期中培优：向量新定义问题复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中培优：向量新定义问题复习讲义 期中培优：向量新定义问题复习讲义 知识点解析 一、核心解题原理 1. 定义迁移原理 题目给出全新向量运算、距离、夹角、数量积、模、垂直、平行等自定义规则，抛弃固有公式，严格以题干新定义为唯一依据运算，原有向量常规性质仅在不冲突时辅助使用。 1. 转化化归原理 将陌生的新定义运算、新概念，通过坐标表示、基底表示，转化为熟悉的：坐标运算、线性运算、数量积、模长公式、不等式、函数最值等常规问题，以旧知识解新题型。 1. 数形结合原理 向量自带几何属性，新定义常结合距离、范围、最值、位置关系，借助图形、轨迹、几何模型直观分析，简化代数运算。 1. 逻辑严谨原理 新定义多为条件限制型，需满足定义规定的运算规则、取值范围、成立条件，不可随意套用课本向量结论。 二、通用解题思路 步骤1：精读题干，拆解新定义 逐字翻译题目给出的新概念、新运算： 圈定运算符号、对应法则、适用条件、限制范围； 区分：新运算是加减类、乘积类、距离类、夹角类还是特殊位置定义。 步骤2：合理建系/选基底，统一表达形式 · 坐标法（首选）：设向量，把新定义全部转化为代数式运算，无脑计算、不易出错； · 基底法：无坐标系、含角度时，用不共线基底线性表示，结合常规向量公式化简。 步骤3：严格按新定义列式运算 完全遵循题干规则列式计算： 新运算怎么规定，就怎么代换、展开、化简； 禁止直接混用课本数量积、模长、垂直结论，必须先由新定义推导。 步骤4：结合常规向量性质辅助化简 在新定义框架下，合理使用： 向量线性运算、模的非负性、三角不等式、平行/垂直关系、二次函数最值、不等式放缩等，求解数值、范围、最值、判断正误。 步骤5：检验边界与限制条件 新定义常附带定义域、取值限制、特殊取值要求， 算出结果后，验证是否符合题干约束，排除增解、矛盾解。 三、常见题型+对应方法 1. 新运算型（新加减、新乘积） 方法：坐标化代入，代数展开合并，类比多项式运算。 1. 新距离、新模长型 方法：按定义写出距离表达式，转化为二次式，配方求最值、范围。 1. 新夹角、新垂直定义型 方法：根据新规列出垂直等价条件（新式=0），列方程求解参数或角度。 1. 新规则下的最值、范围问题 方法：坐标化构造函数，利用二次函数、基本不等式、单调性求解。 1. 判断命题真假类 方法：举反例排除错误，严格依定义推理证明正确。 四、关键解题技巧 1. 坐标万能：绝大多数向量新定义，设坐标即可转化为纯代数问题，降低思维难度； 1. 先翻译再计算：不要凭直觉做题，先把文字定义翻译成数学式子； 1. 少用几何直观，多代数推导：新定义打破常规几何规律，代数运算更稳妥； 1. 遇最值优先配方：新定义表达式多为二次结构，配方是高频解法。 例题分析 例1．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知，令，若，则称有序向量对为向量对，则下列说法不正确的为（    ） A．向量对的个数为2 B．向量对的个数为8 C．向量对的个数为4 D．向量对的个数为0 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的坐标公式，二倍角公式，三角函数的性质分别判断即可． 【详解】， 对于A，，即，则， 当时，可取，共4种取值， 此时，共有四种取值， 所以向量对的个数为4，故A错误； 对于B，，即，则， 当时，可取，共8种可能取值， 所以向量对的个数为8，故B正确； 对于C，，即，则， 当时，可取，共4种取值， 所以向量对的个数为4，故C正确； 对于D，，即无解，所以向量对的个数为0，故D正确． 例2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量，的夹角），余弦距离为．已知，，若，的余弦距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知余弦距离为，，的余弦距离为， ，解得， 已知，，则， ， ． 例3．（25-26高一下·甘肃平凉·月考）定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于______． 【答案】8 【分析】由数量积的定义求得，由平方关系得，再根据新定义计算. 【详解】由已知，， 所以， 所以. 例4．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知对任意平面向量 把 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量 ，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P，已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转 后得到点P，则点P坐标为______． 【答案】 【分析】根据新定义求出向量的坐标，进而求得点的坐标 【详解】由题意可得，，点B绕点A沿顺时针方向旋转 后得到点P， 即点B绕点A沿逆时针方向旋转 后得到点P， 则， 所以则点P坐标为. 例5．（25-26高一下·上海闵行·期中）设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量”． (1)设函数，求的“相伴向量”； (2)记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有4个不同的交点，求实数的取值范围； (3)记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题得，再结合“相伴向量”的定义求解即可； （2）根据题意，求得的解析式，研究函数的单调性，作出的图象，再根据交点个数，利用数形结合的方法求解即可； （3）根据题意，将问题转化为对任意恒成立，再根据恒成立问题求解最值即可． 【详解】（1）， 所以函数的“相伴向量”． （2）由题知：， ， 因为时，；时，， 所以在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减， 又， 所以的函数图象大致如图：    所以，当图象与有且仅有四个不同的交点时，， 所以，实数的取值范围为． （3）由题得， 所以， 由题得， 所以， 因为，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 设，当时，取到最大值， 所以，即的取值范围为． 例6．（25-26高一下·福建福州·期中）小数同学在研究性学习中发现了以下关于向量的有趣的内容：设为正整数，有序数组称为维向量，其中实数为该向量的第个分量.对于维向量，其加法、减法、数乘等运算与平面向量类似，如.类似平面向量的模的定义，维向量的范数记为范数记为.根据以上发现，探究以下内容： (1)求的范数和范数. (2)对于2维非零向量是否存在最值？若有，请求出；若无，请说明理由. (3)已知一组3维向量组，其和的范数，求证：向量组中存在部分向量，它们的和的范数不小于338. 【答案】(1) (2)有，最大值为1，最小值为 (3)证明见解析 【分析】（1）结合题意计算即可求解； （2）结合题意，利用基本不等式讨论求解即可； （3）对于3维向量，由题意可得，设，设，，结合不等式的性质即可得证. 【详解】（1）； （2）存在，最大值为1，最小值为.理由如下： ，当且仅当等式成立， ，当且仅当等式成立， 所以的最大值为1，最小值为. （3）对于3维向量， ， 所以， 设，则 不妨设，则， 不妨设， 则， 不妨设，则， 所以. 变式训练 变式1．（25-26高一下·河南新乡·月考）已知平面内的非零向量，，定义运算：.对平面内任意非零向量，，，则（   ） A． B．若与不垂直，则 C． D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，由定义得与共线，与共线，所以，故A错误. 对于B，不妨取，，，则，所以. 因为，所以， 故，故B错误. 对于C，，故C正确. 对于D，若，则，即. 因为为非零向量，所以，所以或当时，，故D错误. 变式2．（25-26高二上·湖北襄阳·月考）向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量旋转的定义求得旋转后向量坐标，结合点坐标可得点的坐标. 【详解】由题意可知，把点绕点逆时针方向旋转，得到点， 则， 又，所以， 所以点的坐标为. 故选：D. 变式3．（25-26高一下·吉林·月考）定义：若数轴轴和轴相交于点O，记两条数轴的正方向所成的角，我们就建立了“坐标系”．对于坐标系内任意一点P，过点P作y轴的平行线，与x轴的交点对应的数称为“横坐标”，过点P作x轴的平行线，与y轴的交点对应的数称为“纵坐标”，记作．在“坐标系”中有，、、．则______. 【答案】/ 【分析】设与轴和轴方向相同的单位向量分别为，根据平面向量的基本定理、线性运算及题设定义可得，，进而结合向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】由题意，设与轴和轴方向相同的单位向量分别为，且， 则，，， 所以，， 则， ， ， 则. 变式4．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点坐标为______. 【答案】 【分析】根据新定义求出向量的坐标，进而求得点的坐标. 【详解】由题，可得，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点， 即等同于点绕点沿逆时针方向旋转后得到点， ， 又，解得. 故答案为：. 变式5．（25-26高一下·北京·期中）如图所示，三行三列的数表A中，第i行第j列的数记作.若存在一组不全为零的实数使得均有，则称数表A是“L关联”的；若存在一组不全为零的实数使得均有，则称数表A是“R关联”的. (1)若对均有，请写出这个数表；判断其是否是“R关联”的，并说明理由； (2)若，求证该数表一定是“L关联”的； (3)求证：数表A是“L关联”的，当且仅当其是“R关联”的. 【答案】(1)该数表一定是“R关联”的，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“R关联”的定义判断即可； （2）根据“L关联”证明； （3）由“L关联”和“R关联”的定义及线性运算性质证明. 【详解】（1）该数表是“R关联”的. 根据对均有，得 ； . 假设存在一组不全为零的实数使得均有， 则， ∴取可使方程组成立，即存在一组不全为零的实数使得均有， ∴该数表是“R关联”的. （2）若，则任意均使得均有， 取，可得对均有. 因此，该数表一定是“L关联”的. （3）若数表A是“L关联”的，则一定存在一组不全为零的实数使得均有，假设， ， ，得④， ，得⑤， ，得（*） 所以数表A是“L关联”的（*）成立； 若数表A是“R关联”的，则一定存在一组不全为零的实数使得均有，假设 ，得⑨， ，得⑩， ，得（*） 所以数表A是“R关联”的（*）成立. 综上所述，“数表A是“L关联”的”与“数表A是“R关联”的”的充要条件相同，所以数表A是“L关联”的，当且仅当其是“R关联”的. 变式6．（25-26高一下·四川成都·期中）对于平面向量，定义“变换”：，. (1)若向量，，求； (2)已知，，，且与不平行，，，若在上有且仅有两个不同的根，求的取值范围； (3)若向量，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“变换”的定义代入计算即得； （2）先证明，再由向量数量积的运算律推得，利用函数与方程的思想将问题转化成函数与直线在的交点问题，列不等式求解即得； （3）先推得和，以及，，再由可得，联立解得，，结合即可求得. 【详解】（1）根据题意可得，，， 代入变换可得 即； （2）假设，， ∵ ， ∴， ∵，∴， ∵在上有且仅有两个不同的根， ∴在上有且仅有两个不同的根， 则解得 ∴的取值范围为； （3）， 且， ， ∴ ， 因此 ， 由， 可得即 ∴， 又∵， ∴， 故. 实战演练 1．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知平面上的非零向量、，定义运算：，对于平面上任意非零向量、、，则（   ） A． B．若与不垂直，则 C． D．若，则 【答案】C 【分析】利用题中新定义运算可判断A选项；利用特例法可判断B选项；利用题中定义结合平面向量数量积的运算性质可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由题中定义得与共线，与共线， 所以，A错； 对于B选项，不妨取，，， 则， 所以， ， 所以， 故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，若，则， 即， 因为为非零向量，所以，所以或当时，，D错. 故选：C. 2．（24-25高一下·贵州·月考）已知向量，，定义向量的新运算：．设向量，．若，则______；若，则______． 【答案】 【分析】第一空，利用向量共线求得，进而利用定义计算即可；第二空，利用定义计算可求得. 【详解】第一空：因为，．，所以，解得． 所以，所以； 第二空：由，可得， 解得，所以，又，所以， 所以. 故答案为：①；②. 3．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）在平面直角坐标系中O为坐标原点，对任意两个向量，，作，，当、不共线时，记以OA、OB为邻边的平行四边形的面积；当,共线时，规定． (1)分别根据下列已知条件求： ①，；②，； (2)若向量（、不共线，，），求证：； (3)若M、N、E是以O为圆心的单位圆上不同的点，记，，，当时，求的最大值． 【答案】(1)①5；②0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意，根据新定义即可求解； （2）由新定义可证得，，即可证明； （3）由题意，可设，，，由新定义和三角恒等变换化简计算可得，而，进而求解即可. 【详解】（1）①因为，，且， 所以； ②因为，，所以. （2）因为向量，，且向量， 则， 所以， 同理， 所以. （3）由题意可设，，， 则， 而，则， 当时，等号成立， 则的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：向量新定义问题复习讲义 期中培优：向量新定义问题复习讲义 知识点解析 一、核心解题原理 1. 定义迁移原理 题目给出全新向量运算、距离、夹角、数量积、模、垂直、平行等自定义规则，抛弃固有公式，严格以题干新定义为唯一依据运算，原有向量常规性质仅在不冲突时辅助使用。 1. 转化化归原理 将陌生的新定义运算、新概念，通过坐标表示、基底表示，转化为熟悉的：坐标运算、线性运算、数量积、模长公式、不等式、函数最值等常规问题，以旧知识解新题型。 1. 数形结合原理 向量自带几何属性，新定义常结合距离、范围、最值、位置关系，借助图形、轨迹、几何模型直观分析，简化代数运算。 1. 逻辑严谨原理 新定义多为条件限制型，需满足定义规定的运算规则、取值范围、成立条件，不可随意套用课本向量结论。 二、通用解题思路 步骤1：精读题干，拆解新定义 逐字翻译题目给出的新概念、新运算： 圈定运算符号、对应法则、适用条件、限制范围； 区分：新运算是加减类、乘积类、距离类、夹角类还是特殊位置定义。 步骤2：合理建系/选基底，统一表达形式 · 坐标法（首选）：设向量，把新定义全部转化为代数式运算，无脑计算、不易出错； · 基底法：无坐标系、含角度时，用不共线基底线性表示，结合常规向量公式化简。 步骤3：严格按新定义列式运算 完全遵循题干规则列式计算： 新运算怎么规定，就怎么代换、展开、化简； 禁止直接混用课本数量积、模长、垂直结论，必须先由新定义推导。 步骤4：结合常规向量性质辅助化简 在新定义框架下，合理使用： 向量线性运算、模的非负性、三角不等式、平行/垂直关系、二次函数最值、不等式放缩等，求解数值、范围、最值、判断正误。 步骤5：检验边界与限制条件 新定义常附带定义域、取值限制、特殊取值要求， 算出结果后，验证是否符合题干约束，排除增解、矛盾解。 三、常见题型+对应方法 1. 新运算型（新加减、新乘积） 方法：坐标化代入，代数展开合并，类比多项式运算。 1. 新距离、新模长型 方法：按定义写出距离表达式，转化为二次式，配方求最值、范围。 1. 新夹角、新垂直定义型 方法：根据新规列出垂直等价条件（新式=0），列方程求解参数或角度。 1. 新规则下的最值、范围问题 方法：坐标化构造函数，利用二次函数、基本不等式、单调性求解。 1. 判断命题真假类 方法：举反例排除错误，严格依定义推理证明正确。 四、关键解题技巧 1. 坐标万能：绝大多数向量新定义，设坐标即可转化为纯代数问题，降低思维难度； 1. 先翻译再计算：不要凭直觉做题，先把文字定义翻译成数学式子； 1. 少用几何直观，多代数推导：新定义打破常规几何规律，代数运算更稳妥； 1. 遇最值优先配方：新定义表达式多为二次结构，配方是高频解法。 例题分析 例1．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知，令，若，则称有序向量对为向量对，则下列说法不正确的为（    ） A．向量对的个数为2 B．向量对的个数为8 C．向量对的个数为4 D．向量对的个数为0 例2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量，的夹角），余弦距离为．已知，，若，的余弦距离为，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·甘肃平凉·月考）定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于______． 例4．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知对任意平面向量 把 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量 ，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P，已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转 后得到点P，则点P坐标为______． 例5．（25-26高一下·上海闵行·期中）设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量”． (1)设函数，求的“相伴向量”； (2)记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有4个不同的交点，求实数的取值范围； (3)记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 例6．（25-26高一下·福建福州·期中）小数同学在研究性学习中发现了以下关于向量的有趣的内容：设为正整数，有序数组称为维向量，其中实数为该向量的第个分量.对于维向量，其加法、减法、数乘等运算与平面向量类似，如.类似平面向量的模的定义，维向量的范数记为范数记为.根据以上发现，探究以下内容： (1)求的范数和范数. (2)对于2维非零向量是否存在最值？若有，请求出；若无，请说明理由. (3)已知一组3维向量组，其和的范数，求证：向量组中存在部分向量，它们的和的范数不小于338. 变式训练 变式1．（25-26高一下·河南新乡·月考）已知平面内的非零向量，，定义运算：.对平面内任意非零向量，，，则（   ） A． B．若与不垂直，则 C． D．若，则 变式2．（25-26高二上·湖北襄阳·月考）向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·吉林·月考）定义：若数轴轴和轴相交于点O，记两条数轴的正方向所成的角，我们就建立了“坐标系”．对于坐标系内任意一点P，过点P作y轴的平行线，与x轴的交点对应的数称为“横坐标”，过点P作x轴的平行线，与y轴的交点对应的数称为“纵坐标”，记作．在“坐标系”中有，、、．则______. 变式4．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点坐标为______. 变式5．（25-26高一下·北京·期中）如图所示，三行三列的数表A中，第i行第j列的数记作.若存在一组不全为零的实数使得均有，则称数表A是“L关联”的；若存在一组不全为零的实数使得均有，则称数表A是“R关联”的. (1)若对均有，请写出这个数表；判断其是否是“R关联”的，并说明理由； (2)若，求证该数表一定是“L关联”的； (3)求证：数表A是“L关联”的，当且仅当其是“R关联”的. 变式6．（25-26高一下·四川成都·期中）对于平面向量，定义“变换”：，. (1)若向量，，求； (2)已知，，，且与不平行，，，若在上有且仅有两个不同的根，求的取值范围； (3)若向量，求. 实战演练 1．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知平面上的非零向量、，定义运算：，对于平面上任意非零向量、、，则（   ） A． B．若与不垂直，则 C． D．若，则 2．（24-25高一下·贵州·月考）已知向量，，定义向量的新运算：．设向量，．若，则______；若，则______． 3．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）在平面直角坐标系中O为坐标原点，对任意两个向量，，作，，当、不共线时，记以OA、OB为邻边的平行四边形的面积；当,共线时，规定． (1)分别根据下列已知条件求： ①，；②，； (2)若向量（、不共线，，），求证：； (3)若M、N、E是以O为圆心的单位圆上不同的点，记，，，当时，求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $