代入得，解得， 因为，所以. 37．（25-26高一上·浙江台州·期末）在中，点为上一点且满足，设，，，. (1)用、表示向量； (2)若，求边的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式； （2）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，再利用平面向量数量积的性质可求得的值. 【详解】（1）. （2）因为， ； 由题意得，解得， 所以 . 38．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，. (1)求线段的长度， (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将、当作一组基底表示，平方之后求模即可； （2）设，将、当作一组基底表示、，再利用垂直关系即可求解. 【详解】（1）因为， ， ， ，，， 所以，所以. （2）设，因为， 所以，， ， 所以，所以. 39．（24-25高一下·江西萍乡·期末）如图，在中，，是的中点，设，． (1)试用、表示和； (2)若，且，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用平面向量的基本定理可得出、关于、的表达式； （2）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】（1）由是的中点，所以， 又，即， 所以，， 故， ． （2）因为，，所以， 所以． 40．（24-25高一下·广东湛江·期中）如图，在中，，，且，，是和的交点． (1)用，表示，． (2)证明：． (3)证明：是线段的中点． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由，可得，再由，求出； （2）利用数量积运算求解； （3）由三点共线与三点共线，进行求解判断. 【详解】（1）因为，所以，则． 因为，所以， 则． （2）证明：由（1）可得 ． 因为，，所以，则． （3）证明：因为三点共线， 所以． 因为三点共线，所以， 则，解得，即， 故是线段的中点． 【题型9：求投影投影向量】 【练方法】 常考结论 1向量在上的投影： 2投影向量： 3投影的正负：夹角为锐角时投影为正，钝角时为负，直角时为0 解题方法 直接套用投影公式，先求数量积和模长，再计算投影值 投影向量需注意乘以单位向量方向，避免漏乘 【题型突破】 41．（25-26高一下·安徽淮南·期中）若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求得，再利用向量在向量上的投影向量公式求解. 【详解】由，，得，所以. 所以向量在向量上的投影向量为，故B正确. 42．（25-26高一下·河南·月考）已知平面向量，，若在上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，， 由投影向量的计算公式得，则，即，解得． 43．（25-26高一下·黑龙江辽宁·期中）已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为__________. 【答案】 【分析】由投影向量的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】设向量与的夹角为， 由题意可得， 则，又，则. 44．（2026·广东广州·二模）在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式. 【详解】两边平方得，即， 又两边平方得， 即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 45．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知四边形中，，则向量在上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得四边形是等腰梯形即可由投影向量几何意义求解. 【详解】因为， 所以，所以四边形是等腰梯形， 所以向量在上的投影向量为 . 故选：D 【B·能力提升题型】 【题型1：与数量积有关的取值范围问题】 【练方法】 常考结论 1数量积的取值范围： 2模长与数量积的关系：，可转化为二次函数求范围 3利用向量夹角的变化，分析数量积的最值（如动点在圆上时的投影最值） 解题方法 坐标法：设点坐标，将数量积表示为函数，利用函数单调性或二次函数求范围 几何法：利用投影的几何意义，结合图形边界（如相切、端点）确定最值 【题型突破】 46．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知中，，，存在实数，使得向量的模的最小值为．若点是线段上任意一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】先根据条件确定角的大小，判断的形状，再利用基底表示向量，利用数量积的运算律求数量积的最小值. 【详解】由题意，， . 设，因为为内角，所以， 所以当时，有最小值. 所以 ，所以. 所以， 所以， 所以为直角三角形，. 如图，，， 设，，. 所以， . 所以当时，取得最小值，为. 47．（25-26高一下·四川攀枝花·月考）在中，且，，，若动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点，由数量积的运算律得 ，而的最大值等于，计算后可得. 【详解】取中点，连接， 则 ， 因为，所以点在以为圆心，1为半径的圆上，如图， 则， 所以的最大值是. 48．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知非零向量，的夹角为，.对于任意的，的最小值为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量模的意义及向量数量积的运算律变形，再结合二次函数求出最小值，进而求出. 【详解】由，，得 ，当且仅当时取等号， 而的最小值为，则，又， 因此，解得，所以. 49．（25-26高一下·河南郑州·月考）已知向量，满足，且对一切实数x，恒成立，则，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将平方，结合数量积的定义和运算性质化简得出关于的一元二次不等式，结合一元二次不等式恒成立求解. 【详解】由得，即， 则， 因为，所以， 即 因为对一切实数x，恒成立，所以， 得， 因为，所以， 故，的夹角的大小为. 50．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的运算法则，先化简得到，，再利用向量数量积的运算，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】在等腰梯形中，已知，且， 所以，，， 因为，，由题意知， 则，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 【题型2：奔驰定理与向量的四心】 【练方法】 常考结论 1奔驰定理：在中，若为平面内一点，则（为对应三角形面积） 2重心：，重心坐标为 3外心：，为三边中垂线交点 4内心：（为三边长） 5垂心： 解题方法 直接套用四心向量结论，快速判定点的类型 奔驰定理：利用面积比例关系，将向量线性表示转化为面积比问题 【题型突破】 51．（25-26高一下·重庆·月考）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到，再结合为内心，得到，即可求解. 【详解】由题意可得． 又因为为三角形内心时，，，， 所以． 故可设，，，， 故三角形为直角三角形．为直角边，为斜边， 由三角形面积 得，又． 故． 52．（24-25高一下·河北·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【分析】根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用平面向量的线性运算与三角形的面积比的关系，转化为“奔驰定理”判断结论即可. 53．（25-26高一下·江苏扬州·月考）设点P在所在平面内，且点G、H、O、I分别为该三角形的重心、垂心、外心和内心，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若且，则 D．若，则为等腰三角形 【答案】ABD 【分析】对A，取的中点，根据重心的性质化简判断即可；对B，根据垂心的性质推导可得，再设，根据可得，同理可得，再根据向量的夹角公式求解即可；对C，化简可得，再两边平方化简即可；对D，根据条件推导即可． 【详解】对A，取的中点，因为是的重心，有， 所以，，即， 又因为，所以，故A正确； 对B，因为为的垂心，则，即， 即，则， 同理，，所以， 设， 因为，所以， 即，则，所以， 因为，所以， 所以，则 ，故B正确； 对C，若且，则， 两边同时平方可得：， 所以，即，故C错误； 对D，因为为的内心，， 故 ，即， 故点的轨迹为垂直于的直线，又平分，因此是的中垂线， 是以为底边的等腰三角形，故D正确． 54．（2025高三·全国·专题练习）以下命题正确的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，，则 【答案】ABD 【分析】根据向量知识，结合三角函数图像与性质逐项判断即可 【详解】如图所示，是内一点，延长，交于点， 因为， ， 所以， 所以， 所以， 对于A，如图所示，分别为的中点，连接， 因为是的重心，所以， 所以， 同理可得，所以， 所以，故A正确； 对于B，设点到的距离分别为， 则， 因为， 则，即， 又，所以，所以点是的内心，故B正确； 对于C，因为， 所以，， 所以， 化简得， 又不共线， 所以，即， 所以，故C错误； 对于D，因为是的外心，， 所以，，. 因为，则，化简得． 由题意知不同时为正，记，， 则， 因为，所以，即， 所以，故D正确． 故选：ABD 55．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知的外心为，垂心为，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则的取值范围为 C．与不共线 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，根据条件，利用数量积的运算律，即可求解；对于B，建立坐标系，从而有，，，，结合条件可得，根据三角函数的性质，即可求解；对于C，计算可得，即可判断；对D，根据垂心的性质推导可得，再设，根据已知可得，同理可得，再根据向量的夹角公式求解即可. 【详解】对于A，由，可得， 所以，即，又， 则，得到，故A正确， 对于B，如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 连接，设圆的半径为，且交轴正半轴于， 因为，则优弧所对圆心角，所以， 则，，设，使， 则， 因为，所以， 得到，， 所以，， 又，所以，则，所以选项B正确， 对于选项C，因为 ， 所以与垂直， 又因为，所以与共线，故C错误； 对于D，因为H为的垂心，则，即， 即，则， 同理，，所以， 设， 因为，所以， ，则，又， 所以，则， ， 又，则，所以D正确. 故选：ABD. 【题型3：复杂的向量条件转化】 【练方法】 常考结论 1模长条件转化： 2向量平方转化：可转化为关于的二次函数，求最值 3向量等式转化：转化为垂直关系；转化为共线关系 解题方法 平方转化：对模长等式两边平方，消去模长，转化为数量积问题 坐标化：将所有向量用坐标表示，转化为代数方程求解 【题型突破】 56．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得，又，易知，，将问题转化为平面点线距离关系：向量的终点为圆心，1为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短，即可求的最小值. 【详解】∵，而， ∴，又，即， 又，， ∴， 若，则， ∴在以为圆心，1为半径的圆上，若，则， ∴问题转化为求在圆上的哪一点时，使最小，又， ∴当且仅当三点共线且时，最小为. 故选：B. 57．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知中，，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，，由题可得三点共线，时，最小，据此可得，根据数量积的运算律求结论. 【详解】设，， 则， 从而三点共线. 当时，最小， 则时，，又，从而 ，又三点共线，则，故， 所以. 58．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 59．（25-26高三上·河南·期中）已知非零向量，的夹角为，且，若对任意的，恒有，则（）的最小值为__________． 【答案】 【分析】先求出，利用已知条件化简求出，代入，将其转化为求点到点，的距离之和的最小值，最后利用两点之间，线段最短的性质求最小值． 【详解】非零向量，的夹角为，且， ， ， ，即， 对任意的，恒有， ，即，则， ， 表示点到点，的距离之和， 取点关于x轴的对称点，则，如下图所示， 当点A，P，C共线时最小，最小值为， （）的最小值为． 故答案为：． 60．（20-21高三上·辽宁大连·月考）已知点为线段上一点，为直线外一点，是的角平分线，为上一点，满足 ，，，则的值为__________. 【答案】3 【分析】确定是内心，如图所示，得到，，得到，化简得到答案. 【详解】 ，即，表示在的角平分线上，故是内心. 如图所示：；，故. 故答案为：.    【点睛】本题考查了三角形内心，向量的运算，意在考查学生的综合应用能力. 【题型4：平面向量与函数结合】 【练方法】 常考结论 1向量数量积可转化为函数表达式，如，为二次函数 2向量的模长、夹角可与三角函数结合，如利用三角换元求最值 3向量的线性运算可与一次函数、分段函数结合，考查参数范围 解题方法 函数建模：将向量问题转化为函数问题，利用函数性质（单调性、最值、周期性）求解 换元法：利用向量的模长或夹角，进行三角换元，转化为三角函数问题 【题型突破】 61．（25-26高一下·河南·期中）如图，圆O的半径为2，P，Q为圆O上两点．    (1)若，向量与垂直，求实数a的值； (2)若过的重心的直线与边PQ，OP分别交于点M，N，且，，且，求的最小值； (3)设（且为常数），若的最小值为，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）根据题意可得，进而结合平面向量的数量积运算律求解即可； （2）连接交于点，根据平面向量的线性运算可得，根据三点共线的推论可得，再结合基本不等式“1”的代换求解即可； （3）由题意可得，进而结合平面向量的数量积运算律化简可得，进而结合二次函数的性质可得，进而求解即可. 【详解】（1）因为向量与垂直， 所以， 则， 而，，则， 即，解得. （2）连接交于点，由于为的重心，    则， 而，， 则， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. （3）由于，，则， 所以 ， 函数开口向上，对称轴为， 则时，取得最小值，而的最小值为， 则，又，则. 62．（25-26高一上·四川绵阳·期中）定义：若非零向量，函数f（x）的解析式满足，则称的“积向量”为，向量的“积函数”为． (1)若向量为函数的积向量，求； (2)若函数为向量的积函数，在中，，且，求证：； (3)当向量时，积函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）化简函数，根据“积函数”的定义，得到，结合向量的模的计算公式，即可求解； （2）根据题意，由，求得，再由两角和与差的正弦公式，联立方程组，求得和，两式相除，即可得证； （3）根据题意，得到，得到，根据正弦函型函数的图象与性质，分类讨论，分别求得的表达式，进而求得其范围. 【详解】（1）由函数， 根据“积函数”的定义，可得， 所以. （2）证明：由函数为向量的积函数，可得， 因为，可得，即， 又因为，所以，所以，解得， 因为， 又因为，所以， 两式相加，可得，两式相减可得， 所以，所以. （3）由向量时，可得积函数为， 则， 设在区间上的最大值与最小值之差为， 因为，可得， ①当，时， 即时，可得， ， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ②当，时， 即时，可得， ， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ③当，且时，即时， 可得，，所以， 因为，所以， 所以，所以； ④当，且时，即时， 可得，，所以， 因为，所以， 所以，所以； ⑤当，且时，即时， 可得，， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ⑥当，且时，即时， 可得，， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 综上可得：， 所以在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为. 63．（24-25高一下·上海·期中）已知、都是单位向量，，，函数，. (1)当时，求值； (2)若，求实数的值； (3)是否存在实数，使函数，有四个不同零点？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）由题设，代入自变量求函数值即可； （2）由题设有，，令，则，对称轴，结合二次函数的性质，讨论区间与对称轴位置关系，根据最小值列方程求参数值； （3）问题化为或在上有四个不同的实根，结合余弦函数图象列不等式组求解即得. 【详解】（1）当时，，则； （2）由，则， 则， 令，则，则，其对称轴， 当，即时，当时函数取得最小值，得（舍）； 当，即时，当时函数取得最小值，得，符合题意； 当，即时，当时函数取得最小值，得（舍）. 综上，实数的值为. （3）令，得或， 方程或在上有四个不同的实根， 则即得，，即得， 即实数的取值范围是. 64．（23-24高一下·江苏淮安·月考）在中，点是内一点， (1)如图，若，过点的直线交直线分别于两点，且，已知为非零实数.试求的值. (2)若，且，设，试将表示成关于的函数，并求其最小值. 【答案】(1) (2)，最小值为： 【分析】（1）根据题意用表示出，再根据M，P，N三点共线用表示出，利用平面向量基本定理即可求解. （2）根据数量积的定义分别求出，，再对平方即可将表示成关于的函数，再利用基本不等式求 的最小值即可. 【详解】（1）一方面， 故. 另一方面，由M，P，N三点共线知， 所以，即 消去，得，故. （2）由得，，因为， 所以，所以；，所以； 所以 当目仅当即时等号成立， 所以;. 【点睛】本题考查向量模的最值，利用向量数量积的定义将，，转化为，，再对平方，将表示成关于的函数，最后利用基本不等式求出的最小值. 65．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，求的模长； (2)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (3)若在仿射坐标系下，设，若对恒成立，求的范围及的最大值． 【答案】(1)； (2)不正确，证明见解析； (3)，的最大值为. 【分析】（1）应用向量数量积的运算律求向量的模即可； （2）由向量数量积的坐标表示及垂直关系，结合充分、必要性的定义判断证明； （3）根据题设得到对恒成立，再应用二次函数的性质得，再由向量的夹角公式得，即可得最值. 【详解】（1）因为，则，又， 则． （2）不正确，理由如下， 因为，则，又， 则， 若，则，则， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的． （3）因为，则， ， ， ， 由，得， 所以， 即对恒成立， 又，所以，解得， 因为，所以满足题意， 所以 ， 又，所以，则的最大值为． 【题型5：平面向量中的新定义题型】 【练方法】 常考结论 1新定义向量运算，本质仍基于向量的线性运算、数量积、模长等基础性质 2新定义问题需严格按照题目给定的运算规则，不能套用常规结论 解题方法 审题建模：先明确新定义的运算规则，转化为已知的向量运算形式 分步计算：按定义规则分步运算，避免直接套用常规向量结论 【题型突破】 66．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角所对的边分别为，平面内一点到三边的距离满足，称点为的“莱莫恩点”. (1)若在中，，求常数的值； (2)求证：； (3)若，试判断的形状，并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)等腰三角形或直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据题设数据先得到，再结合“莱莫恩点”的定义求解即可； （2）结合（1）可得，延长交于点，进而得到，，进而求证即可； （3）由结合（2）可得，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 连接，将分割为， 根据“莱莫恩点”的定义，点到三边的距离分别为. 所以 . 代入已知数据，得，故. （2）由（1）可知，点到三边的距离分别为， 则. 如图，延长交于点，根据面积法可知， 所以. 另一方面，因为与同底，所以到的距离之比等于三角形面积之比， 即，所以. 所以. （3）为等腰三角形或直角三角形，理由如下： 由可知， 由（2）知，所以， 展开得， 又因为，所以. 因为，所以有以下两种情况： 当时，即，此时为等腰三角形； 当时，即，此时为直角三角形. 综上所述，为等腰三角形或直角三角形. 67．（25-26高三上·四川成都·期中）已知符号函数，又是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题分析可得，一个为1，一个为，一个为0，设、、的坐标，再由向量的坐标运算和三角函数的值域求法即可求得． 【详解】解：由题意可知，， 三者全为0或一个为1，一个为，一个为0． 当全为0时，可知，，两两垂直，不符合题意； 所以必为一个为1，一个为，一个为0， 不妨设，，， 由函数，可知，，， 不妨设，，，，， 所以，，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 故选：C． 68．（24-25高一下·山西·期中）对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角.若非零向量，满足，向量，的夹角，且和都是集合中的元素，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的新定义结合向量的数量积运算、三角函数的取值范围即可得的取值集合. 【详解】依题意，，而，，则，， 于是，显然存在，，则， 因此，即，则， 显然，即， 从而，因此， 又存在，使得，即，解得，则， 所以的取值集合为. 故选：A. 69．（24-25高一下·山东济宁·期中）定义：为向量与的外积，且，其中θ为向量与向量的夹角，已知在中，若，，则的最大值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，确定四边形面积的最大值，根据题意结合面积公式即可得结果. 【详解】设分别为的中点，连接， 则，则∽，故， 则，故， 又因为，， 即，， 设，则，， 所以， 所以， 所以， 所以，故， 当时，四边形面积最大，最大值为， 故的面积的最大值为， 且，所以的最大值为. 故选：D. 70．（24-25高一下·云南玉溪·期中）已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即．若平行四边形的面积为4，则________，若，，则的最小值为________． 【答案】 4 【分析】利用平行四边形的面积公式，结合新定义求出第以空，利用新定义与向量数量积的定义求得的夹角，从而得到，再利用向量数量积的运算法则与基本不等式即可得解. 【详解】因为平行四边形的面积为4， 所以， 所以. 因为，， 所以，，所以， 因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故答案为：； 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期中核心考点01：平面向量及其运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础过关题型】 【题型1：平面向量的概念辨析】 【练方法】 常考结论 1向量由大小和方向共同决定与起点无关 2零向量方向任意与任意向量平行不可作为除数 3单位向量模长为1方向由具体条件确定 4相等向量：模长相等且方向相同；相反向量：模长相等方向相反 5向量平行≠向量相等向量垂直需满足数量积为0 解题方法 逐条核对向量定义排除仅模相等或仅方向相同的干扰项 遇到零向量需单独验证避免遗漏特殊情况 【题型突破】 1．（2026·江苏·二模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·上海·期中）下列说法： ①加速度是向量； ②若向量且，则； ③若向量，则直线与直线平行； ④若向量，满足，且与同向，则； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量； ⑥若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点也相同； 其中错误的有（   ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一下·江苏淮安·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 4．【多选题】（24-25高一下·山西·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（25-26高一下·天津·期中）关于向量，下列说法正确的有（ ） A．温度、海拔、角度都是向量 B．零向量没有方向 C．若是等边三角形，则与的夹角为 D．若向量与共线，且，则 【题型2：平面向量的共线】 【练方法】 常考结论 1向量（） 2坐标形式：，则 3三点共线判定：若则A BC三点共线 4向量共线的传递性：（） 解题方法 坐标形式优先：直接代入列方程 三点共线问题：利用向量线性表示，结合系数和为1判定 【题型突破】 6．（25-26高一下·天津·期中）已知为不共线向量，，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 7．（25-26高一下·四川·期中）已知不共线，且，，，则（ ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 8．（25-26高一下·河南濮阳·月考）已知单位向量与的夹角为，向量，． (1)若，求实数k的值； (2)若，与的夹角为钝角，求实数k的取值范围； 9．（25-26高一下·重庆·月考）已知是两个不共线的向量，向量共线，则的值为______． 10．（25-26高一下·江苏淮安·月考）已知向量，不共线，且，则实数（    ） A．1 B． C． D．4 【题型3：平面向量的线性运算】 【练方法】 常考结论 1向量加法：三角形法则平行四边形法则 2向量减法：三角形法则， 3数乘运算：；； 4中点公式： 5分点公式：若，则 解题方法 线性运算优先用基底表示利用三角形法则、平行四边形法则化简 坐标运算直接代入分量计算注意符号与运算顺序 【题型突破】 11．（25-26高一下·山东淄博·月考）已知为所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·河北保定·月考）如图，中，点是线段的中点，是线段上靠近点的三等分点，则（　　） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 14．（2026·江苏镇江·模拟预测）在中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一下·山东济南·期中）在中，，D是AC的中点，若，则的面积是（   ） A． B．1 C．2 D． 【题型4：平面向量数量积求模长与夹角】 【练方法】 常考结论 1数量积定义：（为夹角，） 2模长公式：（坐标形式） 3夹角公式： 4垂直判定： 5平方展开： 解题方法 求模长：先平方再开方，利用转化为数量积计算 求夹角：直接套用夹角公式，注意夹角范围，避免出现钝角时符号错误 【题型突破】 16．（25-26高一下·湖北随州·月考）已知平面向量与夹角为，且对任意实数，的最小值为，则_____． 17．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知平面向量满足与的夹角为，则的值为______． 18．（25-26高一下·河南·期中）已知，为不共线的单位向量，，． (1)若且，求，的夹角的余弦值； (2)若，的夹角为，且，求实数的值． 19．（25-26高一上·湖南株洲·期中）若两个非零向量，的夹角为，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知平面向量所成的角为，且，则________ 【题型5：平面向量求数量积】 【练方法】 常考结论 1坐标形式：，则 2数量积性质：交换律；分配律 3若，则（同向取正，反向取负） 4数量积为0时，向量垂直（含零向量） 解题方法 坐标法优先：直接用分量计算 几何法：利用投影或基底分解，将向量转化为已知模长和夹角的向量再计算 【题型突破】 21．（25-26高一下·湖北·期中）如图，在半径为的圆中，有一条长度为2的弦，则（    ）    A．2 B．4 C．8 D．12 22．（25-26高一下·浙江衢州·期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，已知，，则（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一下·黑龙江辽宁·期中）已知四边形ABCD为平行四边形，，，，则等于（ ） A．5 B． C． D． 24．（25-26高一下·福建厦门·月考）已知是圆的任意弦，若，则____________. 25．（25-26高一下·黑龙江辽宁·期中）已知菱形 ABCD边长为， 则（ ） A． B． C．2 D．4 【题型6：平面向量基本定理求参数】 【练方法】 常考结论 1平面向量基本定理：若不共线，则存在唯一实数，使 2三点共线推论：若，且，则A BC三点共线 3基底不唯一，但表示系数唯一 解题方法 统一基底：将所有向量用同一组基底表示，再利用系数对应相等列方程 三点共线问题：直接利用系数和为1快速求解参数 【题型突破】 26．（25-26高一下·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一下·河南·期中）在中，，，交于点，设，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 28．（25-26高一下·湖南·期中）如图，在中，，，与相交于点，若（），则__________．    29．（25-26高一下·山东·期中）在中，，是线段上的一点，若，则（ ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型7：平面向量共线及其推论】 【练方法】 常考结论 1共线向量定理：（） 2三点共线的向量表示：共线 3向量共线的坐标判定： 4平行四边形中，对边向量相等且共线，对角线向量和为0 解题方法 坐标形式：直接代入列方程 线性表示：利用共线向量定理，转化为参数方程求解 【题型突破】 31．（25-26高一下·安徽淮南·期中）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则 的最小值（ ） A． B．9 C．8 D． 32．（25-26高一下·上海·月考）已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______. 33．（25-26高一下·广东茂名·月考）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为________ 34．（24-25高一下·云南文山·期中）如图，在△ABC中，，E为AD的中点，过点E的直线分别与边AB、AC交于P、Q两点，且，，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 35．（25-26高二上·贵州遵义·期中）在中，，，，与交于，若，则______. 【题型8：基底法求数量积】 【练方法】 常考结论 1若，，则 2正交基底：若，则，数量积计算简化 解题方法 选基底：优先选择已知模长和夹角的向量作为基底 分解向量：将目标向量用基底线性表示，再展开数量积计算 【题型突破】 36．（25-26高一下·湖北·期中）已知在中，为中点，，，．    (1)设和的夹角为，若，求证：； (2)若，求． 37．（25-26高一上·浙江台州·期末）在中，点为上一点且满足，设，，，. (1)用、表示向量； (2)若，求边的长度. 38．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，. (1)求线段的长度， (2)求的值. 39．（24-25高一下·江西萍乡·期末）如图，在中，，是的中点，设，． (1)试用、表示和； (2)若，且，求． 40．（24-25高一下·广东湛江·期中）如图，在中，，，且，，是和的交点． (1)用，表示，． (2)证明：． (3)证明：是线段的中点． 【题型9：求投影投影向量】 【练方法】 常考结论 1向量在上的投影： 2投影向量： 3投影的正负：夹角为锐角时投影为正，钝角时为负，直角时为0 解题方法 直接套用投影公式，先求数量积和模长，再计算投影值 投影向量需注意乘以单位向量方向，避免漏乘 【题型突破】 41．（25-26高一下·安徽淮南·期中）若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（  ） A． B． C． D． 42．（25-26高一下·河南·月考）已知平面向量，，若在上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C． D．2 43．（25-26高一下·黑龙江辽宁·期中）已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为__________. 44．（2026·广东广州·二模）在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 45．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知四边形中，，则向量在上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【B·能力提升题型】 【题型1：与数量积有关的取值范围问题】 【练方法】 常考结论 1数量积的取值范围： 2模长与数量积的关系：，可转化为二次函数求范围 3利用向量夹角的变化，分析数量积的最值（如动点在圆上时的投影最值） 解题方法 坐标法：设点坐标，将数量积表示为函数，利用函数单调性或二次函数求范围 几何法：利用投影的几何意义，结合图形边界（如相切、端点）确定最值 【题型突破】 46．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知中，，，存在实数，使得向量的模的最小值为．若点是线段上任意一个动点，则的最小值是______． 47．（25-26高一下·四川攀枝花·月考）在中，且，，，若动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 48．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知非零向量，的夹角为，.对于任意的，的最小值为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 49．（25-26高一下·河南郑州·月考）已知向量，满足，且对一切实数x，恒成立，则，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 50．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型2：奔驰定理与向量的四心】 【练方法】 常考结论 1奔驰定理：在中，若为平面内一点，则（为对应三角形面积） 2重心：，重心坐标为 3外心：，为三边中垂线交点 4内心：（为三边长） 5垂心： 解题方法 直接套用四心向量结论，快速判定点的类型 奔驰定理：利用面积比例关系，将向量线性表示转化为面积比问题 【题型突破】 51．（25-26高一下·重庆·月考）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 52．【多选题】（24-25高一下·河北·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 53．【多选题】（25-26高一下·江苏扬州·月考）设点P在所在平面内，且点G、H、O、I分别为该三角形的重心、垂心、外心和内心，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若且，则 D．若，则为等腰三角形 54．【多选题】（2025高三·全国·专题练习）以下命题正确的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，，则 55．【多选题】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知的外心为，垂心为，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则的取值范围为 C．与不共线 D．若，则 【题型3：复杂的向量条件转化】 【练方法】 常考结论 1模长条件转化： 2向量平方转化：可转化为关于的二次函数，求最值 3向量等式转化：转化为垂直关系；转化为共线关系 解题方法 平方转化：对模长等式两边平方，消去模长，转化为数量积问题 坐标化：将所有向量用坐标表示，转化为代数方程求解 【题型突破】 56．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 57．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知中，，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 58．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 59．（25-26高三上·河南·期中）已知非零向量，的夹角为，且，若对任意的，恒有，则（）的最小值为__________． 60．（20-21高三上·辽宁大连·月考）已知点为线段上一点，为直线外一点，是的角平分线，为上一点，满足 ，，，则的值为__________. 【题型4：平面向量与函数结合】 【练方法】 常考结论 1向量数量积可转化为函数表达式，如，为二次函数 2向量的模长、夹角可与三角函数结合，如利用三角换元求最值 3向量的线性运算可与一次函数、分段函数结合，考查参数范围 解题方法 函数建模：将向量问题转化为函数问题，利用函数性质（单调性、最值、周期性）求解 换元法：利用向量的模长或夹角，进行三角换元，转化为三角函数问题 【题型突破】 61．（25-26高一下·河南·期中）如图，圆O的半径为2，P，Q为圆O上两点．    (1)若，向量与垂直，求实数a的值； (2)若过的重心的直线与边PQ，OP分别交于点M，N，且，，且，求的最小值； (3)设（且为常数），若的最小值为，求x的值． 62．（25-26高一上·四川绵阳·期中）定义：若非零向量，函数f（x）的解析式满足，则称的“积向量”为，向量的“积函数”为． (1)若向量为函数的积向量，求； (2)若函数为向量的积函数，在中，，且，求证：； (3)当向量时，积函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围． 63．（24-25高一下·上海·期中）已知、都是单位向量，，，函数，. (1)当时，求值； (2)若，求实数的值； (3)是否存在实数，使函数，有四个不同零点？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 64．（23-24高一下·江苏淮安·月考）在中，点是内一点， (1)如图，若，过点的直线交直线分别于两点，且，已知为非零实数.试求的值. (2)若，且，设，试将表示成关于的函数，并求其最小值. 65．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，求的模长； (2)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (3)若在仿射坐标系下，设，若对恒成立，求的范围及的最大值． 【题型5：平面向量中的新定义题型】 【练方法】 常考结论 1新定义向量运算，本质仍基于向量的线性运算、数量积、模长等基础性质 2新定义问题需严格按照题目给定的运算规则，不能套用常规结论 解题方法 审题建模：先明确新定义的运算规则，转化为已知的向量运算形式 分步计算：按定义规则分步运算，避免直接套用常规向量结论 【题型突破】 66．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角所对的边分别为，平面内一点到三边的距离满足，称点为的“莱莫恩点”. (1)若在中，，求常数的值； (2)求证：； (3)若，试判断的形状，并说明理由. 67．（25-26高三上·四川成都·期中）已知符号函数，又是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 68．（24-25高一下·山西·期中）对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角.若非零向量，满足，向量，的夹角，且和都是集合中的元素，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 69．（24-25高一下·山东济宁·期中）定义：为向量与的外积，且，其中θ为向量与向量的夹角，已知在中，若，，则的最大值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．24 70．（24-25高一下·云南玉溪·期中）已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即．若平行四边形的面积为4，则________，若，，则的最小值为________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $