期中培优：正余弦定理与三角函数的性质综合应用复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中培优：正余弦定理与三角函数的性质综合应用复习讲义 期中培优：正余弦定理与三角函数的性质综合应用复习讲义 知识点解析 一、核心解题原理 1. 边角互化原理 正弦定理、余弦定理是三角形边与角相互转化的工具： · 正弦定理：，实现边⇌正弦互换； · 余弦定理：，实现边⇌余弦互换。 1. 三角恒等变换原理 结合诱导公式、和差角、二倍角、辅助角公式，对三角形内角关系式化简； 利用三角形内角和：， 进行角的代换。 1. 三角函数性质迁移原理 将三角形中角的关系式，化简为单一三角函数（）， 借用三角函数：单调性、周期性、有界性、最值、对称轴、对称中心等性质求解。 1. 范围约束原理 三角形内角天然约束：，且任意两角和小于； 结合大边对大角、锐角/钝角限制，缩小角的取值范围，防止最值、范围出错。 二、通用解题思路 步骤1：观察条件，确定转化方向 · 式子边多、角少：用正弦定理边化角，统一为三角式； · 式子角多、边少、含余弦：用余弦定理角化边，统一为边长式； · 仅有角关系：直接利用内角和+诱导公式变形。 步骤2：结合三角恒等变换化简 1. 利用内角和消元，减少角的个数； 1. 展开和差角、二倍角，降次、合并； 1. 遇正余弦混合式，用辅助角公式合并为单一正弦/余弦函数。 步骤3：锁定角的取值范围 根据三角形固有条件： 1. 三个内角均； 2. 若为锐角三角形：，任意两角和； 3. 结合题干限制（如某角固定、边角大小关系）进一步压缩范围。 步骤4：利用三角函数性质求解 1. 求最值/取值范围：利用正弦、余弦有界性与区间单调性； 1. 求单调区间：结合复合函数单调性判断； 1. 求值、判断形状：利用特殊角三角函数值、角相等、边相等判定； 1. 面积、周长综合：结合 ，转化为函数最值问题。 步骤5：回代检验 结合三角形三边关系、大边对大角，舍去不合理角度或边长。 三、常见题型+对应方法 1. 判定三角形形状 边化角→化简得角相等/互余；或角化边→得边相等、勾股关系，判定等腰、直角、等边三角形。 1. 三角形内角最值、范围问题 边角互化→三角恒等变形→化为单一三角函数→限定角区间→求值域。 1. 周长、面积最值综合 正余弦定理建立边长关系→面积/周长表示为角的函数→用三角函数性质求最值。 1. 三角方程求解 利用定理转化后，结合三角形特殊角，解三角方程。 四、高频核心结论 1. 三角形中： 1. 边化角常用： 1. 遇：优先降次公式； 1. 遇：必用辅助角公式。 例题分析 例1．（25-26高一下·天津西青·期中）在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 例2．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的值. (2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 例3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，其中. (1)若，求图象的对称中心； (2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求的取值范围. 例4．（25-26高三上·陕西榆林·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 变式训练 变式1．（24-25高一下·湖南永州·期末）在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若，求的取值范围. 变式2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在锐角中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值． 变式3．（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 变式4．（24-25高三上·山西太原·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 实战演练 1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 2．（24-25高三上·福建宁德·期中）在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：正余弦定理与三角函数的性质综合应用复习讲义 期中培优：正余弦定理与三角函数的性质综合应用复习讲义 知识点解析 一、核心解题原理 1. 边角互化原理 正弦定理、余弦定理是三角形边与角相互转化的工具： · 正弦定理：，实现边⇌正弦互换； · 余弦定理：，实现边⇌余弦互换。 1. 三角恒等变换原理 结合诱导公式、和差角、二倍角、辅助角公式，对三角形内角关系式化简； 利用三角形内角和：， 进行角的代换。 1. 三角函数性质迁移原理 将三角形中角的关系式，化简为单一三角函数（）， 借用三角函数：单调性、周期性、有界性、最值、对称轴、对称中心等性质求解。 1. 范围约束原理 三角形内角天然约束：，且任意两角和小于； 结合大边对大角、锐角/钝角限制，缩小角的取值范围，防止最值、范围出错。 二、通用解题思路 步骤1：观察条件，确定转化方向 · 式子边多、角少：用正弦定理边化角，统一为三角式； · 式子角多、边少、含余弦：用余弦定理角化边，统一为边长式； · 仅有角关系：直接利用内角和+诱导公式变形。 步骤2：结合三角恒等变换化简 1. 利用内角和消元，减少角的个数； 1. 展开和差角、二倍角，降次、合并； 1. 遇正余弦混合式，用辅助角公式合并为单一正弦/余弦函数。 步骤3：锁定角的取值范围 根据三角形固有条件： 1. 三个内角均； 2. 若为锐角三角形：，任意两角和； 3. 结合题干限制（如某角固定、边角大小关系）进一步压缩范围。 步骤4：利用三角函数性质求解 1. 求最值/取值范围：利用正弦、余弦有界性与区间单调性； 1. 求单调区间：结合复合函数单调性判断； 1. 求值、判断形状：利用特殊角三角函数值、角相等、边相等判定； 1. 面积、周长综合：结合 ，转化为函数最值问题。 步骤5：回代检验 结合三角形三边关系、大边对大角，舍去不合理角度或边长。 三、常见题型+对应方法 1. 判定三角形形状 边化角→化简得角相等/互余；或角化边→得边相等、勾股关系，判定等腰、直角、等边三角形。 1. 三角形内角最值、范围问题 边角互化→三角恒等变形→化为单一三角函数→限定角区间→求值域。 1. 周长、面积最值综合 正余弦定理建立边长关系→面积/周长表示为角的函数→用三角函数性质求最值。 1. 三角方程求解 利用定理转化后，结合三角形特殊角，解三角方程。 四、高频核心结论 1. 三角形中： 1. 边化角常用： 1. 遇：优先降次公式； 1. 遇：必用辅助角公式。 例题分析 例1．（25-26高一下·天津西青·期中）在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据向量共线的坐标关系，结合正余弦定理边角互化即可求解， （2）由余弦定理以及面积公式即可求解得解， （3）根据正弦定理得，进而根据面积公式可得，由三角恒等变换，化简可得，即可根据三角函数的性质求解. 【详解】（1）若，则, 由正弦定理可得，故， 因此, . （2）由（1）可得，又,故， 因此，故， 因此周长为 （3）由于，故， 由正弦定理可得， 故， 因为，所以， 所以， 故, 由于三角形为锐角三角形，故,解得， 因此，故，则， 因此. 例2．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的值. (2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）30（ii） 【分析】（1）切化弦整理可得，结合分析判断可得，即可得结果； （2）（i）根据等面积法可得，即，再利用正、余弦定理可得，即可得周长；（ii）整理可得，利用正弦定理边角转化结合三角恒等变换可得，进而分析最值. 【详解】（1）因为，即， 整理可得，即， 因为，则，， 则或或， 即或（舍去）或（舍去）， 且，解得. （2）（ⅰ）由题意可知：， 则，可得， 又因为，则， 由余弦定理可知， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的周长； （ⅱ）由（ⅰ）可知： ，即， 则， 可得 ， 且，则，可得， 则，所以的最大值为. 例3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，其中. (1)若，求图象的对称中心； (2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得到，整体法求出函数对称中心； （2）求出，根据单调递增区间得到不等式，求出的取值范围； （3）由，得到，由余弦定理和正弦定理得到，因为为锐角三角形，所以，求出的取值范围，得到答案． 【详解】（1）， 当时，． 令，得， 所以图象的对称中心为. （2）由（1）得，且， 所以，即， 因为将的图象向左平移个单位长度得到的图象， 所以， 因为，则， 又因为函数在区间上单调递增， 则， 可得，解得， 可得，即， 且，则，所以的取值范围是. （3）由得， 因为，即， 且为锐角三角形，则，则， 可得，解得． 由余弦定理，即， 可得， 所以． 由正弦定理，得， 则，， 可得， 因为为锐角三角形，则，解得， 可得，则， 即，可得， 所以的取值范围是． 例4．（25-26高三上·陕西榆林·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理得到，再利用余弦定理求角. （2）利用余弦定理和三角形的面积公式，可求，进而得到三角形的周长. （3）先根据为锐角三角形，确定角的取值范围，再将化成的形式求值域. 【详解】（1）由正弦定理，， 所以. 由余弦定理，，且为三角形内角，所以. （2）由余弦定理，. 又. 所以， . 所以的周长为. （3）因为为锐角三角形，且，所以，且， 所以 . 因为，所以，所以， 所以. 变式训练 变式1．（24-25高一下·湖南永州·期末）在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】利用正弦定理将边转化为角可得，然后计算即可； 利用余弦定理可得，然后将边转化为角可得，然后确定角度范围，使用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）依题意，由正弦定理 得 即 又在锐角中，有，所以， 所以，所以； （2）结合（1）可得， 由，则根据正弦定理有， 得， 根据余弦定理有，得， 又为锐角三角形，则有，得， ，. 故 变式2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在锐角中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再利用余弦定理，求得，进而求得的大小； （2）由正弦定理，可得，根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的性质，即可求解； （3）设长度为，由，求得，得到，再由余弦定理，化简得到， 设，进而求得长度的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，可得，整理得， 又由余弦定理，可得， 又因为，所以. （2）由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，且，可得， 则，可得，则， 所以，即， 所以的取值范围. （3）设长度为， 由，可得， 因为，可得， 所以，可得， 又由余弦定理得，所以， 则， 设 ， 由，可得， 所以长度的最大值为． 变式3．（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解， （2）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. （2）由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得    ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 变式4．（24-25高三上·山西太原·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）运用二倍角公式得到，，再由正弦定理可得，最后由余弦定理得，分类讨论得解. （2）由（1）得，变形为，由正弦定理可得化为，再结合三角函数值域即可求解. 【详解】（1），， 由正弦定理可得， 由余弦定理得，， 或， 当时，则，，，，成立， 综上所述，成立. （2）由（1）得，，， 由正弦定理可得， ，是锐角三角形，， ，的取值范围为 实战演练 1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助向量平行的坐标运算计算并结合三角恒等变换公式化简后即可得； （2）借助正弦定理可得，再利用锐角三角形性质得到的范围即可得. 【详解】（1）由，则有， 即 ， 由为锐角三角形，故、，故， 则有，即，即； （2）由正弦定理可得 ， 由为锐角三角形，故，解得， 故，则，则. 2．（24-25高三上·福建宁德·期中）在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由正余弦定理得，接着切化弦得，从而求得即可得解. （2）先由余弦定理得，接着由平方得，由正弦定理边化角结合三角恒等变换公式计算化简得，再结合角B的取值范围即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正余弦定理得， 又， 所以，又是锐角三角形，所以， 所以，所以， 又，所以. （2）由余弦定理可得，即， 又， 所以， 又由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由题意得，解得，则， 所以，所以， 所以，所以线段长的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $