6.1 平面向量的概念（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

　 第六章 平面向量及其应用 6．1　平面向量的概念 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义． 2.理解平面向量的几何表示和基本要素． 3.理解平面向量共线和相等的含义． 重点难点 重点：理解向量的有关概念及向量的几何表示． 难点：理解共线向量、相等向量的概念及其应用. (一)向量的实际背景与概念 1．向量与数量 向量 既有大小又有方向的量叫做向量 数量 只有大小没有方向的量称为数量 2．向量的二要素 向量由大小与方向两个要素组成．向量的大小是代数特征，方向是几何特征． (1)数量是一个代数量，只有大小没有方向，其大小可以用正数、负数、零来表示，可以比较大小，如长度、质量、面积、体积等． (2)向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小． 1．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有(　 ) A．1个　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 2．海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，那么海拔是向量吗？温度也有正负之分，那么它是向量吗？为什么？ 提示：海拔不是向量，它只有大小没有方向．海拔的正负，零上温度和零下温度，都只是相对规定的标准来说的，不是指方向，因而温度也是只有大小没有方向，不是向量． (二)向量的几何表示 1．有向线段的概念 定义 具有方向的线段叫做有向线段 表示方法及长度 以A为起点、B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作|| 三要素 起点、方向、长度 2．向量的表示方法 几何表示 用有向线段表示向量，有向线段的长度||表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 字母表示 通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母，，，… 3．向量的相关概念 向量的 长度(模) 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作|| 零向量 长度为的向量叫做零向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量 (1)明确向量与有向线段的区别．有向线段有三要素，起点、方向、长度．只要起点不同，另外两个要素相同也不是同一条有向线段，但决定向量的要素只有两个，大小和方向，与表示向量的有向线段的起点无关． (2)要注意0与0的区别及联系，0是一个实数，0是一个向量，且|0|0.零向量的方向是任意的，在分析向量的位置关系时要特别注意零向量． (3)单位向量是长度等于1个单位长度的向量，其方向是任意的． (4)在同一平面内，将所有单位向量的起点平移到同一个点，则它们的终点可构成一个半径为1的圆． 1. 下列说法正确的是(　 ) A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．任意两个单位向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 解析：选B　零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误；长度有大小，方向没有大小，不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误． 2. 如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出________个向量． 答案：12 (三)相等向量与共线向量 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．a与b相等，记作a＝b (1)理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的． (2)共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．实际上，共线向量(平行向量)有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．对共线向量的讨论，要考虑方向、长度，尤其不能忘记对零向量的讨论． (3)向量只有长度和方向两个要素，与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相等的向量． (4)向量相等具有传递性，即若a＝b，b＝c，则a＝c.而向量的平行不具有传递性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量，那么当b＝0时，a，c可以是任意向量，所以a与c不一定平行．但若b≠0，则必有a∥b，b∥c⇒a∥c.因此，解答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量． 1.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与相等的向量的个数为(　 ) A．